Parametros de mantenimiento

PARAMETROS DE
MANTENIMIENTO
HENRY J. VILLARROEL
Villarroelhnery.j@gmail.com

PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
ESQUEMA
OBJETIVO DEL CURSO
ANALISIS PROBABILISTICO
DEL MANTENIMIENTO
DISTRIBUCIONES DE
HENRY
VILLARROEL
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
PARAMETROS DE
MANTENIMIENTO
CONFIABILIDAD
MANTENIBILIDAD
DISPONIBILIDAD

CURSO PARAMETROS DE MANTENIMIENTO
OBJETIVOS
LLEGAR A CARACTERIZAR EL COMPORTAMIENTO DE LOS
EQUIPOS MEDIANTES PARAMETROS MEDIBLES CON EL FIN DE
DIAGNOSTICAR SU CONDICION
HENRY
VILLARROEL

INGENIERIA DE MANTENIMIENTO
Es la rama de la
ingeniería responsable
de la definición de
procedimientos,
HENRY
VILLARROEL
procedimientos,
métodos, análisis de
técnicas a utilizar,
contratos, estudios de
costos y medios para
hacer el mantenimiento
incluyendo la
investigación y
desarrollo
HENRY VILLARROEL

ESTUDIO DE LA
INGENIERIA DE
MANTENIMIENTO
HENRY
VILLARROEL
En base a la condición
Del Equipo y/o Sistema
En base al estudio de la
Estadística
•Confiabilidad
•Mantenibilidad
•Disponibilidad
•Tribología
•Vibraciones Mecánicas
•Ensayos No Destructivos

EN INGENIERIA, TRATAMOS DE REPRESENTAR LA REALIDAD A TRAVES DE
MODELOS MATEMATICOS.
MODELOS MATEMATICOSMODELOS MATEMATICOS
MODELOS PROBABILISTICOS HENRY
VILLARROEL
NO HAY INCERTIDUMBRE ACERCA DEL
RESULTADO
HAY INCERTIDUMBRE ACERCA DEL
RESULTADO
MODELOS MATEMATICOS.
MODELOS DETERMINISTICOS
MODELOS PROBABILISTICOS
“VARIABLE ALEATORIA”“VARIABLE ALEATORIA”
“VARIABLE NO ALEATORIA”“VARIABLE NO ALEATORIA”
DETERMINAN UN UNICO
RESULTADO FINAL
DETERMINAN UN RANGO
DE “PROBABLES”
RESULTADOS

VARIABLES ALEATORIASVARIABLES ALEATORIAS
SON VARIABLES CON ALGUN GRADO DE INCERTIDUMBRE ASOCIADO.
TAMBIEN SON CONOCIDAS COMO VARIABLES DISTRIBUIDAS.
VILLARROEL
DISCRETASDISCRETAS
CONTINUASCONTINUAS
NUMERO DE ELEMENTOS DEFECTUOSOS
NUMERO DE EQUIPOS EN OPERACIÓN
NUMERO DE BARRILES DE CRUDO
NUMERO DE ESTUDIANTES REPROBADOS
TIEMPOS DE OPERACIÓN
TASA DE FALLAS
TIEMPOS DE REPARACIÓN
VARIABLES DE PROCESOS (PRESION, TEMP. , ETC)

EN INGENIERIA EN MANTENIMIENTO, PARA VALIDAR NUESTROS MODELOS
MATEMATICOS, REALIZAMOS EXPERIMENTOS DONDE SIMULAMOS LA REALIDAD
EXPERIMENTOSEXPERIMENTOS
VILLARROEL
MATEMATICOS, REALIZAMOS EXPERIMENTOS DONDE SIMULAMOS LA REALIDAD
DEL COMPORTAMIENTO DEL EQUIPO Y/O SISTEMA Y MEDIMOS LOS RESULTADOS.
UN EXPERIMENTO PUEDE ENTENDERSE COMO UNA “MUESTRA DE LA REALIDAD
DEL COMPORTAMIENTO DEL EQUIPO Y/O SISTEMA” QUE PERMITE ,A TRAVES DE LA
OBSERVACION CONTROLADA, FORMULAR “UN MODELO”.
PARA FORMULAR MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS, (MODELOS
PROBABILISTICOS) ES NECESARIO HACER EXPERIMENTOS

POBLACION
UNIDADES DE INTERES
MUESTRA
VILLARROEL
MUESTRA
PEQUEÑA PARTE REPRESENTATIVA DE LA POBLACION
DATA DE CONFIABILIDAD
ANALISIS ESTADISTICO DE CONFIABLIDAD
INFORMACION
ACERCA DE LA POBLACION
ACCION

EJEMPLO DE MODELO PROBABILISTICO
En la tabla siguiente se muestran las horas de operación antes de fallar de un montacargas de la
empresa Otinsa. Desarrollar un modelo probabilistico para las fallas del montacargas
Horas antes de fallar Causa de la falla
VILLARROEL
11 caucho
19 Carburación
28 Sistema hidráulico
15 Sistema de elevación
5 Sistema de dirección
2 Caucho

EJEMPLO DE MODELO PROBABILISTICO (Cont.)
2min =X
49max =X
47249minmax =−=−= XXRango
1 3.33 8 4K Log= + ≅ 1275.11
4
47
≅==I
VILLARROEL
Intervalos (horas) Fr f (t)
2 - 14 4 0.50
15 - 27 2 0.25
28 - 40 1 0.125
41 - 53 1 0.125

Grafica de f(t) montacargas
0.5
0.4
0.5
0.6Frecuenciarelativa(%)
VILLARROEL
0.25
0.125 0.125
0
0.1
0.2
0.3
0.4
O2 - 14 15 - 27 28 - 40 41 - 53
Intervalos de Clase
Frecuenciarelativa(%)
SE PUEDE ADOPTAR UN MODELO PROBABILISTICO EXPONENCIAL PARA MODELAR EL
COMPORTAMIENTO DE FALLA DEL MONTACARGAS.

DISTRIBUCION NORMAL
DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS PARAMETRICASDISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS PARAMETRICAS
VILLARROEL
DISCRETASDISCRETAS
CONTINUASCONTINUAS
DISTRIBUCION NORMAL
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
DISTRIBUCION DE WEIBULL
DISTRIBUCION BINOMIAL
DISTRIBUCION HIPERGONOMETRICA
DISTRIBUCION DE POISSON

Es la distribución que
mejor modela la tasa de
falla constante o vida
útil de los equipos
MODELO PROBABILISTICO
EXPONENCIAL
HENRY
VILLARROEL
útil de los equipos
Muchos componentes
electrónicos tales como
circuitos, transistores
muestran un
comportamiento de falla
exponencial Frecuenciarelativa(%)
Intervalos de Clase (tiempo)

Modelo matemático
ttf e λλ −=)(
ttR e λ−=)(
EXPONENCIAL
HENRY
VILLARROEL
ttR e λ−=)(
λ
λ
λλ
=
−
−
==
t
t
tR
tf
th
e
e
)(
)(
)(
∫ ∫
∞ ∞
=−==
0 0
1
)(
λ
λλ dttdttRMTBF e
TasadeFalla(%)
)(1)( tRtF −=

Modelo matemático
ttR e λ−=)(
1
==haciendo
ConfiabilidadR(t)
EXPONENCIAL
HENRY
VILLARROEL
λ
1
== MTBFt
368.01
1
)( =−=






−
= eetR
λ
λ
haciendo
ConfiabilidadR(t)
Intervalos de tiempo
0.368
MTBF

ttR e λ−=)(
Linealizando la ecuación R(t)
EXPONENCIAL
HENRY
VILLARROEL
ttR λ−=)(ln
Linealizando la ecuación R(t)
( ) ( )22
.
)(ln.)(ln..
∑∑
∑ ∑ ∑
−
−
=−=
ii
i
ttn
tRttRtn
b i
λ
y bx a= +
Aplicando regresión lineal, se obtiene la tasa de falla:
LnR(t)
0.368
MTBF

Procedimiento para la predicción del MTBF y tasa de falla en la
distribución exponencial:
Agrupar los datos y graficar f(t) vs. Tiempo
Ordenar la información de los tiempos de operación en orden
ascendente (de menor a mayor)
Calcular la probabilidad de falla estadística por:
EXPONENCIAL
HENRY
VILLARROEL
i= numero de orden de observación
N=numero total de observaciones
Calcular la probabilidad de supervivencia R(t)=1-F(t)
Construir la recta de confiabilidad versus tiempos de operación en
papel exponencial
Determinar el MTBF con R(t)=37% aprox. en la grafica
1
)(
+
=
N
i
tF
4.0
3.0
)(
+
−
=
N
i
tF 50≥N20≤N5020 ≤≤ N
N
i
tF =)(

