Dokumen tersebut merangkum konsep-konsep dasar mekanika benda langit, termasuk definisi vektor dan skalar, operasi-operasi vektor, gerak melingkar beraturan, elips, hukum-hukum Newton tentang gerak dan gravitasi, momentum, dan hukum-hukum Kepler tentang gerak planet mengelilingi matahari.

1. Kunjaya AS-ITB
Dasar-dasar
Mekanika Benda Langit
Oleh:
Chatief Kunjaya
Departemen Astronomi ITB

2. Kunjaya AS-ITB
Skalar dan Vektor
• Besaran skalar adalah besaran yang
mempunyai nilai saja tidak mempunyai arah
• Contoh : massa, tekanan, waktu dll
• Besaran vektor adalah besaran yang
memiliki nilai dan arah
• Contoh : kecepatan, momentum, gaya dll
Perkalian skalar dg skalar hasilnya skalar
Perkalian skalar dg vektor hasilnya vektor yang
arahnya sama dengan vektor yang dikalikan

3. Kunjaya AS-ITB
Vektor
Dapat digambarkan sebagai anak panah, arah
panah menggambarkan arah vektor dan
panjang panah menggambarkan besar/nilai
vektor
A
Biasanya di dalam buku text, simbol besaran skalar ditulis
dalam huruf miring, sedangkan vektor ditulis dalam huruf
tegak dan tebal, contoh : A, atau diberi tanda panah diatasnya,
contoh : A
Besar/nilai vektor : |A|

4. Kunjaya AS-ITB
Operasi Vektor
Menjumlahkan dua vektor:
A
BC
CBA =+
αcos
22
BABAC ++=
α
α=sudut antara vektor A dan B

5. Kunjaya AS-ITB
Operasi Vektor
Perkalian titik dua vektor hasilnya skalar
Jika A · B = D
D=|A||B|cos α ; α=sudut antara A dan B
Perkalian silang dua vektor hasilnya vektor
Jika A × B = E
|E|=|A||B|sin α
E tegak lurus terhadap A dan juga B
Jika A dan B ada di suatu bidang datar γ maka E
tegak lurus terhadap bidang γ
Jika A ke Timur dan B ke Utara, maka E ke atas

6. Kunjaya AS-ITB
Lingkaran
Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0)
Dalam koordinat kartesius : x2
+y2
=r2
r
y
x
Dalam koordinat polar : r = konstan

7. Kunjaya AS-ITB
Gerak Melingkar Beraturan
• Definisi : benda bergerak dengan lintasan
berbentuk lingkaran dengan laju yang tetap
• Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh satu
keliling disebut periode (T)
• Bagian lingkaran yang ditempuh dalam satu
satuan waktu disebut frekuensi (f)
• Kecepatan sudut (ω)adalah besarnya sudut yang
ditempuh dalam satu satuan waktu
T
π
ω
2
=

8. Kunjaya AS-ITB
Gerak Melingkar Beraturan
Laju adalah jarak yang ditempuh dibagi waktu.
Dalam waktu T jarak yang ditempuh benda adalah
2πr, maka
T
r
v
π2
=
Sehingga : v = ωr
Meskipun lajunya konstan, benda yang bergerak melingkar
beraturan mengalami percepatan yang arahnya selalu ke pusat
lingkaran. Percepatan itu disebut percepatan sentripetal.
Gaya yang menyebabkan percepatan itu disebut gaya sentripetal
r
v
ra
2
2
cp == ω
r
v
mrmF
2
2
cp == ω

9. Kunjaya AS-ITB
Elips
Persamaan elips yang berpusat di (0,0), panjang
setengah sumbu dalam arah x adalah a dan
panjang setengah sumbu dalam arah y adalah b
y
x
b
a
r1
r2
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
Untuk semua titik pada elips
berlaku : r1+r2=2a
f f
a disebut semimajor axis
b disebut semiminor axis
f adalah titik fokus elips
c

10. Kunjaya AS-ITB
Eksentrisitas elips
Eksentrisitas e merupakan ukuran kelonjongan
elips dan didefinisikan sebagai:
2
2
1
a
b
e −=
0 < e < 1 → elips
e = 0 → lingkaran
e = 1 → garis lurus/parabola
Hubungan lain
c = ae
b2
= a2
(1-e2
)Bilamana dihasilkan garis lurus?
Bilamana dihasilkan parabola ?

11. Kunjaya AS-ITB
Elips Dalam Koordinat Kutub
c
a
r
θ
x = c + r cos θ
y = r sin θ
c=ae
b2
=a2
(1-e2
)
Masukkan persamaan diatas
ke dalam persamaan umum elips
12
2
2
2
=+
b
y
a
x

12. Kunjaya AS-ITB
Elips Dalam Koordinat Kutub
Hasilnya adalah persamaan elips dalam koordinat
kutub :
c
a
r
θ θcos1
)1( 2
e
ea
r
+
−
=
Buktikan!

