Este documento presenta 13 ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado. El primer ejercicio determina si ciertas ecuaciones son de segundo grado o no. Los ejercicios siguientes resuelven ecuaciones de segundo grado utilizando fórmulas como la fórmula cuadrática. El último ejercicio halla dos números dados su suma y producto.
1. Ecuaciones de Segundo Grado -- página 1
EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS
Ejercicio 1:
Indica si son ecuaciones de segundo grado las siguientes ecuaciones:
a)x2 – 5x + 8 = 2x + 4
b) x2 + 4x + 4 = (x – 2)(x + 3)
c) x2 + 2x – 1
Solución:
a) El primer paso es pasar todo a uno de los dos miembros de la igualdad: x2 – 5x + 8 – 2x – 4 = 0.
Agrupamos los términos semejantes y nos queda: x2 – 7x + 4 = 0
Como el mayor grado de la incógnita es 2 podemos afirmas que es una ecuación de segundo grado.
b) Primero operamos los paréntesis: x2 + 4x + 4 = x2 + x – 6.
Pasamos, ahora, todo al primer miembro de la ecuación: x2 + 4x + 4 – x2 – x + 6 = 0
Agrupando los términos semejantes nos queda: 3x + 10 = 0
Como no hay ninguna incógnita elevada al cuadrado podemos afirmar que NO es una ecuación de segundo grado.
c) No es una ecuación ya que es un polinomio de segundo grado que no está igualada a nada.
Ejercicio 2:
Dada la ecuación x2 – 2x – 3 = 0, indica si los siguientes valores son solución de la ecuación o no:
x1 = 3; x2 = 2; x3 = –1; x4 = 1
Solución:
a) x1 = 3.
Sustituimos en la ecuación la incógnita por su valor y operamos:
32 – 2·3 – 3 = 0 ⇒ 9 – 6 – 3 = 0 ⇒ 0 = 0
Se cumple la igualdad, por tanto el valor 3 es solución de la ecuación.
b) x2 = 2.
Igual que antes sustituimos y operamos:
22 – 2·2 – 3 = 0 ⇒ 4 – 4 – 3 = 0 ⇒ – 3 = 0
No se cumple la igualdad, por tanto el valor 2 NO es solución de la ecuación.
c) x3 = –1.
Igual que antes sustituimos y operamos:
(–1)2 – 2·(–1) – 3 = 0 ⇒ 1 + 2 – 3 = 0 ⇒ 0 = 0
Se cumple la igualdad, por tanto el valor –1 es solución de la ecuación.
d) x4 = 1
Como ya hay dos soluciones a la ecuación este valor no puede ser solución ya que una ecuación de segundo grado tiene dos
soluciones.
Ejercicio 3:
Escribe en forma general la siguiente ecuación: x2 + (1 – x)2 = 5 – (2 – x)2
Solución:
Primero elevamos al cuadrado: x2 + (1 + x2 – 2x) = 5 – (4 + x2 – 4x).
Ahora quitamos paréntesis: x2 + 1 + x2 – 2x = 5 – 4 – x2 + 4x
Llevamos todo al primer término: x2 + 1 + x2 – 2x – 5 + 4 + x2 – 4x = 0
Finalmente agrupamos los términos semejantes: x2 – 6x = 0
Ejercicio 4:
x2 +1 x −1 5x + 1
Escribe en forma general la siguiente ecuación: − = 2−
2 3 6
Solución:
3( x 2 + 1) 2( x − 1) 6 ⋅ 2 5x + 1
Reducimos a común denominador: − = −
6 6 6 6
2
Quitamos denominadores: 3(x + 1) – 2(x – 1) = 6·2 – (5x + 1)
Ahora quitamos los paréntesis, con cuidado: 3x2 + 3 – 2x + 2 = 12 – 5x – 1
Llevamos todo al primer término: 3x2 + 3 – 2x + 2 – 12 + 5x + 1 = 0
Y agrupamos los términos: 3x2 – 3x – 6 = 0
2. Ecuaciones de Segundo Grado -- página 2
Ejercicio 5:
Resuelve la ecuación x2 – 10x + 16 = 0
Solución:
− b ± b 2 − 4ac
Tenemos que utilizar la fórmula: x =
2a
Los coeficientes son: a = 1; b = –10; c = 16
Sustituyendo los coeficientes en la fórmula y operando obtenemos:
⎧10 + 6 16
= =8
− (− 10) ± (− 10)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 16
10 ± 100 − 64 10 ± 36 10 ± 6 ⎪ 2
⎪ 2
x= = = = =⎨
2 ⋅1 2 2 2 ⎪10 − 6 = 4 = 2
⎪ 2
⎩ 2
Luego las soluciones son x = 2; x = 8
Ejercicio 6:
Resuelve la ecuación 4x2 + x + 4 = 6 + 3x
Solución:
Primero tenemos que ponerla de la forma general, llevando todo a un miembro u agrupando términos:
4x2 + x + 4 – 6 – 3x = 0 ⇒ 4x2 – 2x – 6 = 0
Los coeficientes son: a = 4; b = –2; c = –6
Sustituyendo los coeficientes en la fórmula de la ecuación de segundo grado y operando obtenemos:
⎧ 2 + 10 12 3
= =
− (− 2 ) ± (− 2 )2 − 4 ⋅ 4 ⋅ (− 6) 2 ± 4 + 96 2 ± 100 2 ± 10 ⎪ 8
⎪ 8 2
x= = = = =⎨
2⋅4 8 8 8 ⎪ 2 − 10 − 8
= = −1
⎪ 8
⎩ 8
3
Luego las soluciones son x = –1 ; x =
2
Ejercicio 7:
Resuelve la ecuación x2 + 9 = 5x
Solución:
La forma general de la ecuación es x2 – 5x + 9 = 0
Los coeficientes son: a = 1; b = –5; c = 9
Sustituyendo los coeficientes en la fórmula de la ecuación de segundo grado y operando obtenemos:
− (− 5) ± (− 5)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9
5 ± 25 − 36 5 ± − 11
x= = =
2 ⋅1 2 2
Como no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo, resulta que esta ecuación no tiene soluciones reales.