EJEMPLO
En la tabla siguiente se muestran las horas de operación antes de fallar de un montacargas de la
empresa Otinsa. Se desea estimar la probabilidad que no falle a las 30 horas de operación
EXPONENCIAL
HENRY
VILLARROEL
11 caucho
19 Carburación
15 Sistema de elevación
2 Caucho

EJEMPLO DE APLICACIÓN DISTRIBUCION EXPONENCIAL (Cont.)
2min =X
49max =X
47249minmax =−=−= XXRango
1 3.33 8 4K Log= + ≅ 1275.11
4
47
≅==I
EXPONENCIAL
HENRY
VILLARROEL
Intervalos (horas) Fr f (t) No. De
sobrevivientes
h (t)
2 - 14 4 0.50 8 0.50
15 - 27 2 0.25 4 0.50
28 - 40 1 0.125 2 0.50
41 - 53 1 0.125 1 1.00

Grafica de f(t) montacargas
Grafica de h(t) del Montacargas
EXPONENCIAL
HENRY
VILLARROEL
0.5
0.25
0.125 0.125
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
O2 - 14 15 - 27 28 - 40 41 - 53
Intervalos de Clase
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
2.0 - 14.0 15.0 - 27.0 28.0 - 40.0
Intervalos de Clase
Tasadefalla(%)

Ordinal (i) Tiempo
(horas)
F(t) R(t) R(t) en %
1. Ordenar en forma ascendente
2. Calculo de
3. Calculo de R(t)=1-F(t)
4.0
3.0
)(
+
−
=
N
i
tF
EXPONENCIAL
HENRY
VILLARROEL
(horas)
1 2 0.0833 0.0833 8.33
2 5 0.2023 0.2023 20.23
3 7 0.3214 0.3214 32.14
4 11 0.4404 0.4404 44.04
5 15 0.5595 0.5595 55.95
6 19 0.6785 0.6785 67.85
7 28 0.7976 0.7976 79.76
8 49 0.9166 0.9166 91.66

R(t)=36.8%
HENRY
VILLARROEL
MTBF=18 horas

Utilizando el método grafico, se obtiene el siguiente cuadro:
EXPONENCIAL
HENRY
VILLARROEL
1 1
0.055
18MTBF
λ = = =
18
0.055(30) 1.65(30) 0.1920 19%
MTBF
R e e− −= ≅= =

Ordinal (i) Tiempo
(horas)
R(t) LnR(t)
Utilizando el método analítico de la regresión lineal, se obtiene el siguiente
cuadro:
EXPONENCIAL
HENRY
VILLARROEL
(horas)
1 2 0.9167 -0.1165
2 5 0.7977 -0.2484
3 7 0.6786 -0.4004
4 11 0.5596 -0.5798
5 15 0.4405 -0.8209
6 19 0.3215 -1.1086
7 28 0.2024 -1.5141
8 49 0.0834 -2.2072

8
8
136
n
t
=
=∑
Aplicando el método analítico, se realiza un resumen estadístico:
8 8 8
. . ( ) . ( )i i i in t LnR t t LnR t−∑ ∑ ∑
EXPONENCIAL
HENRY
VILLARROEL
1
8
2
1
8
1
8
1
136
3970
( ) 194.5880
( ) 6.9963
i
i
i
i
i i
i
i
i
t
t
t LnR t
LnR t
=
=
=
=
=
=
= −
= −
∑
∑
∑
∑
1 1 1
28 8
2
1 1
2
0.04508(30)
. . ( ) . ( )
.
(8)( 194.5880) (136)( 6.9963)
0.04508
(8)(3978) (136)
1 1
22.11
0.04508
( )
( 30) 0.2586 26%
i i i i
i i i
i i
i i
t
n t LnR t t LnR t
n t t
MTBF
R t
R t
e
e
λ
λ
λ
λ
= = =
= =
−
−
−
− =
   
−   
   
− − −
− = = −
−
= = =
=
= = = ≅
∑ ∑ ∑
∑ ∑
horas

En mantenimiento
esta distribución
describe el periodo
de desgaste de los
DE GAUSS O NORMAL
HENRY
VILLARROEL
de desgaste de los
equipos
También puede ser
utilizada para
modelar los tiempos
de reparación de los
equipos

La tasa de falla
aumenta aumenta
sostenidamente
porque los elemento 2
 − µ
DE GAUSS O NORMAL
HENRY
VILLARROEL
porque los elemento
del equipo sufren un
proceso de deterioro
físico
Se define como una
variable aleatoria
continua x que es
normalmente
distribuida con media
y varianza
2
2
1
.
2
1
)(




=
−
−
σ
µ
πσ
xt
etf
∫
∞
−=
0
)(1)( dttftR xMTBF µ=
xµ
2σ
)(.
)(
)(
)(
)(
tR
Z
tR
tf
th
σ
φ==

Distribucion normal
estándar
Dado que y determinan
completamente la
distribución normal,
σxµ
1
f x( ) 0.5
1
f(xi)f(xi)
DE GAUSS O NORMAL
HENRY
VILLARROEL
completamente la
distribución normal,
entonces en la distribución
normal existen familias de
distribuciones normales, una
de mas cuales la mas
importante es la distribución
normal estándar( , )
La distribución normal se
puede estandarizar con:
0=xµ 1=σ





 −
=
σ
µxt
Z
0
128 x
8 9 10 11 12
0
Variable Aleatoria
xixi








−
=
2
2
.
2.
1
)1,0,(
z
tf eπσ
dt
z
zF e
z 







−
= ∫∞−
2
2
.
2.
1
)(
πσ
)(1)( zFzR −=

Ejemplo de aplicación de la distribucion normal
En tabla adjunta que se muestra a continuación se muestran los tiempos de
reparación (datos agrupados) de las tareas de mantenimiento de la planta
eléctrica P-01. La Gerencia de mantenimiento desea estimar para planificación de
la próxima tarea de mantenimiento la probabilidad de reparar la planta eléctrica
entre 4 a 10 horas
DE GAUSS O NORMAL
HENRY
VILLARROEL
entre 4 a 10 horas
Intervalos de Clase
(horas)
Acciones de
mantenimiento
1.1 - 2 5 0.06
2.1 - 4 10 0.18
4.1 - 6 16 0.37
6.1 - 8 22 0.64
8.1 - 10 14 0.81
10.1 . 12 10 0.93
12.1 - 14 5 0.06
14.1 - 16 1 0.01
)(tf
6.6 MTTRµ= = horas
14.3=σ horas

Histograma de Frecuencia Tiempos de Reparacion Planta Electrica
20
25
FrecuenciadeClase
DE GAUSS O NORMAL
HENRY
VILLARROEL
0
5
10
15
20
1.1 - 2 2.1 - 4 4.1 - 6 6.1 - 8 8.1 - 10 10.1 - 12 12.1 - 14 14.1 - 16
Intervalos de Clase (horas)
FrecuenciadeClase

Resolución del Problema
)104( ≤≤ TM Estandarizando los tiempos:
83.0)
14.3
61.64
()
)
(1 −=
−
=
−
=
σ
µxt
Z
08.1)
14.3
61.610
()(2 =
−
=
−
=
σ
µxt
Z
?)08.183.0( =≤≤− TM
?)( 21 =≤≤ ZTZM
DE GAUSS O NORMAL
HENRY
VILLARROEL
∞−
=≤≤− )08.183.0( TM
=≤≤− )08.183.0( TM
?)08.183.0( =≤≤− TM
83.01 −=Z 08.12 =Z 08.12 =Z∞− 83.01 −=Z
= -
)08.1(φ )83.0(−φ-
0.8599 0.2033-
0.6560 (65.66%)=≤≤ )104( TM

Es la distribución de vida mas
ampliamente utilizada en los
análisis para describir la tasa de
falla de los equipos, por su
versatilidad.
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
versatilidad.
Matemáticamente se define:
( )β
α
β
αα
β /
.
1
)( t
et
tf −
−






=
1
)( −
= β
β
α
β
tth
( )β
α/
)( t
etR −
=
h(t)
β=Pendiente o parámetro de forma
α = Parámetro de escala (edad característica de falla)

