Oct 24, 2019 北海道大学競技プログラミングサークル勉強会 ※文字が見えない場合は、ダウンロードするかフルスクリーンにしてご覧ください

1. 写像 12 相を題材にした,
基本的な数え上げ問題に対す
るアプローチ
Hokkaido Univ. monkukui

2. 写像 12 相とは
• 写像 12 相:
• 個の玉を 個の箱に入れる問題の総称
• e.g. 個の区別できるボールを 個の区別できる箱へ入れる
ときの通り数は？？
• どうして写像と呼ばれるか
• 写像: 集合の各元を、他の集合の元のいずれかへ対応づけること
•ボールの箱への割り当てと考えると, これは写像
n k
3 2
!2
Ba Ba Ba
Bo Bo

3. 達成目標
• 写像 12 相を題材に, 基本的な数え上げ問題へのア
プローチを考える
• AtCoder のレートが上がることが見込める
!3

4. 準備
• 制約は以下で統一されているものとする
• ,1 ≤ n ≤ 1000 1 ≤ k ≤ 1000
!4

5. 目次
!5
玉 箱 制限なし 1 個以内 1 個以上
区別する 区別する
区別しない 区別する
区別する 区別しない
区別しない 区別しない

6. 目次
!6
玉 箱 制限なし 1 個以内 1 個以上
区別する 区別する ここ
区別しない 区別する
区別する 区別しない
区別しない 区別しない

7. Balls and Boxes 1
• [問題] 難易度: 茶
• 個の区別できるボールを, 個の区別できる箱に入れるとき、
可能な入れ方の総数を求めよ.
• ただし、箱に対する制限はないものとする.
• e.g.
• [入力] ,
• [出力]
n k
n = 2 k = 3
9
!7
Ba Ba
Bo Bo Bo

8. Balls and Boxes 1
• [入力] ,n = 2 k = 3
!8
1
2
1
2
3
1 2 3

9. Balls and Boxes 1
• が答え
• 時間計算量
kn
Θ(n)
!9

10. 目次
!10
玉 箱 制限なし 1 個以内 1 個以上
区別する 区別する ここ
区別しない 区別する
区別する 区別しない
区別しない 区別しない
kn

11. Balls and Boxes 2
• [問題] 難易度: 茶
• 個の区別できるボールを, 個の区別できる箱に入れるとき、
可能な入れ方の総数を求めよ.
• 各箱に入れることのできるボールの数は高々 個とする.
• e.g.
• [入力] ,
• [出力]
n k
1
n = 2 k = 3
6
!11
Ba Ba
Bo Bo Bo

12. Balls and Boxes 2
• 入れる箱を 個選んで
• ボールを入れる
n
!12
Ba Ba
Bo Bo Bo

13. Balls and Boxes 2
• 入れる箱を 個選んで
• ボールを入れる
n
!13
Ba Ba
Bo Bo Bo

14. Balls and Boxes 2
• 入れる箱を 個選んで
• ボールを入れる
n
!14
Ba Ba
Bo Bo Bo

15. Balls and Boxes 2
• が答え
• 時間計算量
kPn
Θ(n)
!15

16. 目次
!16
玉 箱 制限なし 1 個以内 1 個以上
区別する 区別する ここ
区別しない 区別する
区別する 区別しない
区別しない 区別しない
kn
kPn

17. Balls and Boxes 3
• [問題] 難易度: 青
• 個の区別できるボールを, 個の区別できる箱に入れるとき、
可能な入れ方の総数を求めよ.
• どの箱にも、 つ以上のボールを入れる必要がある.
• e.g.
• [入力] ,
• [出力]
n k
1
n = 4 k = 3
36
!17
Ba Ba Ba Ba
Bo Bo Bo