Ejercicio 8:
Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas:
a) 2x2 – 392 = 0
b) 4x2 + 2x = 0
Solución:
a) La ecuación es incompleta del tipo b = 0, por tanto lo mejor es despejar x2 , siguiendo los pasos habituales:
392
2 x 2 − 392 = 0 ⇒ 2x 2 = 392 ⇒ x 2 = ⇒ x 2 = 196
2
Ahora calculamos la raíz cuadrada y tomamos tanto su valor positivo como negativo para obtener las dos soluciones:
x = ± 196 ⇒ x = ±16
Por tanto las dos soluciones son 16 y –16
b) La ecuación es incompleta del tipo c = 0, por tanto lo mejor es sacar factor común x:
4 x 2 + 2x = 0 ⇒ x (4 x + 2) = 0
Para que el producto de dos números sea cero uno de los dos tiene que ser cero. Por tanto:
⎧x = 0
⎪
⎨ −2
⎪4 x + 2 = 0 ⇒ 4x = −2 ⇒ x = 4 = −2
⎩
Luego las soluciones son o y –2
3. Ecuaciones de Segundo Grado -- página 3
Ejercicio 9:
x + 2 x2 − 4 x2 + 2
Resuelve la ecuación: − = 2−
4 3 6
Solución:
Primero tenemos que ponerla de forma general, para ello hay que reducir a común denominador, quitar denominadores y
agrupar los términos en un miembro de la ecuación. Así obtenemos:
3( x + 2) 4( x 2 − 4) 12 ⋅ 2 2( x 2 + 2)
12
−
12
=
12
−
12
( ) ( )
⇒ 3(x + 2 ) − 4 x 2 − 4 = 12 ⋅ 2 − 2 x 2 +2 ⇒ 3x + 6 − 4 x 2 + 16 = 24 − 2x 2 − 4 ⇒
⇒ 3x + 6 − 4 x 2 + 16 − 24 + 2 x 2 + 4 = 0 ⇒ −2 x 2 + 3x + 2 = 0
Así hemos obtenido que los coeficientes son: a = –2 ; b = 3; c = 2
Sustituyendo los coeficientes en la fórmula de la ecuación de segundo grado y operando obtenemos:
⎧ −3 + 5 2 −1
= =
− 3 ± 3 2 − 4 ⋅ (− 2 ) ⋅ 2 − 3 ± 9 + 16 − 3 ± 25 − 3 ± 5 ⎪ − 4 ⎪ −4 2
x= = = = =⎨
2 ⋅ (− 2 ) −4 −4 −4 ⎪−3−5 = −8 = 2
⎪ −4
⎩ −4
−1
Luego las soluciones son x = 2 ; x =
2
Ejercicio 10:
x+4 x
Resuelve la ecuación − =2
x + 2 x −1
Solución:
Primero tenemos que ponerla de forma general, para ello hay que quitar denominadores (¡cuidado que son expresiones
algebraicas!) y agrupar los términos en un miembro de la ecuación. Así obtenemos:
(x + 4)(x – 1) – x(x + 2) = 2(x + 2)(x – 1) ⇒ (x2 – x + 4x – 4) – (x2 + 2x) = 2x2 – 2x + 4x – 4 ⇒
⇒ x2 – x + 4x – 4 – x2 – 2x = 2x2 – 2x + 4x – 4 ⇒ x2 – x + 4x – 4 – x2 – 2x – 2x2 + 2x – 4x + 4 = 0 ⇒
⇒ –2x2 – x = 0
Hemos obtenido una ecuación de segundo grado incompleta del tipo c = 0.
Por tanto, para resolverla, sacamos factor común x: x(–2x – 1 ) = 0
Para que el producto de dos números sea cero uno de los dos tiene que ser cero. Por tanto:
⎧x = 0
⎪
⎨ 1 −1
⎪− 2 x − 1 = 0 ⇒ −2x = 1 ⇒ x = − 2 = 2
⎩
−1
Luego las soluciones son x = 2 ; x =
2
Ejercicio 11:
Calcula el valor del discriminante e indicar que tipo de solución tiene las ecuaciones:
a) x2 – 16 x + 39 = 0
b) 9x2 + 6x + 2 = 0
c) 4x2 – 20x + 25 = 0
Solución:
Sabemos que el discriminante es ∆ = b2 – 4ac.
a) Los coeficientes son a = 1; b = –16; c = 39. Por tanto el discriminante vale:
∆ = (-16)2 – 4·1·39 = 256 – 156 = 100 > 0
Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
b) En este caso los coeficientes son: a = 9; b = 6; c = 2. Por tanto el discriminante vale:
∆ = 62 – 4·9·2 = 36 – 72 = –36 < 0
Como el discriminante es menor que cero, la ecuación no tiene soluciones reales.
c) En esta ecuación los coeficientes son a = 4; b = –20; c = 25. Por tanto el discriminante vale:
∆ =(–20)2 – 4·4·25 = 400 – 400 = 0
Ahora el discriminante vale 0, por tanto la ecuación tiene una solución doble.
