Cuantificadores

LOGICA MATEMATICA
Ingeniería de Sistemas
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CAPITULO V CUANTIFICADORES Y CÍRCULOS DE EULER
CUANTIFICADORES
Cuando se habla de cuantificadores en términos de Lógica, Teoría de Conjuntos o Matemáticas en general,
se hace referencia a aquellos símbolos que se utilizan para indicar cantidad en una proposición, es decir,
permiten establecer “cuántos” elementos de un conjunto determinado, cumplen con cierta propiedad.
Los cuantificadores permiten la construcción de proposic iones a partir de funciones proposicionales, bien
sea particularizando o generalizando. Por ejemplo, si consideramos la función proposicional:
P(x) = x es menor que dos
Esto podría particularizarse así: “Existe un número real que es menor que dos” o generalizarlo diciendo:
“Todos los números reales son menores que dos”.
En cualquiera de los dos casos, se especifica un conjunto donde está tomando valores la variable, para
nuestro ejemplo, el conjunto de los números reales.
Para notar la particularización y la generalización, se utiliza la siguiente simbología, respectivamente:
que se lee: “existe un equis que pertenece a erre (a los reales), tal que equis es menor que dos”
Mientras que
se lee: “para todo equis que pertenece a erre (a los reales), se cumple que equis es menor que dos”
5.1 Cuantificador universal y existencial
El símbolo (para todo…) se denomina cuantificador universal, y el símbolo (existe al menos un…)
se denomina cuantificador existencial.
Así, un cuantificador transforma una función proposicional, en una proposición a la cual se le asigna un
valor de verdad.
Los cuantificadores más utilizados son entonces:
CUANTIFICADOR UNIVERSAL (para todo…): se utiliza para afirmar que TODOS los elementos de un
conjunto, cumplen con una condición o propiedad determinada. Esto se expresa como:

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Ejemplos de cuantificador universal
 P(x)=x/x pertenece a la universidad del Quindío
 x:p(x)=“Para todo x, x es estudiante de la universidad del Quindío
 P(x):x/x profesor de la universidad
 x:p(x)=“Para todo x, x es profesor de la universidad del Quindío
 p(x)=x/x es estudiante de la universidad del Quindío
 q(x):x/x es mayor de 30 años
 Todos los estudiantes de la universidad mayores de 30
 x:p(x)q(x)=“Para todo x, x es estudiante y es mayor de 30 años
El valor de Verdad de x:p(x) depende totalmente del universo en que se dé como en nuestro caso que es
la Universidad.
 CUANTIFICADOR EXISTENCIAL (existe al menos un…): se utiliza para indicar que existen uno o más
elementos en el conjunto A que cumple(n) con una condición o propiedad determinada.
Ejemplos de cuantificador existencial
 q(x)=x/x estudia en la universidad del Quindío
 r(x)=x/x es mujer
 Existen estudiantes de la universidad del Quindío que son mujeres
 x:q(x)r(x)
 q(x)=x/x estudia en la universidad del Quindío
 r(x)=x/x estudia lógica
 Existen estudiantes de la universidad que estudian lógica
 x:q(x)r(x)
 q(x)=x/x estudia lógica
 r(x)=x/x gana el curso de lógica
 Existen estudiantes que si estudian lógica, ganan el curso.
 x:q(x)r(x)

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ÚNICO (existe un único…): se utiliza para indicar que existe
exactamente un elemento en el conjunto A que cumple con una condición o propiedad
determinada.
Ejemplo de cuantificador existencial único
 P(x):x/x es profesor de lógica de la universidad del Quindío
 Existe un único profesor que dicta lógica en la universidad del Quindío.
 !x:p(x): Existe un único x tal que x es profesor de lógica de la U. del Quindío(Julio César)

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 P(x):x/x es mujer
 Q(x)=x/x es estudiante de lógica
 R(x)=x/x tiene mas de 4 hijos
 Existe una única mujer estudiante de lógica que tiene más de 3 hijos.
 !x:p(x)q(x)r(x): Existe un único x tal que x es mujer estudiante de lógica y tiene 3 hijos
NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces:
Ejemplos

