Mundtlig gruppeprøve i matematik. Præsentation af

1. Mundtlig gruppeprøve
i matematik
2012
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 1

2. Hvorfor en mundtlig prøve?
• Der er trinmål, vi ikke kan prøve eleverne i ved en skriftlig prøve
• Eller kun delvist kan prøve i.
• § 1. Formålet med folkeskolens afsluttende prøver er at dokumentere, i
hvilken grad eleven opfylder de mål og krav, der er fastsat for det
enkelte fag.
• Det er især målene i 1. CKF: Matematiske kompetencer, og det 4. CKF:
Matematiske arbejdsmåder, der kun kan prøves delvist i skriftlige
prøver.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 2

3. Hvorfor en mundtlig prøve?
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 3

4. Hvorfor en gruppeprøve?
• 23. december 2011:
• ”Det er vigtigt, at gruppeprøver igen kan bruges som en blandt mange prøve- og
eksamensformer. Prøve- og eksamensformerne skal afspejle virkelighedens
arbejdsmetoder. Elever og studerende vil efter sommer igen kunne gå til
gruppeprøve og gruppeeksamen i en række fag. Samtidig vil vi afprøve nye
prøve- og eksamensformer i et udviklingsprogram, der dækker hele
uddannelsesområdet.”
• 10. maj 2012:
• ”Evnen til at samarbejde og få det optimale ud af mødet mellem forskellige
kompetencer er et naturligt krav i dagens virkelighed. Gruppearbejde, dialog og
idéudveksling er derfor væsentlige elementer i en moderne og virkelighedsnær
undervisning. Med genindførelse af gruppeprøver i blandt andet matematik og
naturfag udvider vi nu paletten af prøveformer og elevernes mulighed for at
bruge deres almene kompetencer.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 4

5. Hvorfor en gruppeprøve?
arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske
problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb
arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt
og skriftligt arbejde
give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt.
Fælles Mål 2009
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 5

6. Hvilke prøver?
• FSA til udtræk
• Fs 10, prøveform A ligner FSA
• Fs 10, prøveform B er også en gruppeprøve
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 6

7. Kan vi nå det?
• Det skriftlige arbejde styrkes!
• Et forsøg i Vestesjælland.
• Eleverne bliver engageret!
• Udviklingsprojekter i Slagelse og Nordsjælland
• Årsplanlægning i Nordjylland
• Kan vi nå det uden mundtlighed?
• Forskningen taler for mundtlighed.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 7

8. Sådan er reglerne
 10.1. Til den mundtlige prøve opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets
fire centrale kundskabs- og færdighedsområder. Desuden opgives eventuelle
temaer og projekter, som klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it-
værktøjer, der er benyttet i undervisningen.
 Undervisningsforløb, hvor der har været fokus på en matematisk kompetence fx
problembehandlings-, modellerings- eller ræsonnementskompetencen.
 Projekter med rapportskrivning, præsentationer, film eller anden form for
fremlæggelse.
 Kender eleverne kompetencerne som begreber eller kan de alene udøve dem?
 Arbejds- og organisationsformer.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 8

9.  10.2. Prøven foregår i grupper bestående af to-tre elever. Prøven
tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører
prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme
tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet
antal af elever i grupperne.
 Kun individuelt hvis eleven har vanskeligt ved at indgå i en gruppebaseret
prøve pga.:
 sociale omstændigheder, sent skoleskift, sygeprøve, pjæk eller andre forhold.
 fysisk eller psykisk funktionsnedsættelse.
 Undtagelsesvis 4 elever.
 Antal prøveoplæg: a=e:2:2+3.
 Prøveoplæggene skal dække det opgivne stof bredt.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 9

