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Teorie di sviluppo
della conoscenza numerica
e del calcolo
• Piaget
Gelman & Gallistel
• Sviluppo della conoscenza
numerica preverbale
Fuson
• Sviluppo delle abilità di conteggio
Steffe
• Sviluppo delle abilità di scrittura del numero
Simple Arithmetic
• Evoluzione del calcolo
Apprendimento situato

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Piaget: il saper contare e il possedere il concetto
di numero rappresentano abilità cognitive
evolutivamente differenti:
⇓
tre diversi livelli di sviluppo
fase preoperatoria (3/4 anni)
fase operatoria (6 anni) ⇒ conservazione della quantità
fase delle operazioni logiche (identità quantitativa
reversibilità semplice; calcolo)

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Gelman & Gallistel
Sviluppo della conoscenza
numerica preverbale
Fuson
Gelman (1977): bambini di due anni e mezzo
sanno discriminare disegni con due o tre oggetti
• neonati di cinque-sei mesi riescono a
discriminare tra serie di 3/4 elementi (Antel e Keating,
1983; Starkey e Cooper, 1980; Strauss e Curtis, 1981).
• neonati di 5 mesi riescono a compiere delle
semplici operazioni di tipo additivo (1 + 1) e
sottrattivo (2 - 1) (Wynn 1992).
⇓

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La teoria dei principi di conteggio
(Gelman e Gallistel, 1978; Gelman e Greeno, 1989; Gelman e Meck, 1983; Gelman, Meck e Merkin, 1986)
Bambini piccoli possiedono un concetto innato
di numero, che si evolve nell’acquisizione delle
procedure di calcolo attraverso alcuni principi:
⇓
a) corrispondenza uno a uno
b) il principio dell’ordine stabile
c) la cardinalità.

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La teoria dei contesti diversi
(Fuson e Mierkiewicz, 1980; Fuson, 1988; Fuson e Hall, 1983)
I principi di calcolo sono progressivamente
sviluppati attraverso ripetuti esercizi e per
imitazione.
⇓
Per i bambini più piccoli le parole-numero
non hanno alcun referente semantico di quantità
(sequenza di suoni recitata meccanicamente).
⇓
Necessaria la conquista della
corrispondenza uno a uno.

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L’ipotesi di Fuson
Il bambino inizia a formare la propria
conoscenza numerica attraverso l’interazione con
l’ambiente.
⇓
tre momenti cruciali per lo sviluppo:
a) l’acquisizione della sequenza numerica;
b) la corrispondenza uno a uno
c) il valore cardinale dei numeri.

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Possibile Evoluzione:
a) la sequenza di numeri è usata come stringa di
parole;
b) si distinguono le parole-numero, ma l’intera
sequenza è unidirezionale, in avanti, e viene
prodotta a partire dall’uno;
c) la sequenza è producibile a partire da un
numero qualsiasi della serie stessa governata
dalle relazioni numeriche di subito, prima,
dopo…;
d) le parole-numero della sequenza sono trattate
come entità distinte che non devono più
ricorrere a elementi concreti di
corrispondenza biunivoca;
e) la sequenza è usata come catena
bidirezionale, sulla quale ed attraverso la
quale operare in distinti modi.

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L’ipotesi di Steffe (Steffe, Cobb e vonGlasersfeld (1988)
Il concetto di numero dipende da
⇓
interiorizzazione
del concetto di oggetto dell’abilità di conta.
5 stadi di Sviluppo
1) stadio dello schema di conta percettivo.
2) stadio dello schema di conta figurativo. (In
questo stadio il materiale percettivo non è più
indispensabile al bambino).
3) stadio della serie iniziale dei numeri.
4) stadio della serie dei numeri con relazioni
implicite di inclusione.
5) stadio della serie dei numeri con relazioni
esplicite di inclusione.