Características:
β<1 tasa de falla
decreciente (Mortalidad
infantil)
β =1 tasa de falla
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
β =1 tasa de falla
constante (vida útil)
β > 1 tasa de falla
creciente (desgaste)
)
1
1(.
β
α +Γ=MTBF
)
1
1(
β
+Γ = Función Gamma
Casos particulares:
1=β α=MTBF
5.0=β α.2=MTBF

( )β
α/
)( t
etR −
=
PAPEL WEIBULL
METODO GRAFICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
e
1=β
α=t
3678.01)( =−== etR α
6322.0)(1)( ==−== αα tRtF
Haciendo:
0.6322
F(t)
PAPEL WEIBULL
α=t

METODO ANALITICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL
( )β
α/
)( t
etR −
=
β
α




=−
t
tLnR )( ( )
b
LntLntn
tR
LnLnLnt
tR
LnLnLntn
i
ii
=
−






−





=
∑∑
∑ ∑ ∑
22
.
)
)(
1
.)
)(
1
(..
β
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
α




=− tLnR )(
αββ LnLnt
tR
LnLn ..
)(
1
−=













axby += .
( )LntLntn i− ∑∑.
( )
a
LntLntn
tR
LnLnLnt
tR
LnLnLnt
Ln
i
i
=
−






−





=−
∑ ∑
∑ ∑∑
22
2
.
)
)(
1
(.)
)(
1
(.
. αβ
β
α
−
=
a
Ln






−
=
β
α
a
e
Aplicando Regresión Lineal a la ecuación

Procedimiento para la predicción edad característica de falla y
modo de falla en la distribución Weibull:
Agrupar los datos y graficar f(t) vs. Tiempo
Ordenar la información de los tiempos de operación en orden
ascendente (de menor a mayor)
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
i = numero de orden de observación
N=numero total de observaciones
Construir la recta de confiabilidad versus tiempos de operación
Determinar la edad característica de falla( ) con F(t)=62.22% aprox.
en la grafica
Determinar
1
)(
+
=
N
i
tF 4.0
3.0
)(
+
−
=
N
i
tF 50≥N20≤N5020 ≤≤ N N
i
tF =)(
α
β

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION DE WEIBULL
El gerente de mantenimiento de una planta eléctrica desea la probabilidad de que no falle a
las 200 horas de operación, el tiempo promedio entre fallas (MTBF) de un motor diesel.
Para este propósito disponen de los tiempos de operación en horas del equipo hasta fallar:
6,23,163,282,215,46,503,92,12,46,20
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
Intervalos de
clase (horas)
Frecuencia de
clase
0 – 100 9
100 – 200 1
200 – 300 2
300 – 400 2
400 – 500 0
500 - 600 1
Histograma de Frecuencia Motor Diesel
0
2
4
6
8
10
0 - 100 100 - 200 200 - 300 300 - 400 400 - 500
Intervalos de Clase (horas)
FrecuenciadeClase

4.0
3.0
)(
+
−
=
N
i
tF
RESOLUCION UTILIZANDO EL METODO GRAFICO
Ordinal Tiempo F(t) F(t) en %
1 2 0.0523 5.23
2 6 0.1269 12.69
3 12 0.2015 20.15
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
3 12 0.2015 20.15
4 16 0.2761 27.61
5 20 0.3507 30.07
6 23 0.4254 42.54
7 46 0.500 50.00
8 46 0.5746 57.46
9 92 0.6492 64.92
10 163 0.7239 72.39
11 215 0.7985 79.85
12 282 0.8731 87.31
13 503 0.9478 94.78
Graficar la recta de confiabilidad F(t) vs. Tiempo en papel Weibull

62.22 %
HENRY
VILLARROEL
α = 85 horas

Resultados por el método grafico:
0.6
85
β
α
=
= horas
(Mortalidad infantil)
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
0.6
200
85
85
. (1 1/ )
(85)( (2.66))
(85)(1.496) 127.16
(200) 0.1880 19%
MTBF
MTBF
MTBF
R e
α
α β
 
− 
 
=
= Γ +
= Γ
= =
= = ≅
horas

RESOLUCION UTILIZANDO EL METODO ANALITICO DE LA REGRESIÓN LINEAL
Ordinal Tiempo F(t) R(t) Lnt Ln(Ln(1/R(t)))
1 2 0.0523 0.9477 0.6931 -2.9240
2 6 0.1269 0.8731 1.7917 -1.9972
3 12 0.2015 0.7931 2.4849 -1.4915
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
4 16 0.2761 0.7985 2.7725 -1.1297
5 20 0.3507 0.6493 2.9357 -0.8396
6 23 0.4254 0.5746 3.1354 -0.5944
7 46 0.5000 0.5000 3.8286 -0.3665
8 46 0.5746 0.4254 3.8286 -0.1569
9 92 0.6492 0.3509 4.5217 0.0461
10 163 0.7239 0.2761 5.0937 0.2523
11 215 0.7985 0.2061 5.3706 0.4570
12 282 0.8731 0.1269 5.6419 0.7248
13 503 0.9478 0.0522 6.2205 1.0827
Realizamos el resumen estadístico necesario para la aplicación de la regresión lineal

13
1
13
48.371i
i
n
Lnt
=
=
=∑
Resumen estadístico :
DE WEIBULL
HENRY
VILLARROEL
1
13
2
1
13
1
13
1
13 13 13
1 1 1
13 13
2
1 1
( ) 211.37
( (1/ ( ))) 7.123
. ( (1/ ( ))) 7.241
. . ( (1/ ( ))) . ( (1/ ( )))
.
i
i
i
i
i
i i
i
i i i i
i i i
i i
i i
Lnt
Ln Ln R t
Lnt Ln Ln R t
n Lnt Ln Ln R t Lnt Ln Ln R t
n Lnt Lnt
β
=
=
=
=
= = =
= =
=
= −
= −
−
=
   
−  
   
∑
∑
∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
2 2
(13)( 7.241) (48.371)( 7.123)
0.631
(13)(211.37) (48.371)
− − −
= =
−


13 13 13 13
2
1 1 1 1
213 13
2
1 1
( ) . ( (1/ ( ))) . ( (1/ ( ))).
.
.
(211.37)( 7.123) ( 7.241)(48.371)
i i i i i
i i i i
i í
i i
Lnt Ln Ln R t Lnt Ln Ln R t Lnt
Ln
n Lnt Lnt
β α = = = =
= =
−
− =
   
−   
   
− − −
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
DE WEIBULL
2
(211.37)( 7.123) ( 7.241)(48.371)
. 2.831
(13)(211.37) (48.371)
2.831
Ln
Ln
β α
α
β
− − −
− = = −
−
− −
= =
−
0.631
200
88.76
2.831
4.486
0.631
4.486 88.76
. (1 1/ ) (88.76). (2.361) (88.76)(1.463) 129.85
( 200) 0.1883 19%
t
MTBF
R t
e
e e
β
α
α
α β
   
− −   
   
=
−
=
= Γ + = Γ = =
= = = = ≅
=
horas
horas

Estudio de l a Ingeniería
de Mantenimiento
Análisis de Falla
Estudio del comportamiento del
Equipo y/o Sistema basado
HENRY
VILLARROEL
Análisis de Falla Equipo y/o Sistema basado
En modelos Probabilísticos
Análisis de Falla Técnico
Análisis de Falla basado en
La Estadística
• Diagrama Causa Efecto
•AMEF
•Diagrama de Pareto
•Tasa de Falla
•Análisis de Criticidad
•Confiabilidad
•Mantenibilidad
•Disponibilidad

Introducción
Todo equipo cumple una
determinada función que satisfaga
nuestras necesidades y
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
nuestras necesidades y
expectativas, pero inevitablemente
antes o después hemos sufrido las
consecuencias
negativas de sus fallas que pueden
traer consecuencias económicas y
de seguridad, tomemos 3 ejemplo:
Bombillo
Pastillas de freno de un vehiculo
Motor de un Avión

Surge la necesidad de estudiar en
profundidad los mecanismos a través
de los cuales se produce una falla para
así evitar su aparición o minimizar los
efectos, si es que llega a producirse,
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
efectos, si es que llega a producirse,
esto implica:
Determinar las exigencias de
seguridad
Realizar tareas de mantenimiento
periódico.
En resumen se puede concluir que:
No siempre es fácil determinar el
momento en que el sistema falla.

No todas las fallas son igualmente
predecibles o evitables.
No todas las fallas producen las
mismas consecuencias
económicas operativas
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
económicas operativas
No todas las fallas tienen las
mismas repercusiones sobre la
seguridad de los usuarios.
No todas las fallas tienen su
origen en las mismas causas
(Hardware, software, usuarios,
mantenedores).
La confiabilidad trata sobre el
estudio de las fallas de los
equipos y sistemas.