10.  10.3. Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger,
som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og
kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i
prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at benytte matematiske
arbejdsmåder i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt
repræsentere samtlige områder inden for det opgivne stof.
Det gode prøveoplæg skal:
 Have en eller flere problemstillinger både ”rene” og ”praktiske”.
 Åbne problemstillinger med matematisk problemløsning.
 Give mulighed for matematiske undersøgelser.
 Kunne løses på flere niveauer.
 Være åbne for at vise de matematiske kompetencer.
 Have bilagsmateriale, konkrete materialer, filer til it-brug og links til egnede
hjemmesider.
 Have det lokale islæt!
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 10

11.  10.4. Ved prøven må alle hjælpemidler anvendes. Der skal i prøvelokalet
være mulighed for at anvende computer.
 Internet
 Et dynamisk geometriprogram fx GeoGebra
 Regneark
 Formelsamling
 Egne noter
 Bøger til opslag
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 11

12.  10.5. Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den
enkelte elev om de faglige begreber, metoder, overvejelser og konklusioner,
som prøveoplægget har givet anledning til. Der afsluttes med en uddybende
samtale.
• En runde varer 120 minutter.
• Eleverne trækker deres prøveoplæg, ca. 5-10 minutter.
• Cirka 90 minutter til elevernes arbejde i grupper.
• 1. samtale: Har gruppen forstået opgaven? Evt. fremlæggelse af en disposition.
• 2-3 samtaler, hvor grupperne fremlægger deres arbejde og er i dialog med lærer
og eventuelt censor.
• Den afsluttende samtale som runder prøven af og bl.a. skal give lærer og censor
mulighed for at få opklaret en eventuel usikkerhed om vurdering af elevernes
præstationer.
• Votering ca. 15-20 minutter.
• Eleverne får deres karakterer – eventuelt med en kort begrundelse.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 12

13.  10.6. Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til
udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved
bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske
kompetencer hos eleven:
- problembehandlingskompetence
- modelleringskompetence
- ræsonnementskompetence
- kommunikationskompetence
- hjælpemiddelkompetence
- anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder.
• 10.7. Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter til hver elev.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 13

14. Diskuter!
•Hvad betyder disse begreber:
•Problembehandlingskompetence
•Modelleringskompetence
•Ræsonnementskompetence
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 14

15. Fra vejledningen
• Oplægget kan have særligt fokus på en enkelt kompetence fx
modellerings- eller ræsonnementskompetencen eller knytte an til flere
kompetencer. Et prøveoplæg med modelleringskompetencen i fokus
kan have flere indgange fx
• En fuldstændig modellering
• En delvis modellering
• Analyse og kritik af andre modeller med eventuelt opstilling af en
ny model.
• Problemløsning fordrer, at prøveoplægget lægger op til en matematisk
undersøgelse. Det kan ikke forventes, at spørgsmål som ”Find
rumfanget af…”, ”Hvor meget koster…” vil udgøre reelle matematiske
problemer for alle elever i en klasse. Der vil i de vejledende prøveoplæg
være eksempler på problemstillinger, der lægger op til problemløsning.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 15

16. Vurdering
• Vurdering af matematiske kompetencer og arbejdsmåder i
prøvesituationen kan foregå på baggrund af følgende spørgsmål:
• Viser eleven sine matematiske kompetencer ved at handle på en
indsigtsfuld måde i forbindelse med problemstillingen?
• Kan eleven benytte sin viden og sine færdigheder i forhold til
problemstillingen?
• Arbejder eleven undersøgende og systematisk, viser eleven initiativ,
indgår i dialog og samarbejder med sin gruppe
• Kan eleven kommunikere med og om matematik?
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 16

17. Hvad med færdigheder?
• “Begrebet “færdighed” kan forstås som nogens evne til at udføre en
given handling med utvetydige karakteristika.”
Tomas Højgaard Jensen, phd 2008, s. 44
• Viden kan være om begreber, definitioner og formler
Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012

18. Viden og færdigheder
Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012

19. Kompetencer
Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012

20. Problembehandlingskompetence
 erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer og vurdere
løsningerne (slutmål)
 opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede
matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at
generalisere resultater (trinmål efter 9. klasse)
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 20