4. Ecuaciones de Segundo Grado -- página 4
Ejercicio 12:
Indica, sin resolverlas, cual es la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones:
a) x2 – 3x – 4 = 0
b) 2x2 + 3x – 6 = 0
c) 12x – 3x2 = 0
Solución:
−b c
Para resolver este ejercicio tenemos que utilizar que: Suma = ; Producto =
a a
a) Los coeficientes son: a = 1; b = –3; c = –4. Por tanto
−(−3) −4
S= =3; P = = −4
1 1
b) Los coeficientes son: a = 2; b = 3; c = –6. Por tanto
−3 −4
S= ;P= = −2
2 2
a) En esta ecuación incompleta los coeficientes son: a = –3 ; b = 12; c = 0. Por tanto
−12 0
S= =4;P= =0
−3 −3
Ejercicio 13:
Halla dos números sabiendo que su suma es 7 y su producto es 10.
Solución:
Si llamamos S a la suma y P al producto, sabemos que una ecuación de segundo grado se puede escribir como:
x2 – Sx + P = 0.
En nuestro caso tenemos x2 – 7x + 10 = 0.
Las soluciones de esta ecuación son los números buscados.
Como los coeficientes son: a = 1; b = –7; c = 10, la soluciones de la ecuación son (aplicando la fórmula)
⎧ 7 + 3 10
= =5
− (− 7 ) ± (− 7 )2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 10 7 ± 49 − 40 7 ± 9 7 ± 3 ⎪ 2
⎪ 2
x= = = = =⎨
2 ⋅1 2 2 2 ⎪7 − 3 = 4 = 2
⎪ 2
⎩ 2
Luego los números pedidos son 5 y 2, que efectivamente suman 7 y su producto es 10
Ejercicio 14:
Encuentra una ecuación de segundo grado sabiendo que sus raíces son 1 y –5
Solución:
Con estas raíces tenemos que: Suma = –4 y Producto = –5
Como sabemos que la ecuación de segundo grado se pude poner como x2 – Sx + P = 0, en este problema tenemos:
x2 – (–4)x + (–5) = 0 ⇒ x2 + 4x – 5 = 0
Ésta es la ecuación pedida.
Ejercicio 15:
−4
Encuentra una ecuación de segundo grado, con coeficientes enteros, sabiendo que sus raíces son 6 y
3
Solución:
−4 14 −4
En este caso tenemos que: Suma = 6 + = ; Producto = 6 ⋅ = −8
3 3 3
Aplicando la fórmula de la Suma y el Producto obtenemos:
14
x2 − x − 8 = 0
3
Como nos piden coeficientes enteros, hay que quitar los denominadores, entonces la ecuación pedida nos queda:
3x2 – 4x – 24 = 0
Ejercicio 16:
Encuentra una ecuación de segundo grado sabiendo que tiene la raíz doble 5
Solución:
Como tiene una solución doble, tenemos que:
Suma = 5 + 5 = 10; Producto = 5 · 5 = 25
Aplicando la fórmula de la suma y el producto obtenemos la ecuación pedida:
x2 – 10x + 25 = 0
5. Ecuaciones de Segundo Grado -- página 5
Ejercicio 17:
Calcula el valor de k para que las siguientes ecuaciones tengan una raíz (solución) doble:
a) x2 + 6x + k = 0
b) 2x2 + kx + 8 = 0
Solución:
Para que tenga una solución doble el discriminante tiene que valer 0.
Además el discriminante es ∆ = b2 – 4ac.
a) Los coeficientes son: a = 1; b = 6; c = k. Por tanto:
∆=62 – 4·1·k= 36 – 4k.
Igualando a cero el discriminante y despejando obtenemos k:
36
36 − 4k = 0 ⇒ 36 = 4k ⇒ k = ⇒k=9
4
b) Los coeficientes son: a = 2; b = k; c = 8. Por tanto:
∆=k2 – 4·2·8= k2 – 64.
Igualando a cero el discriminante y resolviendo la ecuación obtenemos k:
k 2 − 64 = 0 ⇒ k 2 = 64 ⇒ k = ± 64 ⇒ k = ±8
Por tanto k tiene en este caso dos posible valores 8 y –8
Ejercicio 18:
En la ecuación 2x2 – mx + 3 = 0 se sabe que una raíz es 3. Calcula la otra y el valor de m
Solución:
Llamamos a la otra solución “s”.
c
Sabemos que el producto de las soluciones es .
a
En este caso tenemos (a = 2; c = 3):
3
3⋅s =
2
Despejando obtenemos s:
3
3 3 1
3⋅s = ⇒ s = 2 = =
2 3 6 2
−b
Como además tenemos que las suma de las soluciones es
a
En este problema es (b = –m; a = 2):
1 −(− m )
3+ =
2 2
Sólo falta despejar m de esta ecuación para obtener lo pedido:
1 −(− m ) 7 m
3+ = ⇒ = ⇒m=7
2 2 2 2
Luego m vale 7
Ejercicio 19:
Halla dos números naturales consecutivos cuyo producto es 506.
