dominio y rango de funciones algebraicas

Institución Educativa Departamental Integrada
Alfonso López Pumarejo
Nemocón
Cálculo; Undécimo
Docente: Ing. Hernán Darío Carrillo Aristizábal
2011
Funciones trascendentes y especiales 2º Bimestre
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DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
El dominio y el rango son el subconjunto del plano cartesiano que está ocupado por la gráfica de la función. El dominio de una función f es el conjunto formado por las primeras componentes de las parejas de la función y el rango de una función f es el conjunto formado por las segundas componentes de las parejas de la función.
Ejemplo 1. Analizar las funciones representadas en las siguientes gráficas. Luego determina su dominio y rango
 푓(푥)=푥2
Dom =푅
Ran =[0,∞]
 푓(푥)= 푥3
퐷표푚=푅
푅푎푛=푅
 푓(푥)= 1 푥+1
퐸푛 푙푎 푔푟á푓푖푐푎 푑푒 푙푎 푓푢푛푐푖ó푛 푛표 푒푠푡á 푑푒푓푖푛푖푑푎 푝푎푟푎 푥=−1 푦푎 푞푢푒 푒푙 푑푒푛표푚푖푛푎푑표푟 푡푖푒푛푒 푞푢푒 푠푒푟 푑푖푓푒푟푒푛푡푒 푑푒 푐푒푟표. 푝표푟 푡푎푙 푚표푡푖푣표 퐷표푚=푅−{−1} 퐶푢푎푛푑표 푥=−1 푒푙 푣푎푙표푟 푑푒 푓(푥)푒푠 푖푛푑푒푡푒푟푚푖푛푎푑표 푅푎푛=푅−{0}
DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES POLINOMICAS
Para encontrar el dominio de una función se despeja la variable y y se buscan las restricciones que tiene x y se buscan las restricciones de y. en algunos casos existen algunas restricciones para el dominio y el rango

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en la funciones dependiendo el lugar que ocupe la variable en la ecuación; por tal motivo es importante tener en cuenta las siguientes recomendaciones:
 El denominador de las expresiones racionales no puede ser cero
 Las expresiones radicales cuyo índice es par no puede tener cantidades subradicales negativas
 Los logaritmos solo están definidos para cantidades positivas
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES
FUNCIÓN CONSTANTE
Son aquellas funciones de la forma 푓(푥) =푘 donde 푘∈푅
FUNCIÓN LINEAL
Son todas aquellas funciones de la forma 푓(푥)=푚푥+푏 donde la m representa la pendiente
Para calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos su fórmula es 푚= 푦2−푦1 푥2−푥1 y para calcular la ecuación de la recta la ecuación general es 푦−푦0=푚(푥−푥0)
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática es de la forma 푓(푥)=푎푥2+푏푥+푐 donde 푎,푏,푐 ∈푅 푦 푎≠0
Una ecuación cuadrática se puede escribir de la forma 푓(푥)=푎(푥−ℎ)2+푘 donde (h.k9 corresponde al vértice y 푎≠0. Su gráfica recibe el nombre de parábola; el vértice se encuentra con las siguiente fórmula 푉=(− 푏 2푎 ,푓(− 푏 2푎 )) ; si 푎>0 la parábola abre hacia arriba y si 푎<0 la parábola abre hacia abajo. Si f es una función cuadrática el 퐷표푚=푅 y su rango esta determinado de la siguiente manera: 푠푖 푎>0 푒푙 푅푎푛=[푓(− 푏 2푎 ),∞] 푠푖 푎<0 푒푙 푅푎푛=[−∞,푓(− 푏 2푎 ) ]
FUNCIÓN RACIONAL
Una función es racional si 푓(푥)= 푝(푥) 푞(푥) 푦 푞(푥)≠0; para graficar una función racional se debe tener en cuenta:
 Determinar las raíces o ceros del numerador y denominador es decir los valores de x para que 푓(푥)=0
 Hallar las asíntotas horizontales si existen. Se tiene en cuenta el valor 푥=푎 para el cual el denominador es 0; entonces la gráfica tiene una asíntota horizontal en 푥=푎
 Hallar el intercepto con el eje x es decir 푓(0);푒푠 푒푣푎푙푢푎푟 푙푎 푓푢푛푐푖ó푛 푐푢푎푛푑표 푥=0
 Se halla la asíntota horizontal si existe.
 Se hace una tabla de valores para garantizar un buen bosquejo de la gráfica
FUNCIONES RADICALES