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RESUMEN

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Valores de verdad de expresiones con cuantificadores
 ∀ x, P(x) es verdadera si para cada x en el Universo P(x) es cierta.
 ∃ x, P(x) es verdadera si hay algún x en el universo para el que P(x) es cierta. Basta un sólo valor.
 ∀ x, P(x) es falsa si hay un valor de x en el Universo para el que P(x) es falsa. Basta un sólo valor.
 ∃ x, P(x) es falsa si para cada x en el Universo es falsa.
CIRCULOS DE EULER
"Se llaman círculos eulerianos o diagramas eulerianos a los círculos mediante los cuales se represente la
inclusión de una subclase en otra. La elaboración de estos círculos por Venn en sus conocidos diagramas
constituye la base para su gran difusión en los últimos cien años, pero los diagramas eulerianos comenzaron
ya a popularizarse, según indica el propio Venn, a comienzos del siglo XIX, desde el Grundriss der historischen
Logik, de Krause (1803). Ello no significa que haya habido una clara transmisión de un texto a otro, y, por lo
tanto, que pueda hablarse de una historia del empleo de tales diagramas. Lo más probable es que fueran
usados por varios lógicos independientente. Los propios Venn y Augustus de Morgan indican, por ejemplo, que
descubrieron el esquema de Euler antes de haberlo visto usado en ninguna parte."
[Ferrater Mora, José: Diccionario de filosofía. Buenos Aires: Ed. Sudamericana, 1969, Bd. 1, p. 442]
Ejemplos:
Sea:
A = {2, 3, 4}
B = {4, 5, 6, 7} U = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

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Explicación
Un club deportivo tiene jugadores de fútbol, básquet y tenis
El Conjunto F está formado por las regiones 1, 2, 3 y 4
El Conjunto B está formado por las regiones 2, 3, 5 y 6
El Conjunto T está formado por las regiones 4, 3, 6 y 7
Jugadores de sólo fútbol región 1
Jugadores de sólo basquet región 5
Jugadores de sólo tenis región 7
Jugadores de fútbol y básquet o sea F ∩ B regiones 2 y 3
Jugadores de básquet y tenis o sea B ∩ T regiones 3 y 6
Jugadores de fútbol y tenis o sea F ∩ T regiones 3 y 4
Jugadores de fútbol y básquet menos tenis o sea (F ∩ B) – T = 2
Jugadores de básquet y tenis menos fútbol o sea (B ∩ T) – F = 6
8
U
2
3 4
5
6
7
En el interior de cada
conjunto se ubican
los elementos
9
En el interior de cada
conjunto se puede
colocar la cantidad
de elementos
U
2
12 3
F B
T
1
2
3
4
5
7
6

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Jugadores de fútbol y tenis menos basquet o sea (F ∩ T) – B = 4
Jugadores de fútbol, básquet y tenis o sea (F ∩ B ∩ T) = 3
Jugadores que practican una sola disciplina deportiva 1, 5 y 7
Jugadores que practican dos disciplinas deportivas 2, 4 y 6
Jugadores que practican al menos una disciplina deportiva (1 disc, 2 disc y 3 disc) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Jugadores que practican al menos 2 disciplinas deportivas (2 disc y 3 disc) 2, 3, 4 y 6
Jugadores que practican al menos tres disciplinas deportivas 3
Jugadores que practican a lo más dos disciplinas deportivas (1 disc o a lo mas 2 disc) 1, 5, 7, 2, 4, 6
Círculos de Euler y sus aplicaciones
Un club deportivo tiene 48 jugadores de fútbol, 25 de básquet y 30 de tenis. Si el total de jugadores es de 68 y
sólo 6 de ellos practican los tres deportes:
a. ¿Cuántos practican dos disciplinas deportivas?
b. ¿Cuántos practican sólo una disciplina deportiva?
Graficamos los conjuntos
Datos del problema
Los que practican fútbol n(F) = 48
Los que practican basquet n(B) = 25
Los que practican tenis n(T) = 30
El problema dice que el total de jugadores es de 68  n(F U B U T) = 68
Tenemos otro dato del problema
Solo 6 de ellos practican los tres deportes  n(F ∩ B ∩T) = 6