Confiabilidad. Concepto
Es la ciencia que se encarga de la
predicción, estimación u optimización de las
distribuciones de probabilidad de
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
distribuciones de probabilidad de
supervivencias de los componentes o
sistemas (Elsayed, 2000)
“Habilidad de un activo en ejercer una
función en una condición establecida y por un
periodo de tiempo definido”. (Nava, 1996)
Probabilidad de que un equipo, maquinaria o
sistema realicen sus funciones
satisfactoriamente bajo condiciones
especificas dentro de cierto periodo de
tiempo, medido por MTBF”. (Mckenna, 1998)

Medición de la
Confiabilidad
Tiempo promedio entre
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Tiempo promedio entre
fallas (MTBF)
Tasa de Riesgo (h(t))
Confiabilidad en
sistemas No Reparables,
sistemas Reparables

Sistema No Reparables
Un equipo no reparables es
aquel cuya condición
operativa no puede ser
restaurada después de una
falla.
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
falla.
Su vida termina con una
“única” falla y debe ser
reemplazado.
Para caracterizarlo
probabilisticamente se
requiere estimar la “tasa de
falla λ(t)”

Sistema Reparables.
Un equipo reparable es aquel
cuya condición operativa puede
ser restaurada después de una
falla, por la acción de
reparación diferente al
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
falla, por la acción de
reparación diferente al
reemplazo total del mismo.
Para caracterizarlo
probabilisticamente se requiere
estimar la “tasa de falla λ (t)” y
la tasa de reparación µ(t).
Además de la confiabilidad se
requiere calcular la
disponibilidad.

Tiempo promedio entre falla (MTBF):
Es una medida de la confiabilidad, representa el valor medio
entre falla.
No debe ser confundido con el tiempo medio a la falla MTTF
(Mean Time To Failure)
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
(Mean Time To Failure)
Si t es una variable aleatoria continua, el valor esperado puede
ser determinado por:
∫
∞
= 0
)()(. tdtftMTBF
∫−=
−=
t
dttftR
tFtR
0
)(1)(
)(1)(
)()(
tfdt
tdR
−=

Tiempo promedio entre falla (MTBF)
dtMTBF dt
ttdR
∫
∞
−=
0
)(
∫
∞
−= )(. tdRtMTBF
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Integrando por partes:
∫−=
0
)(. tdRtMTBF
)(
**
tRvtu
vduvudvu
=∴=
−=∫ ∫
Sustituyendo:
[ ] ∫∫
∞
∞
−=−
000
)()(*)( dttRtRtttdR
,0)( =∞R 1)0( =REvaluando:

∫ ∫
∞ ∞
=
0 0
)()( dttRttdR
Tiempo promedio entre falla (MTBF)
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
(Sistema Reparables)
(Sistema No Reparables)
∫
∞
=
0
)( dttRMTBF
∫
∞
=
0
)( dttRMTTF

Tasa de Riesgo (Rate hazard): Es la propiedad de falla
instantánea de un equipo en un tiempo “t”.
liabilitytR
failuretf
th Re)(
)(
)( =
=
=
TasadeFalla
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
liabilitytR
failuretf
th Re)(
)(
)( =
=
=
No. de equipos que fallaron en un tiempo t
No. de equipos que sobreviven en un tiempo t
Tiempo de Operación (Edad o vida)
Mortalidad infantil Vida útil Periodo de desgate
Decrecimiento de
la tasa de falla
Tasa de fallas constante Incremento de la
tasa de falla
TasadeFalla

Tasa de Riesgo h (t):
)(
)(
)(
tR
tf
th = )(1)( tFtR −=
)(
)( tf
th =
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
)(1
)(
)( tF
tf
th −=
Para el caso de una función de distribución de probabilidad exponencial:
t
etf λ
λ
−
=)(
∫=
t
dttftF
0
)()(
dttF
t
t
e∫
−
=
0
)( λ
λ

Tasa de Riesgo h (t):
dttF
t
t
e∫
−
=
0
)( λ
λ dt
t t
e∫
−
= 0
λ
λ
 
t
eeλ −==
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
  ttt
eetF λλ
λλ −−−
−== 1)( 0
1
t
etRtFtR λ−
=⇒−= )()(1)(
λλ
λλ
== −
−
t
e
e t
tR
tf
th
)(
)(
)(
λλ
λ
λ
1
0
)(
0 0
=
∞−−=
∫ ∫
∞ ∞ −
==
teMTTF
dttRMTTF
t
e

Tasa de Riesgo h (t) de las distribuciones
De probabilidad mas comunes
)(tf )(th
Nombre parámetros
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
t
e λ
λ
−
.
λ λ
2
2
1
.
2
1 


 −
−
σ
µ
πσ
xt
e )(. tR
xt
σ
σ
µ
φ 




 −
σµ ,x2
ln
2
1
2..
1 


 −
−
σ
µ
πσ
xt
et
)(..
ln
tRt
xt
σ
σ
µ
φ 




 −
σµ ,x
( )β
α
β
αα
β /
.
1
t
et −
−





 1−β
β
α
β
t αβ,
Exponencial
Normal
Log-Normal
Weibull

ANALISIS DE CONFIABILIDAD
ANÁLISIS DE CONFIABILIDAD PARA SISTEMAS
PREGUNTAS CLAVES
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
PARA SISTEMAS
BASADO EN LA CONDICION
BASADO EN HISTORIA DE FALLA
¿CUAL ES LA PROBABILIDAD
DE QUE LA FALLA DEL
EQUIPO HAGA FALLAR EL
SISTEMA Y AFECTE AL
PROCESO?
¿CUAL ES LA
PROBABILIDAD DE QUE
FALLE EL EQUIPO?

Confiabilidad del sistema:
BLOQUE II
COMPRESION
BLOQUE 2 FALLA
Permite la estimación de la
probabilidad de falla o confiabilidad
de un sistema basándose en las
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
63
BLOQUE 2 FALLA
SIST 3 FALLA SIST 4 FALLA
OPER.
FALLA
SWITCH
FALLA
COMP.# 1
FALLA
COMP.# 2
FALLA
de un sistema basándose en las
probabilidad de cada equipo
componente del sistema.
Se sustenta en diagramas de
bloques
Permite estimar la contribuciones de
cada equipo en la probabilidad de falla
o confiabilidad del sistema.

CONFIABILIDAD EN SERIE:
Si existe una independencia entre los
equipos:
R (s) = R(A).R(B).R(C)
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
R (s) = R(A).R(B).R(C)
( )∏=
=
n
i
RiRs
1
La confiabilidad de un sistema en
Serie es mucho mas pequeña que la
confiabilidad de las unidades
individuales.

Considere un sistema que consiste en 5 componentes, 3 de los cuales tienen una
tasa de falla constante , los otros dos
restantes componentes tienen un comportamiento de tasa de weibull con
horasxhorasxhorasx /
6
1093,/
6
1032,/
6
1051
−
=
−
=
−
= λλλ
Ejemplo Confiabilidad en Serie:
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
restantes componentes tienen un comportamiento de tasa de weibull con
parámetros. 1.2,14523,2.2,7650 5544 === = βαβα horashoras
2 3 41 5
hx /
6
1032
−
=λ hx /
6
1093
−
=λhx /
6
1051
−
=λ
2.24
/
6
1076504
=
−
=
β
λ hx
1.25
/
6
10145234
=
−
=
β
λ hx
Determine la confiabilidad del sistema en t =1000horas.








