1 matematica aplicada teoria de conjunto 1

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS

El concepto de conjunto es uno
de los más fundamentales en
matemáticas, incluso más que la
operación de contar, pues se
puede encontrar, implícita oimplícita o
explícitamenteexplícitamente, en todas las
ramas de las matemáticas puras y
aplicadas.

En su forma explícitaforma explícita, los
principios y terminología de los
conjuntos se utilizan para construir
proposiciones matemáticas más
claras y precisas y para explicar
conceptos abstractos como el
infinito.

ALGUNAS DEFINICIONESALGUNAS DEFINICIONES
Un conjunto es una agrupación,
clase o colección de objetos
denominados elementos del
conjunto.

Grupo de elementos, colección
o reunión de objetos bien
definidos.

Es una colección bien definida
de objetos, llamados
elementos.

CARACTERIZACION DECARACTERIZACION DE
CONJUNTOSCONJUNTOS

CARACTERIZACIONCARACTERIZACION
POR COMPRENSION:
POR UNA CARACTERISTICA
COMUN, POR EJEMPLO EL
CONJUNTO DE LOS DIGITOS.

POR COMPRENSION:
A = { x / x ∈ N y x es un digito }

POR EXTENSION:
SE DA LA LISTA DE TODOS
LOS QUE LA INTEGRAN.

POR EXTENSION:
A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Utilizando símbolos a, b, c
representa que el elemento a
pertenece o está contenido en el
conjunto A, B, C , o lo que es lo
mismo, el conjunto A, B, C
contiene al elemento a, b, c.....

Un conjunto está BIEN DEFINIDOBIEN DEFINIDO
si dado un objeto o elemento, se
sabe con certeza o
categóricamente pertenece ese
conjunto.

Un conjunto está NO BIENNO BIEN
DEFINIDODEFINIDO cuando no se puede
afirmar categóricamente si ese
elemento pertenece a ese
conjunto.

Términos primitivos:
• Elemento
• Conjunto
• Relaciones de pertenencia.

Bien definidoBien definido implica que para
cualquier elemento que
consideremos, podemos
determinar si está en el
conjunto observado.

REPRESENTACIONREPRESENTACION
Un conjunto se representa
frecuentemente con el
símbolo:
AA = { }= { }

En donde las llaves engloban
los elementos de A, ya sea de
forma explícita, o escribiendo
todos y cada uno de los
elementos, o dando una
fórmula, regla o proposición
que los describa.

Por ejemplo,
A = {2, 4};
B = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} = {todos los
enteros pares};

C = {x | x2
- 6x + 11 = 3};
C se describe como el conjunto
de todas las x tales que:
x2
- 6x + 11 = 3.
D = {todos los varones vivos
llamados Juan}.

SUBCONJUNTOSSUBCONJUNTOS
Si todo elemento de un
conjunto A pertenece también
al conjunto B, entonces:
A es un subconjunto de B.

DIAGRAMAS DE VENNDIAGRAMAS DE VENN

VENN - EULERVENN - EULER
Los diagramas de Venn
permiten, además, una
comprobación de verdad o
falsedad de un silogismo.

Sin embargo, también fue
importante la participación de
Euler en la esquematización de
las representaciones de
algunas operaciones.

Cada conjunto de elementos
se encuentra encerrado dentro
de un círculo, o figura
geométrica, y estos a su vez
están encerrados dentro de
otra figura.

Por lo general está es un
rectángulo, se pueden dibujar
cada elemento del conjunto o
bien solo se puede indicar su
existencia.

Los diagramas de Venn son
una buena herramienta, que
nos permite realizar las
operaciones entre los diversos
conjuntos del universo de un
forma más sencilla.

A B
U

CONJUNTOCONJUNTO
UNIVERSOUNIVERSO

Conjunto UniversoConjunto Universo
Es el conjunto que contiene a
todos los elementos del Universo.
Se le denota por la letra U.
El universo lo forman el conjunto
de conjuntos que intervienen.

Así, si se esta hablando de
todos los números, el conjunto
universal será los números
complejos.

Sean los conjuntos:
A = { aves}
B = { peces }
C = { anfibios }
D = { tigres }

Existe otro conjunto que incluye a
los conjuntos A, B, C y D y es
conjunto de todos los animales
U = { animales }

A
N
F
I
B
I
O
S

RELACION DERELACION DE
CONTENIDOCONTENIDO

A
U
B

CONJUNTOCONJUNTO
DISJUNTOSDISJUNTOS

Conjunto DisjuntoConjunto Disjunto
Si dos conjuntos A y B no
tienen ningún elemento común
entonces A y B son disjuntos.