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Una función radical es aquella que contiene raíces de variables.
Para realizar el bosquejo de la gráfica es necesario tener en cuenta:
 buscar donde 푓(푥)=0 o donde 푓(푥) no está definida
 determinar si tiene asíntotas verticales, en caso de que también sea racional
 averigual el intercepto con el eje y evaluando la función cuando 푥=0
 hallar las asíntotas horizontales si existen, en caso que sea una función racional
 realizar tabla de valores para mayor precisión de la gráfica
EJEMPLOS. Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones polinómicas.
a. 푓(푥)= 3푥+54 (gráfica 2.1) Nos podemos dar cuenta que para esta función le podemos asignar cualquier valor a x sin que se llegue a indeterminar la función por tal motivo 퐷표푚=푅; luego despejamos x y se obtiene 푥= 4푦−53 entonces se observa que a y se le puede asignar cualquier valor entonces 푅푎푛=푅
b. 퐹(푥)=푥2+4푥+6 (gráfica 2.2) para esta función se observa que se puede asignar cualquier valor para x por tal motivo el 퐷표푚=푅 luego se despeja x de la siguiente manera.
푦= 푥2+4푥+6
푦−6= 푥2+4푥 Se completa el cuadrado en el segundo miembro de la desigualdad 푦−6+( 42) 2=푥2+4푥+( 42) 2
푦−6+4=푥2+4푥+4 Se realiza la factorización del trinomio cuadrado perfecto
푦−2=(푥+2)2 Se saca la raíz cuadrada en ambos términos de la ecuación √푦−2=√(푥+2)2
√푦−2=푥+2 luego se despeja el valor de x
√푦−2−2=푥 para que se pueda hallar el valor de x es necesario que 푦−2≥0 entonces 푦≥2
Entonces 푅푎푛=[2,∞)
c. 푓(푥)=√3푥+2 (gráfica 2.3) en la presente ecaución es necesario que 3푥+2≥0 entonces 푥≥− 23 por tal motivo el 퐷표푚=[− 23,∞); para calcular el rango es necesario elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad y despejar x
푦2=(√3푥+2)2 푦2=3푥+2 푦2−2=3푥
푦2−23=푥 se puede observar que a y se le puede asignar cualquier valor por lo cual el 푟푎푛=푅
d. 푓(푥)=푙표푔(푥−1) (gráfica 2.4) como los logaritmos solo están definidos para valores positivos se calculan los valores para los cuales se cumple las restricción 푥−1>0 entonces 푥> 1; por tal motivo el 푑표푚=(1,∞)
푦=log (푥−1) ase utiliza para despejar x la formaa exponencial 푦=log푎푥 para despejar x entonces es igual a 푎푦=푥
푥=10푦+1 por lo cual se puede observar que y puede tomar cualquier valor y el 푅푎푛=푅

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e. 푓(푥)= 18 푥2−9 (gráfica 2.5) cuando 푥=3 푦 푥=−3 la función se indetermina por lo tanto el 푑표푚=푅−{−3,3}; para calcular el rango se despeja x
푦= 18 푥2−9 푦∗ (푥2−9)=18
푥2−9= 18 푦 푥2= 18 푦 +9
푥=±√ 18 푦 +9 la raíz puede ser positiva o negativa entonces se necesita saber cuando 18+9푦 푦 ≥0 para lo cual se resuelven las dos desigualdades 18+9푦≥0 푦≥0 푦≥−2
Entonces la solución de la desigualdad es (−∞,−2]∩(0,∞) entonces el 푅푎푛=푅−[−2,0]
FUNCIONES TRASCENDENTES
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Una función de la forma 푓(푥)=푎푥;
퐷표푛푑푒 푎>표 푦 푎≠1, recibe el nombre de función exponencial. Las funciones exponenciales cumplen las siguientes características:
 El Dominio es el conjuntos de los números Reales; 퐷표푚=푅
 El Rango es el conjunto de los números reales positivos: 푅푎푛=푅+= (0,∞)
 Si el valor de a >1 la función es creciente
 Si el valor de 0 < a <1 la función es decreciente