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En el diagrama ubicamos ese dato en la parte central
Tenemos un teorema que permite resolver problemas con tres conjuntos
n(F U B U T) = n(F) + n(B) + n(T) – n(F ∩ B) – n(F ∩ T) – n(B ∩ T) + n(F ∩ B ∩ T)
Reemplazamos los valores que conocemos del problema en el teorema anterior
n(F U B U T) = n(F) + n(B) + n(T) – n(F ∩ B) – n(F ∩ T) – n(B ∩ T) + n(F ∩ B ∩ T)
68 = 48 + 25 + 30 - n(F ∩ B) – n(F ∩ T) – n(B ∩ T) + 6
Ahora operamos.
n(F ∩ B) + n(F ∩ T) + n(B ∩ T) = 109 – 68
n(F ∩ B) + n(F ∩ T) + n(B ∩ T) = 41
Aquí tenemos el número de jugadores de fútbol intersección básquet…
En el diagrama vamos a completar estas regiones
n(F ∩ B) + n(F ∩ T) + n(B ∩ T) = 41
b + 6 + a + 6 + c + 6 = 41
Se realizan las operaciones
a + b + c + 18 = 41
a + b + c = 41 -18
a + b + c = 23

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Con esto se responde la pregunta dos: ¿Cuántos practican dos disciplinas deportivas?
Ahora vamos a responder la segunda pregunta
¿Cuántos practican sólo una disciplina deportiva?
Se necesita encontrar entonces las regiones X, Y y Z
X + y + z = 68 – 23 – 6
X + y + z = 39
Aplicación
Una empresa dispone de cierto número de taxis, de los cuales 5 están en reparación. Se sabe lo siguiente:
42 circulan en las mañanas
38 en las tardes
30 en las noches
20 en las mañanas y en las tardes
14 en las tardes y en las noches
16 en las mañanas y en las noches.
Determine cuántos taxis son en total, si además se conoce que son 5 los que trabajan todo el día
a. 60 b. 70 c. 80 d. 30
Denotamos: Mañana (M) Tarde (T) Noche (N)
U
M=42 T=38
5
15
911
X
m
X+11+5+15 = 42
X=42-31
X=11
X
m
X+9+5+15 = 38
X=38-29
X=9
X+9+5+11 = 30
X=30-25
X=5
X Y
Z

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Características de la demostración
Problemas de aplicación de la lógica
Problemas Resueltos con Diagramas de Venn - EULER
Problema 01
En una escuela de 600 alumnos, 100 no estudian ningún idioma extranjero, 450
estudian francés y 50 estudian francés e inglés. ¿Cuántos estudian solo inglés?
Problema 02
De 106 personas se sabe que los que hablan solo ingles son tantos como los que
hablan inglés y francés y además los que hablan solo francés es la quinta parte
de los que hablan inglés. Si 10 personas no hablan ninguno de estos dos idiomas,
cuántos hablan solo francés.
5a) 8 b) 16 c) 24 d) 32 e) 40
Problema 03
En una encuesta realizada en la ciudad de Medellín, acerca de los medios de
transporte más utilizados entre bus, metro o moto, se obtuvieron los siguientes
resultados: de los 3200 encuestados, 1950 utilizan el metro, 400 se desplazan en
moto, 1500 van en bus, 800 se desplazan en bus y metro, además ninguno de los que
se transporta en moto utiliza bus o metro.
El número de personas que solo utiliza el metro es.
Las persona que solo utilizan máximo 2 medios de transporte son.
Problema 04
En un grupo de 30 estudiantes perteneciente a un curso, 15 no estudiaron Matemáticas
y 19 no estudiaron Lenguaje. Si tenemos un total de 12 alumnos que no estudiaron
Lenguaje ni Matemáticas. ¿Cuántos alumnos estudian exactamente una de las materias
mencionadas?
Problema 05
En una investigación hecha a un grupo de 100 estudiantes, la cantidad de personas
que estudian idiomas fueron las siguientes: español, 28; alemán, 30; y francés,
42; español y alemán, 8; español y francés 10; alemán y francés 5; los tres idiomas
3.
a) ¿Cuántos alumnos no estudian ningún idioma?
N=305
X
m
Respuesta
n(U): 38+11+11+5+5
n(U): 70