21. Eksempel 1:
Problembehandling
1
• Kan du skrive 6 som summen af to stambrøker?
• Er der en løsning?
• Er der flere løsninger?
• Kan I finde dem alle?
Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012

22. Problembehandlingskompetence
 erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer og vurdere
løsningerne (slutmål)
 opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede
matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at
generalisere resultater (trinmål efter 9. klasse)
Kompetencen i prøvesammenhæng
 Da alle prøveoplæg skal have tydelige problemstillinger, vil denne kompetence
eller dele af den som regel indgå i bedømmelsen af alle præstationer.
Væsentlige opmærksomhedsfelter:
Kan eleven forholde sig til de matematiske problemer?
Har eleven en løsningsstrategi, og kan eleven løse problemet?
Gennemfører eleven en matematisk undersøgelse?
Opstiller eleven eventuelt selv et matematisk problem?
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 22

23. Modelleringskompetence
 udføre matematisk modellering og afkode, tolke, analysere og vurdere
matematiske modeller (slutmål)
 opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der
gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning,
diagrammer, ligninger, funktioner og formler (trinmål efter 9. klasse)
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 23

24. Eksempel 2: Modellering
• Hvor mange tandbørstninger er der i en tube tandpasta?
• Hvorfor er tagrender runde?
• Hvad koster en bil?
• Jeg vil gerne have et kegleformet kalenderlys til jul!
Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012

25. Modelleringskompetence
 udføre matematisk modellering og afkode, tolke, analysere og vurdere
matematiske modeller (slutmål)
 opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der
gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning,
diagrammer, ligninger, funktioner og formler (trinmål efter 9. klasse)
Kompetencen i prøvesammenhæng
 En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det skal
bemærkes, at andre kompetencer ofte kommer i spil, fx problembehandling,
symbolbehandling og ræsonnement, og derfor kan indgå i bedømmelsen.
Væsentlige opmærksomhedsfelter:
Kan eleven opstille en matematisk model, der kan bruges i forbindelse
med problemstillingen?
Kan eleven udarbejde en matematisk løsning med brug af modellen?
Kan eleven analysere sine resultater i forhold til problemstillingen?
Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres modeller?
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 25

26. Ræsonnementskompetence
 udtænke og gennemføre egne ræsonnementer til begrundelse af matematiske
påstande og følge og vurdere andres matematiske ræsonnementer (slutmål)
 udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske
ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (trinmål efter 9. klasse)
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 26

27. Eksempel 3: Ræsonnement
• Hvorfor er der altid et tal fra 6-tabellen før eller efter et primtal?
Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012

28. Ræsonnementskompetence
 udtænke og gennemføre egne ræsonnementer til begrundelse af matematiske
påstande og følge og vurdere andres matematiske ræsonnementer (slutmål)
 udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske
ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (trinmål efter 9. klasse)
Kompetencen i prøvesammenhæng
 En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det kan fx
være i det faglige område geometri, hvor der generaliseres på baggrund af
undersøgelser i et dynamisk geometriprogram. Det skal bemærkes, at andre
kompetencer ofte kommer i spil, fx symbolbehandling og hjælpemiddel-
kompetence, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige
opmærksomhedsfelter:
Kan eleven gennemføre ræsonnementer med præmisser  argumenter 
konklusion
Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres ræsonnementer?
Bruger eleven ræsonnementer frem for påstande?
Kan eleven gennemføre et enkelt matematisk bevis?
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 28

29. Kommunikationskompetence
 udtrykke sig om matematiske spørgsmål og aktiviteter på forskellige måder,
indgå i dialog og fortolke andres matematiske kommunikation (slutmål)
 indgå i dialog samt udtrykke sig mundtligt og skriftligt om
matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig
præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (trinmål efter
9. klasse)
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 29

30. Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012

31. Gågaden i Vejle er dækket af fliser. De har en form, der kaldes drage-
firkanter. En dragefirkant kan defineres som en firkant, der er sat sammen
af to ligebenede trekanter med samme grundlinje. Når man skal arbejde
med dragefirkanter, kan det være praktisk at vide noget mere om fx areal.
Problemstilling
Jeres opgaver er i et dynamisk geometriprogram at undersøge, om arealet af en
dragefirkant kan findes med en af disse formler, hvor d1 og d2 er dragefirkantens diagonaler:
A = d1 ∙ d 2
A = d1 ∙ d2/2
A = d1 ∙ d2/4
Gennem ræsonnementer kan man bevise, at den rigtige formel altid gælder.
Hvorfor står diagonalerne vinkelret på hinanden?
Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012

32. Kommunikationskompetence
 udtrykke sig om matematiske spørgsmål og aktiviteter på forskellige måder,
indgå i dialog og fortolke andres matematiske kommunikation (slutmål)
 indgå i dialog samt udtrykke sig mundtligt og skriftligt om
matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig
præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (trinmål efter
9. klasse)
Kompetencen i prøvesammenhæng
 Denne kompetence indgår i bedømmelsen af alle prøveoplæg. Det er en
underliggende kompetence, som er central for formidlingen af elevernes
arbejde med matematikken. Dette og dialogen med censor og faglærer vil
indgå i bedømmelsen af alle præstationer. Opmærksomhedsfelter:
Kan eleven indgå i en faglig dialog med lærer/censor og med sin gruppe?
Kan eleven fremlægge sit arbejde med præcision, brug af fagsprog, vekslen
mellem dagligt og matematisk sprog?
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 32

33. Hjælpemiddelkompetence
 kende, vælge og anvende hjælpemidler i arbejdet med matematik, herunder
it, og have indblik i deres muligheder og begrænsninger (Slutmål)
 kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og
begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til
eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til
beregninger og til præsentationer (trinmål efter 9. klasse)
Kompetencen i prøvesammenhæng
 Denne kompetence kan spille en central rolle i bedømmelsen fx i prøveoplæg,
hvor en undersøgende arbejdsmåde danner grundlag . Det er en
underliggende kompetence i de fleste prøveoplæg.
Kan eleven bruge relevante hjælpemidler og bruge dem på en
hensigtsmæssig måde?
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 33

34. Tankegangskompetence, Repræsentationskompetence,
Symbolbehandlingskompetence
• stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes (slutmål)
• skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at
udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (trinmål efter 9. klasse)
Kompetencen i prøvesammenhæng
• Tankegangskompetencen er ikke med i de kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Den vil indirekte være med i de
fleste prøveoplæg, da den nærmest afgør, om der er tale om matematisk virksomhed, og den kan derfor indgå i
bedømmelsen med en mindre vægt.
• danne, forstå og anvende forskellige repræsentationer af matematiske objekter, begreber, situationer eller problemer
(slutmål)
• afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes
forbindelser (trinmål efter 9. klasse)
Kompetencen i prøvesammenhæng
• Spiller ikke en central rolle i den mundtlige prøve. I nogle prøveoplæg kan det blive en kompetence, der bør indgå i
vurderingen.
• Kan eleven vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationer og se deres indbyrdes forbindelse?
• forstå og afkode symbolsprog og formler og oversætte mellem dagligsprog og matematisk symbolsprog (slutmål)
• forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mellem dagligsprog og
symbolsprog (trinmål efter 9. klasse)
Kompetencen i prøvesammenhæng
• Kompetencen er betydningsfuld fx i modellering. Men da den prøves en del i de skriftlige prøver, skal den ikke være i
centrum. Det betyder, at man under elevernes arbejde med en matematisk model kan hjælpe eleverne med fx
symbolsprog, uden at det skal betyde en lavere karakter. Det indgår i vurderingen, hvorvidt eleverne kan veksle mellem
dagligdags sprog og matematikkens sprog, men i mindre omfang.
• Kan eleven afkode symboler?
• Kan eleven bruge symboler?
• Kan eleven bearbejde symboler som formler, ligninger mv.