Solución:
Si un número es x, el otro tiene que ser x + 1. Por tanto obtenemos:
x(x + 1) = 506.
Ahora hay que resolver la ecuación, para ello primero lo ponemos en la forma general:
x(x + 1) = 506 ⇒ x2 + x = 506 ⇒ x2 + x – 506 = 0
Aplicando la fórmula a esta ecuación obtenemos (a = 1; b = 1; c = –506)
⎧ −1 + 45 44
= = 22
− 1 ± 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 506 ) − 1 ± 1 + 2024 − 1 ± 2025 − 1 ± 45 ⎪ 2
⎪ 2
x= = = = =⎨
2 ⋅1 2 2 2 ⎪ − 1 − 45 = − 46 = −23
⎪ 2
⎩ 2
Como nos piden dos números naturales, rechazamos la solución –23
Por consiguiente los números pedidos son 22 y 23.
6. Ecuaciones de Segundo Grado -- página 6
Ejercicio 20:
Halla dos múltiplos de cuatro consecutivos cuya suma de sus cuadrados es 400
Solución:
Si uno de los múltiplos es x, el otro tiene que ser x + 4 (recuerda que los múltiplos de 4 van de cuatro en cuatro).
Por tanto el enunciado del problema lo podemos escribir como:
x2 + (x + 4)2 = 400
Ahora hay que resolver la ecuación, para ello operamos para ponerla en forma general:
x2 + (x + 4)2 = 400 ⇒ x2 + x2 + 16 + 8x = 400 ⇒ x2 + x2 + 16 + 8x – 400 = 0 ⇒ 2x2 + 8x – 384 = 0
Tenemos que los coeficientes son a = 2; b = 8; c = –384
Aplicando la fórmula a esta ecuación obtenemos:
⎧ −8 + 56 48
= = 12
− 8 ± 8 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 384 ) − 8 ± 64 + 3072 − 8 ± 3136 − 8 ± 56 ⎪ 4 ⎪ 4
x= = = = =⎨
2⋅2 4 4 4 ⎪ − 8 − 56 = − 64 = −16
⎪ 4
⎩ 4
Como nos piden múltiplos de 4 rechazamos el valor –16.
Por tanto los múltiplos son 12 y 16
Ejercicio 21:
Halla dos números sabiendo que su diferencia es 3 y que la diferencia de sus cuadrados es 117
Solución:
Si su diferencia es 3, los números son x y x + 3.
Así el enunciado del problema lo podemos escribir como:
(x + 3)2 – x2 = 117
Operamos esta ecuación:
(x + 3)2 – x2 = 117 ⇒ x2 + 9 + 6x – x2 = 117 ⇒ 9 + 6x = 117
Se han anulado las x2 luego no es una ecuación de segundo grado sino de primer grado, que resolvemos despejando la
incógnita x:
126
9 + 6 x = 117 ⇒ 6 x = 126 ⇒ x = = 21
6
Por tanto los números son 21 y 24.
Ejercicio 22:
Si al doble de un número se suma la mitad de su cuadrado obtengo 16. ¿De qué número se trata?
Solución:
Sea x el número buscado. Entonces:
x2
2x es el doble de dicho número, es la mitad de su cuadrado.
2
x2
Por tanto tenemos: 2 x + = 16
2
Ahora hay que resolver esta ecuación , para ello primero quitamos denominadores y la ponemos de la forma general:
x2
2x + = 16 ⇒ 4x + x 2 = 32 ⇒ x 2 + 4 x − 32 = 0
2
Los coeficientes de esta ecuación de segundo grado son: a = 1; b = 4; c = –32
Aplicando la fórmula a esta ecuación obtenemos:
⎧ −4 + 12 8
= =4
− 4 ± 4 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 32 ) − 4 ± 16 + 128 − 4 ± 144 − 4 ± 12 ⎪ 2
⎪ 2
x= = = = =⎨
2 ⋅1 2 2 2 ⎪ − 4 − 12 − 16
= = −8
⎪ 2
⎩ 2
Luego obtenemos dos soluciones posibles 4 y –8
7. Ecuaciones de Segundo Grado -- página 7
Ejercicio 23:
Halla los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 20 cm y su perímetro mide 48 cm.
Solución:
Como el perímetro mide 48 y la hipotenusa 20, la suma de las medidas de los catetos es: 48 – 20 =
28 cm
Si ahora a un cateto le denominamos x, el otro debe ser 28 – x (para que sus suma sea 28)
Conocemos el teorema de Pitágoras que dice que “La suma del cuadrado de los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa”.
Aplicando este teorema a nuestros datos obtenemos: x2 + (28 – x)2 = 202
Ahora hay que resolver la ecuación, para ello operamos para ponerla en forma general:
x2 + (28 – x)2 = 202 ⇒ x2 + 784 + x2 – 56x = 400 ⇒ x2 + 784 + x2 – 56x – 400 = 0 ⇒
⇒ 2x2 – 56x + 384 = 0
Tenemos que los coeficientes son a = 2; b = –56; c = 384
Aplicando la fórmula a esta ecuación obtenemos:
⎧ 56 + 8 64
= = 16
− (− 56) ± (− 56)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 384
56 ± 3136 − 3072 56 ± 64 56 ± 8 ⎪ 4 ⎪ 4
x= = = = =⎨
2⋅2 4 4 4 ⎪ 56 − 8 = − 48 = −12
⎪ 4
⎩ 4
Como nos piden la medida de los catetos tenemos que rechazar el valor –12, ya que no existen las medidas negativas..
