1. I QUADRATI
MAGICI

2. Indice
1. Cosa sono i quadrati magici
2. Caratteristiche basilari
3. Tipi di quadrati magici
4. Costruzione dei quadrati magici
5. Quadrati magici nell’antichità
6. I quadrati greco-latini di Eulero
7. Applicazioni dei quadrati greco-latini
8. Curiosità: sudoku

3. 1. Cosa sono i quadrati
magici
Un quadrato magico è uno schieramento di numeri
interi distinti in una tabella quadrata tale che la
somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni
colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo
stesso numero; tale intero è denominato
la costante di magia o costante magica o somma
magica del quadrato. Il risultato del quadrato
magico è chiamato chiave del quadrato.

4. 2. Caratteristiche
basilari
I quadrati magici costruiti con i numeri hanno le
seguenti caratteristiche:
1. Sono formati da un minimo di tre caselle per
lato (non esistono quadrati magici con due
caselle per lato e quelli costituiti da una sola
casella non sono, ovviamente, interessanti);
2. I numeri che vengono utilizzati per riempire le
caselle devono essere in una sequenza (si
utilizzano ad esempio i numeri da 1 a 9, da 1 a
16, oppure anche da 0 a 15, e così via) e non
possono essere ripetuti;

5. 3. I numeri della sequenza devono essere
disposti nelle caselle in modo che la somma di
ciascuna riga, la somma di ciascuna colonna e la
somma di ciascuna diagonale diano come totale
un valore sempre identico.
4. I numeri utilizzati per formare un quadrato
magico sono quelli naturali 1,2,3,4,5…
Il numero di righe e di colonne si chiama ordine
del quadrato (per esempio un quadrato formato
da 3 righe e 3 colonne è un quadrato magico di
ordine 3 oppure un quadrato formato da 4
righe e 4 colonne è un quadrato magico di
ordine 4 e così via…

6. In matematica, una tabella quadrata è
detta matrice quadrata.
Un quadrato magico di ordine n contenente tutti gli
interi da 1 a n2 è detto perfetto o normale. La
costante magica di questi quadrati è data dalla
formula:
M(n) = ½ n (n²+1)
dove n sta per il numero delle caselle per lato.

7. 3 Tipi di quadrati
Esistono molti tipi di quadrati magici: i più noti sono
quelli realizzati con i numeri, ma se ne possono
inventare anche con le lettere dell'alfabeto un
esempio è il quadrato pompeiano (o “latercolo
latino”).

8. Magici e semimagici
Un quadrato è detto semi-magico se sono uguali
soltanto i totali delle righe e delle colonne.I
quadrati magici 3 x 3 e 4 x 4 non sono ovviamente
i soli possibili: anzi, modificandoli appropriatamente
ed aggiungendo loro dei bordi si possono ottenere
quadrati 5 x 5 e 6 x 6, da cui si possono poi
ottenere quadrati 7 x 7 e 8 x 8, e cosi via. In
altre parole, quadrati magici n x n esistono per
ogni n maggiore di 2.

9. Panmagici
Oltre alle diagonali principali, che nel caso
dell'esempio sono le terne (2, 5, 8) e (6, 5, 4), si
possono considerare anche le diagonali spezzate,
vale a dire (7, 1, 4); (6, 9, 3); (2, 1, 3) e (7, 9,
8). Così, un quadrato magico si dice panmagico o
pandiagonale se anche la somma di ogni diagonale
spezzata è uguale alla costante del quadrato
magico.
Il quadrato magico di ordine 3 mostrato nella
diapositiva prima non è panmagico, mentre quello a
fianco di ordine 4, è panmagico di costante 34.

10. Bimagico e trimagico
Un quadrato magico si dice bimagico, o
doppiamente magico, se rimane magico anche dopo
aver sostituito i suoi elementi con i rispettivi
quadrati; analogamente si dice trimagico se rimane
magico dopo averne sostituito gli elementi con i
rispettivi cubi.

11. Tipo latino
Il quadrato latino, un "parente" lontano del
quadrato magico, è un quadrato che ha per
elementi gli interi 1, 2, ..., n (o qualunque altro
gruppo di n numeri distinti), ciascuno dei quali
ripetuto n volte, disposti in modo che gli interi di
ogni fila e di ogni colonna siano tutti distinti.
Se si sovrappone il secondo sul primo, mantenendo
lo stesso ordine di ciascuno, si ottiene il quadrato
di coppie in cui nessuna coppia si ripete.
Un quadrato di coppie senza ripetizioni si chiama
quadrato di Eulero, dal nome del matematico
svizzero Leonhard Euler, o quadrato greco-latino.

12. 4. Lo Shu e Latercolo
pompeiano, gli antichi
quadrati magici
Il fascino dei quadrati numerici ha origini antiche.
Il primo quadrato magico della storia è cinese e
risale a più di tremila anni fa, ai tempi della
dinastia Shang. Era un quadrato numerico inciso sul
dorso di una tartaruga che un pescatore aveva
trovato nelle acque del fiume Giallo e che aveva
voluto offrire all’imperatore.