35. Eksempel 5: Repræsentation
Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012

36. Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012

37. Eksempel 6: Symbolbehandling
Matematrix 7, s. 18: I en judoklub for børn er der D drenge, P piger, T
trænere og L ledere. Hvad betyder følgende formler?
D=P T<L D = 2P
T>0 P = D + 10 ½(D + P) = 45
Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012

38. Mere symbolbehandling
Matematrix 7, s. 18: Opskriv formler, som beskriver følgende
sammenhænge:
a) Der er en træner flere, end der er ledere.
b) Der er 10 drenge flere, end der er piger.
c) Der er 10 gange så mange drenge som piger.
d) Der er en træner for hver 10 drenge.
e) Der er en træner for hver 10 medlemmer.
f) Der er dobbelt så mange medlemmer, som der er voksne
(trænere og ledere).
Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012

39. Navn på skibskopierne Skibenes længde Skibenes bredde Skibstype
Eksempel 1: Tankegang
Ottar 16,5 m 4,5 m Handelsskib
Havhingsten 29,4 m 3,8 m Krigsskib
Roar Ege 14,1 m 3,4 m Handelsskib
Helge Ask 17,5 m 2,5 m Krigsskib
• Beregn forholdene mellem hvert skibs længde og bredde.
• Svarene er 3,67 ; 7,74 ; 4,15 og 7
• Brug forholdene til at beskrive forskellen på handelsskibe og krigsskibe.
• ”Forholdene mellem længde og bredde er næsten dobbelt så store på
krigsskibe som på handelsskibe”.
Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012

40. Anvendelse af faglige begreber,
metoder og arbejdsmåder
De tre områder indgår i de fleste prøveoplæg og knytter an til det 4. CKF-område,
matematiske arbejdsmåder med følgende trinmål:
 Faglige begreber: - læse faglige tekster og kommunikere om fagets emner
 Metoder: - deltage i udvikling af strategier og metoder i
forbindelse med de matematiske emner
 Arbejdsmåder: - undersøge, systematisere, ræsonnere og generalisere i
arbejdet med matematiske problemstillinger
- arbejde individuelt og sammen med andre om
behandlingen af matematiske opgaver og
problemstillinger
• Bruger eleven faglige begreber hensigtsmæssigt og korrekt?
• Kan eleven bruge forskellige metoder i arbejdet med problemstillingen?
• Gennemfører eleven i sin gruppe matematiske undersøgelser?
• Kan eleven bringe sin matematiske faglighed i spil i sin gruppe?
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 40

41. Vejledende
karakterbeskrivelse
Fremragende - 12 Godt - 7 Tilstrækkeligt - 02
Eleven handler sikkert og Eleven handler Eleven handler usikkert i
indsigtsfuldt i arbejdet hensigtsmæssig i arbejdet med de
med de forelagte arbejdet med de forelagte
problemstillinger og forelagte problemstillinger og
viser bred dækning af en problemstillinger og viser svag dækning af en
eller flere af de viser delvis dækning af eller flere af de
matematiske en eller flere af de matematiske
kompetencer: matematiske kompetencer:
Modellerings-, kompetencer: Modellerings-,
ræsonnements- og Modellerings-, ræsonnements- og
problembehandlingskom ræsonnements- og problembehandlingskom
petencen. problembehandlingskom petencen.
petencen.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 41

42. Fremragende - 12 Godt - 7 Tilstrækkeligt - 02
Eleven benytter sikkert Eleven benytter en del Eleven demonstrerer
og indsigtsfuldt sin viden viden og færdigheder i nogen viden og enkle
om og færdigheder i forhold til de forlagte færdigheder i forhold til
matematik i forhold til problemstillinger. de forlagte
de forlagte problemstillinger.
problemstillinger.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 42