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b) ¿Cuántos estudiantes tenían el francés como único idioma de estudio?
Problema 06
Se encuesta a 150 familias consultando por el nivel educacional actual de sus hijos.
Los resultados obtenidos son:
▪ 10 familias tienen hijos en Enseñanza Básica, Enseñanza Media y
Universitaria.
▪ 16 familias tienen hijos en Enseñanza Básica y Universitaria.
▪ 30 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Enseñanza Básica.
▪ 22 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Universitaria.
▪ 72 familias tienen hijos en Enseñanza Media.
▪ 71 familias tienen hijos en Enseñanza Básica.
▪ 38 familias tienen hijos en Enseñanza Universitaria.
Con la información anterior, deducir:
- El número de familias que solo tienen hijos universitarios.
- El número de familias que tienen hijos solo en dos niveles.
- El número de familias que tienen hijos que no estudian.
Problema 07
6De un grupo de 55 contratos internacionales, 25 son redactados en Inglés, 32 en
Francés, 33 en Alemán y 5 en los tres idiomas. ¿Cuántos contratos han sido
redactados en dos (02) de los referidos idiomas, sabiendo que todos pueden
ser redactados por lo menos en uno de los tres (03) idiomas?
Problema 08
En una reunión se determina que 40 personas son aficionadas al juego, 39 son
aficionadas al vino y 48 a las fiestas, además hay 10 personas que son aficionadas
al vino, juego y fiestas, existen 9 personas aficionadas al juego y vino solamente,
hay 11 personas que son aficionadas al juego solamente y por último 9 a las fiestas
y al vino solamente.
Determinar:
a) El número de personas que es aficionada al vino solamente.
7b) El número de personas que es aficionada a las fiestas solamente.
Problema 09
El departamento de Ciencias Sociales de una universidad cuenta con 800 estudiantes,
por lo que decidió realizar un estudio sobre el número de estudiantes que durante
el actual semestre cursaran la asignatura de Metodología de la Investigación,
Administración, y Estadística. A través de una encuesta, se obtuvieron los
siguientes datos: Metodología 490, Administración 160 y Estadística 320.
Metodología y Administración 90, Metodología y Estadística 22, Administración y
Estadística 78. Determinar la cantidad de los que:

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Estudian las 3 asignaturas.
Estudian solo Estadística.
Estudian Metodología y Administración.
Estudian Administración y Estadística.
Problema 10
Una encuesta sobre 500 estudiantes inscritos en una o más asignaturas de Matemática,
Física y Química durante un semestre, reveló los siguientes números de estudiantes
en los cursos indicados: Matemática 329, Física 186, Química 295, Matemática y
Física 83, Matemática y Química 217, Física y Química 63. Cuántos alumnos estarán
inscritos en:
a) Los tres cursos
b) Matemática pero no Química
c) Física pero no matemática
d) Química pero no Física
e) Matemática o Química, pero no Física
f) Matemática y Química, pero no Física
g) Matemática pero no Física ni Química
Ejercicios de Diagramas de Venn Euler con Porcentajes
Ejercicio 11
De los 150 alumnos y alumnas de un colegio, 120 estudian inglés, 100 informática,
y sólo 20 ni lo uno ni lo otro. ¿Cuántos estudian ambas materias?
a) 80 b) 85 c) 90 d) 95 e) 100
Ejercicio 12
De un grupo de alumnos de grado 11, se sabe que el 25% de los que aprueban
matemáticas, aprueban física y que la mitad de los que aprueban matemáticas
aprueban física. Si se sabe que el 25% de los alumnos no aprueban matemáticas y
no aprueban física, entonces, el porcentaje de alumnos que aprueban matemáticas y
física a la vez es: (ver solución)
A) 15% B) 12% C) 20% D) 18%
Ejercicio 13
En un reunión el 44% de los asistentes toman y el 37% fuman; además el 25% de los
que toman, fuman. Si no toman y no fuman 84 personas, el número de personas es:
A) 80 B) 380 C) 280 D) 260 E) 300
Ejercicio 14
Entre los habitantes de un distrito, se ha realizado una encuesta sobre el uso de
ciertos artefactos y se ha obtenido los siguientes datos:
- 80% tienen televisor.