13. Gli scienziati di corte analizzarono le sue
caratteristiche e scoprirono una struttura
straordinaria: un quadrato di numeri con somma
costante 15 su ogni riga, colonna o diagonale. Lo
Shu, come venne battezzato questo quadrato
numerico, arrivato dal grande fiume, diventò uno
dei simboli sacri dell’Antica Cina, rappresentazione,
per i cinesi, dei più arcani misteri della Matematica
e dell’Universo.
Un altro misterioso quadrato magico, ritrovato a
Pompei e riportato in figura, è noto come
il Latercolo pompeiano.

14. Risale al primo secolo d. C. e venne costruito
sostituendo ai numeri delle lettere collocate in
modo da formare la frase “SATOR AREPO
TENET OPERA ROTAS” è una frase che si può
leggere in diverse direzioni, su righe o colonne, da
sinistra a destra o viceversa. Significa
letteralmente “Il seminatore, col suo aratro, tiene
con cura le ruote”, una frase che potrebbe essere
interpretata come "Dio, dal suo trono, regola con
saggezza le sfere (dell'Universo)".

16. Uno tra i più noti quadrati magici è sicuramente
quello che compare nell’incisione di Dürer,
Melancolia: la data dell'opera è il 1514, ed è
riportata nelle due caselle centrali dell'ultima riga.
Questo quadrato veniva spesso inciso su un piatto
d'argento, e regolarmente usato come talismano
contro la peste.

17. 16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

18. Si può trovare un altro esempio di quadrato magico
anche nella cattedrale “La Sagrada Famiglia”
dell’architetto Antoni Gaudì a Barcellona
precisamente sulla Facciata della Passione (opera
dello scultore Joseph Maria Subirachs) dietro la
statua di Giuda che bacia Gesù, oltre ad un
serpente che rappresenta il diavolo, c'era infatti la
seguente tabella di 16 numeri. E' interessante
notare che la somma dei numeri di ciascuna riga, di
ciascuna colonna e di ciascuna diagonale è sempre
la stessa, cioè 33 che si riferisce all’età che
aveva Cristo quando morì: ci sono infatti 88 modi in
cui quattro numeri della tabella danno come somma
33.

19. 5. I quadrati greco –
latini di Eulero
Molti matematici si sono occupati di quadrati magici,
come Leonhard Euler, uno dei più grandi matematici
della storia, che pubblicò un ampio studio
sull’argomento, in cui presentava una “nuova specie”
di quadrati magici, battezzata quadrati latini e
quadrati greco – latini. Ora, dopo più di due secoli,
questi ultimi ritornano d’attualità, rilanciati in
Giappone con il nome di “Sudoku”, un gioco che
raccomandiamo come ottimo allenamento matematico,
non di calcolo, ma di ragionamento e intuizione,
quelle che sono le vere qualità del matematico.

20. Prima di presentare il nuovo gioco, rendiamo però
merito al grande Eulero, presentando le sue tabelle
quadrate, costruite secondo precise regole di
composizione, utilizzando le lettere dell’alfabeto
latino o greco e, nelle forme un po’ più complicate,
quelle latine e quelle greche insieme. Per capirci,
riportiamo in figura, due quadrati 4 x 4, quindi di
sedici caselle, nelle quali sono sistemate le prime
quattro lettere dell’alfabeto latino, in modo che non
ci siano ripetizioni su righe e colonne e a fianco la
stessa operazione fatta però con le prime quattro
lettere dell’alfabeto greco. Un po’ più complessi,
dicevamo, sono i quadrati greco – latini per i quali si
impone la regola precedente, sia per le lettere
latine sia per quelle greche.

21. 6. Applicazioni dei
quadrati greco – latini
Naturalmente, le lettere possono rappresentare
qualsiasi cosa. Ad esempio, provi il lettore, dopo
aver estratto da un mazzo di carte i quattro re,
le quattro regine, i quattro fanti e i quattro assi,
a sistemarli in un quadrato 4 x 4, in modo che su
ogni riga e su ogni colonna si trovino i quattro tipi
di carte e i quattro semi, senza ripetizioni.

22. Come secondo esempio, proponiamo al lettore di
costruire una scacchiera 5 x 5, con le caselle di
cinque colori diversi, tale che ogni riga e ogni
colonna contenga tutti e cinque i colori senza
ripetizioni e ogni casella abbia un colore diverso
dalle caselle che la circondano. I quadrati latini e
greco – latini hanno diverse applicazioni. Ad
esempio, possono tornare utili in statistica per
organizzare test e indagini dandone inoltre la
migliore rappresentazione grafica, come scrivono
Tony Phillips e Stony Brook in una accurata
presentazione di questi quadrati sul sito della
AMS, American Mathematics Society. Supponiamo,
ad esempio, di voler testare l’efficacia di 5 diversi
fertilizzanti per una coltivazione di cereali.