−−∑ ∑
= =
=
3
1
2
1
)/(
)( i i
i
itit
etRs
β
αλ

Ejemplo Confiabilidad en Serie (Continuación):
( ) ( ) ( ) 017.01000*
16
109
6
103
6
105321
3
1
=
−
+
−
+
−
=++=∑
=
h
horas
xxxt
i
ti λλλλ
β
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
0149.00036.00113.0
1.2
14523
1000
2.2
7650
10002
1
=+=+=∑
=


















h
h
h
h
i
i i
t
β
α
( )
( )
%86.96)1000(
9686.01000
0319.00149.0017.0
)1000(
=
=
−
=
−−
=
Rs
Rs
eeRs

CONFIABILIDAD EN PARALELO:
Asumiendo independencia tenemos:
F= FALLA, F+R=1
Fs = F ( A ) .F( B ).F(B)
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
( )∏=
−=
n
i
iRFs
1
1
Fs = F ( A ) .F( B ).F(B)
La confiabilidad de un sistema de un sistema
en paralelo, entonces es:
( )∏=
−−=
n
i
iRRs
1
11

EJEMPLO CONFIABILIDAD EN PARALELO:
Considere un sistema en paralelo con 2 componentes que tienen
una tasa de falla constante de Cuál es
la confiabilidad del sistema a las 1000 horas?, ¿Cuál es la tasa de
Falla del sistema?
hxhx /103.0,/105.0 6
2
6
1
−−
== λλ
λ
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Falla del sistema? 1λ
2λ
( )
( )( )
( )( )
1
0.000005(1000) 0.000003(1000)
2
( ) 1 1
1
2( ) 1 1 1
( ) 1 1 1
( ) 1 (0.0049)(0.0029)
( ) 0.999 99%
it
Rs t
i
tt
Rs t
Rs t
Rs t
Rs t
e
e e
e e
λ
λλ
− −
−
∏= − −
=
−−
= − − −
= − − −
= −
= ≅

CONFIABILIDAD DE SISTEMA K DE N:
Existen sistemas que no pueden ser considerados que fallan
completamente hasta que al menos K componentes de N
componentes no hayan fallado, estos sistemas son conocidos con
“K de N”.
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
( ) kn
P
k
P
k
n
PnkR
n
kr
−
−∑=
=




 1..),,(
“K de N”.
Ejemplo de sistemas K de N:
Avión, Cables, Plantas de generación de potencia.
Asumiendo que todas las unidades tienen idénticas e
independientes las distribuciones de vida y la probabilidad que una
unidad este funcionando es P, entonces la probabilidad que
exactamente K unidades estén funcionando de n es:

Ejemplo de sistema K de N:
Considere el sistema de bomba de crudo mostrado en la figura. La confiabilidad de todas las bombas son
iguales y Rp = 0.8. Adicionalmente, las válvulas de bloqueo y las válvulas check de las bombas tienen una
confiabilidad de 0.99. Finalmente la confiabilidad de la válvula de control en la descarga del sistema es de
0.98 y las válvulas del by pass y de entrada tienen una confiabilidad de 0.98. El sistema requiere que 2 de
las 5 bombas estén en funcionamiento para cumplir con el requerimiento de la empresa
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
1
4
3
5
RV=0.9
8
RV=0.9
8
RVc=0.98
RVb=0.99
RV=0.9
9
RVc=0.99
2
Rp=0.80

DIAGRAMA DE BLOQUE DEL SISTEMA:
Rv =0.99 Rvc =0.99Rp =0.80
Rvb =0.99Rvc =0.99Rp =0.80Rv =0.99
Rvb=0.99
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
RV =0.98
Rvb =0.99Rp =0.80 Rvc =0.99
Rvb =0.99
Rv =0.99
Rv =0.99
Rv =0.99 Rp =0.80
Rp =0.80 Rvb =0.99
Rvc =0.99
Rvc=0.99
Rvc =0.98
Rv =0.98
Para el sistema A: Válvula de bloqueo- bomba – válvula check - válvula de bloqueo
Ra =(0.99)(0.80)(0.99)(0.99) = 0.7762
∏=
=∴
4
1
,
i
RiRs

DIAGRAMA DE BLOQUE DEL SISTEMA (continuación)
Ra =0.776
Rv =0.99
Ra =0.776
Ra =0.776 Rvc =0.99
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Ra =0.776
Ra =0.776
Ra =0.776
Rv =0.99
Para un requerimiento del sistema Ra, es un sistema K de n, ya que se requieren que 2 de las 5
bombas estén en funcionamiento
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
989.0)776.0,5,2(
776.01776.0
5
5
776.01776.0
4
5
776.01776.0
3
5
776.01776.0
2
5
)776.0,5,2(
776.01776.0
2
5
)776.0,5,2(
05
142332
32
5
2
=
−





+−





+−





+−





=
−





= ∑=
Rs
Rs
Rs
r

Diagrama de Bloque del Sistema ( continuación):
RV =0.98
2 de 5
Rs =0.989
Rvc =0.98
Rv =0.98
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Rv =0.98
[ ] [ ] [ ]
2
1 1 ( ) 1 1 0.98 * 1 0.98 0.996 99.6%
1
Rvc by pass R ti
i
∏+ − = − − = − − − = ≅
=
Finalmente, la confiabilidad de todo el sistema de bombeo viene dada por:
*
. ( ) .( )
0.98 * 0.989 * 0.996 0.965 96.5%
.
R R R R
sist bombeo v entrada sist bombas vc by pass
R
sist bombeo
= + −
= ≅
=

DA
• Existen sistema que no pueden ser
modelados o son difíciles de modelar
como sistema serie, paralelo, o K de N,
SISTEMAS COMPLEJOS DE CONAFIABILIDAD
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
D
EC
B
A
como sistema serie, paralelo, o K de N,
por ejemplos sistemas de
comunicaciones, redes de computación.
• La confiabilidad de estos sistemas
complejos puede ser determinada por
otros métodos, entre otros Método de la
tabla de la verdad de Booleana.

Método de la tabla de la verdad Booleana:
Se basa en la condición de los componentes, si funcionan o no.
Una columna es creada en la tabla de cada componente con valores de 0 y 1 para
indicar que un componente esta funcionando o no respectivamente. Cada columna en
la tabla entonces representa un estado del sistema (probabilidad de estado). La
confiabilidad del sistema es la suma de todas las probabilidades de estado donde el
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
confiabilidad del sistema es la suma de todas las probabilidades de estado donde el
sistema funciona.
Ejemplo:
Calcular la confiabilidad del sistema mostrado utilizando el método de la tabla de la verdad Booleana,
Donde R(E) = 0.6, R(A) = 0.7, R(B) = 0.8, R(C) = 0.9 y R(D) = 0.78
A
D
E
B C

El número de probabilidades de estado (PE) viene dado por la siguiente ecuación:
n
PE 2=
Donde n representa en número de componentes del sistema, para este caso: n=5
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Donde n representa en número de componentes del sistema, para este caso: n=5
3225
==PE
El siguiente paso es encontrar las diferentes combinaciones de equipos en estado
operativo (1) o de falla (0) en el sistema funcione (1), donde se encontrará la
probabilidad de estado que es el productos de las diferentes probabilidades, las
suma de todas las propiedades de estado donde el sistema esta funcionando será
la confiabilidad del sistema.

A B C D E Estado
del
sistema
Probabilidad de estado (PE)
1 0 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 1 R(A)F(B)F(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.1)(0.78)(0.6)=0.0065
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
1 0 0 1 1 1 R(A)F(B)F(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.1)(0.78)(0.6)=0.0065
1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 1 R(A)F(B)F(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.1)(0.22)(0.6)=0.0018
1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 F(A)R(B)R(C)R(D)R(E)=(0.3)(0.8)(0.9)(0.78)(0.6)=0.1010
0 1 1 1 0 1 F(A)R(B)R(C)R(D)F(E)=(0.3)(0.8)(0.9)(0.78)(0.4)=0.0673
0 1 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0 0
Continua…

A B C D E Estado
del
sistema
1 1 1 1 1 1 R(A)R(B)R(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.78)(0.6)=0.2358
1 1 1 1 0 1 R(A)R(B)R(C)R(D)F(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.78)(0.4)=0.1572
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
Continua…
1 1 1 0 1 1 R(A)R(B)R(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.22)(0.6)=0.0665
1 1 1 0 0 1 R(A)R(B)R(C)F(D)F(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.22)(0.4)=0.0443
1 1 0 1 1 1 R(A)R(B)F(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.1)(0.78)(0.6)=0.0262
1 1 0 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1 R(A)R(B)F(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.1)(0.22)(0.6)=0.0073
1 1 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 1 R(A)F(B)R(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.9)(0.78)(0.6)=0.0589
1 0 1 1 0 1 R(A)F(B)R(C)R(D)F(E)=(0.7)(0.2)(0.9)(0.78)(0.4)=0.0393
1 0 1 0 1 1 R(A)F(B)R(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.9)(0.22)(0.6)=0.0166

A B C D E Estado del
sistema
0 1 0 1 1 0 0
0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0
HENRY
VILLARROEL
CONFIABILIDAD
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 F(A)F(B)R(C)R(D)R(E)=(0.3)(0.2)(0.9)(0.78)(0.6)=0.0252
0 0 1 1 0 1 F(A)F(B)R(C)R(D)F(E)=(0.3)(0.2)(0.9)(0.78)(0.4)=0.0168
0 0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0
∑=
==
15
1
8715.0
i
PEiRs

