1. M.C. D. - M.C. M. - FRACCIONES PROPIEDADES
ALGEBRAICAS
1. Si las expresiones son primas entre sí, el
1) MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.): MCD será igual a 1.
El M.C.D. de dos o más expresiones 2. Si las expresiones son primas entre sí dos
algebraicas es aquella expresión algebraica, a dos, el MCM será el producto de dichas
del mayor coeficiente y del mayor grado expresiones.
posible, que divide exactamente y a la vez a 3. Para dos expresiones se cumple que:
las primeras.
Por ejemplo, dados: MCD(A,B)  MCM(A,B) = A  B
P = 12(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Q = 9x(x + 1)(x + 2) 3) FRACCIONES ALGEBRAICAS:
Las expresiones que dividen exactamente a
P y a Q son: 1; 3; (x + 1); (x + 2); 3(x + 1); Una fracción algebraica es la división
3(x + 2); 3(x + 1)(x + 2). indicada de dos polinomios, donde el
De todas ellas, 3(x + 1)(x + 2) es la de mayor denominador debe tener al menos una
coeficiente y de mayor grado, luego es el variable.
M.C.D. de P y Q.
CLASIFICACIÓN
2) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.):
El M.C.M. de dos o más expresiones 1A) Propias: Si el grado del numerador es
algebraicas es aquella expresión algebraica, menor que el del denominador.
del menor coeficiente y del menor grado 1B) Impropias: Si el grado del numerador es
posible, que es múltiplo a la vez de las mayor que el del denominador.
primeras.
Por ejemplo, dados: 2A) Homogéneas: Si sus denominadores
P = 12(x + 1)(x + 2)(x + 3) son iguales.
Q = 9x(x + 1)(x + 2) 2B) Heterogéneas: Si sus denominadores
Las expresiones que son múltiplos de P y Q son diferentes.
a la vez son infinitas, pero un pequeño
análisis nos hace notar que han de ser 3A) Irreductibles: Si sus términos son PESI;
múltiplos de 12 y 9, y además contener a los en consecuencia, no pueden simplificarse.
factores x; (x + 1); (x + 2); (x + 3); por lo que 3C) Reductibles: Si sus términos no son
tendrán la siguiente forma: PESI, luego admiten ser simplificadas o
m n p q
(36k)x (x + 1) (x + 2) (x + 3) reducidas.
Donde: k, m, n, p, q 
De todas las posibles combinaciones, la de FRACCIONES EQUIVALENTES: Aquellas
menor coeficiente y de menor grado es la que, para cualquier valor que se le dé sus
siguiente: 36x(x + 1)(x + 2)(x + 3), luego es el variables, resultan teniendo el mismo valor
M.C.M. de P y Q. numérico.
Forma Práctica para hallar el M.C. D. y el FRACCIONES COMPLEJAS: También
M.C. M. de Expresiones Algebraicas llamadas fracciones compuestas, son
aquellas cuyo numerador y/o denominador
1. Factorizar las expresiones dadas. es a su vez otra fracción algebraica.
2. Para el M.C.D., tomar únicamente todos
los factores comunes, pero elevados a su Ejercicios
menor exponente.
3. Para el M.C.M., tomar todos los factores, I. Halle el MCM y el MCD de:
comunes o no, pero elevados a su mayor
2 3 4
exponente. 1. A = 28x y z
3 4 5
Ejemplo: Halle el MCD y el MCM de P y Q B = 35x y z
3 2 2 5 6
P = 8x – 96x + 360x – 400 C = 4x y z
3 2
Q = 20x – 180x + 480x – 400
2. A = 3(x + 1)
2
Solución: B = 2(x – x + 1)
3
Factorizando ambas expresiones tendremos: C = 6x + 6
2
P = 8(x – 5) (x – 2)
4 2
Q = 20(x – 5)(x – 2)
2
3. A = 20x + x – 1
4 3
B = 25x + 5x – x – 1
4 2
MCD(P,Q) = 4(x – 5)(x – 2) C = 25x – 10x + 1
2 2
MCM(P,Q) = 40(x – 5) (x – 2)
2
4. A = x + 5x + 6

2. 2
B = 2x + 12x + 18
2 2 2
C = 4x + 4x – 24 a) x + y b) x – y c) x – y
2 2
d) (x + y) e) (x – y)
4 2
5. A = 2x – 10x + 8
2
B=x +x–2 3. Si:
6 3 n–1 m+1
C = x + 7x – 8 A(x;y) = 12x y
n+1 m–1
B(x;y) = 16x y
3 2
6. A = x + 5x + 8x + 4
3 2
B = x + 3x – 4 Son tales que:
3 2 a 4
C = x + 6x + 12x + 8 MCM(A;B) = cx y
5 b
MCD(A;B) = dx y
4 2 2 4
7. A=x +a x +a
3 2 2
B = x – ax + a x Calcule:
d+b–n
2
8. A = x + 3x – 10 c+a–m
2
B = x – 25
2
C = x + 5x a) 1 b) – 1 c) 0
d) 2 e) 4
II. Simplifique las fracciones algebraicas:
2 2
4. El producto de dos polinomios es (x – 1) ,
2 2
1. x – x – 20 y el cociente de su MCM y MCD es (x – 1) .
2
x – 7x + 10 Calcule el MCD de dichos polinomios.
2 2 2
2. 3x – 4x – 15 a) x + 1 b) x + 1 c) (x + 1)
2 2
x – 5x + 6 d) (x – 1) e) x – 1
2
3. 1 + 4x + 4x 5. Simplifique:
2 6 4
1 – 4x x y – 25x y .
5 4 3
x y – x y – 30x y
2
4. n –2–n
2 3 2 2 2
2n – n a) x + 5x b) x + 5x c) x – 5x
x–6 x+6 x–6
2 2
5. x –4 . d) x – 5x e) x .
5px + 10p x+6 x+6
4 3
6. x –x +x–1 6. Reduzca la siguiente expresión:
3
x +1 1
x
2
7. m + m – mn – n 1–
2 2 2
m – 2mn + n x
x–
3
8. x – 25x . 1
3 2
2x – 8x – 10x x–
x
2 2
9. (n – 3n – 4)(n – 5n + 6)
2 2 -1
(n – 6n + 8)(n – 2n – 3) a) x b) 1 / 2 c) x
-2
d) x e) x + 1
Problemas
1. Calcule el MCM de:
2 2
A=a –b
2 2
B = a – 2ab + b
2 2
C = a + 2ab + b
2 3 2 2 2
a) (a – b) b) (a + b) c) (a – b )
2 2 3 3
d) (a – b ) e) (a – b)
2. Dé el MCD de:
3 2 2 3
A = x – xy + x y – y
3 2 2 3
B = x – xy – x y + y
4 2 2 4
C = x – 2x y + y