18. Balls and Boxes 3
• とする.
• に対して, 箱 にボールが入らないような入れ方の
総数.
• どの箱にも、 つ以上のボールを入れる入れ方の総数.
• 包除原理より,
となる.
これを愚直に計算すると, かかってしまう.
W ⊆ {1,2,...,k}
N(W) := i ∈ W i
X := 1
X =
∑
W⊆{1,2,...,k}
(−1)|W|
N(W)
Ω(2k
)
!18

19. Balls and Boxes 3
• 対称性を利用する
• 例えば, と は同じになる.
• は の濃度にのみ依存した関数である.
• 箇所の箱にボールが入らないような入れ方の総数
となる.
• で計算可能
N({1,2}) N({1,5})
N(W) W
P(i) := i
X =
∑
W⊆{1,2,...,k}
(−1)|W|
N(W) = P(0) − P(1) + P(2) + … + (−1)k
P(k)
P(i) =n Cr (k − i)n
!19

20. Balls and Boxes 3
!20
前処理: Θ(k)
本処理: Θ(k)
nCr や べき乗の処理は
以下の検索ワードでググりましょう
(繰り返し 2 乗法, 逆元)

21. 目次
!21
玉 箱 制限なし 1 個以内 1 個以上
区別する 区別する
区別しない 区別する ここ
区別する 区別しない
区別しない 区別しない
kn
kPn
k
∑
i=0
(−1)i
kCi(k − i)n

22. Balls and Boxes 4
• [問題] 難易度: 緑
• 個の区別できないボールを, 個の区別できる箱に入れると
き、可能な入れ方の総数を求めよ.
• ただし、箱に対する制限はないものとする.
• e.g.
• [入力] ,
• [出力]
n k
n = 5 k = 3
21
!22
Ba Ba Ba Ba
Bo Bo Bo
Ba

23. Balls and Boxes 4
• （区別できない）棒とボールの並び替えに帰着
!23
Ba Ba Ba Ba
Bo Bo Bo
Ba

24. Balls and Boxes 4
• が答え
• 時間計算量
n+k−1Ck−1
Θ(k)
!24

25. 目次
!25
玉 箱 制限なし 1 個以内 1 個以上
区別する 区別する
区別しない 区別する ここ
区別する 区別しない
区別しない 区別しない
kn
kPn
n+k−1Ck−1
k
∑
i=0
(−1)i
kCi(k − i)n

26. Balls and Boxes 5
• [問題] 難易度: 茶
• 個の区別できないボールを, 個の区別できる箱に入れると
き、可能な入れ方の総数を求めよ.
• 各箱に入れることのできるボールの数は高々 個とする.
• e.g.
• [入力] ,
• [出力]
n k
1
n = 3 k = 5
10
!26
Ba Ba Ba
Bo Bo Bo BoBo

27. Balls and Boxes 5
• 入れる箱を 個選べば良いn
!27
Ba Ba Ba
Bo Bo Bo BoBo

28. Balls and Boxes 5
• が答え
• 時間計算量
kCn
Θ(k)
!28

29. 目次
!29
玉 箱 制限なし 1 個以内 1 個以上
区別する 区別する
区別しない 区別する まだ半分..
区別する 区別しない
区別しない 区別しない
kn
kPn
n+k−1Ck−1 kCn
k
∑
i=0
(−1)i
kCi(k − i)n

30. Balls and Boxes 6
• [問題] 難易度: 茶
• 個の区別できないボールを, 個の区別できる箱に入れると
き、可能な入れ方の総数を求めよ.
• どの箱にも、 つ以上のボールを入れる必要がある.
• e.g.
• [入力] ,
• [出力]
n k
1
n = 5 k = 3
6
!30
Ba Ba Ba Ba
Bo Bo Bo
Ba