43. Fremragende - 12 Godt - 7 Tilstrækkeligt - 02
Eleven viser sikkerhed i Eleven anvender Eleven viser usikkerhed i
valg og anvendelse af hjælpemidler herunder valg og anvendelse af
hjælpemidler herunder computer på en hjælpemidler.
computer med hensigtsmæssig måde i
hensigtsmæssige valg af flere sammenhænge.
programmer.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 43

44. Fremragende - 12 Godt - 7 Tilstrækkeligt - 02
Eleven arbejder på en Eleven arbejder Eleven viser usikkerhed i
sikker måde undersøgende og delvist undersøgende arbejde
undersøgende og systematisk med med problemstillinger.
systematisk med problemstillinger. Eleven Eleven viser kun få
problemstillinger. Eleven viser initiativ og kan initiativer og er usikker i
viser initiativ og kan samarbejde fagligt med det faglige samarbejde
samarbejde fagligt med sin gruppe. med sin gruppe.
sin gruppe på en
hensigtsmæssig måde.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 44

45. Fremragende - 12 Godt - 7 Tilstrækkeligt - 02
Eleven fremlægger Eleven fremlægger Eleven fremlægger noget
velstruktureret med sammenhængende med usammenhængende med
sikker brug af faglige en del faglige få faglige begrundelser
begrundelser og begrundelser og og med usikker
udtrykker sig klart med udtrykker sig med anvendelse af
sikker anvendelse af anvendelse af hverdagssprog i samspil
hverdagssprog i samspil hverdagssprog i samspil med matematikkens
med matematikkens med matematikkens sprog.
sprog. Eleven indgår på sprog. Eleven indgår i
en sikker måde i dialog dialog om forelagte
om forelagte problemer. problemer.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 45

46. Fra Skovshoved Skole
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 46

47. 19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 47

48. 19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 48

49. Fart og Tempo
• Eleverne skal hjemme vælge to genstande, der bevæger sig - den ene
skal bevæge sig hurtigere end et menneske, mens den anden skal
bevæge sig langsommere.
• De skal måle tid og afstand
• I klassen skal eleverne i matematisk dialog om deres undersøgelser
herunder lave udregninger
• De skal lave en præsentation
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 49

50. 19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 50

51. Tankegangskompetence
Anvende /
kompleks
Navn:
Kende /
Forstå /
middel
enkel
Tegn på læring: Fart og tempo
Fart/måle
enheder
Begreb (længde, tid), (længde/tid)
Enheder (m, km, t), (km/t)
Undersøgelse Definerer problemstilling
Overvejer tilrettelæggelse – Hvad og hvordan?
Oversætter hverdags enhed til matematisk enhed
Resonere over udregninger
Sammenligner forskellige hastigheder
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 51

52. Kommunikationskompetencen
Anvende /
kompleks
Kende /
Forstå /
middel
enkel
Gør brug af forskellige hjælpemidler fx. papir og blyant i
kommunikationen
Anvender symboler
Kobler hverdagssprog til regneudtryk
Kan beskrive matematisk problemstilling
Bruger matematiske termer/begreber
Argumenterer for valg af:
- målemetode
- regnemetode
- resultatangivelse
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 52

53. Modelleringskompetencen
At bringe det virkelige problem over i matematikkens
Matematisere
verden
Overvejer valg af:
- målemetode
- måleredskab
- løsningsmuligheder
Færdigheder/
At kunne behandle problemet i matematikkens verden
Analyse
Anvender formler til beregning
Måler længde og tid (uden gps)
Beregner
Oversætter mellem enheder
Fortolkning Af matematiske resultater til brug i den virkelige verden
Evaluerer ideerne ift. kriterierne
Vurderer om resultat er realistisk
Sammenligner og forholder sig til resultater
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 53

