Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực.

1. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
a - ®Æt vÊn ®Ò
I-Lêi më ®Çu :
Trong trêng phæ th«ng m«n To¸n cã mét vÞ trÝ rÊt quan
träng. C¸c kiÕn thøc vµ ph¬ng ph¸p To¸n häc lµ c«ng cô thiÕt
yÕu gióp häc sinh häc tèt c¸c m«n häc kh¸c, ho¹t ®éng cã
hiÖu qu¶ trong mäi lÜnh vùc. §ång thêi m«n To¸n cßn gióp
häc sinh ph¸t triÓn nh÷ng n¨ng lùc vµ phÈm chÊt trÝ tuÖ; rÌn
luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng t duy tÝch cùc, ®éc lËp, s¸ng
t¹o; gi¸o dôc cho häc sinh t tëng ®¹o ®øc vµ thÈm mü cña
ngêi c«ng d©n.
ë trßng THCS, trong d¹y häc To¸n: cïng víi viÖc h×nh
thµnh cho häc sinh mét hÖ thèng v÷ng ch¾c c¸c kh¸i niÖm,
c¸c ®Þnh lÝ; th× viÖc d¹y häc gi¶i c¸c bµi to¸n cã tÇm quan
träng ®Æc biÖt vµ lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò trung t©m cña
ph¬ng ph¸p d¹y häc To¸n ë trêng phæ th«ng. §èi víi häc sinh
THCS, cã thÓ coi viÖc gi¶i bµi to¸n lµ mét h×nh thøc chñ
yÕu cña viÖc häc to¸n.
Cïng víi viÖc h×nh thµnh cho häc sinh mét hÖ thèng
v÷ng ch¾c c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n ®Ó häc sinh cã thÓ vËn
dông vµo lµm bµi tËp th× viÖc båi dìng häc sinh kh¸ giái lµ
môc tiªu quan träng cña ngµnh gi¸o dôc nãi chung vµ bËc
häc THCS nãi riªng. Do ®ã viÖc híng dÉn häc sinh kÜ n¨ng
t×m tßi s¸ng t¹o trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n lµ rÊt cÇn thiÕt vµ
kh«ng thÓ thiÕu ®îc.
Lµ mét gi¸o viªn trùc tiÕp gi¶ng d¹y m«n to¸n ë trêng
THCS t«i ®i s©u nghiªn cøu néi dung ch¬ng tr×nh vµ qua
thùc tÕ d¹y häc t«i thÊy: trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS "C¸c
bµi to¸n vÒ cùc trÞ trong ®¹i sè" rÊt ®a d¹ng, phong phó vµ
1

2. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
thó vÞ, cã mét ý nghÜa rÊt quan träng ®èi víi c¸c em häc
sinh ë bËc häc nµy.ë THPT ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ
cùc trÞ ®¹i sè ngêi ta thêng dïng ®Õn "c«ng cô cao cÊp" cña
to¸n häc lµ: ®¹o hµm cña hµm sè. ë THCS,
v× kh«ng cã (hay nãi chÝnh x¸c h¬n lµ kh«ng ®îc phÐp dïng)
"c«ng cô cao cÊp" cña To¸n häc nãi trªn, nªn ngêi ta ph¶i
b»ng c¸c c¸ch gi¶i th«ng minh nhÊt, t×m ra c¸c biÖn ph¸p h÷u
hiÖu vµ phï hîp víi tr×nh ®é kiÕn thøc ë bËc häc THCS ®Ó
gi¶i quÕt c¸c bµi to¸n lo¹i nµy. ChÝnh v× vËy, c¸c bµi to¸n
cùc trÞ ®¹i sè ë THCS kh«ng theo quy t¾c hoÆc khu«n mÉu
nµo c¶, nã ®ßi hái ngêi häc ph¶i cã mét c¸ch suy nghÜ logic
s¸ng t¹o, biÕt kÕt hîp kiÕn thøc cò víi kiÕn thøc míi mét c¸ch
logic cã hÖ thèng.
Trªn thùc tÕ gi¶ng d¹y To¸n 8-9 nh÷ng n¨m qua t«i nhËn
thÊy: phÇn "C¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè" lµ mét trong
nh÷ng phÇn träng t©m cña viÖc båi dìng häc sinh kh¸ giái ë
trêng THCS. ThÕ nhng thùc tr¹ng häc sinh trêng chóng t«i vµ
nh÷ng trêng t«i ®· tõng d¹y lµ: häc sinh kh«ng cã høng thó
víi lo¹i to¸n nµy, bëi lÏ c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ë trêng
THCS kh«ng theo mét ph¬ng ph¸p nhÊt ®Þnh nªn c¸c em rÊt
lóng tóng khi lµm to¸n vÒ cùc trÞ, c¸c em kh«ng biÕt b¾t
®Çu tõ ®©u vµ ®i theo híng nµo. HÇu hÕt häc sinh rÊt ng¹i
khi gÆp c¸c bµi to¸n cùc trÞ vµ kh«ng biÕt vËn dông ®Ó gi¶i
quyÕt c¸c bµi tËp kh¸c.
Thùc tr¹ng ®ã khiÕn t«i lu«n b¨n kho¨n suy nghÜ: "Lµm
thÕ nµo ®Ó häc sinh kh«ng thÊy ng¹i vµ cã høng thó víi lo¹i
to¸n nµy". Víi tr¸ch nhiÖm cña ngêi gi¸o viªn t«i thÊy m×nh
cÇn gióp c¸c em häc tèt h¬n phÇn nµy.
2

3. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
T«i ®· dµnh thêi gian ®äc tµi liÖu, nghiªn cøu thùc tÕ
gi¶ng d¹y cña b¶n th©n vµ cña mét sè ®ång nghiÖp; qua sù
t×m tßi thö nghiÖm, ®îc sù gióp ®ì cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp.
§Æc biÖt lµ nh÷ng bµi häc sau nh÷ng n¨m ë trêng s ph¹m.
T«i m¹nh d¹n chän nghiªn cøu ®Ò tµi: "Híng dÉn häc sinh
THCS gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè".
Víi ®Ò tµi nµy t«i hi väng sÏ gióp häc sinh kh«ng bì ngì
khi gÆp c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè, gióp c¸c em häc tèt h¬n.
§ång thêi h×nh thµnh ë häc sinh t duy tÝch cùc, ®éc lËp,
s¸ng t¹o, n©ng cao n¨ng lùc ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò,
rÌn luyÖn kh¶ n¨ng vËn
dông kiÕn thøc vµo ho¹t ®éng thùc tiÔn, rÌn luyÖn nÕp nghÜ
khoa häc lu«n mong muèn lµm ®îc nh÷ng viÖc ®¹t kÕt qu¶
cao nhÊt, tèt nhÊt.
II. Thùc tr¹ng cña vÊn ®Ò nghiªn cøu.
1, §èi víi häc sinh :. Thùc tr¹ng khi nhËn chuyªn m«n
ph©n c«ng d¹y to¸n 8 ë nh÷ng tiÕt ®Çu tiªn t«i c¶m thÊy hôt
hÈng tríc c¸ch häc cña häc sinh.
§Ó Thèng kª n¨ng lùc tiÕp thu bµi cña häc sinh t«i dïng
nhiÒu h×nh thøc ph¸t vÊn tr¾c nghiÖm rót ra mét hiÖn tîng
næi bËt häc sinh tr¶ lêi râ rµng m¹ch l¹c nhng mang tÝnh
chÊt häc vÑt chÊp hµnh ®óng nguyªn b¶n, qu¸ tr×nh d¹y ®Ó
kiÓm tra viÖc thùc hµnh øng dông cña häc sinh t«i ®a ra mét
sè vÝ dô th× häc sinh lóng tóng kh«ng biÕt chøng minh nh
thÕ nµo.
Tríc thùc tr¹ng trªn t«i ®· ®iÒu tra häc sinh qua nhiÒu
biÖn ph¸p kÕt qu¶ cho thÊy.
Líp
SØ
sè
Giái Kh¸ TB YÕu- kÐm
SL % SL % Sl % SL %
8 49 02 06 31 10
3

4. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
Sau khi kiÓm tra t«i thÊy r»ng häc sinh hiÓu vµ lµm rÊt
m¬ hå, mét s« häc sinh lµm ®îc chØ n»m vµo mét sè häc
sinh kh¸- giái. Sè cßn l¹i chñ yÕu lµ häc sinh TB, YÕu, kÐm
kh«ng biÕt gi¶i thÝch bµi to¸n nh thÕ nµo.
2, §èi víi gi¸o viªn :
Thùc tr¹ng nµy kh«ng thÓ ®æ lçi cho tÊt c¶ häc sinh bëi
v× ngêi gi¸o viªn lµ ngêi chñ ®éng, chñ ®¹o kiÕn thøc, còng
chØ tu©n theo SGK mµ d¹y bµi to¸n nµy ®ßi hái häc sinh
ph¶i t duy tèt vµ ph¶i th©u tãm ®îc kiÕn thøc ®· häc ®Ó tËn
dông vµo lµm bµi tËp .
§«i khi gi¸o viªn ¸p ®Æt gß bã c¸c em ph¶i thª nµy, ph¶i
thÕ nä mµ kh«ng ®a ra thùc tÕ ®Ó c¸c em nh×n nhËn vÊn
®Ò.
VÒ phÝ häc sinh c¶m thÊy khã tiÕp thu bëi v× ®©y lµ
d¹ng to¸n mµ c¸c em rÊt Ýt ®îc gÆp chÝnh v× lÝ do ®ã mµ
ngêi thÇy ph¶i t×m ra PP phï hîp nhÊt ®Ó häc sinh cã høng
häc, bíc ®Çu häc sinh lµm quen víi d¹ng bµi to¸n “ To¸n Cùc
chØ” nªn c¶m thÊy m¬ hå ph©n v©n t¹i sai l¹i ph¶i lµm nh
vËy. NÕu kh«ng biÕn ®æi th× cã t×m ®îc kÕt qu¶ kh«ng.
Tõ nh÷ng b¨n kho¨n ®ã cña häc sinh gi¸o viªn kh¼ng ®Þnh
nÕu kh«ng biÕn ®æi nh vËy th× kh«ng tr¶ lêi yªu cÇu cña
bµi to¸n.
Sau ®©y t«i xin ®a ra mét sè kinh nghiÖm híng dÉn häc
sinh gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8.
4

5. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
B- gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
I - c¸c gi¶i ph¸p thùc hiÖn
1. Kh¸i niÖm vÒ cùc trÞ cña mét biÓu thøc
Cho biÓu thøc nhiÒu biÕn sè P(x, y, ..., z) víi x, y, ..., z
thuéc miÒn S nµo ®ã x¸c ®Þnh. NÕu víi bé gi¸ trÞ cña c¸c
biÕn (x0, y0, ...z0) ∈ S mµ ta cã: P(x0, y0, ...z0) ≥ P(x,
y, ..., z) hoÆc P(x0, y0, ...z0) ≤ P(x, y, ..., z) th× ta nãi P(x,
y, ..., z) lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt t¹i (x0, y0, ...z0) trªn miÒn S.
P(x, y, ..., z) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i (x0, y0, ...z0) ∈ S cßn
gäi lµ P ®¹t cùc ®¹i t¹i (x0, y0, ...z0) hoÆc Pmax t¹i (x0,
y0, ...z0). T¬ng tù ta cã: P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt t¹i (x0, y0, ...z0)
∈ S cßn gäi lµ P ®¹t cùc tiÓu t¹i (x0, y0, ...z0) hoÆc Pmin t¹i
(x0, y0, ...z0).
Gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P trªn miÒn x¸c ®Þnh S
gäi lµ c¸c cùc trÞ cña P trªn miÒn S.
2. Nguyªn t¾c chung t×m cùc trÞ cña mét biÓu
thøc
5

6. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
T×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc trªn mét miÒn x¸c ®Þnh
nµo ®ã lµ vÊn ®Ò réng vµ phøc t¹p, nguyªn t¾c chung lµ:
*) §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc P(x, y, ..., z)
trªn miÒn x¸c ®Þnh S, ta cÇn chøng minh hai bíc:
- Chøng tá r»ng P ≥ k ( víi k lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸ trÞ
cña c¸c biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh S
- ChØ ra trêng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc.
*) §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc P(x, y, ..., z)
trªn miÒn x¸c ®Þnh S, ta cÇn chøng minh hai bíc:
- Chøng tá r»ng P ≤ k ( víi k lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸ trÞ
cña c¸c biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh S
- ChØ ra trêng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc.
Chó ý r»ng kh«ng ®îc thiÕu mét bíc nµo trong hai bíc trªn.
VÝ dô: Cho biÓu thøc A = x2
+ (x - 2)2
Mét häc sinh t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A nh
sau:
Ta cã x2
≥ 0 ; (x - 2)2
≥ 0 nªn A ≥ 0.
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0.
Lêi gi¶i trªn cã ®óng kh«ng?
Gi¶i:
Lêi gi¶i trªn kh«ng ®óng. Sai lÇm cña lêi gi¶i trªn lµ míi
chøng tá r»ng A ≥ 0 nhng cha chØ ra ®îc trêng hîp x¶y ra
dÊu ®¼ng thøc. DÊu ®¼ng thøc kh«ng x¶y ra, v× kh«ng thÓ
cã ®ång thêi:
x2
= 0 vµ (x - 2)2
= 0 .
Lêi gi¶i ®óng lµ:
A = x2
+ (x - 2)2
= x2
+ x2
- 4x +4 = 2x2
- 4x +
4
6

7. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
= 2(x2
-2x - +1) + 2 = 2(x - 1)2
+ 2
Ta cã: (x - 1)2
≥ 0 , ∀x
⇒ 2(x - 1)2
+ 2 ≥ 2 ∀x
⇒ A ≥ 2 ∀x
Do ®ã A = 2 ⇔ x = 1.
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng 2 víi x
= 1.
3. KiÕn thøc cÇn nhí:
§Ó t×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc ®¹i sè, ta cÇn
n¾m v÷ng:
a) C¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc, c¸c c¸ch chøng
minh bÊt ®¼ng thøc.
b) Sö dông thµnh th¹o mét sè bÊt ®¼ng thøc quen
thuéc:
* a2
≥ 0, tæng qu¸t: a2k
≥ 0 (k nguyªn d¬ng)
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a = 0
* -a2
≤ 0, tæng qu¸t: -a2k
≤ 0 (k nguyªn d¬ng)
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a = 0
* 0≥a . (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a = 0)
* - aaa ≤≤ . (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a = 0)
* baba +≥+ (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ ab ≥ 0)
* baba −≥−
(X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a ≥ b ≥ 0 hoÆc a ≤ b ≤ 0)
* 2
1
≥+
a
a , ∀a >0 vµ 2
1
−≤+
a
a , ∀a <0
7

8. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
* ab
baba
≥




 +
≥
+
22
22
∀a,b (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a = b)
* a ≥ b, ab >0 ⇒
ba
11
≤ (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a =
b)
II - c¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn
(Mét sè d¹ng bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè)
Th«ng qua c¸c bµi to¸n trong s¸ch gi¸o khoa (s¸ch tham
kh¶o) t«i tiÕn hµnh ph©n lo¹i thµnh mét sè d¹ng c¬ b¶n nhÊt
vÒ c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè ë THCS råi híng dÉn häc
sinh t×m kiÕn thøc cã liªn quan cÇn thiÕt ®Ó gi¶i tõng d¹ng
to¸n ®ã. Sau ®©y lµ mét sè d¹ng c¬ b¶n thêng gÆp:
D¹ng 1: bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét
biÓu thøc lµ tam thøc bËc hai.
VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc.
A(x) = x2
- 4x+1
Trong ®ã x lµ biÕn sè lÊy c¸c gi¸ trÞ thùc bÊt
kú.
Híng dÉn gi¶i:
Gîi ý: §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A(x) ta
cÇn ph¶i biÕn ®æi vÒ d¹ng A(x) ≥k (k lµ h»ng sè) víi mäi
gÝa trÞ cña biÕn vµ chØ ra trêng hîp x¶y ra ®¼ng thøc
Lêi gi¶i: A(x) = x2
- 4x+1
= x2
- 2.2x+1
= (x2
- 2.2x+4)- 3
8

9. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
= (x- 2)2
- 3
Víi mäi gi¸ trÞ cña x: (x - 2)2
≥0 nªn ta cã:
A(x) = (x- 2)2
- 3 ≥-3
VËy A(x) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng -3 khi x=2
§¸p sè: A(x)nhá nhÊt = - 3 víi x=2
VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc
B(x) = -5x2
- 4x+1
Trong ®ã x lµ biÕn sè lÊy gi¸ trÞ thùc bÊt kú
Híng dÉn gi¶i:
Gîi ý: §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc B(x) ta cÇn
ph¶i biÕn ®æi ®a B(x) vÒ d¹ng B(x) ≤ k (k lµ h»ng sè) víi
mäi gi¸ trÞ cña biÕn khi ®ã gi¸ trÞ lín nhÊt cña B(x)= k vµ
chØ ra khi nµo x¶y ra ®¼ng thøc
Lêi gi¶i: B(x) = -5x2
– 4x+1
= -5 (x2
+ 5
4
x) +1
= -5 1
5
2
5
2
5
2
.2
22
2
+














−





++ xx
= 1
25
4
5
2
5
2
+








−





+− x
= -5 1
5
4
5
2
2
++





+x
= -5 5
9
5
2
2
+





+x
Víi mäi gi¸ trÞ cña x:
2
5
2






+x ≥ 0 nªn -5
2
5
2






+x ≤ 0
9

10. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
suy ra: B(x)= -5
2
5
2






+x + 5
9
≤
5
9
VËy B(x)®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi B(x)= 5
9
, khi x = - 5
2
§¸p sè: B(x)lín nhÊt = 5
9
víi x = - 5
2
VÝ dô 3: (Tæng qu¸t)
Cho tam thøc bËc hai P = ax2
+bx + c
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu a > 0
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P nÕu a < 0
Híng dÉn gi¶i:
Gîi ý: §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt (lín nhÊt) cña P ta cÇn
ph¶i biÕn ®æi sao cho P = a.A2
(x) + k. Sau ®ã xÐt víi tõng
trêng hîp a>0 hoÆc a<0 ®Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín
nhÊt.
Lêi gi¶i:
P = a.A2
(x) + k
= a (x2
+ a
b
x) + c
2
2
2
2
2
442
..2
a
b
c
a
b
a
b
xxa −+





