2. Magnitudes
físicas
por su naturaleza
Escalares
Vectoriales
3. Magnitudes
físicas
Escalares
Asociadas a propiedades que pueden ser
caracterizadas a través de una cantidad
Vectoriales
Asociadas a propiedades que se caracterizan
no sólo por su cantidad sino por su dirección
y su sentido
4. Escalares
Masa, densidad,
temperatura, energía,
Magnitudes trabajo, etc
físicas
Vectoriales
Velocidad, fuerza,
cantidad de movimiento,
aceleración, torque, etc.
5. Bases para el estudio del
movimiento mecánico
SR: Cuerpos que se toman como referencia para
describir el movimiento del sistema bajo estudio.
Se le asocia
y
y(t) • Observador
• Sistema de
x(t) Coordenadas
x • Reloj
z(t)
z
6. Movimiento plano
Coordenadas Cartesianas
y (m)
ordenada (x,y)
P (8,3)
Q (-2,2)
x (m)
O
abcisa
origen
15. Propiedades
de Vectores
A A = Aµ
ˆ
µ
-A
Opuesto
Nulo 0 = A + ( -A )
A
Vector unitario μ=
A
16. Ley
Propiedades
de la suma de Conmutativa
Vectores
R = A+B = B+A
Diferencia Ley Asociativa
R = A-B R = A + (B + C) = ( A + B) + C
R = A + (-B) -B
A R
B A
17. Ley conmutativa
(Método paralelogramo) A
B +A
+B =
=
A B R
A +B B
B R =
R
Los vectores A y B pueden ser
desplazados paralelamente para
encontrar el vector suma
¿Como se explica esta regla?
18. Multiplicación de un vector por un
escalar
Dado dos vectores AyB
Se dicen que son paralelos si A = αB
si α > 0 A ↑↑ B
si α < 0 A ↑↓ B
si α = 1 A = B
23. z
Representación
de un vector Az
θ A
Ay y
Ax ϕ
x
Ax = A cos ϕ sen θ
A = Ax i + Ay j + Az k
Ay = Asenϕ sen θ
A = A = Ax2 + Ay + Az2
2
Az = A cos θ
24. Observaciones:
Las componentes rectangulares de
un vector dependen del sistema
coordenado elegido.
La magnitud del vector no cambia.
Permanece invariante en cualquier
sistema coordenado
27. Observamos que, cuando los vectores
están en la misma dirección podemos
determinar fácilmente su magnitud
¿Que sucede si los vectores no están en
la misma dirección ? , ¿ podremos
determinar directamente su magnitud ?
28.
A B
3u
4u
R = A+ B
La magnitud en este caso no puede determinarse
directamente , por lo que debemos tratar de
buscar otra forma de determinarla
29.
A
5u
3u
Ay B
By
10
Ax
u
8u
4u
Bx
6u
30.
3u By
4u Ay
8u
Ax
A = Ax + Ay Bx
6u
B = Bx + B y
31. 10u
Ax + Bx
5u
Ay + B y
R = Ax + Bx + Ay + B y
Por pitagoras podemos ahora determinar la
2 2
R = 10 + 5 = 5 5u
magnitud del vector resultante
33.
Rx
15 u
5u
Ry
Rx = Ax + Bx + Cx + Dx
R = Rx + Ry
R = 5 10 Ry = Ay + By + C y + Dy
34. (x2,y2,z2)
A
(x1,y1,z1)
z
Dados los puntos
indicados el vector que
y los une esta
x
representado por
35. (x2,y2,z2)
A
(x1,y1,z1)
z
y
x
A = (x 2 − x1 )ˆ + (y 2 − y1 )ˆ + (z2 − z1 )k
i j ˆ
36. Producto
escalar de dos A ⋅ B = AB cos θ
vectores
Proyección de A sobre B
A B = A cosθ
Proyección de B sobre A
B A = B cosθ
37. i ⋅i = 1
ˆ ˆ i⋅ˆ=0
ˆ j
ˆ⋅ ˆ =1
j j ˆ ˆ
i ⋅k = 0
ˆ ˆ
k ⋅k =1 j ˆ
ˆ⋅k = 0
A ⋅ i = Ax
ˆ
A ⋅ ˆ = Ay
j A ⋅ B = A XB X + A YB Y + A ZB Z
ˆ
A ⋅ k = Az
38. Producto
vectorial de dos
vectores C = A×B
C = AB senθ
ˆ×ˆ = 0
i i ˆ×ˆ = 0
j j
ˆ ˆ
k×k = 0
j ˆ
iˆ × ˆ = k j ˆ
ˆ × k = iˆ
ˆ
k × iˆ = ˆ
j
39. Demostrar:
C = A × B = (A x ˆ + A y ˆ + A z k) × (Bx ˆ + B y ˆ + Bz k)
i j ˆ i j ˆ
C X = AY BZ − AZ BY
C y = Az Bx − Ax Bz
C z = Ax B y − Ay Bx
40. Ejemplo 1:
Determinese la suma de los siguientes vectores:
A = 3 ˆ + 8ˆ + 5k
i j ˆ
B = -5 ˆ + 2ˆ − 3k
i j ˆ
C = 4 ˆ − 7ˆ − 2k
i j ˆ
41. Ejemplo 2: Determine la suma de los
vectores indicados
z 5m
B 10m
y
C
8m
x A
42. Ejemplo 9
Dados los vectores:
A = 3ˆ + 3ˆ − 5k
i j ˆ
B = 4ˆ + 5ˆ − 3k
i j ˆ
Determine :
a) El producto escalar entre ellos.
b)el producto vectorial entre ambos
e) el ángulo que forman entre sí.
Tarea 9c, 9d y 10