Mantenibilidad
Probabilidad de un
equipo, maquinaria o
sistema pueda ser
restaurado a
MANTENIBILIDAD
HENRY
VILLARROEL
restaurado a
condiciones normales
de operación dentro de
un periodo de tiempo
dado cuando su
mantenimiento ha sido
realizado de acuerdo a
procedimientos
establecidos

Tiempo fuera de servicio
Tiempo activo de mantenimiento Tiempo en demoras logísticas Tiempo en demoras administrativas
Mantenimiento Correctivo Mantenimiento Preventivo
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
Tiempo de
Reparación
Tiempo de
Inspección
Tiempo de
Servicio
Tiempo de
Checkout
Reparación del
Mantenimiento
Localización y
aislamiento de
falla
Desensamblaje
del equipo
Reparación del
elemento en sitio
Reemplazo del
elemento fallado con
repuesto
Reensamble
del equipo
Ajuste,
calibración o
alineación, etc.
Verificación de
condiciones
(Checkout

Medición de la
Mantenibilidad
Medición basada en tiempo
(Tiempo promedio de
Reparación, MTTR)
MANTENIBILIDAD
Reparación, MTTR)
Medición basada en carga de
trabajo (Horas hombres de
mantenimiento, Horas
hombres por acciones de
mantenimiento)
Medición basada en costos
de las tareas (Costo
promedio de la tarea, costo
anual)

Medición de la mantenibilidad basada en tiempo
La función mantenibilidad es una distribución de la variable
aleatoria del Tiempo medio a reparar MTTR (Mean Time To Repair),
que representa el tiempo de ejecución de una tarea de
mantenimiento cualquiera, ya sea preventiva o correctiva:
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
∫=≤=
t
dttmtMTTRPtM
0
)()()( m(t)= La función de densidad
de la variable aleatoria MTTR
mantenimiento cualquiera, ya sea preventiva o correctiva:
En este curso trabajaremos con dos tipos de distribuciones
que mejor simulan la mantenibilidad:
- La distribución de Gauss o Normal
- La distribución Weibull
- La distribución de Gumbel Tipo I
- La Exponencial

Distribución Normal:
Tienen aplicación en tiempos de
reparaciones de los equipos mecánicos y
electromecánicos.
Definición: Es una variable aleatoria
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
Definición: Es una variable aleatoria
continua x que esta normalmente
distribuida con la media y varianzaχµ 2
σ
2
*
2
1
*
2
1
)(





 −
−
=
σ
µ χ
πσ
t
etf
∫
∞
=
0
)()( dttftM χµ=MTTR

EJEMPLO DE APLICACIÓN
En la tabla 1 se muestran los tiempos en minutos de las actividades de mantenimiento
correctivo de un montacargas. Se desea determinar las siguientes interrogantes:
a)¿Cuál será la probabilidad de presentarse una falla de hacer la tarea de mantenimiento
correctivo entre 52 y 72 minutos?
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
b)¿Cuál es el tiempo por debajo del cual se comportaran el 85% de las tareas de
mantenimiento correctivo?
Tabla 1
51 71 75 67 86 58 52 64 41 74
48 55 43 72 30 39 64 45 63 37
70 37 48 71 69 83 57 83 46 72
33 59 97 66 93 76 68 50 65 63
75 63 51 69 75 64 54 53 59 92

Ejemplo de aplicación (Continuación)
Intervalos de
clases
Frecuencia de
Clase
30 - 39.5 5
Frecuencia de Mantenimeinto Correctivo del Montacargas
14
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
30 - 39.5 5
40 – 49.5 6
50 – 59.5 11
60 - 69.5 12
70 - 79.5 10
80 - 89.5 3
90 - 99.5 3
0
2
4
6
8
10
12
30 - 39.5 40 - 49.5 50 - 59.5 60 - 69.5 70 - 79.5 80 - 89.5 90 - 99.5
Intervalos de Clase en Minutos
FrecuenciadeClase

∑
=
====
n
i n
iMTTR
1
min92.61
50
3096χ
χµ
min74.15
49
12138
1
2)(
==
−
∑ −
=
n
xix µ
σ
a.
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
491−n
64.0
74.15
)92.6172(
63.0
74.15
)92.6152(
21 =
−
=−=
−
= ZZ
)(7389.0)()(2643.0)( 21 tablaZtablaZ == φφ
2643.07384.0
)()()( 1221
−=
−=∠∠ ZZZXZM φφ
Z1 Z2
%)41.47(4741.0)7252( ≡=∠∠XM

)(85.0?)(85.0 ztM φ=⇒==
b.
Por tabla A3
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
04.18508.0?)( =⇒== Zzφ
min26.78. =⇒+=⇒
−
= 





mctxZmctxmct
Z µσ
σ
µ

Distribución de probabilidad de
Gumbel I
La distribución de Gumbel I es
utilizada en mantenimiento para
)(
)(
utaeetP
−−−
=
=u
1
Media o edad característica para reparar
HENRY
VILLARROEL
Función acumulativa de Gumbel I
MANTENIBILIDAD
utilizada en mantenimiento para
predecir la mantenibilidad de los
equipos, ya que los tiempos de
reparación de los equipos obedecen
a la ley del efecto proporcionado.
La Ley del efecto proporcionado
expresa que en si el cambio de una
variable en cualquier paso del
proceso es una porción al azar del
valor previo de la variable.
=
=
=
=
=
=
MTTR
u
a
ua
t
m
a
,
1
a
uMTTR
5778.0
+=
Inverso de la pendiente de la recta de
mantenibilidad
Tiempo estimado para el próximo trabajo
Coeficientes de la distribución Gumbel I
Parámetro de dispersión
Parámetro de posición
Tiempo promedio de reparación del equipo

Los tiempos de reparación de un
equipo están compuestos por:
Enfriamiento
Ubicación de las fallas
Reparación de la falla
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
Reparación de la falla
Puesta en funcionamiento.
El tiempo de reparación será la suma
de los dos tiempos parciales del
proceso
Modela:
Situaciones de pocas paradas de
corta duración
Se presta para cálculos analíticos

Los parámetros a y u son los mas importantes en esta distribución.
Para la estimación de estos parámetros existen 2 métodos de
resolución: Método Gráfico y el Método Analítico.
Método Analítico
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
)(
)(
uta
e
etP
−
−
−
=
)(
)( uta
etLnP −−
−=
)()]([ utatLnPLn −−=−
atautLnPLn −+=− )]([
axby +=
Aplicando logaritmos a la ecuación
Ecuación linealizada

∑∑
∑ ∑ ∑
−
−−−
=− 22
)()(*
)]([.)]([..
ii
ii
ttn
tLnPLnttLnPLntn
a
Aplicando regresión lineal
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
∑∑ − )()(* ii ttn
∑ ∑
∑ ∑∑∑
−
−−−
= 22
2
)().(
)].(*[.)]([.
.
ii
iii
ttn
ttPLnLnttLnPLnt
ua
Se determinan las constantes a , u

Método Gráfico:
Ordenar los datos, (tiempos fuera de servicio) en orden ascendiente
Numerar los valores observados de 1 en adelante
Calcular la probabilidad de ocurrencia
1+
=
n
i
Pf
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
i = numero de orden de la observación
n = numero total de observaciones
Utilizar el papel probabilístico de Gumbel I para valores extremos
Ajustar la curva
Determinar los valores de y u gráficamentea
37.0)( 1
=== −
eutP
ut =
1+n
f
Para determinar u, se hace que en la ecuación:
)(
)(
utae
etP
−− −
=
Se obtiene la edad característica de reparar, u

0)( tt
m
x −
=
Pendiente de la recta de mantenibilidad
(donde VR = Variable reducida)
Método Grafico (continuación)
Para obtener , se calcula la pendiente de la rectaa
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
0)( VRVR
m
x −
= (donde VR = Variable reducida)
m
a
1
=
a
uMTTR
5778.0
+=