Por tanto los catetos miden 16 y 12
Ejercicio 24:
Calcula la base y la altura de un rectángulo sabiendo que su altura es 12 cm menos que su base y que su área
es de 160 cm2.
Solución:
Si llamamos x a la base, la altura es x – 12.
Aplicando la fórmula del área de un rectángulo (Área = Base x Altura) nos
queda:
x·(x – 12) = 160
Ahora hay que resolver la ecuación, para ello operamos para ponerla en
forma general:
x·(x – 12) = 160 ⇒ x2 – 12x = 160 ⇒ x2 – 12x – 160 = 0
Tenemos que los coeficientes son a = 1; b = –12; c = –160
Aplicando la fórmula a esta ecuación obtenemos:
⎧12 + 28 40
= = 20
− (− 12) ± (− 12)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 160) ⎪
12 ± 144 + 640 12 ± 784 12 ± 28 ⎪ 2 2
x= = = = =⎨
2 ⋅1 2 2 2 ⎪12 − 20 = − 8 = −4
⎪ 2
⎩ 2
Como nos piden una medida tenemos que rechazar el valor –4, ya que no existen medidas negativas.
Por tanto las dimensiones del rectángulo son: 20 cm y 8 cm.
8. Ecuaciones de Segundo Grado -- página 8
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Señala si son ecuaciones de segundo grado o no las 6) Escribir de forma general las ecuaciones e indicar,
siguientes ecuaciones: en cada caso, el valor de los coeficientes a, b, c:
a) 2x – 3x2 = 5 2x 2
b) x2 + 2x + 3 = 0 a) 5 − x =
9
c) 5x2 = 55
d) 7x + x2 = 7 + x2 x 2 − 1 3 − 2x x − 3
b) − =
e) x2 – 5x + 6 = x3 2 3 6
f) 8 – 2x = x2
2(x − 2) x2 −1
g) 3x2 = 6x c) +1 =
h) x3 + x2 = x3 – x2 5 3
i) 12x = 7x2 + 5 x +1
d) (x − 2 ) = 1 −
2
j) x2 = 0 3
x − 1 (x − 2)2
2) Indica en las ecuaciones de segundo grado del e) − = 4−x
ejercicio anterior cuales son los coeficientes a, b y c. 3 4
x2 − 8
3) Indica si son soluciones a cada una de las f) 2 =
x
ecuaciones los valores indicados:
x (x − 2 )
a) x = 1 para g) = 3x
x2 + 5x – 6 = 0; x2 + x – 2 = 0; x2 + 1 = 0 x −1
b) x = – 2 para x−2
x2 + x – 2 = 0; x2 – 2x = 0; x2 – x – 6 = 0 h) 1 + = 3x − 5
x +1
c) x = 2 para
x2 – 3x + 3 = 0 x2 – 2x = 0; x2 + x + 6 = 0
7) Indicar si son completas o incompletas (en este caso
d) x = –1 para
de que tipo) las ecuaciones de los ejercicios 4, 5 y 6.
x2 – 2x – 3 = 0; 3x2 + 3x – 3 = 0; x2 + x = 0
1 8) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo
e) x = para
2 grado:
4x + 2x – 2 = 0; 6x2 – 5x + 1 = 0: 4x2 + 1 = 0
2
a) x2 – 5x + 6 = 0
−1 b) x2 + 7x + 10 = 0
f) x = para c) x2 + 2x – 8 = 0
2
d) x2 – 4x + 3 = 0
2x – 3x – 2 = 0; 2x2 + 2x + 1 = 0; 4x2 – 1 = 0
2
e) x2 + 8x + 7 = 0
f) x2 – x – 20 = 0
4) Escribir de forma general las ecuaciones e indicar,
en cada caso, el valor de los coeficientes a, b, c: g) x2 – 6x + 9 = 0
h) x2 + 10x + 25 = 0
a) x2 + 5x + 14 = 10
b) x2 + 3x = 12 – 5x i) 2x2 – 7x + 5 = 0
j) 3x2 + 5x – 22 = 0
c) x2 + 5x – 4 = 5x
k) 3x2 – 4x – 7 = 0
d) x2 + 6x + 6 = x + 6
l) 5x2 – 6x – 27 = 0
e) x2 + 14 = 11x – x2
m) 6x2 – 7x + 2 = 0
f) 3x2 + 10x – 20 = 10 – 3x
n) 4x2 + 4x + 1 = 0
g) 8x2 + 8x +8 = 7 – 8x2
o) 8x2 + 10x + 3 = 0
h) x2 – 5x + 10 = 5x – 10
p) 25x2 – 5x – 6 = 0
i) 2x2 + 5 = x2 + 9
q) x2 – 5x + 4 = 0
j) 25 – 2x2 = x2 – 25
r) x2 + 4x – 4 = 0
s) x2 – 3x + 1 = 0
5) Escribir de forma general las ecuaciones e indicar,
en cada caso, el valor de los coeficientes a, b, c: t) 2x2 – 6x + 1 = 0
u) x2 + 2x + 3 = 0
a) (x + 4) (x + 3) = 0
b) x ( x – 3) = 12 w) x2 – 3x + 4 = 0
x) x2 + 6x + 13 = 0
c) x (x + 1) = 0
d) (x + 2)(x – 3) = x – 6 y) 5x2 + 4x + 3 = 0
e) 2(x + 1) = (x – 1)2 + 1
f) (x + 3)2 – (x – 3)2 = x2
g) (x – 3)2 – 2x = 9
h) x2 – (3x – 2)2 = 5 – (x – 1)2
i) (2x – 3)2 + 4x = 12 – 7x
j) x – (3x – 2)2 = 4 – (x + 1)2
10. Ecuaciones de Segundo Grado -- página 10
16) Resolver las siguientes ecuaciones: 18) Indica, sin resolverlas, cual es la suma y el
2x 2 producto de las raíces de las siguientes ecuaciones:
a) x + 2 = a) x2 – 8x + 12 = 0
9
b) x2 – 10x + 16 = 0
x 2 − 1 3 − 2x x − 3 c) x2 + 5x + 6 = 0
b) − =
2 3 6 d) x2 + 11x + 30 = 0
e) x2 – 3x – 28 = 0
x2 + 1 x − 3
c) 4 + = + 2x f) x2 – x – 2 = 0
5 10 g) x2 + 2x – 15 = 0
x2 −1 x + 3 11 − 2x h) x2 + 4x – 45 = 0
d) − =2− i) x2 – 16x = 0
2 4 3
j) x2 + 12x = 0
x2 −1 x + 3 5 − 3x k) 36 – x2 = 0
e) − =1−
2 3 4 l) x2 + 16 = 0
2(x − 2) x2 −1
f) +1 = 19) Resuelve las ecuaciones del ejercicio anterior y
5 3 comprueba su suma y producto.
