MATEMATIK UNTUK TEKNOLOGI

1. 18
MODUL 2 : PERSAMAAN LINEAR
2.1 MENGAPLIKASI KONSEP PERSAMAAN LINEAR DALAM SATU PEMBOLEH UBAH
Contoh
2.1.1
Sebutan algebra linear
– sebutan dengan pemboleh ubah yang
mempunyai kuasa 1.
2m, – 2c,
1
2
𝑝
2.1.2
Ungkapan algebra linear
– gabungan satu atau lebih sebutan linear yang
dihubungkan oleh operasi penambahan atau
penolakan atau kedua-duanya.
2x – 5y, 4x + 6y, 3p – 6q + 4r
2.1.3
(a) Persamaan linear
– persamaan yang terdiri daripada sebutan
algebra linear atau ungkapan algebra linear
dan nombor.
3x + 9y = 36, 8 – y = 6x, x + 9 = y – 1
(b) Persamaan linear dengan satu pemboleh ubah
– persamaan linear yang mempunyai satu
pembolehubah.
3m + 8 = 12, 10x + 2 = 18, 2p + 4 = 37
2.1.4
Tulis persamaan linear dengan satu pemboleh ubah
(i) Tambah 10 kepada x sama dengan 42. 10 + x = 42
(ii) Dalam satu ujian Matematik, Arwan mendapat y
markah dan Rayner mendapat 5 markah lebih
daripada Arwan. Jumlah markah kedua-dua
mereka ialah 165.
Arwan = y
Rayner = y + 5
Jumlah = 165
Oleh sebab itu, y + y + 5 = 165
2y + 5 = 165
Latihan 1
1. Tentukan sama ada persamaan berikut adalah sebutan algebra linear. Tandakan (√ ) atau ( × ).
(a) 6y2
( ) (b) 7a2
( ) (c) – 7m ( ) (d)
7𝑚
10
( ) (e) 3pq ( )
2. Tentukan sama ada persamaan berikut adalah ungkapan algebra linear. Tandakan (√ ) atau ( × ).
(a) 5s – p3
( ) (b)
1
2
h – 4p ( ) (c) 3q + 8r ( ) (d) – 3g ( ) (e) 4y + x ( )
3. Tentukan sama ada persamaan berikut adalah persamaan linear. Tandakan (√ ) atau ( × ).
(a) 2y + 3 = 7 ( ) (b)
7𝑥
10
– 10 = 10 ( ) (c) q2
+ r = 4 ( ) (d) – 3g = 9 ( )
4. Tandakan (√ ) pada suatu persamaan linear dalam satu pemboleh ubah.
(a) m + 5 = 12 ( ) (b) 2p – k = 14 ( ) (c) p + q = 20 ( ) (d) y – 10 = 3 ( )

2. 19
2.2 MENGAPLIKASI KONSEP PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR DALAM SATU PEMBOLEH
UBAH
Contoh dan penyelesaian
2.2.1
Menyelesaikan persamaan dalam bentuk:
Bentuk Contoh
x + a = b x + 2 = 6  x = 6 – 2 = 4
x – a = b x – 3 = 4  x = 4 + 3 = 7
ax = b 4x = 12  x =
4
12
= 3
0,  ab
a
x
2
x
= 6  x = 6  2 = 12
2.2.2
Menyelesaikan persamaan dalam bentuk ax + b = c, apabila a,b, c ialah integer dan x ialah pemboleh ubah.
Selesaikan 2x + 4 = 8
2x = 8 – 4
x =
2
4
x = 2
Selesaikan 3x – 6 = 9
2.2.3
&
2.2.4
Penyelesaian masalah
(a) 5x – 4 = 4 + x
5x – x = 4 + 4
4x = 8
x = 2
(b)
3
4
x + 3 = 6
3
4
x = 6 – 3
3x = 12
x = 4
Latihan 2
1 Selesaikan persamaan berikut:
(a) x + 3 = 9 (e) 4x = 16
(b) x + 9 = 4 (f) 2x = 18
(c) x − 5 = 3
(g)
6
y
= 4

3. 20
(d) x −10 = 4
(h)
2
m
= −12
2 Selesaikan persamaan berikut:
(a) 3x + 4 = 28 (c) 5x + 7 = 32
(b) 6m − 5 = 49 (d) 9k −11 = −38
3 Selesaikan persamaan berikut:
(a) 14 − 3x = 5 − 6x (d) 2(2x − 5) = 14
(b) 5x + 24 = −3x (e) 3(2x − 3) + 5(3 − x) = 4
(c)
2𝑥−2
3
=
3𝑥+5
4
(f)
𝑐−2
5
= 2 – c