EJEMPLO DE APLICACIÓN
La empresa Otinsa esta programando un mantenimiento preventivo a una bomba centrifuga
P-04 utilizada para el bombeo de agua de alimentación de la planta. La gerencia de
mantenimiento, desea estimar el tiempo promedio de reparación de la bomba en la próxima
parada. Los tiempos de reparaciones anteriores (en horas) se enumeran a continuación :
85, 118, 68, 78, 71, 106, 92, 74, 138
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
85, 118, 68, 78, 71, 106, 92, 74, 138
)(tfPORDINAL(i) TIEMPO (en
horas)
(%)
1 68 0.10 10
2 71 0.20 20
3 74 0.30 30
4 78 0.40 40
5 85 0.50 50
6 92 0.60 60
7 106 0.70 70
8 118 0.80 80
9 138 0.90 90
)(tfP

horastVR i 10611 =→=
Método Grafico
Ajustando los datos en el papel Gumbel
horasutPf 78%)37( 0 ==→=
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
horas
a
uMTTR
m
a
VRVR
tt
m
18.94
0357.0
5778.0
78
5778.0
0357.0
28
11
28
1
28
01
78106
01
01
=+=+=
===
==
−
−
=
−
−
=
horastVR
horastVR i
780
1061
02
1
=→=
=→=

ORDINAL(i) TIEMPO “t”
en horas
1 68 0.10 0.8340
2 71 0.20 0.4758
830
9
=
=
∑ t
n
Método analítico
)(tfP ( ))(t
f
LnPLn −
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
3 74 0.30 0.1856
4 78 0.40 -0.87421
5 85 0.50 -0.3665
6 92 0.60 -0.6717
7 106 0.70 -1.0309
8 118 0.80 -1.4999
9 138 0.90 -2.2503
54,592)]([.
81118
4113.4)]([
830
2
−=−
=
−=−
=
∑
∑
∑
∑
tLnPLnt
t
tLnPLn
t
fi
i
f
i

)4113.4(*)830()34.592(9
)().(
))((.)]([..
22
−−−
=−
−
−−−
=−
∑ ∑
∑ ∑ ∑
a
ttn
tLnPLnttLnPLntn
a
ii
fifi
Método analítico (continuación)
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
04056.004056.0
)830()81118(*9
)4113.4(*)830()34.592(9
2
=⇒−=−
−
−−−
=−
aa
a
horasu
a
uua
ua
ttn
ttLnPLnttLnPLnt
ua
ii
ififi
14.80
2507.3
2507.3.
)830()81118(*9
)830)(34.592()4113.4)(81118(
.
)().(
).)((.))((.
.
2
22
2
=⇒=⇒=
−
−−−
=
−
−−−
=
∑ ∑
∑∑ ∑ ∑
horas
a
u
MTTR 38.94
5778.0
=
+
=

µ
µ
µ
1)(
.)(
−
−=
−
=
t
etM
t
etf µ
Distribución Exponencial
= tasa de reparación
Probabilidad que el equipo sea
reparado en un tiempo t
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
µ
1
=MTTR
CARACTERISTICAS
Modela mecanismos de reparación de:
- Equipos relativamente sencillos
- Equipos que requieren ajustes frecuentes de muy poca
duración
Es muy útil para cálculos analíticos

DISTRIBUCION LOG-NORMAL
2)(
1
1
2)(
2
1
2
1
)(
µµ
µ
σ
µ
πσ
LnaLnb
xy
Lnb
b
a
dx
xLnx
etf
−−
−
−
∫
−
−
=
f(x)
HENRY
VILLARROEL
MANTENIBILIDAD
)()(
2)(
2
1
2
1
)(
σ
µ
φ
σ
µ
φ
σ
µ
σπ
xLnaxLnb
dy
xy
e
Lnb
Lna
tf
−
−
−
=
−
−
∫=
CARACTERISTICAS
Aplica en los mismos casos que la distribucion de Gumbel
No se presta para cálculos analíticos
x
0 2 4 6 8 10 12

DISPONIBILIDAD
La disponibilidad, del termino en
ingles availability puede ser definida
como la probabilidad de que un equipo
este operando o este disponible para
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
este operando o este disponible para
su uso, durante un periodo de tiempo
determinado.
Es una función que permite estimar
en forma global el porcentaje de
tiempo total que se puede esperar,
que un equipo este disponible para
cumplir la función para la cual fue
diseñado.

MANTENIBILIDAD
Tiempo de
operación
Tiempo de
operación
Tiempo de
operación
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
Tiempo de
reparación
Tiempo de
reparación
CONFIABILIDAD MTTR
MTBF
DISPONIBILIDAD

Sea:
Ti Di Ti+1
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
Sea:
Ti = tiempo de duración del i periodo de funcionamiento (V. Aleatoria)
Di = tiempo de duración del i periodo de reparación o reemplazo (V. Aleatoria)
(t) = función densidad de probabilidad de reparación o reemplazo del equipo (g1, g2, g3)
W(t) = función densidad de probabilidad de falla del equipo (w1, w2, w3)
A(t) = función de convulación entre la función w(t) , g(t)
)]().(1.[
)(1
)(
)}({)}.({)}({
sgsWs
sW
sAdonde
tgLtwLtAL
−
−
=
=

)}({)(
)](*)(1[*
)(1
)(
1
sALtA
sgsws
sw
sA
−
=
−
−
=
A(t) = Es definida como la probabilidad de que el componente este
disponible (funcionando) apropiadamente en el tiempo t, es también llamada la
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
t
t
e
e
tg
tw
µ
λ
µ
λ
−
−
=
=
)(
)( λ
disponible (funcionando) apropiadamente en el tiempo t, es también llamada la
disponibilidad instantánea en un tiempo aleatorio t.
EJEMPLO
Calcular la disponibilidad de un equipo en el cual la función densidad de
probabilidad de falla w(t) y la función densidad de probabilidad de reparación
g(t) son de carácter exponencial (tasa de falla y reparación constante).
donde = tasa de falla
donde = tasa de reparaciónµ

}{
}{}{)(
)}({)(
)()(
)](*)(1[*
)(1
)(
tt
ee LLsw
tgLsg
twLsw
tgswS
sw
sA
λλ −−
==
=
=
−
−
=
)(
]
))((
))((
[
)(
)(
λ
µλ
λµµλ
λ
λλ
+
++
−++
+
−+
=
s
s
ss
ss
s
s
s
sA
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
}{}{)( .
tt
ee LLsw λλ
λλ
−−
==
)]).((1[
)(1
)(
)()(
)()(
µ
µ
λ
λ
λ
λ
µ
µ
λ
λ
++
−
+
−
=
+
=
+
=
ss
s
ssA
s
sg
s
sw
]
))((
))((
[
)(
)(
]
))((
[
)(
)( 2
µλ
µλ
λ
µλ
λµλµλµ
λ
++
++
+
=
++
−+++
+
=
ss
ss
s
s
s
sA
ss
sss
s
s
sA
x
)]([
)(
)(
))]((([
))((
)(
µλ
µ
λµλ
µλ
++
+
=
+++
++
=
ss
s
SA
ssss
sss
sA

4.-
)]([
)(
)(
µλ
µ
++
+
=
ss
s
sA
Aplicando fracciones parciales
)( µ
+=
+ BAs
B
ABA
)()(
1
1
)(
λµ
µλ
λ
µλ
µ
µλ
µ
+
=
+
−=
−=∴
+
=5.-
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
)(
1
)()(
)]([
)([
)]([
)(
)()]([
)(
µλµ
µλµ
µλ
µλ
µλ
µ
µλµλ
µ
+=
+=
+++=+
++
+++
=
++
+
++
+=
++
+
A
BA
sBAsAs
ss
sBsA
ss
s
s
B
s
A
ss
s
t
etA
s
L
s
LtA
ssss
s
)(
)()(
}
)(
)(
{
1
}
)(
{
1
)(
)(
)()(
)([
)(
)( µλ
µλ
λ
µλ
µ
µλ
µλ
λ
µλ
µ
µλ
µλ
λ
µλ
µ
µλ
µ
+−
+
+
+
++
+−
+
+−
=
++
+
+
+
=
++
+
=

)()(
)( )(
µλ
λ
µλ
µ µλ
+
+
+
∞→
= +−
t
tA t
e A(t)
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
)(
)(
µλ
µ
+
=
∞→
tA
t
)(
)(
µλ
µ
+
=
+
=∞→
MTTRMTBF
MTBF
tA
t
MTBF
MTBF+MTTR

Incluye solamente el mantenimiento correctivo del sistema (el tiempo de reparar o
reemplazar componentes fallados) y excluye las paradas de mantenimiento
MTTRMTBF
MTBF
A
+
=
Disponibilidad Inherente o de estado estable
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
reemplazar componentes fallados) y excluye las paradas de mantenimiento
preventivo, tiempos logísticos tiempos de espera o administrativos.
__
MMTBM
MTBM
Aa
+
=
Disponibilidad Alcansada
Esta incluye las paradas de mantenimiento preventivo que impliquen la
disponibilidad del sistema (tanto correctivas y algunas preventivas) y es el
tiempo de parada (tanto de acciones correctivas como de preventivas).
__
M