5(2x − 6) 2x 2 3− x
g) −1+ =5− 20) Indica, sin resolverlas, cual es la suma y el
8 3 6
h)
(10x − 7 )x + 3 = 0 producto de las raíces de las siguientes ecuaciones:
a) 2x2 – 3x + 2 = 0
2 5 b) 3x2 + 2x – 1 = 0
x +1 c) 4x2 – 9x – 9 = 0
i) (x − 2 ) = 1 −
2
3 d) 2x2 – 13x + 15 = 0
3x + 1 2x − 3 e) 3x2 + 21x = 0
j) (2x − 1) = −
2
f) 4x2 – 36 = 0
2 6 g) – 3x2 + 20x – 12 = 0
x x + 1 (2x − 1)2 2x − 3 h) 2x2 – 15x + 28 = 0
k) + = − i) x – 6x2 +1 = 0
3 8 3 4
j) 16x2 + 8x + 3 = 0
x − 1 (x − 2)2
l) − = 4−x
3 4 21) Resuelve las ecuaciones del ejercicio anterior y
3(x − 1)2 x 2 + 2 comprueba su suma y producto.
m) + = 5x − 4
2 3
22) Indica, sin resolverlas, cual es la suma y el
x (2x + 1) (x + 3)2 − 5 3x 2 + 5x + 8 producto de las raíces de las siguientes ecuaciones:
n) − =x−
5 10 15 a) x2 = 3x – 2
b) x2 – 2x = 2x – 3
17) Resolver las siguientes ecuaciones: c) x2 + 7x = x – 8
d) x2 + 9x = –18
x2 − 8
a) 2 = e) 2x – 14 = 7x – x2
x f) x2 + 6x + 3 = 3x – 21
x (x − 2) g) x2 + 5x = 2x2 – 5x
b) = 3x − 6
x −1 h) 2x + 6 = x2 – 3
x−2
c) 1 + = 3x − 5 23) Resuelve las ecuaciones del ejercicio anterior y
x +1 comprueba su suma y producto.
3(2x − 1)
2
1
d) x − = 24) Indica, sin resolverlas, cual es la suma y el
x +1 2
producto de las raíces de las siguientes ecuaciones:
3 1
e) + =2 a) 3x2 + 9x = 20x – 2
x +1 x −1 b) x2 + 1 = 2x + 3x2
3x − 2 x − 4 c) 7x – 3x2 = 3x2 + 2
f) 2 − =
x + 1 2x − 3 d) 2 – 6x + 3x2 = 1 – 3x2
x + 1 x −1 20 e) 3x2 + 2 = 2 – 5x
g) + = f) 4x2 + 10x + 4 = 2x2 + 5x + 2
x −1 x + 1 x2 −1 g) x2 + 4 = 4x2 – 8
2x − 1 1 x −3 h) 8x2 + 2x = 3
h) 2 − =
x −4 x−2 x+2
23) Resuelve las ecuaciones del ejercicio anterior y
comprueba su suma y producto.