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L’acquisizione del sistema scritto dei numeri:
L’ipotesi di Hiebert (1988)
La competenza scritta dipende da
⇓
lo sviluppo gerarchico di processi cognitivi
specifici che permettono la costruzione di
veri e propri sistemi simbolici.
⇓
legame tra simbolo e referente.
⇓
Principali tipi di notazione numerica:
- notazione con grado informativo nullo per un
osservatore esterno, ma portatore di significato
personale per il bambino;
- notazione basata sulla corrispondenza
biunivoca;
- notazione convenzionale. (Sempio (1997)

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Sviluppo/Apprendimento del Calcolo
Simple Arithmetic
• Evoluzione del calcolo
Apprendimento situato
Groen e Parkman (1972): (counting on) a partire dall'addendo
maggiore si procede aggiungendo l'addendo minore, una unita`
alla volta.
Winkelman e Schmidt [1974]: i risultati delle diverse
operazioni possono essere rappresentati nella nostra memoria
cosi' da permetterci agili sistemi di recupero.
Tale assunto è alla base di alcuni dei principali modelli
neuropsicologici del calcolo " Ashcraft (1982; 1987;Siegler
,1988; Siegler e Jenkins,1989; Siegler e Shrager,1984;di
Campbell (1987, 1994 Campbell e Clark,1989 ).
Ashcraft (1994) per i bambini in fase di apprendimento, data
l'incompleta e poco affidabile memorizzazione delle operazioni
sono necessari:
- processi di recupero
- l’insieme di regole conosciute
- algoritmi di conteggio,
⇓
utilizzando per la risposta la strategia piu’ breve.

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Letteratura sulla "simple arithmetic" (Ashcraft,
1994; Baroody, 1987; Siegler, 1988)
⇓
Si può ipotizzare una progressiva evoluzione
delle strategie usate
⇓
Siegler e Mitchell (1982), in bambini di scuola
materna tre tipi di strategie:
1) conteggio con le dita esplicito o mentale,
2) strategia del conteggio verbale a voce alta
senza il supporto delle dita o di altri referenti
specifici
3) mancanza di una strategia chiaramente
desumibile dal comportamento.
⇓
"livello di fiducia"
= soglia al di sotto della quale il soggetto non
avverte sicurezza di risposta

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Geary (1991, 1993; Geary, Brown, Samaranayake, 1991)
Evolutivamente:
1) il conteggio sulle dita
2) il conteggio da un dato punto contando solo le
dita rappresentanti il secondo addendo
(counting on)
3) il recupero (guardando le dita senza contarle).
Strategia più evoluta : il recupero
Borquist (1983)
strategie costruttive:
• Piu’ unità alla volta (x2 x3 x5)
• Arrotondamento al 10
• Composizione e scomposizione dei numeri

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Apprendimento situato
Sviluppo e Apprendimento
dipendono dal Contesto/Insegnamento
⇓
Le ricerche sullo sviluppo delle Abilità di
Calcolo individuano fasi corrispondenti alle
scansioni temporali decise dai
Programmi di insegnamento:
“Gli obiettivi di insegnamento di quest’area seguono più o
meno una scansione temporale parallela a quella dei due
cicli scolastici.
In sintesi gli obiettivi del primo ciclo (classi I e II
elementare) consistono nell’insegnare a contare in senso
progressivo e regressivo, a leggere e scrivere i numeri
naturali almeno entro il 100, ad usare i simboli di uguale,
minore, maggiore, disponendo correttamente i numeri
naturali ed eseguire semplici calcoli mentali di addizione e
sottrazione, e le quattro operazioni entro il 100;

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Nel secondo ciclo (classi III, IV e V elementare) tali
obiettivi diventano più complessi sia nei contenuti che nelle
operazioni logiche sottese. In particolare, la linea dei
numeri naturali si amplia comprendendo anche i numeri
decimali e richiedendo padronanza anche concettuale del
valore posizionale delle cifre, dell’uso dello zero e della
virgola. Le operazioni devono essere padroneggiate sia
negli automatismi, che nelle proprietà (proprietà
commutativa ed associativa nell’addizione e nella
moltiplicazione, la proprietà distributiva del prodotto, la
proprietà invariantiva nella sottrazione e nella divisione),
il tutto per facilitare la stessa strategia del calcolo.
Anche l’insegnamento del calcolo delle relazioni
reciproche (multipli, divisori, numeri primi) e delle frazioni
ha lo scopo di esercitare le strategie di calcolo generale e
quello di permettere il confronto con concetti geometrici e
aritmetici.
⇓
TEST ABCA (Lucangeli, Tressoldi, Fiore, 1998)
Riscontrato lo stesso trend di sviluppo