Disponibilidad operativa:
Incluye los rasgos logísticos por falta de repuestos, personal, equipos de apoyo.
RLMMMTBM
MTBM
A
++
= __0 =∴ RLM Retrazo logístico
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
Incluye los rasgos logísticos por falta de repuestos, personal, equipos de apoyo.
Es la medida de disponibilidad mas apropiada para medir la disponibilidad ya que incluye
la mayoría de los elementos presentes del sistema.
Importancia de la Disponibilidad:
A través del estudio de los factores que influyen sobre la disponibilidad, MTBF y MTTR es
posible gerenciar y evaluar distintas alternativas de acción para lograr aumentos necesarios
de disponibilidad:
Aumentar el MTBF
Reducción del MTTR
Aumentar el MTBF y reducir el MTTR simultáneamente

Ejemplo de aplicación de Disponibilidad.
La empresa BASERCA esta interesada en un estudio de disponibilidad de una
planta de compresión de gas durante los 161 días correspondiente al primer
semestre del año. En la tabla adjunta se muestran los registros de horas de
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
semestre del año. En la tabla adjunta se muestran los registros de horas de
operación y de reparación durante este semestre.
La gerencia de Mantenimiento esta interesada en conocer:
El MTTR
El MTBF
La disponibilidad inherente

Corrida Fecha de inicio Horas de Operación Horas de Reparación
1 Enero 26 14 34
2 Enero 28 82 7
3 Febrero 2 95 18
4 Febrero 7 27 1
5 Febrero 9 6 8
6 Febrero 13 103 17
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
7 Febrero 18 53 10
8 Febrero 21 107 32
9 Febrero 27 134 34
10 Marzo 5 40 60
11 Marzo 10 185 13
12 Marzo 19 250 12
13 Marzo 30 120 25
14 Abril 10 280 2
15 Abril 22 320 47
16 Mayo 8 578 3
17 Junio 2 450 28
18 Junio 22 375 23
19 Julio 9 120 5

Número Horas de Operación
1 6
2 14
3 27
4 40
5 53
6 82
Ordenando los tiempos de operación en orden
ascendente, se obtiene la tabla 1.
Se agrupan los datos con el fin de obtener la
función densidad de probabilidad más
conveniente:
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
6 82
7 95
8 103
9 107
10 120
11 134
12 185
13 230
14 250
15 280
16 320
17 375
18 450
19 578
Tabla 1
19=n
1 3.33 19 5.25 5K Log= + = ≈
Números de intervalos aproximados
minmax XXR −=
Rango de datos
R=578-6=572 horas
Tamaño de los intervalos de clase:
K
R
I =
572
114.4 114
5
I = = ≅

Intervalos Frecuencia
6 – 120 10
Tabla de datos agrupados
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
Histograma de fallas de Operación
8
10
12
FrecuenciadeFalla
6 – 120 10
121 – 235 3
236 –350 3
351 – 465 2
466 – 580 1
Del grafico anterior se puede suponer un comportamiento de distribución de probabilidad de falla exponencial
0
2
4
6
8
6 - 120 121 - 235 236 - 350 351 - 465 466 - 580
Intervalos de Clase (Horas)
FrecuenciadeFalla

)(tF )(tR )( itLn it2
)(. tLnR
i
tOrdinal (i) Tiempo (t)
1 6 0.036 0.964 -0.0366 36 -0.2116
2 14 0.087 0.913 -0.0910 196 -1.2740
3 27 0.139 0.861 -0.1496 729 -4.0392
4 40 0.190 0.810 -0.2107 1600 -8.4280
5 53 0.242 0.758 -0.2770 2809 -14.6810
6 82 0.293 0.707 -0.3467 6724 -28.4294
7 95 0.345 0.665 -0.4231 9025 -40.1945
Utilizando el método de la regresión lineal
para determinar el MTBF, se determina la
probabilidad de falla, utilizando la siguiente
expresión:
4.0
3.0
)(
+
−
=
N
i
tF )(1)( tFtR −=
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
7 95 0.345 0.665 -0.4231 9025 -40.1945
8 103 0.396 0.604 -0.5041 10609 -51.9223
9 107 0.448 0.552 -0.5942 11449 -63.5794
10 120 0.500 0.500 -0.6931 14400 -83.1720
11 134 0.551 0.449 -0.8007 17956 -107.2938
12 185 0.603 0.397 -0.9238 34225 -170.9030
13 230 0.650 0.346 -1.0613 52900 -244.0990
14 250 0.706 0.294 -1.2241 62500 -306.0250
15 280 0.757 0.243 -1.4146 78400 -396.0880
16 320 0.809 0.191 -1.6554 102400 -529.7280
17 375 0.860 0.140 -1.9661 140625 -737.2875
18 450 0.912 0.088 -2.4304 202500 -1093.6800
19 578 0.963 0.037 -3.2968 334084 -1905.5504
Por regresión lineal se obtiene la tasa de
falla λ
( ) ( )22
.
)(ln.)(ln..
∑∑
∑ ∑ ∑
−
−
=−
ii
i
ttn
tRttRtn i
λ
Realizando un resumen estadístico se
obtiene:
3449
19
1
=∑=i
it
∑=
−=
19
1
6393.18)(
i
itLnR
1083167
19
1
2
=∑ it

5941.5786)(.
19
1
−=∑ tLnRti
)6393.18).(3449()5941.5786).(19( −−−
=− λ
Sustituyendo para obtener la tasa de falla
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
2
)3449()1083167).(19(
)6393.18).(3449()5941.5786).(19(
−
−−−
=− λ
3
102574.5 −
−=− xλ
3
10*2574.5
11
−
==
λ
MTBF
MTBF ≅ 190 horas

Aplicando el método de Gumbel I para
los tiempos de reparación para obtener
MTTR
)(tPf ))(( fPLnLn −
it 2 ))((. fi PLnLnt −Ordinal
(i)
Tiempo
(t)
1 1 0.05 1.0971 1 1.0971
2 2 0.10 0.8340 4 1.6680
3 3 0.15 0.6403 9 1.9209
4 5 0.20 0.4758 25 2.3790
5 7 0.25 0.3266 49 2.2862
6 8 0.30 0.1856 64 1.4848
( ) ( )22
.
))(((.))(((..
∑∑
∑ ∑ ∑
−
−−−
=−
titin
tPLnLntitPLnLntin
a
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
6 8 0.30 0.1856 64 1.4848
7 10 0.35 0.0486 100 0.4848
8 12 0.40 -0.0874 144 -1.0488
9 13 0.45 -0.2250 169 -2.9250
10 17 0.50 -0.3665 289 -6.2305
11 18 0.55 -0.5144 324 -9.2592
12 23 0.60 -0.6717 529 -15.4491
13 25 0.65 -0.8421 625 -21.0525
14 28 0.70 -1.0309 784 -28.8652
15 32 0.75 -1.2458 1024 -39.8656
16 33 0.80 -1.4999 1089 -49.4967
17 34 0.85 -1.8169 1156 -61.7746
18 47 0.90 -2.2503 2209 -105.7641
19 60 0.95 -2.9701 3600 -178.2060
( ) ( )22
2
.
)).((.))(((.
.
∑∑
∑ ∑ ∑∑
−
−−−
=
titin
titLnPLntitPLnLnti
ua
Realizando un resumen estadístico de regresión
lineal para determinar las constantes
19=n
19
1
( ( )) 9.913i
i
Ln LnP t
=
− = −∑
19
1
378i
i
t
=
=∑

19
2
1
12194i
i
t
=
=∑
19
1
. ( ( )) 508.615i i
i
t Ln LnP t
=
− =∑
Sustituyendo en las ecuaciones de y se obtiene:a ua.
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
Sustituyendo en las ecuaciones de y se obtiene:a ua.
2
)378()12194)(19(
)913.9).(378()615.508).(19(
−
−−−
=− a
0666.0−=− a
2
)378()12194).(19(
)378)(615.508()913.9).(12194(
.
−
−−−
=ua
06.12
0666.0
8037.08037.0
===
a
u horas

73.20
0666.0
5778.0
06.12
5778.0
=+=+=
a
uMTTR horas
HENRY
VILLARROEL
DISPONIBILIDAD
21MTTR ≅ horas
MTTRMTBF
MTBF
A
+
=
190
190 21
0.90 90%
A
A
=
+
= =

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