31. BaBa
Balls and Boxes 6
• とりあえずボールを ずつ入れちゃう1
!31
Ba
Ba
Ba
Bo Bo Bo

32. BaBa
Balls and Boxes 6
• とりあえずボールを ずつ入れちゃう
• 棒のボールを並べる
1
!32
Ba
Ba
Ba
Bo Bo Bo

33. Balls and Boxes 6
• が答え
• 時間計算量
n−1Cn−k
Θ(n)
!33

34. 目次
!34
玉 箱 制限なし 1 個以内 1 個以上
区別する 区別する
区別しない 区別する
区別する 区別しない ??? ここ
区別しない 区別しない
kn
kPn
n+k−1Ck−1 kCn n−1Cn−k
k
∑
i=0
(−1)i
kCi(k − i)n

35. Balls and Boxes 8
• [問題] 難易度: 灰
• 個の区別できるボールを, 個の区別できない箱に入れると
き、可能な入れ方の総数を求めよ.
• 各箱に入れることのできるボールの数は高々 個とする.
• e.g.
• [入力] ,
• [出力]
n k
1
n = 5 k = 10
1
!35
Ba Ba Ba Ba
Bo Bo Bo
Ba
BoBoBo Bo Bo BoBo

36. Balls and Boxes 8
• か が答え
• 時間計算量
0 1
O(1)
!36

37. 目次
!37
玉 箱 制限なし 1 個以内 1 個以上
区別する 区別する
区別しない 区別する
区別する 区別しない ??? ここ
区別しない 区別しない
kn
kPn
n+k−1Ck−1 kCn n−1Cn−k
or0 1
k
∑
i=0
(−1)i
kCi(k − i)n

38. Balls and Boxes 9
• [問題] 難易度: 青
• 個の区別できるボールを, 個の区別できない箱に入れると
き、可能な入れ方の総数を求めよ.
• どの箱にも、 つ以上のボールを入れる必要がある.
• e.g.
• [入力] ,
• [出力]
n k
1
n = 4 k = 3
6
!38
Ba Ba Ba Ba
Bo Bo Bo

39. Balls and Boxes 9
• 個の区別できるボールをちょうど 個グループに
分ける方法を考えれば良い.
• これは以下の漸化式で求めることができる.
n k
S(n, k) = S(n − 1,k − 1) + kS(n − 1,k)
!39
1
5
4
3
2
8 6
9
7
S(9,4)

40. Balls and Boxes 9
• 玉 が単独でグループを形成するとき
残り 個の玉を グループに分ける方法は
通り
•玉 が単独でない場合
以外の 個について グループに分ける方法が
通りあり,
を入れるグループが 個あるので 通り
1
n − 1 k − 1
S(n − 1,k − 1)
1
1 n − 1 k
S(n − 1,k)
1 k kS(n − 1,k)
!40
1 32 N…

41. Balls and Boxes 9
• が答え
• 時間計算量
S(n, k)
O(nk)
!41

42. 目次
!42
玉 箱 制限なし 1 個以内 1 個以上
区別する 区別する
区別しない 区別する
区別する 区別しない ここ
区別しない 区別しない
kn
kPn
n+k−1Ck−1 kCn n−1Cn−k
or0 1 S(n, k)
k
∑
i=0
(−1)i
kCi(k − i)n

43. Balls and Boxes 7
• [問題] 難易度: 青
• 個の区別できるボールを, 個の区別できない箱に入れると
き、可能な入れ方の総数を求めよ.
• ただし、箱に対する制限はないものとする.
• e.g.
• [入力] ,
• [出力]
n k
n = 5 k = 3
5
!43
Ba Ba Ba
Bo Bo Bo BoBo

44. Balls and Boxes 7
• 個の区別できるボールをちょうど 個以下グルー
プに分ける方法を考えれば良い.
• これは以下の漸化式で求めることができる.
n k
B(n, k) = S(n,0) + S(n,1) + … + S(n, k)
!44
15
4
3
2
8 6
97
B(9,5)