4. 21
4 Rajah menunjukkan dua buah silinder yang sama. Silinder 𝐴 diisi dengan air sehingga separuh penuh. Hitung
nilai 𝑥.
5 Sebuah segi empat tepat berukuran (5 − 6𝑝) cm panjang dan ( 𝑝 + 4) cm lebar. Jika perimeter segi empat
tepat tersebut ialah 20 cm, hitung panjang, dalam cm.
6 Sebuah syarikat menjual sebuah televisyen pada harga (1.5𝑝 + 70) di mana 𝑝 ialah harga kos. Jika harga
jualan bagi televisyen tersebut ialah RM2 500, hitung keuntungan yang diperoleh.
7𝑥 + 18
5𝑥
Silinder 𝐵Silinder 𝐴

5. 22
2.3 MENGGUNAKAN KONSEP PERSAMAAN LINEAR DALAM DUA PEMBOLEH UBAH
2.3.1
Contoh :
Diberi bahawa 5x + 2y = 8, cari nilai bagi
(a) y, jika x = 3
(b) x, jika y = – 6
(a) x = 3, 5 (3) + 2y = 8
2y = 8 – 15
y =
2
7

(b)
Latihan 3
1 Bagi setiap persamaan linear yang berikut, cari nilai y apabila x diberikan dan sebaliknya.
(a) 2x + 5y = 10,
(i) carinilai y apabila x = 2. (ii) cari nilai x, apabila y = 3.
(b) y = 8
3
5
x
(i) cari nilai y apabila x = 3. (ii) carinilai x, apabila y = 2.
(c) 
3
y
1
4

x
(i) cari nilai y apabila x = 8. (ii) carinilai x, apabila y = −3.

6. 23
2 Diberi bahawa 2𝑥 = −11 + 10𝑦. Cari nilai
a) x apabila y = 2, b) y apabila x = 5.
3 Diberi bahawa 32 = 4𝑥 − 2𝑦. Cari nilai
b) x apabila y = 4, b) y apabila x = −4.
4 Diberi bahawa −4𝑥 + 2𝑦 = 18. Cari nilai
c) x apabila y = 3, b) y apabila x = 2

7. 24
2.4 PERSAMAAN LINEAR SERENTAK DALAM DUA PEMBOLEH UBAH
2.4.1
Tentukan sama ada persamaan berikut adalah persamaan linear serentak.
(a) 3x – 2y = 6 dan 4x – 3y = 7
Ya.
(b) 5x + 2y = 8 dan 3x – 2b = 6
Bukan.
Latihan
Tentukan jika pasangan berikut ialah persamaan serentak dalam dua pemboleh ubah.
Bil Persamaan Linear Ya / Tidak
1 𝑎 − 2𝑏 = 8
−4𝑎 + 6𝑏 = 12
2 4𝑢 − 3𝑣 = 9
6𝑢 + 𝑤 = −5
3 2𝑑𝑒 − 8𝑑 = 3
𝑑 − 𝑒 = −12
4
𝑥 = 6𝑦
𝑥 + 12 = −42
2.4.2 Selesaikan persamaan linear serentak dengan menggunakan kaedah berikut.
a) Kaedah Penggantian
2x + y = 3 .............
3x – 2y = 8 ...........
Daripada y = 3 – 2x ...........
Gantikan dalam 3x – 2 ( 3 – 2x ) = 8
3x – 6 + 4x = 8
7x = 14
x = 2
Gantikan x = 2 ke dalam
y = 3 – 2 ( 2)
y = 3 – 4
y = – 1
Maka, x = 2 dan y = – 1.
b) Kaedah Penghapusan
2x + y = 3 .........
3x – 2y = 8 ..........
× 2 4x + 2y = 6 .........
+ 7x = 14
x = 2
Gantikan x = 2 ke dalam
2 ( 2 ) + y = 3
y = 3 – 4
y = – 1
Maka, x = 2 dan y = – 1.
1
2
1
1 3
3 2
3
1
2
1
3
2 3