11. Ecuaciones de Segundo Grado -- página 11
24) Hallar dos números sabiendo que su suma y su 11
producto son: e) x1 = 0 ; x2 =
5
a) S = 7; P = 12
2 1
b) S = –5; P = 4 f) x1 = ; x2 =
c) S = 6; P = –40 5 5
d) S = –3; P = –18 3 1
g) x1 = ; x2 =
e) S = 1; P = –6 4 6
f) S = 4; P = 0 7 −5
g) S = 0; P = 100 h) x1 = ; x2 =
1 3 6
h) S = ;P=1 3 −1
2 i) x1 = ; x2 =
−13 8 2
i) S = ; P = –10 −2 −7
3 j) x1 = ; x2 =
5 −3 9 9
j) S = ;P= −1 −1
2 2 k) x1 = ; x2 =
3 1 3 6
k) S = ;P=
4 8 26) Encontrar una ecuación de segundo grado
−19 sabiendo que tiene la raíz doble 2
l) S = ;P=3
4
5 27) Encontrar una ecuación de segundo grado
m) S = 2 ; P = sabiendo que tiene la raíz doble –1
9
17 28) Encontrar una ecuación de segundo grado
n) S = ;P=2
6 sabiendo que tiene la raíz doble –3
5 1
o) S = ;P= 29) Encontrar una ecuación de segundo grado
6 9
sabiendo que tiene la raíz doble 0
1 −1
p) S = ;P=
6 3 30) Encontrar una ecuación de segundo grado
−7 −15 2
q) S = ;P= sabiendo que tiene la raíz doble
4 8 3
8 1
r) S = ;P= 31) Encontrar una ecuación de segundo grado
15 15
s) S = 0; P = –10 −3
sabiendo que tiene la raíz doble
t) S = 11; P = 44 4
u) S = 5; P = 10
32) Hallar la ecuación de segundo grado cuyas
25) Encontrar las ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones sean las de x2 – 5x = 14, pero cambiadas de
raíces (soluciones) son: signo.
a) x1 = 5; x2 = 4
b) x1 = 6; x2 = 8 33) Hallar la ecuación de segundo grado cuyas
c) x1 = 1; x2 = 0 soluciones sean las de x2 – 10 = 3x, multiplicada la
d) x1 = 3; x2 = 3 positiva por 3 y la negativa por 2.
e) x1 = 0; x2 = 0
f) x1 = –3; x2 = 3 34) Hallar la ecuación de segundo grado cuyas
g) x1 = 12; x2 = –4 soluciones sean las de x2 – 10x + 24 = 0, multiplicada
h) x1 = –1; x2 = 3 una por 3 y otra por –4. ¿Cuántas soluciones posibles
i) x1 = 5; x2 = –5 hay?
j) x1 = –2; x2 = –4
k) x1 = –1; x2 = –5 35) Hallar la ecuación de segundo grado cuyas
soluciones sean las de x2 – 3x – 4 = 0, dividida por dos
26) Encontrar las ecuaciones de segundo grado, de la solución par y multiplicada por 3 la otra.
coeficientes enteros, cuyas raíces son:
1 36) Hallar la ecuación de segundo grado cuyas
a) x1 = 5 ; x2 = soluciones sean los denominadores de las soluciones
2
de la ecuación 10x2 – 7x +1 = 0, multiplicada la positiva
−3
b) x1 = 2 ; x2 = por 3 y la negativa por 2.
2
5 37) Hallar la ecuación de segundo grado cuyas
c) x1 = –1 ; x2 =
8 soluciones sean las inversas de las soluciones de la
−2 ecuación 12x2 – 17x + 6 = 0.
d) x1 = –2 ; x2 =
3 38) Hallar la ecuación de segundo grado cuyas
soluciones sean las de x2 – x – 12 = 0, elevadas al
cuadrado.
12. Ecuaciones de Segundo Grado -- página 12
PROBLEMAS PROPUESTOS
39) Calcula el valor de k para que las siguientes 56) Hallar dos números impares consecutivos sabiendo
ecuaciones tengan una raíz (solución) doble: que el cuadrado de su suma es 256
a) 4x2 + 12x + 4k = 0
b) 5x2 + 5kx + 80 = 0 57) Hallar dos números pares consecutivos sabiendo
c) 3x2 + 5x + k = 0 que el cuadrado de su suma es 900
d) 6x2 + 3kx + 6 = 0
e) 4x2 – 2kx + 9= 0 58) Hallar dos múltiplos de cinco consecutivos
f) 5kx2 – 10x + 15 = 0 sabiendo que el cuadrado de su suma es 1125
g) x2 – 6x = k
h) x2 + 12x + k = 0 59) Hallar dos números consecutivos tal que la
i) x2 – kx + 25 = 0 diferencia de sus cuadrados es 55
40) En la ecuación 2x2 – mx + 12 = 0 se sabe que una 60) Hallar dos números pares consecutivos tal que la
raíz es –3. Calcular la otra y el valor de m diferencia de sus cuadrados es 52.
41) Dada la ecuación 4x2 – 23x + c = 0, hallar c 61) Hallar dos números impares consecutivos tal que la
sabiendo que una de sus raíces vale 4. ¿Hay más de diferencia de sus cuadrados es 128.
una solución?
62) Hallar dos múltiplos de cuatro consecutivos tal que
42) Dadas las ecuaciones x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 7x + c = la diferencia de sus cuadrados es 208.
0, hallar c con la condición de que estas dos
ecuaciones tengan una solución común? ¿Cuántos 63) Calcular dos números sabiendo que suman 10 y la
posibles valores de c hay? suma de sus cuadrados es 52
43) Hallar el valor de m para que la ecuación 9x2 – 18x 64) Hallar dos números sabiendo que su diferencia es 5
+ m = 0 tenga una solución doble que la otra. y que la diferencia de sus cuadrados es 85
44) En la ecuación x2 + bx + 42 = 0, determinar el valor 65) Hallar dos números sabiendo que su diferencia es 5
de b para que las soluciones sean dos números y que la suma de sus cuadrados es 193
consecutivos.