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Para elaborar la gráfica de una función exponencial es necesario primero hallar el corte con el eje y para lo cual se evalúa la función cuando x = 0; luego se realiza una tabla de valores para poder encontrar diferentes puntos y de esta manera obtener un resultado más aproximado.
Ejemplo. Graficar la función 푓(푥)=2푥+1
Primero se halla el corte con el eje y cuando x=o; entonces 푓(푥)=20+1=21=2
Luego se realiza una tabla de valores
X
-1
-2
2
3
Y
1
0,5
8
16
푓(−1)=2−1+1=20=1 푓(−2)=2−2+1=2−1= 121= 12=0,5 푓(2)=22+1=23=8 푓(3)= 23+1=24=16
ECUACIONES CON FUNCIONES EXPONENCIALES
Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las cuáles la incógnita está en el exponente. Para resolverlas se aplica la propiedad de la potenciación 푎푥=푎푦푒푛푡표푛푐푒푠 푥=푦.
Ejemplo 1. Solucionar la ecuación ퟐ풙=ퟔퟒ
Primero se escribe el número 64 como potencia 64=26; este valor se reemplaza en la ecuación original
2푥=26 Como las bases son iguales entonces se igualan los exponentes 푥=6
La solución de la ecuación es 푥=6

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Ejemplo 2 solucionar la ecuación ퟓ풙+ퟑ=ퟏퟐퟓퟐ풙−ퟏ
ퟓ풙+ퟑ=ퟓퟑ(ퟐ풙−ퟏ)
ퟓ풙+ퟑ=ퟓퟔ풙−ퟑ Como las bases son iguales entonces se igualan los exponentes
푥+3=6푥−3 Se resuelve como una ecuación lineal 푥−6푥=−3−3 −5푥=−6
−푥=− 65 Se multiplica por -1 para que la incógnita no quede negativa 푥= 65
Ejemplo 3 solucionar la ecuación ퟐ풙ퟐ−ퟑ풙=ퟑퟐ
ퟐ풙ퟐ−ퟑ풙=ퟐퟓ Como las bases son iguales se igualan los exponentes 푥2−3푥=5
푥2−3푥−5=0 Para poder resolver esta ecuación aplicamos la fórmula cuadrática 푥= −푏±√푏2−4푎푐 2푎
Dado que a=1; b=-3 y c=-5 la solución dela fórmula cuadrática es 푥= 3±√292 al despejar los valores obtenemos que 푥1= 3+√292=4,192 y el valor de 푥2= 3−√292=−1,192
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Una Función de la forma 푓(푥)=푙표푔푎 푏,푐표푛 푎>0 푦 푎≠1, reciben el nombre de funciones logarítmicas. Las características de las funciones logarítmicas son:
 El dominio es el conjunto de los números reales positivos; 퐷표푚=푅+= (0,∞)
 El rango es el conjunto de los números reales; 푅푎푛=푅
 Si a > 1 la función es creciente
 Si 0 < a < 1la función es decreciente