54. Fordele
•Eleverne synes, det er sjovt
•Der er stor grad af differentieringsmulighed
•Alle bliver udfordret
•De kommunikationssvage elever, bliver ”tvunget” i dialog
•Eleverne har stort ejerskab til opgave
•Eleverne er nysgerrige efter nye matematisk løsninger
•Elever bliver bedre til at vælge og anvende relevante
hjælpemidler
•De bliver bedre til den skriftlige prøve!
•Men der er også udfordringer!
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 54

55. Diskussion!
•Hvad ser vi af matematik i denne figur?
•Hvilke problemstillinger kan vi formulere?
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 55

56. Vejledende prøveoplæg
•Kan bruges i undervisningen.
•Kan bruges af læreren som inspiration til egne
prøveoplæg.
•Viser en forskellighed i måder at fremstille
prøveoplæg.
•Har alle en vejledning til læreren.
•Må ikke bruges til prøven.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 56

57. Et eksempel: Tages kvadrat
Den danske matematiker, Tage Werner, fandt på figuren, som ses herunder. Figuren kan laves ved
at tegne et kvadrat , markere midtpunkterne på kvadratets sider og tegne linjestykker som
vist. I kan også se Tages kvadrat på bilag 1.
Tage Werner påstod bl.a., at
 de otte længste linjestykker i kvadratet er lige lange
 der er kongruente og ligedannede figurer i kvadratet, og at disse figurers arealer kan
beregnes
 størrelsen på hver vinkel i kvadratets figurer kan findes ved at beregne.
Problemstilling
Jeres opgave er at undersøge Tage Werners tre påstande om kvadratet.
I skal både bruge it-værktøjer, beregninger og matematiske forklaringer.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 57

58. ”Standby sheet” eller ideside
Ideer:
 Konstruer Tages kvadrat ved hjælp af et it-værktøj. I kan fx lade sidelængden være 10.
 Beskriv, hvordan Tages kvadrat kan konstrueres.
 Undersøg længderne af de længste linjestykker i Tages kvadrat. Kan I finde resultaterne på flere
forskellige måder? Har Tage Werner ret i påstand 1)? Kan I forklare hvorfor/ hvorfor ikke uden at
måle?
 Læg mærke til nogle af figurerne, der ”gemmer” sig i Tages kvadrat:
Har disse figurer kongruente og/eller ligedannede ”makkere”? Hvis ja: Hvordan kan I være sikre
på, at figurerne er kongruente og/eller ligedannede?
 Find - på flere forskellige måder - arealet af nogle kongruente og/eller ligedannede figurer.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 58

59.  Er det rigtigt, at vinklen, der er markeret herunder, er ca. 27°? Kan I finde
vinklens størrelse på flere forskellige måder?
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 59

60. Husk bilag
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 60

61. Tages kvadrat - lærervejledning
 Forberedelse:
 Eleverne skal have et geometriprogram til
rådighed, fx ”GeoGebra” og flere kopier af bilag 1.
 Faglige fokuspunkter:
 Oplægget giver eleverne gode muligheder for at
beskæftige sig med næsten alle de trinmål, som er
knyttet til fagområdet geometri.
 Fra et kompetenceperspektiv er det især
ræsonnementskompetencen, der er i fokus, men
oplægget giver også eleverne gode muligheder for
at vise problemløsningskompetence og
hjælpemiddelkompetence.
 I forbindelse med ”arbejdsmåder” er det især
trinmålet: ”undersøge, systematisere og
ræsonnere med henblik på at generalisere”, der er
i spil.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 61