13. Kunjaya AS-ITB
Hukum Newton Tentang Gerak I
Jika jumlah gaya yang bekerja pada sebuah benda
adalah nol, maka benda akan diam atau bergerak
lurus dengan kecepatan tetap
Disebut juga dengan hukum kelembaman (inertia)
Pengetahuan akan hukum ini menyadarkan manusia
bahwa meskipun planet-planet sangat jauh,
manusia bisa mengirimkan pesawat ke planet-
planet lain. Bagaimana caranya?

14. Kunjaya AS-ITB
Hukum Newton Tentang Gerak II
Jika jumlah gaya yang bekerja pada sebuah benda
tidak nol, maka benda akan mengalami percepatan
yang besarnya sebanding dengan resultan gaya-
gaya yang diterima benda itu
F = ma
Jika F berubah-ubah, a juga berubah ubah
Antara planet dan matahari ada gaya yaitu gaya
gravitasi, maka percepatan yang dialami planet
ditentukan oleh gaya gravitasi itu

15. Kunjaya AS-ITB
Hukum Newton Tentang Gravitasi
Pada dua benda akan terjadi gaya tarik menarik yang
berbanding lurus dengan massa masing-masing
benda, dan berbanding terbalik dengan kuadrat
jarak antara kedua benda.
2
21
r
mm
GF =
m1 m2F F
r

16. Kunjaya AS-ITB
Momentum
Momentum didefinisikan sebagai perkalian antara
massa dan kecepatan.
Jika m adalah massa (skalar), v adalah kecepatan
(vektor) maka, momentum p (vektor) adalah :
vp m=
Hukum Newton tentang gerak yang pertama pada hakekatnya
adalah hukum Kekekalan Momentum
Momentum sebuah benda akan berubah kalau pada benda itu
bekerja gaya-gaya yang resultannya tidak nol

17. Kunjaya AS-ITB
Momentum Sudut
• Momentum sudut, secara matematis adalah
perkalian silang (cross product) antara
vektor posisi dan vektor momentum
prL ×=
r
p
Di dalam gerak melingkar, momentum sudut memberikan
gambaran tentang kekuatan gerakan melingkar tersebut
Momentum sudut suatu benda dapat berubah kalau padanya
bekerja suatu torka/momen gaya
Arah L menuju pengamat

18. Kunjaya AS-ITB
Hukum Kepler I
Planet-planet mengelilingi matahari dalam orbit
elips, matahari di salah satu titik apinya
• Penyebab planet mengelilingi matahari adalah
gravitasi antara matahari dan planet.
• Antara planet dan matahari berlaku hukum Newton
tentang gravitasi. Bagaimana gerak planet kalau
tidak ada gravitasi ?
• Pada prinsipnya hukum Kepler I itu dapat
diturunkan dari hukum Newton tentang gerak dan
tentang gravitasi, tetapi untuk itu dibutuhkan
pengetahuan kalkulus

19. Kunjaya AS-ITB

21. Kunjaya AS-ITB
Hukum Kepler II
Hukum kekekalan momentum sudut berlaku untuk
planet yang mengelilingi matahari, karena tidak
ada torka luar.
L=konstan
r×p=konstan
mvr sin α = konstan
Karena massa planet m tidak berubah, maka
vr sin α = konstan
Ini adalah dua kali luas daerah yang disapu oleh
garis hubung matahari-planet tiap satuan waktu,

22. Kunjaya AS-ITB
Hukum Kepler II
Luas daerah yang disapu oleh garis hubung
matahari-planet tiap satuan waktu adalah
konstan
Untuk orbit berbentuk lingkaran :
sin α = 1, luas daerah yang disapu adalah vr, buktikan!
θ
r v Untuk orbit elips,
pembuktiannya membutuhkan
kalkulus

23. Kunjaya AS-ITB
Hukum Kepler III
Perbandingan jarak planet dari matahari
pangkat tiga dan kuadrat periode orbitnya
konstan
Hukum ini mudah dibuktikan untuk kasus
orbit planet berbentuk lingkaran
Gaya sentripetal pada gerak planet adalah
gaya gravitasi
Fcp=Fg

24. Kunjaya AS-ITB
Hukum Kepler III
2
mhpl2
pl
r
mm
Grm =ω
Dapat diperoleh :
konstan2
3
=
T
r
Apakah hukum ini juga berlaku untuk orbit elips ?