Conjunto DisjuntoConjunto Disjunto
Ejemplos de conjuntos disjuntos y
no disjuntos:
A = {x I x es par}
B = {x I x es impar}
A y B son disjuntos pues no
tienen ningún elemento en común.

Conjunto VacióConjunto Vació
Es un conjunto que carece de
elementos.
Se suele llamarle conjunto nulo, y
se le denota por el símbolo:
ø o { }.

Conjunto VacioConjunto Vacio
A = { Las personas que vuelan }
A = { } A = Ø
B = { x I x numero racional e
irracional}
B = { } B = Ø
C = { x I x es una solución real de
x2
+ 1=0 }
C = { } C = Ø
D = { x I x es rojo y verde a la vez}
D = { } D = Ø
E = { x I x es un número real e
imaginario}
E = { } F = Ø

CONJUNTOCONJUNTO
UNITARIOUNITARIO

Conjunto UnitarioConjunto Unitario
Es todo conjunto que está
formado por sólo un elemento.
A = { 1 }
B = {x / x es la solución de X + 1 = 0}
C = {números pares entre 2 y 6} = { 4 }
D = {La capital del México }

OPERACION DEOPERACION DE
CONJUNTOSCONJUNTOS

Unión:Unión:
Dados dos conjuntos
cualesquiera A y B llamamos
"Unión" de A y B al conjunto
formado por todos los elementos
que pertenecen a A o a B.

Unión:Unión:
A U B
A UNION B

Unión:Unión:
La unión de conjuntos se
define como:
A U B = {x / x ∈ A o x ∈ B}

Unión:Unión:

Unión:Unión:
Dados los siguientes conjuntos:
A = {2,4,6,8,10},
B = {0,1,2,3 },
C = { -2,-1, 0,3}

Unión:Unión:
Construye los diagramas de
Venn-Euler de:
a).- A U B,
b).- A U C,
c).- B U C

Unión:Unión:
Venn-Euler de:
a). A U B = {0,1,2,3,4,6,8,10}
b). A U C = {-2, -1,0,2,3,4,6,8,10}
c). B U C = {-2, -1,0,1,2,3}

I N T E R S E C C I O NI N T E R S E C C I O N

Intersección:Intersección:
Dados dos conjuntos
cualesquiera A y B llamamos
"Intersección" de A y B al
conjunto formado por todos
los elementos que pertenecen
a A y pertenecen a B.

A B
A intersección B
U

Se denota por A ∩ B,:
A ∩ B = { x / x∈ A y x ∈ B }

IntersecciónIntersección

A B U

Dados los siguientes
conjuntos:
A = {2,4,6,8,10},
B = {0,1,2,3 },
C = {-1,-2,0,3}

Venn-Euler de
a).- A ∩ B =
b).- A ∩ C =
c).- B ∩ C =

Venn-Euler de:
a). A ∩ B =
b). A ∩ C =
c). B ∩ C =
2
0 , 3

DIFERENCIA DEDIFERENCIA DE
CONJUNTOSCONJUNTOS

Diferencia:Diferencia:
Se denomina diferencia de dos
conjuntos A y B al conjunto
formado por todos los
elementos de A pero que no
pertenecen a B.

La diferencia entre dos conjuntos
A y B o el complemento relativo
de B con respecto a A, es el
conjunto que consiste en todos
los elementos que pertenecen a A,
pero no pertenecen a B.

La diferencia se denota por:
A - B
A diferencia B o A menos B.

Se define la diferencia de dos
conjuntos como:
A - B = {x / x ∈ A y x ∈
B }

Dados los siguientes
conjuntos:
A = {2,4,6,8,10},
B = {0,1,2,3 },
C = { -1,-2, 0,3}

Venn-Euler de
a). A - B
b). A - C
c). B - C
d). C - B

Venn-Euler de
a). A - B = {4, 6, 8, 10}
b). A - C = A
c). B - C = {1, 2}
d). C - B = {-1, -2},

COMPLEMENTO DECOMPLEMENTO DE
CONJUNTOSCONJUNTOS

Complemento :Complemento :
Si un conjunto A es subconjunto
de otro conjunto universal U, al
conjunto A' formado por todos los
elementos de U pero no de A, se
llama complemento de A con
respecto a U.