++=
k
a
b
xa +





+=
2
2
víi 2
2
4a
b
ck −=
Do 0
2
2
≥





+
a
b
x nªn:
+NÕu a>0 th× 0
2
2
≥





+
a
b
xa do ®ã P ≥ k
+NÕu a<0 th× 0
2
2
≥





+
a
b
xa do ®ã P ≤ k
10

11. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
VËy khi x = - a
b
2
th× P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng k (nÕu
a>0)
hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng k (nÕu a<0)
D¹ng 2: bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt,gi¸ tri lín nhÊt cña ®a
thøc bËc cao:
VÝ dô4:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = (x2
+ x + 1)2
Híng dÉn gi¶i:
(?) Ta nhËn thÊy A = (x2
+ x + 1)2
≥ 0, nhng gi¸ trÞ nhá
nhÊt cña A cã ph¶i b»ng 0 hay kh«ng? V× sao?
Tr¶ lêi : MÆc dï A ≥ 0 nhng gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A
kh«ng ph¶i b»ng 0 v×: x2
+ x +1 ≠ 0
Do ®ã Amin  (x2
+ x +1)min
(?) H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2
+ x +1? vµ t×m gi¸ trÞ
nhá nhÊt cña A?
Tr¶ lêi: Ta cã x2
+ x +1 = x2
+ 2x. 2
1
+ 4
1
- 4
1
+ 1
=
2
2
1






+x + 4
3
≥
4
3
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2
+ x + 1 b»ng 4
3
víi x = - 2
1
Tr¶ lêi: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 16
9
4
3
2
=





víi x = -
2
1
VÝ dô 5:
11

12. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
x4
– 6x3
+ 10x2
– 6x + 9
Híng dÉn gi¶i:
Gîi ý: -H·y viÕt biÓu thøc díi d¹ng A2
(x) + B2
(x) ≥ 0
-XÐt xem x¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi nµo? Gi¸ trÞ
nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng bao nhiªu?
Lêi gi¶i: x4
- 6x3
+ 10x2
- 6x +9
= x4
- 2.x2
.3x + (3x)2
+ x2
- 2x.3 +32
= (x2
- 3x)2
+ (x - 3)2
≥ 0
X¶y ra ®¼ng thøc khi vµ chØ khi:
x2
–3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0
  x = 3  x = 3
x – 3 = 0 x – 3 = 0 x = 3
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 0 víi x = 3
§¸p sè: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 0 víi x = 3
D¹ng 3: bµi to¸n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña ®a
thøc cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
VÝ dô6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = ι x - 1ι + ιx - 3ι
Híng dÉn gi¶i:
Gîi ý: Bµi to¸n ®Ò cËp tíi dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi do ®ã
chóng ta ph¶i nghØ tíi c¸c kho¶ng nghiÖm vµ ®Þnh nghÜa
gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc.
A NÕu A ≥ 0
ιAι =
12

13. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
- A NÕu A ≤ 0
C¸ch 1: §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A, ta tÝnh gi¸ trÞ
cña A trong c¸c kho¶ng nghiÖm. So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A
trong c¸c kho¶ng nghiÖm ®ã ®Ó t×m ra gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
A.
Lêi gi¶i
+ Trong kho¶ng x < 1 th× ιx - 2ι = - (x -2) = 2 - x
ιx - 5ι = - (x - 5) = 5 - x
⇒ A = 2 - x + 5- x = 7 - 2x
Do x < 2 nªn -2x > -4 do ®ã A = 7 - 2x >3
+ Trong kho¶ng 2 ≤ x ≤ 5 th× ιx - 2ι = x - 2
ιx - 5ι = - (x - 5) = 5 - x
⇒ A = x - 2 + 5 - x = 3
+ Trong kho¶ng x > 5 th× ιx - 2ι = x - 2
ιx - 5ι = x - 5
⇒ A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7
Do x > 5 nªn 2x > 10 do ®ã A = 2x – 7 > 3
So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng trªn, ta
thÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 3 khi vµ chØ khi 2 ≤ x
≤ 5
§¸p sè: Amin = 3 khi vµ chØ khi 2 ≤ x ≤ 5
C¸ch 2: Ta cã thÓ sö dông tÝnh chÊt: gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña
mét tæng nhá h¬n hoÆc b»ng tæng c¸c gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.Tõ
®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A.
Lêi gi¶i: A = ιx - 2ι+ 5−x = ιx - 2ι+ x−5
13

14. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
Ta cã: ιx - 2ι + ι5 - xι ≥ιx - 2 + 5 - xι = 3
ιx - 2ι ≥ 0
A = 3   (x - 2) (5 - x) ≥ 0
ι5 - xι ≥ 0
 2 ≤ x ≤ 5
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 3 khi vµ chØ khi 2 ≤ x
≤ 5
d¹ng 4: Bµi to¸n T×m gtnn, gtln cña ph©n thøc cã tö lµ h»ng
sè, mÉu lµ tam thøc bËc hai
VÝ dô 7: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M =
54x-4x
3
2
+
Híng dÉn gi¶i:
Gîi ý: Sö dông tÝnh chÊt a ≥ b, ab >0 ⇒
ba
11
≤ hoÆc
theo quy t¾c so s¸nh hai ph©n sè cïng tö, tö vµ mÉu
®Òu d¬ng.
Lêi gi¶i:
XÐt M =
54x-4x
3
2
+
= 414)2(
3
2
++− xx = 41)-(2x
3
2
+
Ta thÊy (2x - 1)2
≥ 0 nªn (2x - 1)2
+ 4 ≥ 4
Do ®ã: 41)-(2x
3
2
+
≤
4
3
Tr¶ lêi: VËy M lín nhÊt b»ng 4
3
khi 2x – 1 = 0 => x = 2
1
14

15. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
§¸p sè: Mlín nhÊt= 4
3
víi x = 2
1
VÝ dô 8: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B =
4-x-2x
1
2
Híng dÉn gi¶i:
Ta cã: B =
4-x-2x
1
2 = -
42x-x
1
2
+
= - 31)-(x
1
2
+
V× (x - 1)2
≥ 0 => (x + 1)2
+ 3 ≥ 3
=> 31)-(x
1
2
+
≤
3
1
=> - 31)-(x
1
2
+
≥ - 3
1
VËy B nhá nhÊt b»ng - 3
1
khi x – 1= 0 => x =1
§¸p sè: Mnhá nhÊt = - 3
1
víi x = 1
Chó ý: Khi gÆp d¹ng bµi tËp nµy c¸c em thêng xuyªn
lËp luËn r»ng M (hoÆc B) cã tö lµ h»ng sè nªn M (hoÆc B)
lín nhÊt (nhá nhÊt) khi mÉu nhá nhÊt (lín nhÊt)
LËp luËn trªn cã thÓ dÉn ®Õn sai lÇm, ch¼ng h¹n víi
ph©n thøc
3
1
2
−x
MÉu thøc x2
- 3 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -3 khi x = 0
Nhng víi x = 0 th×
3
1
2
−x
= - 3
1
kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín
nhÊt cña ph©n thøc
Ch¼ng h¹n víi x = 2 th×
3
1
2
−x
= 1 > - 3
1
Nh vËy tõ -3 < 1 kh«ng thÓ suy ra - 3
1
> 1
1
15

16. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
VËy tõ a < b chØ suy ra ®îc a
1
> b
1
khi a vµ b cïng
dÊu .
d¹ng 5:Bµi to¸n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña ph©n thøc
cã mÉu lµ b×nh ph¬ng cña nhÞ thøc
VÝ dô 9 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 2
2
)1(
1
+
++
x
xx
C¸ch1:
Gîi ý: H·y viÕt tö thøc díi d¹ng lòy thõa cña x + 1, råi
®æi biÕn b»ng c¸ch viÕt A díi d¹ng tæng c¸c biÓu thøc lµ
lòy thõa cña 1
1
+x
. Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
Lêi gi¶i: Ta cã: x2
+ x + 1 = (x2
+ 2x + 1) - (x +1) +
1
= (x + 1)2
- (x + 1) + 1
Do ®ã A = −
+
+
2
2
)1(
)1(
x
x
+
+
+
2
)1(
)1(
x
x
2
)1(
1
+x = 1 - 1
1
+x
+ 2
)1(
1
+x
§Æt y= 1
1
+x
khi ®ã biÓu thøc A trë thµnh: A = 1 - y +
y2
Ta cã: A = 1 - y + y2
= y2
– 2.y. 2
1
+ ( 2
1
)2
+ 4
3
=
2
2
1






−y + 4
3
≥
4
3
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 4
3
khi vµ chØ khi:
2
1
1
1
2
1
0
2
1
=
+
⇔=⇒=−=
x
yy
⇔ x + 1 = 2
16

17. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
⇔ x = 1
§¸p sè: Anhá nhÊt =
4
3
khi x = 1
C¸ch 2:
Gîi ý: Ta cã thÓ viÕt A díi d¹ng tæng cña mét sè víi mét
biÓu thøc kh«ng ©m. Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
Lêi gi¶i:
( ) ( ) ( )2
22
2
2
2
2
14
12363
14
144
1
1
+
+−+++
=
+
++
=
+
++
=
x
xxxx
x
xx
x
xx
A
2
22
)1(4
)1()1(3
+
−++
=
x
xx
A
2
2
)1(4
)1(
4
3
+
−
+=
x
x
A
2
)1(2
1
4
3






+
−
+=
x
x
A
A= 4
3
+ 





+
−
)1(2
1
x
x 2
≥
4
3
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 4
3
khi x-1=0 ⇒ x=1
§¸p sè: AnhánhÊt=
4
3
khi x=1
d¹ng 6: bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña mét biÓu
thøc ®¹i sè b»ng c¸ch ®a vÒ d¹ng 2
)(
k
xA
≥ 0 (hoÆc 2
)(
k
xA
≤ 0)
VÝ dô 10:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M(x) =
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
(Víi x thuéc tËp hîp sè thùc)
17

18. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
Híng dÉn gi¶i:
Gîi ý: Tõ M(x) =
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
ta cã:
M(x) =
32
1963
2
2
++
+++
xx
xx
=
32
1)32(3
2
2
++
+++
xx
xx
(?) Ta cã thÓ chia c¶ tö thøc vµ mÉu thøc cña biÓu
thøc cho x2
+ 2x + 3 ®îc kh«ng? V× sao?
Tr¶ lêi: V× x2
+ 2x + 3 = x2
+ 2x + 1 + 2 = (x+1)2
> 0 víi
mäi gi¸ trÞ cña x. nªn sau khi chia c¶ tö vµ mÉu cho x2
+ 2x +
3 ta ®îc
M(x) = 3 + 2)1(
1
2
++x
(?) Bµi to¸n xuÊt hiÖn ®iÒu g× míi?
Tr¶ lêi: Bµi to¸n trë thµnh t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu
thøc
2)2(
1
2
++x
(?) H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña 2)(
1
2
++x
tõ ®ã suy ra
gi¸ trÞ lín nhÊt cña M(x)
Tr¶ lêi: V× (x+1)2
≥ 0 Víi mäi x
Nªn (x+1)2
+ 2 ≥ 2 víi mäi x
Do ®ã 2)1(
1
2
++x
≤
2
1
Tõ ®ã ta cã:
M(x) = 3 + 2)1(
1
2
++x
≤ 3 + 2
1
= 3 2
1
DÊu “=” x¶y ra khi x+1=0 hay x=-1
18

19. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña M(x) = 3 2
1
khi vµ chØ khi x=-1
§¸p sè: M(x)Lín nhÊt =3
2
1
víi x = -1
C. KÕt luËn
1. Thùc tiÔn kh¶o s¸t sau khi ¸p dông.
Sauk hi ¸p dôngc¸c c¸ch gi¶i bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8
thùc tÕ häc sinh dÇn dÇn chó träng khi gi¶i to¸n chø kh«ng
lóng tóng nh tríc.
KÕt qu¶ t«i ®· thu ®îc sau khi ¸p dông ®Ò tµi nµy ®îc thÓ
hiÖn ë b¶ng sau:
Líp
SØ
sè
Giái Kh¸ TB YÕu- kÐm
SL % SL % Sl % SL %
8 49 05 10 34 0
19

20. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
2. KÕt qu¶:
Sau khi thùc hiÖn gi¶ng d¹y phÇn “ C¸c bµi to¸n cùc trÞ
trong ®¹i sè 8” theo néi dung ®Ò tµi nµy kÕt qu¶ mµ t«i thu
®îc kh¸ kh¶ quan.
§Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ë líp 8 c¸c em
ph¶i biÕn ®æi ®ång nhÊt c¸c biÓu thøc ®aÞ sè, ph¶i biÕn
®æi vµ sö dông kh¸ nhiÒu c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí tõ
d¹y ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p. Ngoµi ra cßn liªn quan mËt thiÕt
®Õn c¸c kiÕn thøc chøng minh ®¼ng thøc bëi thÕ nãi c¸c
bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè 8 t¹o ra kh¶ n¨ng gióp häc sinh cã
®iÒu kiÖn ®Ó rÌn luyÖn kÜ n¨ng biÕn ®æi ®ång nhÊt c¸c
biÓu thøc ®¹i sè, kÜ n¨ng tÝnh to¸n, kh¶ n¨ng t duy.
§Ò tµi nµy gióp häc sinh gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ
trong ®¹i sè 8 cã PP h¬n, cã hiÖu qu¶ h¬n vµ vËn dông vµo
gi¶i quyÕt c¸c bµi tËp cã liªn quan kÝch thÝch ®îc sù ®am
mª häc to¸n nãi chung vµ sù say mª gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ
nãi riªng.
Yªu cÇu vÒ ph¸t huy tÝnh tù gi¸c rÌn luyÖn kh¶ n¨ng t duy
tÝch cùc ®éc lËp, s¸ng t¹o cña häc sinh th«ng qua ho¹t ®éng
gi¶i to¸n ®· ®îc häc.
VÒ mÆt t tëng c¸c bµi to¸n cùc trÞ gióp häc sinh thªm gÇn
gòi víi kݪn thøc thùc tÕ cña ®êi sèng, rÌn luyÖn nÕp nghØ
khoa häc . lu«n mong muèn lµm ®îc nh÷ng c«ng viÖc ®¹t
hiÖu qu¶ cao nh©t, tèt nhÊt.
3. Bµi häc kinh nghiÖm:
Víi ®Ò tµi “ Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n
cùc trÞ trong ®¹i sè” T«i ®· cè g¾ng hÖ thèng mét sè d¹ng c¬
b¶n nhÊt vÒ c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8. Trong mçi
giê d¹y t«i cã ®a ra c¬ së lÝ thuyÕt vµ nh÷ng vÝ dô trong
mçi vÝ dô ®ã cã gîi ý vµ híng dÉn häc sinh c¸ch gi¶i vµ
nh÷ng chó ý cÇn thiÕt ®Ó khi gÆp c¸c vÝ dô kh¸c c¸c em cã
thÓ gi¶i ®îc.
20

21. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
C¸c d¹ng bµi tËp ®a ra tõ dÔ ®Õn khã, tõ ®¬n gi¶n
®Õn phøc t¹p nh»m gióp cho häc sinh cã nh÷ng kiÕn thøc c¬
b¶n vÒ gi¶i bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8. Bªn c¹nh ®ã t«i
cßn ®a ra c¸c vÝ dô lµ c¸c bµi to¸n tæng hîp c¸c kiÕn thøc vµ
kÜ n¨ng tÝnh to¸n, kh¶ n¨ng t duy ë cÊp häc nµy, qua ®ã lµm
cho c¸c em say mª høng thó häc tËp bé m«n To¸n.
Tuy nhiªn trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vÉn cã rÊt nhiÒu
häc sinh cßn bì ngì trong qóa tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ,
lËp luËn cha cã c¨n cø, suy diÔn cha hîp logic vµ ®Æc biÖt
lµ mét sè d¹ng cha phï hîp víi häc sinh trung b×nh, yÕu.
MÆc dï cã rÊt nhiÒu cè g¾ng nhng do thêi gian
kh«ng nhiÒu, do tr×nh ®é n¨ng lùc cña b¶n th©n vµ tµi liÖu
tham kh¶o cßn h¹n chÕ l¹i cha cã kinh nghiÖm trong lÜnh
vùc nghiªn cøu khoa häc nªn trong c¸ch tr×nh bµy kh«ng
tr¸nh khái nh÷ng s¬ xuÊt thiÕu sãt . RÊt mong nhËn ® îc sù
gióp ®ì, gãp ý cña c¸c thÇy , c« vµ vµ b¹n ®ång nghiÖp ®Ó
t«i cã thÓ rót kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cña
m×nh trong thêi gian sau.
ThiÖu Minh, ngµy 08 th¸ng 3 n¨m 2009
Ngêi viÕt
NguyÔn ThÞ HuyÒn
Tµi liÖu tham kh¶o:
1. SGK To¸n 8- NXB Gi¸o dôc- Phan §øc ChÝnh, T«n
Th©n.
2. SBT To¸n 8 – NXB Gi¸o dôc- T«n Th©n chñ biªn
21

22. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
3. To¸n n©ng cao tù luËn vµ tr¾c nghiÖm §¹i sè 8- NXB
Gi¸o dôc- NguyÔn V¨n Léc.
4.To¸n båi dìng häc sinh líp 8 §¹i sè-NXB Gi¸o dôc
TrÇn San
5. §Ó häc tèt ®¹i sè 8- NXB Gi¸o dôc Hoµng Chóng Chñ
biªn
6. C¸c bµi to¸n ®¹i sè hay vµ khã – NXB Gi¸o dôc NguyÔn
§Ô
7. PP d¹y häc m«n to¸n – NXB Gi¸o dôc Ph¹m Gia §øc.
22