23. Possiamo spargere il fertilizzante su un campo,
procedere poi al raccolto, e misurare infine la
produzione per unità di area. In questo modo
saremmo obbligati ad eseguire i cinque esperimenti
su cinque campi diversi, le cui caratteristiche
potrebbero anche essere diverse. Dividiamo invece
un unico appezzamento in 5 x 5 parti più piccole,
alle quali applichiamo i fertilizzanti secondo lo
schema del quadrato latino, e ne ricaveremo un
test più preciso. Questa idea semplice, ma geniale,
è di un grande esperto di statistica, W. S. Gosset
che era impiegato alla birreria Guiness di Dublino.

24. La birreria era ovviamente una gran consumatrice
di orzo e Gosset sfruttò le sue conoscenze per
suggerire il modo di incrementarne la produzione,
realizzando schemi, quale quello che abbiamo
appena visto, che avevano proprio le caratteristiche
dei quadrati latini. E’ stato calcolato il numero dei
quadrati latini n x n nei quali si possono
inserire n lettere, forme o colori, diversi, oppure
semplicemente i numeri da 1 a n, senza ripetizioni
su righe e colonne. Si hanno, ad esempio, due soli
quadrati di ordine due, dodici di ordine tre e 576
di ordine quattro e così via, salendo rapidamente
secondo la tabella riportata nell’articolo di Ivars
Peterson in Science News Online,18/06/05.

25. 7. Costruzione dei
quadrati magici
Ci sono molti modi di costruire un quadrato magico,
ma quello standard consiste nel seguire determinate
formule che generano i modelli regolari. Il tipo più
comune di quadrato magico è quello che usa i
numeri da 1 a n2, con il quadrato 3 × 3 che è forse
il più famoso.

26. La costante di magia di questo quadrato è 15.
La costante di magia di un simile quadrato può
essere computata con questa formula:
M(n) = ½ n (n²+1)
I quadrati magici del tipo 1 a n2 possono essere
costruiti per tutti i valori possibili di n tranne 2.
Non tutti i quadrati magici del tipo 1 a n2 sono
costruiti nello stesso senso. Cadono in tre
subclassificazioni differenti:
1. n dispari;
2. n divisibile x 2 ma non x 4, o numero
semplicemente pari;
3. n divisibile x 4, o numero doppiamente pari.

27. Il metodo per costruire un quadrato magico
con n dispari è abbastanza semplice e viene
spiegato qui di seguito. Si inizia mettendo 1 nella
colonna centrale della fila superiore.
Si compila la colonna seguente del numero uno (a
destra) e ad una fila superiore. Se siete già alla
fila superiore, si compila una colonna alla destra
nella fila inferiore, e, se siete nella colonna di
estrema destra, si compila il numero seguente nella
colonna di estrema sinistra, una fila in su.
Se il quadrato già è occupato da un numero più
piccolo, si posiziona il numero seguente nel
quadrato immediatamente sotto all'ultimo immesso,
si procede in tal maniera fino a comporre tutto il
quadrato.

28. Infine, si verifichi che ogni fila, colonna e
diagonale diano come somma algebrica lo stesso
numero, in questo caso, 65.
Naturalmente i quadrati magici possono essere
costruiti usando un sottoinsieme dei numeri
compresi tra 1 a n2. Per esempio, un quadrato
magico può essere costruito usando soltanto
i numeri primi (in alcuni casi potrebbe essere
necessario accettare 1 come numero primo per
avere un quadrato magico).
I quadrati magici possono anche essere costruiti
dai reciproci di alcuni numeri primi. Per esempio,
1/7 è circa 0.142857 e possiamo quasi fare un
quadrato magico composto da quelle cifre.

29. 8. Curiosità: Sudoku
Il sudoku (giapponese: 数独 , sūdoku, nome
completo 数字は独身に限る Sūji wa dokushin ni
kagiru, che in italiano vuol dire "sono consentiti
solo numeri solitari") è un gioco di logica nel quale
al giocatore o solutore viene proposta una griglia di
9 × 9 celle, ciascuna delle quali può contenere un
numero da 1 a 9, oppure essere vuota; la griglia è
suddivisa in 9 righe orizzontali, 9 colonne verticali
e da bordi in neretto in 9 "sottogriglie"
chiamate regioni di 3 × 3 celle contigue.

30. Le griglie proposte al giocatore hanno da 20 a 35
celle contenenti un numero. Scopo del gioco è quello
di riempire le caselle bianche con numeri da 1 a 9,
in modo tale che in ogni riga, colonna e regione
siano presenti tutte le cifre da 1 a 9 e, pertanto,
senza ripetizioni. In tal senso lo schema, una volta
riempito correttamente, appare come un quadrato
latino.
La versione moderna del gioco fu ideata
dall'architetto statunitense Howard Garns e
pubblicata da Dell Magazines nel 1979 con il titolo
"Numbers in Place". In seguito fu diffuso
in Giappone dalla casa editrice Nikoli nel 1984, per
poi diventare noto a livello internazionale soltanto a
partire dal 2005.

31. Fonti
http://it.wikipedia.org/wiki/Quadrato_magico
http://www.lannaronca.it/Programmazione/quadrati%20magici.htm
Realizzato da:
 Alessandro Leogrande
 Domenico Rizzi
 Antonio Orfino
 Francesco Giannico
 Vito Donvito
 Giuseppe Indellicati
 Nicola Fiorito
 Sante Girardi