62. Ideer til udfordringer og støtte:
 Det er oplagt, at eleverne indleder arbejdet med at konstruere Tages kvadrat i et geometriprogram. I
den forbindelse skal det overvejes, hvor stor sidelængden skal gøres, da sidelængden vil have
betydning for elevernes arbejde med arealberegning i forbindelse med oplægget. En mulighed er at
vælge sidelængden 10. Dette tal giver ”rimelig runde tal” i beregningerne. Men eleverne kan også
vælge sidelængden 1 (og forstørre tegningen), eller en tilfældig sidelængde, som evt. justeres senere i
forløbet.
 Problemstillingerne er bygget op, så eleverne kan bruge programmet til at beregne løsningerne. Men
det er vigtigt, at eleverne også udfordres til at bruge flere forskellige metoder i forbindelse med
udfordringerne - de skal have mulighed for at vise, at de kan anvende deres viden og færdigheder i
forbindelse med oplægget, og de skal have mulighed for at vise, hvor langt deres
ræsonnementskompetence rækker i forbindelse med udfordringerne.
 For nogle elever kan det være en fordel at klippe ”delfigurer” ud af bilag 1 i forbindelse med deres
arbejde med påstand 2).
 Bemærk, at når én af vinklerne i Tages kvadrat er kendt (fx den vinkel, som er markeret under
”ideer”), kan de øvrige vinkler beregnes ud fra viden om rette og lige vinklers størrelser,
vinkelsummen i en trekant, ensliggende vinkler og topvinkler.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 62

63. Et andet eksempel:
Skolevejen
Jernbaneoverskæring
Skolen
www.map.krak
Høng Skole, 4270
Høng, Kalundborg
Emil
Agerkrogen 2
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 63

64.  ”Hvor langt har du egentlig til skole?”
Maria stiller spørgsmålet til Emil, som lettere forpustet er ved at anbringe sin cykel i stativet
lige uden for skolen.
”Min far havde lovet at køre mig, men jeg havde ikke tid til at vente på ham. Normalt kan jeg
gøre det på under et kvarter, men i dag kom jeg lidt sent hjemmefra. Jeg måtte også vente ved
jernbaneoverskæringen på Tranevej, så jeg måtte cykle hurtigere, end jeg plejer, så øv, se nu
sveder jeg,” griner Emil, ”hvad med dig?”
”Jeg har ikke engang en kilometer, så for det meste går jeg”, svarer Maria.
”Vi må hellere skynde os - det ringer lige straks”, siger Emil og kigger på uret på sin mobil.
Problemstilling
Jeres opgave er at undersøge, hvornår Emil skal tage hjemmefra for at nå i skole til tiden.
I skal give forslag til, hvor Maria kan bo, når hun har mindre en 1 kilometer til skole.
I skal gøre rede for, hvordan forskellige måder at komme i skole på har indflydelse på den tid,
det tager.
 I skal sammenligne rejsevejledninger på www.krak.dk og https://maps.google.com/
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 64

65. Ideer til oplægget
- I kan taste jeres egen skolevej ind i www.krak.dk og https://maps.google.com/ og
kommentere, hvordan de passer med jeres egen virkelighed.
- I kan beskrive sammenhængene mellem afstand, tid og fart og taste sammenhængene
ind i et koordinatsystem ved hjælp af et it-værktøj.
- På USB-nøglen ligger et kort, der kan kopieres ind i et dynamisk geometriprogram, så der
kan foretages beregninger.
På USB-nøglen ligger et regneark med titlen SKOLEVEJEN.
En elev har målt, hun har 650 meter til skole.
I regnearket har hun skrevet det antal minutter, hun bruger på at komme i skole. Hun har
foretaget turen på forskellige måder.
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 65

66. Kommentarer til SKOLEVEJEN
Materialer:
Eleverne skal have adgang til computer med adgang til internettet.
Eleverne skal kunne få udleveret USB-nøgle med regneark og kort.
Eleverne skal kunne få udleveret eksempler med rejsevejledninger fra både www.krak.dk og
https://maps.google.com/
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 66

67. God arbejdslyst!
Brug dit fagteam
Brug det lokale Center for Undervisningsmidler
Brug Danmarks Matematiklærerforening
Brug SkoleKom
Brug men ikke misbrug fagkonsulenten
19-11-2012
klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 67