Simbólicamente se expresa:
A´= Ac
= {x / x ∈ A y x ∈ U }

Sea:
El universo U = {2,4,6,8} y
A = {2}
entonces
Ac
= {4,6,8}

ALGEBRA DEALGEBRA DE
CONJUNTOSCONJUNTOS

Las siguientes propiedades,
utilizando las definiciones del
apartado anterior, se cumplen
si A, B, C,... son subconjuntos
de un conjunto U

1. A U B = B U A
2. A ∩ B = B ∩ A
3. (A U B) U C = A U (B U C)
4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
5. A U Ø = A

6. A ∩ Ø = Ø
7. A U U = U
8. A ∩ U = A
9. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
10. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩
C)

11. A U AC
= l
12. A ∩ AC
= Ø
13. (A U B) C
= AC
∩ BC
14. (A ∩ B) C
= AC
U BC
15. A U A = A ∩ A = A

16. (AC
)C
= A
17. A - B = A ∩ BC
18. (A - B) - C = A - (B U C)
19. Si A ∩ B = Ø,
entonces (A U B) - B = A
20. A - (B U C) = (A - B) ∩ (A - C)

En el diagrama que se coloca a
continuación, se han volcado
los datos obtenidos en una
encuesta, realizada a personas,
donde se les preguntó si
tomaban té o café.

Los números que aparecen se
refieren a las cantidades de
personas que respondieron a la
pregunta en las diversas formas
posibles:
solamente té,
té y café,
ninguna de las dos bebidas.

En base a estos datos
responderemos a las
siguientes preguntas:

¿Cuántas personas tomaban té?
Rta. 6 personas.
¿Cuántas personas tomaban café?
Rta. 9 personas.
¿Cuántas personas tomaban té y
café? Rta. 4 personas.

¿Cuántas personas no
tomaban ninguna de las dos
bebidas? Rta. 1 persona.
tomaban té? Rta. 6 personas.
tomaban café? Rta. 3 personas.

¿Cuántas personas tomaban por lo
menos una de esas dos bebidas?
Rta. 11 personas.
¿Cuántas personas tomaban sólo
una de esas dos bebidas?
Rta. 7 personas.
¿Cuántas personas tomaban sólo
café? Rta. 5 personas.

¿Cuántas personas tomaban
alguna de esas bebidas?
Rta. 11 personas.

Se investiga a 170 clientes para
preguntarles sobre el consumo
de dos (2) marcas de refrescos
y se encontró que 75
consumen la marca A, 100
consumen la marca B y 25
ambas marcas.

¿Cuántos clientes consumen
las marcas A o B?.
¿ Cuántos clientes solamente
consumen las marcas A?.
¿ Cuántos clientes solamente
consumen las marcas B?

¿Cuántos clientes no
consumen las marcas?.

Se efectúa un estudio de
mercado con un universo de
300 personas para determinar
como se enteran de las
noticias.

El resultado del estudio es que
150 se enteran por radio, 200
por TV, 100 por ambos medios.

¿Cuántos se enteran de las
noticias solo por radio?.
¿ Cuántos se enteran de las
noticias solo por TV?.

¿ Cuántos no utilizan estos
medios para enterarse de las
noticias?.

Se interrogó a un grupo de 500
personas sobre el consumo de
tres (3) marcas de yogur, y se
obtuvieron los siguientes
datos:

Personas Compran Marca
85 Compran A
110 Compran B
75 Compran C
25 Compran A y B
35 Compran A y C
30 Compran B y C
20 Compran A, B y C

A B
U
C

Se investiga a 300 dueños de
automóviles con relación a la
marca de automóvil que tienen
y se determinó que:

Personas tienen Marca
110 Compran A
130 Compran B
150 Compran C
30 Compran A y B
40 Compran A y C
50 Compran B y C
10 Compran A, B y C

¿Cuántas personas tienen
marca A?
¿ Cuántas personas tienen
marca B?
marca C?

marca A y B?
marca B y C?
marca A y C?

marca A pero no B?
marca A o B?
marca B o C?

marca A o C?
marca solamente A o B?
marca solamente A o C?

marca solamente B o C?
¿ Cuántas personas no tienen
marca A?
marca B?

marca C?
marca A, B, C?

En una encuesta sobre medios
de transporte urbano más
comunes, a cada persona se le
pregunta si el taxi, el autobús,
o el carro privado es el medio
más usado para ir al trabajo.

Se permite más de una
respuesta.
El resultado de la encuesta es
la siguiente.

Personas opinan Marca
30 Taxi
35 Autobús
100 Carro privado
15 Taxi y autobús
15 Taxi y carro privado
20 Autobús y carro privado
5 Los tres medios

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