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Funciones clasificación, Dominio y rango 2º Bimestre
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Propiedades de los logaritmos
1. 퐿표푔푎1=0 푝표푟푞푢푒 푎0=1
2. 퐿표푔푎푎=1 푝표푟푞푢푒 푎1=푎
3. 퐿표푔푎(푚∗푛)=퐿표푔푎 m + 퐿표푔푎 n
4. 퐿표푔푎(푚÷푛)=퐿표푔푎 m - 퐿표푔푎 n
5. 퐿표푔푎푚푛=푛∗푙표푔푎 m
Ejemplo. Escribir la siguiente expresión como un solo logaritmo ퟑ ퟐ 푳풐품 풙+푳풐품 풚− ퟏ ퟐ 푳풐품 풛
Primero encontramos un factor común 12(3퐿표푔 푥+2퐿표푔 푦−퐿표푔 푧)
En cada uno de los logaritmos se aplica la propiedad 5; entonces 3퐿표푔 푥=퐿표푔 푥3; 2퐿표푔 푦=퐿표푔 푦2; 퐿표푔 푧= 퐿표푔 푧.
Al reemplazar se obtiene 12(퐿표푔푥3+퐿표푔 푦2−퐿표푔 푧) como en 퐿표푔푥3+퐿표푔 푦2 hay una suma se aplica la propiedad 3 entonces nos queda 퐿표푔 푥3∗푦2 y se reemplaza
12(퐿표푔 (푥3∗푦2)−퐿표푔 푧) Como en (퐿표푔 (푥3∗푦2)−퐿표푔 푧) hay una resta se aplica la propiedad 4 entonces nos queda 퐿표푔 푥3∗푦2 푧 al remplazarlo obtenemos
12(퐿표푔 푥3∗푦2 푧 ) Se aplica la propiedad 5 y se obtiene 퐿표푔(푥3∗푦2 푧 ) 12=퐿표푔√푥3푦2 푧 los valores que puedan salir del radial se saca obteniendo como resultado 퐿표푔 푥푦√ 푥 푧
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Características

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FUNCIONES ESPECIALES
FUNCIÓN A TROZOS
Una función formada por la unión de dos o mas funciones, para la cual cada una de ellas esta definida en intervalos disyuntos, recibe el nombre de función segmentada o función a trozos. En general una función a trozos se define como: 푓(푥)=푓(푥)={ 푓1(푥) 푠푖 푥 ∈퐼1 푓2(푥) 푠푖 푥 ∈퐼2⋮ 푓퐾(푥) 푠푖 푥 ∈퐼퐾 Donde I simboliza cada uno de los intervalos
Ejemplo 1. Trazar la gráfica y determinar el dominio y rango de la siguiente función
풇(풙)={ ퟒ풙+ퟏퟏ 풔풊 풙 ∈ [−ퟒ,−ퟐ) 풙ퟐ 풔풊 풙 ∈[−ퟐ,ퟐ) ퟑ 풔풊 풙 ∈(ퟐ,ퟓ]
la función esta compuesta por tres trozos para los cuáles cada uno tiene su propio intervalo, para graficar se realiza una tabla de valores para cada trozo de la siguiente manera.
Para el trozo 1 se tiene en cuenta el intervalo y se dan los valores los cuáles se reemplaza el trozo de la función y se dan valores para 4x+11. Ejemplo 4(-4)+11=-16+11= -5
X
-4
-3
-2
Y
-5
-1
3
Para el trozo dos se realiza el mismo procedimiento del trozo 1 pero cambiando de función y de intervalo se utiliza la función 푥2.ejemplo (−2)2=4
X
-2
-1
0
1
2
Y
4
1
0
1
2
En el trozo 3 se puede observar que es una recta cuando y=3 en el intervalo (2,5]
Es importante qué en la gráfica se pueda observar cuando es un intervalo cerrado o un intervalo abierto mediante sus símbolos.
De la gráfica se observa que: 퐷표푚=[4,−2)∪[−2.2]∪(2,5]=[−4,−5]
Ran = [-5,4]

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FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Es un caso particular de las funciones a trozos. Está función asigna a cada elemento del dominio su valor absoluto y esta definida por: 푓(푥)=|푥|={ 푥 푠푖 푥≥0−푥 푠푖 푥<0
Ejemplo.Representar gráficamente la función 풇(풙)=|ퟐ풙+ퟏ|y luego determinar el dominio y rango.
Primero se escribe la función según la definicón del valor absoluto.
푓(푥)= { 2푥+1 푠푖 2푥+1≥0−(2푥+1)푠푖 2푥+1<0 Se resuelven los intervalos obteniendo 푥≥− 12 y 푥<− 12
푓(푥)= { 2푥+1 푠푖 푥≥− 12−2푥−1 푠푖 푥<− 12
Luego se realiza tablas de valores para cada uno de los trozos y se realiza la gráfica.
En la gráfica se puede observar que: 퐷표푚=푅
푅푎푛=[0,∞)

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