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- 90% tienen radio.
- 60% tienen cocina a gas.
- 2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores.
- 55% tienen los tres artefactos.
¿Qué porcentaje de los encuestados poseen uno sólo de estos artefactos?
Ejercicio 15
En una encuesta sobre consumo de bebidas, se obtuvieron los siguientes datos: a)
67% beben A o B, y 13% beben ambas. b) 59% beben B o C y 11% beben ambas. c) 75%
beben A o C y 15% beben ambas. d) el 16% no consume ninguna bebida.
. Calcular el porcentaje que consume sólo una bebida.
. Determine el porcentaje que beben las tres bebidas
Ejercicio 16
En una encuesta realizada sobre la preferencia de su bebida en el desayuno, se
preguntó a las personas si tomaban té o café. Los resultados fueron: 6 tomaban
té, 9 café, a una no le gustaba ninguna de esas bebidas y cuatro tomaban ambas.
Responder las siguientes preguntas:
¿Cuántas personas no tomaban té?
¿Cuántas personas no tomaban café?
¿Cuántas personas tomaban té y café?
¿Cuántas personas tomaban sólo café?
¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas?
¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas?
¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas?
Ejercicio 17
Una persona come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Abril.
Si comió tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y
tocino?
A) 30 B) 25 C) 18 D) 13 E) 11
Ejercicio 18
En una empresa trabajan 260 empleados. Por fiestas patrias, la empresa decidió
regalar una casaca a la mitad de sus empleados, y por navidad, la empresa regalo
un pavo a la mitad de sus empleados. Si exactamente 8 empleados recibieron una
camisa y un pavo durante el año, ¿cuántos empleados no recibieron ningún regalo
durante el año?
A) 7 B) 14 C) 16 D) 8 E) 11
Ejercicio 19
Al realizar una encuesta entre alumnos del quinto año de un colegio se sabe que:
1/2 de los alumnos postulan a la UNI, 7/12 de los alumnos postulan a la UNMSM, 1/6

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de los alumnos postulan a las dos universidades y 35 alumnos aun no deciden donde
postular. ¿Cuántos alumnos hay en quinto año de dicho colegio?
Ejercicio 20
En una comunidad de 100 deportistas se sabe que 30 de ellos entrenan fútbol, 50
entrenan squash y 60 entrenan tenis. 22 entrenan tenis y fútbol, 30 entrenan squash
y tenis y 15 entrenan squash y fútbol. Si 10 deportistas entrenan los tres deportes
¿cuántos entrenan tenis o fútbol?
Ejercicio 21
Si de 76 postulantes que se prepararon en las academias ORO, PLATA y COBRE,
se sabe que 42 estudiaron en ORO, 30 en PLATA y 28 en COBRE y 1 estudió en las 3
academias. Entonces el número de postulantes que estudiaron sólo en 2 academias es:
(ver solución)
A) 19 B) 21 C) 24 D) 25 E) 22
Ejercicio 22
De 180 alumnos de una academia preuniversitaria que gustan de los cursos
razonamiento matemático, álgebra, aritmética, se sabe que: 1) 34 gustan de
razonamiento matemático pero no de álgebra. 2) 28 gustan de razonamiento matemático
pero no de aritmética. 3) 16 gustan álgebra pero no razonamiento matemático. 4) 24
gustan de álgebra pero no de aritmética .5) 48 gustan de aritmética pero no de
razonamiento matemático. 6) 18 gustan de aritmética pero no de álgebra. ¿A cuántos
jóvenes les gustan los tres cursos mencionados? (ver solución)
A) 84 B) 168 C) 96 D) 100 E) 120
Ejercicio 23
Una persona come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Abril.
Si comió tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y
tocino?
A) 30 B) 25 C) 18 D) 13 E) 11
Ejercicio 24
En una empresa trabajan 260 empleados. Por fiestas patrias, la empresa decidió
regalar una casaca a la mitad de sus empleados, y por navidad, la empresa regalo
un pavo a la mitad de sus empleados. Si exactamente 8 empleados recibieron una
camisa y un pavo durante el año, ¿cuántos empleados no recibieron ningún regalo
durante el año?
A) 7 B) 14 C) 16 D) 8 E) 11
Recursos
http://objetos.unam.mx/logica/diagramasVenn/

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https://youtu.be/k1atu-Fx-go
Ejercicios de ven Euler
http://profe-alexz.blogspot.com.co/2011/02/conjuntos-diagramas-de-venn-30.html
[Kneale, William y Martha: El desarrollo de la lógica. Madrid: Tecnos, 1972, pp. 322-323]
Explicación de los circulos
https://www.youtube.com/watch?v=HZaqM1bd4Q0

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