45. Balls and Boxes 7
• が答え
• 時間計算量
B(n, k)
O(nk)
!45

46. 目次
!46
玉 箱 制限なし 1 個以内 1 個以上
区別する 区別する
区別しない 区別する
区別する 区別しない
区別しない 区別しない もう少し
kn
kPn
n+k−1Ck−1 kCn n−1Cn−k
or0 1 S(n, k)B(n, k)
k
∑
i=0
(−1)i
kCi(k − i)n

47. Balls and Boxes 10
• [問題] 難易度:青
• 個の区別できないボールを, 個の区別できない箱に入れると
き、可能な入れ方の総数を求めよ.
• ただし、箱に対する制限はないものとする.
• e.g.
• [入力] ,
• [出力]
n k
n = 5 k = 3
5
!47
Ba Ba Ba Ba
Bo Bo Bo
Ba

48. Balls and Boxes 10
• 自然数 を 個 の 以上の整数の和で表す方法の
通り数を考えれば良い. (ただし, 足す順番を入れ替えて同じ
ものは同一視する)
• これは以下の漸化式で求めることができる.
•
n k 0
P(n, k) = P(n, k − 1) + P(n − k, k)
!48
P(5,3) = 5
5 = 0 + 0 + 5 = 0 + 1 + 4 = 0 + 2 + 3 = 1 + 1 + 3 = 1 + 2 + 2

49. Balls and Boxes 10
• 分解に を含むもの場合
一つの を取り除いて, を 個の 以上の
整数和に分解する問題に帰着することができるので
通り
•分解に を含まない場合
個の整数が全て 以上なので, それぞれ 引くことで
を 個の 以上の整数和に分解する問題に帰着できるので
通り
0
0 n k − 1 0
P(n, k − 1)
0
k 1 1
n − k k 0
P(n − k, k)
!49
5 = 0 + 0 + 5
5 = 1 + 1 + 3

50. Balls and Boxes 10
• が答え
• 時間計算量
P(n, k)
O(nk)
!50

51. 目次
!51
玉 箱 制限なし 1 個以内 1 個以上
区別する 区別する
区別しない 区別する
区別する 区別しない
区別しない 区別しない もう少し
kn
kPn
n+k−1Ck−1 kCn n−1Cn−k
or0 1 S(n, k)B(n, k)
P(n, k)
k
∑
i=0
(−1)i
kCi(k − i)n

52. Balls and Boxes 11
• [問題] 難易度: 灰
• 個の区別できないボールを, 個の区別できない箱に入れると
き、可能な入れ方の総数を求めよ.
• 各箱に入れることのできるボールの数は高々 個とする.
• e.g.
• [入力] ,
• [出力]
n k
1
n = 5 k = 10
1
!52
Ba Ba Ba Ba
Bo Bo Bo
Ba
BoBoBo Bo Bo BoBo

53. Balls and Boxes 11
• か が答え
• 時間計算量
0 1
O(1)
!53

54. 目次
!54
玉 箱 制限なし 1 個以内 1 個以上
区別する 区別する
区別しない 区別する
区別する 区別しない
区別しない 区別しない ラスト!!!
kn
kPn
n+k−1Ck−1 kCn n−1Cn−k
or0 1 S(n, k)B(n, k)
P(n, k) or0 1
k
∑
i=0
(−1)i
kCi(k − i)n

55. Balls and Boxes 12
• [問題] 難易度:青
• 個の区別できないボールを, 個の区別できない箱に入れると
き、可能な入れ方の総数を求めよ.
• どの箱にも、 つ以上のボールを入れる必要がある.
• e.g.
• [入力] ,
• [出力]
n k
1
n = 10 k = 5
7
!55
Ba Ba Ba Ba
Bo Bo Bo
Ba
Bo Bo
BaBaBaBaBa

56. Balls and Boxes 12
• が答え
• 時間計算量
P(n − k, k)
O(nk)
!56

57. 参考資料
• AOJ 写像 12 相問題集
• 「写像12相」を総整理！ ∼ 数え上げ
問題の学びの宝庫 ∼
• 高校数学の美しい物語
!57