8. 25
2.4.3
Penyelesaian masalah
Hasil tambah umur bagi dua orang adik beradik ialah 30 tahun dan beza umur mereka ialah 6 tahun.
Cari umur mereka.
Katakan umur mereka ialah x tahun dan y tahun.
x + y = 30 .............
x – y = 6 .............
2x = 36
x = 18
Gantikan x = 18 ke dalam x + y = 30,
18 + y = 30
y = 30 – 18
y = 12
Umur mereka ialah 18 tahun dan 12 tahun.
Latihan 4
1 Selesaikan persamaan linear serentak berikut.
a) 2x + y = 7
3x – 5y = 30
b) 5d – 2e = 16
d + 4e = −10
c)
3 4 16
2 8
k n
k n
  
 
d)
3 5
3 1
m n
m n
 
  
1
2
+

9. 26
e)
11
2 3 2
x y
x y
 
 
f)
4 2
2 3 8
m n
m n
 
 
2
Selesaikan persamaan linear berikut.
a) 3x + 8y = 12
1
4
x – 6y = 11
b) 2x + y = 4
3x – y = 1
c) 3𝑥 − 4𝑦 = 13
𝑥 − 3𝑦 = −4
d) 5𝑥 − 3𝑦 = 13
2𝑥 + 3𝑦 = 1

10. 27
e) 3𝑥 + 7𝑦 = 2
2𝑥 − 9𝑦 = 15
f) 2𝑠 − 𝑡 = 1
4𝑠 + 2𝑡 = 14
3 Selesaikan masalah berikut
a) Mawaddah dan Farhana berkongsi 50 biji gula-gula. Jika Mawaddah mendapat 4 biji gula-gula
lebih daripada Farhana, caribilangan gula-gula yang diperoleh bagi setiap orang.
b) Luqman dan Ali membeli 10 biji epal dan 6 biji oren dengan harga RM21. Nashrullah membeli 5
biji epal dan 8 biji oren dengan harga RM18. Cari harga bagi sebiji epal dan sebiji oren.

11. 28
c) Rajah di atas menunjukkan satu segi empat selari PQRS. Carinilai x dan y.
4 UmurPuanAishah ialah3 kali gandaumuranaknya. Dalam masa4tahunlagi,jumlahumur kedua-duanyaialah
68 tahun. CariumurPuanAishah sekarang.
5 Dalam sebuahkotakterdapat 24botol minumanberperisaepaldananggur. Hargasebotolminumanberperisa
epalialahRM3.00danhargasebotolminumanberperisaanggurialahRM2.00. Jikahargabagikotak itu ialah
RM58.00,berapakahbilanganbotolminumanberperisaepal?
S R
QP 11 cm
7 cm( 2x + y ) cm
( 4x + y ) cm

12. 29
6 Sebuahpusat tuisyen mengenakanyuranpepndaftaransebayakRM50bagiseorangpelajar. Yuran yang
dikenakanbagisatumatapelajaranwajibialah RM25danRM15bagimatapelajaranelektif. Danialmendaftardi
pusat tuisyen itu danmengambil6matapelajaranwajibkesemuanya. Jikajumlahbayaranyang dibayar oleh
DanialialahRM180,berapakahbilanganmatapelajaranwajibyangdiambilya?
7 Rajah1 menunjukkanmaklumatbagiduaorangpelajarlelaki.
Diberi jumlah tinggi kedua-dua pelajar ialah 294cm manakala jumlah jisim mereka pula ialah
126kg.
(a) Tulis dua persamaan linear serentak dari maklumat di atas.
[ 2 markah ]

13. 30
(b) Hitungkan nilai kedua-dua pemboleh ubah.
[ 4 markah ]
CONTOH SOALAN PEPERIKSAAN
1. Selesaikan tiap-tiap persamaan berikut:
a) 2𝑡 = 8 [ 1 markah ]
b)
𝑚+2
5
= 3 [ 2 markah ]
2. a) Hitung nilai w yang memuaskan persamaan serentak berikut:
v = −3
2v + w = 6
[ 2 markah ]

14. 31
b) Hitung nilai p dan nilai q yang memuaskan persamaan serentak berikut:
3𝑝 + 2𝑞 = −4
5𝑝 + 2𝑞 = −6
[ 4 markah ]
3. a) Hitung nilai w yang memuaskan persamaan serentak berikut:
q = 4
2p + 3q = −4
[ 2 markah ]
b) Hitung nilai p dan nilai q yang memuaskan persamaan serentak berikut:
2𝑝 + 4𝑞 = −4
2𝑝 − 3𝑞 = 10
[ 4 markah ]

15. 32
4. Selesaikan tiap-tiap persamaan berikut:
a) – 9 + x = – 12
[ 1 markah ]
b)
𝑤
8
= −7 [ 2 markah ]
5. Cari nilai m dan n yang memuaskan persamaan linear serentak berikut.
4m + n = 2 dan 2m – 3n = 8