2018/3/28 立命館大学プログラミング合宿 Day3 (北大セット) F 問題

1. 立命合宿 2018 Day 3
F：最短距離を伸ばすえびちゃん
原案，問題文，解説：鈴木
解答：栗田，鈴木，杉江
2018/3/28 立命合宿2018 Day3 F 1

2. 問題概要
• 𝑁頂点𝑀辺の有向グラフと2頂点𝑠, 𝑡が与えられる
• 辺𝑖は距離𝑑𝑖
• いくつかの辺を整数の範囲で伸ばす
• 辺𝑖は距離1伸ばすごとに𝑐𝑖のコストがかかる
• 𝑠-𝑡間の最短距離を伸ばすために必要な最小コストは？
• 制約
• 2 ≤ 𝑁 ≤ 200
• 1 ≤ 𝑀 ≤ 2000
• 𝑠 ≠ 𝑡
• 1 ≤ 𝑑𝑖, 𝑐𝑖 ≤ 10
2018/3/28 立命合宿2018 Day3 F 2

3. 𝑠
𝑡
𝑑: 6, 𝑐: 1
𝑑: 2, 𝑐: 5
𝑑: 3, 𝑐: 1
𝑑: 2, 𝑐: 6
𝑑: 5, 𝑐: 3
𝑠
𝑡
𝑑: 7
𝑑: 2
𝑑: 3
𝑑: 2
𝑑: 5
𝑑𝑠𝑡 𝑠, 𝑡 = 7 𝑑𝑠𝑡 𝑠, 𝑡 = 7
𝑐𝑜𝑠𝑡 = 1入力
𝑠
𝑡
𝑑: 7
𝑑: 3
𝑑: 3
𝑑: 2
𝑑: 5
𝑑𝑠𝑡 𝑠, 𝑡 = 8
𝑐𝑜𝑠𝑡 = 5
𝑠
𝑡
𝑑: 7
𝑑: 2
𝑑: 4
𝑑: 2
𝑑: 6
𝑑𝑠𝑡 𝑠, 𝑡 = 8
𝑐𝑜𝑠𝑡 = 4答え
2018/3/28 立命合宿2018 Day3 F 3

4. 考察
• 𝑠-𝑡最短路が通らない辺は伸ばす意味なし
𝑠
𝑡
𝑑: 6, 𝑐: 1
𝑑: 2, 𝑐: 5
𝑑: 3, 𝑐: 1
𝑑: 2, 𝑐: 6
𝑑: 5, 𝑐: 3
この辺をいくら伸ばしても
𝑠-𝑡間の最短距離は変わらない
2018/3/28 立命合宿2018 Day3 F 4

5. • 𝑠を始点，𝑡を終点とするDAGになる
• 最短路DAGと呼ぶことにする
伸ばす意味のない辺を消す
𝑠
𝑡
𝑑: 2, 𝑐: 5
𝑑: 3, 𝑐: 1
𝑑: 2, 𝑐: 6
𝑑: 5, 𝑐: 3
𝑠
𝑡
𝑑: 6, 𝑐: 1
𝑑: 2, 𝑐: 5
𝑑: 3, 𝑐: 1
𝑑: 2, 𝑐: 6
𝑑: 5, 𝑐: 3
2018/3/28 立命合宿2018 Day3 F 5

6. どこをどれだけ伸ばすか
• 最短路DAG上のあらゆる𝑠-𝑡経路に被る辺集合
• 各カット辺を1だけ伸ばせば十分
𝑠
𝑡
𝑠
𝑡
𝑠
𝑡
=削除すると𝑠-𝑡が分断される辺集合
= 𝑠-𝑡カット辺集合
2018/3/28 立命合宿2018 Day3 F 6
カット辺でないと
元の最短路が残る

7. どの𝑠-𝑡カットが良いか
• いわゆる最小カット
• 最短路DAGとコストで最小カット問題を解く
𝑠
𝑡
𝑑: 2, 𝑐: 5
𝑑: 3, 𝑐: 1
𝑑: 2, 𝑐: 6
𝑑: 5, 𝑐: 3
𝑠
𝑡
𝑐: 5
𝑐: 1
𝑐: 6
𝑐: 3
最小カットは4
元問題の答えも4
詳細はググる
か蟻本で！
2018/3/28 立命合宿2018 Day3 F 7

8. 解法の詳細
1. 最短路DAGを作る
• ワーシャル・フロイド 𝑂 𝑁3
• 各辺が最短路に寄与するかチェック 𝑂(𝑀)
• 𝑑𝑠𝑡 𝑠, 𝑢𝑖 + 𝑑𝑖 + 𝑑𝑠𝑡 𝑣𝑖, 𝑡 = 𝑑𝑠𝑡(𝑠, 𝑡)なら寄与
2. 最短路DAGで最小カット問題を解く
• 例えば Dinic，フォード・フォルカーソン，…
• 全体の計算量
• Dinicを使う：𝑂 𝑁3 + 𝑁2 𝑀
• フォードを使う：𝑂(𝑁3 + 𝑀 × 𝐴𝑁𝑆)
2018/3/28 立命合宿2018 Day3 F 8
グラフが小さいので
これで十分です

9. Writer解
言語 行数 Byte
栗田 C++ 90 2273
鈴木 C++ 87 2085
杉江 C++ 113 3153
2018/3/28 立命合宿2018 Day3 F 9

10. 提出状況
• Acceptance Rate
• 72% (34 /47)
• First Accept
• オンサイト
• rupc_aiu (0:33)
• オンライン
• pekempey (0:49)
2018/3/28 立命合宿2018 Day3 F 10