66) La suma de los cuadrados de tres números impares
45) En la ecuación 9x2 + bx + 28 = 0, determinar el consecutivos es 371. Indica de qué números se trata.
valor de b para que las soluciones tengan una
diferencia de uno. 67) El producto de un número aumentado en 3 por el
mismo número disminuido en cuatro es 98. Calcular
46) Dada la ecuación x2 + bx = 35, calcular b para que dicho número.
las dos soluciones se diferencien en 12 unidades.
68) El producto de los 3/7 de un número natural por sus
47) Hallar dos números consecutivos cuyo producto es 5/9 es 735. Calcular dicho número.
272.
69) La diferencia de dos números es 6 y su producto es
48) Hallar dos números pares consecutivos cuyo igual al cuadrado del mayor menos 114. Calcular
producto es 624 dichos números.
49) Hallar dos números impares consecutivos cuyo 70) Calcular un número tal que la mitad de su cuadrado
producto es 195 es 288.
50) Hallar dos múltiplos de cuatro consecutivos cuyo 71) Calcular un número tal que el doble de su cuadrado
producto es 192 es 578.
51) Calcular dos números consecutivos cuyos 72) Calcular un número tal que el doble de su cuadrado
cuadrados suman 132 menos la mitad de su cuadrado es 1014.
52) Hallar dos números impares consecutivos cuya 73) Calcular un número tal que el doble de su cuadrado
suma de cuadrados es 3202 más la tercera parte de su cuadrado es 1815.
53) Hallar dos números pares consecutivos cuya suma 74) Calcular un número tal que la suma de su cuadrado
de cuadrados es 340 más el doble de dicho número es 120.
54) Hallar dos múltiplos de seis consecutivos cuya 75) Calcula un número tal que al elevarlo al cuadrado le
suma de cuadrados es 900 sumo uno y divido todo por dos obteniendo 25.
55) Hallar dos números consecutivos sabiendo que el 76) Calcula un número tal que al sumarle uno, elevar
cuadrado de su suma es 2209 dicha suma al cuadrado y dividir por tres obtengo 48.
77) Si a un número se suma la mitad de su cuadrado
obtengo 24. ¿De qué número se trata?
13. Ecuaciones de Segundo Grado -- página 13
78) En una división entre números naturales resulta 90) El perímetro de un rectángulo mide 34 cm y su
que el dividendo es 1081, el divisor el doble que el diagonal 13 cm. Calcular el área del rectángulo.
cociente y éste y el resto iguales. Hallar el divisor.
91) La diagonal de un rectángulo mide 61 cm y su
79) Calcula el radio de un círculo si tiene de área 36π. perímetro 178 cm. Hallar sus lados
80) Calcula el lado de un cuadrado cuyo área mide 121 92) El área de una parcela rectangular es de 37 500
cm2 m2. Si la base de la parcela mide 100 m más que la
altura, ¿cuáles son sus dimensiones?
81) Calcula cuanto mide los lados de un cuadrado cuya 93) Calcular la base y la altura de un rectángulo
sabiendo que su altura es 2 cm menos que su base y
diagonal mide 18 cm
que su área es de 168 cm2.
82) Calcula el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 94) Un terreno rectangular ocupa 128 m2. Calcular sus
50 cm dimensiones sabiendo que un lado es el doble que el
otro.
83) Calcula el lado de un cuadrado cuya diagonal mide
72 cm 95) Calcular las dimensiones de un rectángulo de área
98 cm2 sabiendo que su base mide el doble que la
84) Calcula cuanto mide los lados de un cuadrado cuya altura
diagonal mide 34 cm
96) ¿Cuánto mide el área de un cuadrado si al
85) El perímetro de un triángulo rectángulo mide 12 cm aumentar dos unidades la longitud del lado, el área del
y su hipotenusa mide 5 cm. Calcular cuanto miden los cuadrado resultante mide 529 cm2?
catetos.
97) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si al
86) Hallar los lados de un triángulo rectángulo sabiendo aumentarle tres cm la longitud de sus lados el área
que un cateto mide 20 cm y su perímetro mide 220 cm. aumenta 201 cm2?
87) Hallar las longitudes de los lados de un triángulo 98) Se quiere aprovechar un antiguo estanque circular
rectángulo tal que un cateto mide 7 cm más que el otro de 10 metros de diámetro para convertirlo en una
y la hipotenusa mide 2 cm más que el cateto mayor. piscina rectangular, de forma que un lado mida 2
metros más que el otro y que la diagonal del rectángulo
88) Los lados de un triángulo rectángulo son tres coincida con el diámetro del estanque. ¿Cuáles serán
números consecutivos. Calcular la longitud de los tres las dimensiones de la piscina?
lados
99) Se tienen tres listones de madera de 6, 7 y 8 m. Se
89) Calcular los lados de un triángulo rectángulo quiere cortar de cada listón un trozo de igual longitud
sabiendo que sus lados son tres múltiplos de cinco de tal forma que con los nuevos listones se pueda
consecutivos formar un triángulo rectángulo. ¿Cuánto debe medir el
trozo que hay que cortar a cada listón?
PROBLEMAS DE PROFUNDIZACIÓN
100) En la ecuación mx2 + (m – 1)x + m – 1 = 0, hallar 101) Resolver la ecuación x(x + 2p) = p2 – q2
el valor que ha de tener m para que una raíz sea el
doble que la otra. 102) En la ecuación x2 + mx + n = 0, hallar los valores
de m y n para que las soluciones sean m y n.
Nivel Básico
Nivel Medio Bajo
Nivel Medio Alto
Nivel Alto
Nivel Profundización
