2. al
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
senci
Matemáticas
Unidad 2
Guía de Trabajo N°1
(TRABAJO INDIVIDUAL)
LA NOTACIÓN DE POTENCIAS
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
1
a. Observa la adición que muestra el recuadro A.
A
3+3+3+3+3
¿Qué característica especial tiene esta adición?
Escribe una multiplicación que represente a esta adición.
¿Qué representa cada factor de la multiplicación que has escrito, en relación con la adición
del recuadro A?
B
b. Observa la multiplicación que muestra el recuadro B.
3·3·3·3·3
¿Qué característica especial tiene esta multiplicación?
Escribe una potencia que represente a esta multiplicación.
¿Qué representa cada número en la potencia que has escrito, en relación con la
multiplicación del recuadro B?
2
a. Escribe las potencias que representan a cada una de las siguientes multiplicaciones.
5·5·5·5·5·5·5
0,09 · 0,09
100
·
100
1·1·1·1·1·1
·
100
·
100
1/4 · 1/4 · 1/4 · 1/4
b. Escribe las multiplicaciones representadas por cada una de las siguientes potencias.
73
3
105
2,53
0,43
0
,
3
4
a. Calcula mentalmente o por escrito el valor numérico de cada una de las siguientes
potencias.
6 al cuadrado
82
3 al cubo
103
0,53
2
0,23
elevado
a
5
(1/2)3
b. Con ayuda de una calculadora, calcula el valor numérico de cada una de las siguientes
potencias.
27 al cuadrado
55
4
9 al cubo
95
113
3 elevado a 6
1,54
0,44
Expresa como potencia de exponente 2 los siguientes números.
4
81
100
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
64
36
10.000
1
3. al
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
senci
Matemáticas
Unidad 2
5
¿Cuál
o
cuáles
de
las
53 = 5 + 5 + 5
siguientes
53 = 5 · 3
53 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3
6
relaciones
son
correctas?
53 = 5 · 5 · 5
53 = 3 · 5
53 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3
¿Es lo mismo 34 que 43? Explica tu respuesta.
b.
Muestra con ejemplos que cualquier potencia de base igual a 1 es igual a 1.
c.
Muestra con ejemplos que cualquier potencia de base igual a 0 es igual a 0.
a.
Mónica afirma que si una potencia de base 2 se multiplica por 2 el resultado es otra
potencia de base 2. ¿Tiene razón? Explica tu respuesta e ilústrala con ejemplos.
b.
Si una potencia de exponente 3 se multiplica por 3, ¿se obtiene otra potencia de
exponente 3?
c.
7
a.
Expresa como potencia el resultado de las siguientes multiplicaciones (Sugerencia:
escribe las potencias como multiplicación de factores iguales).
23 · 2
8
5 · 55
42 · 4
106 · 10
Josefina ha escrito la siguiente secuencia:
22 = 4
33 = 9
44 = 16
55 = 25
¿Es correcta la secuencia de Josefina? ¿Qué modificaciones le harías a esta secuencia para
que fuera correcta?
9
a.
Escribe el valor numérico de las siguientes potencias de 10.
102
b.
103
105
106
109
Escribe como potencias los siguientes números.
10.000
100
10.000.000
100.000.000
c.
Escribe un número que sea mayor que 103 pero menor que 104.
d.
pero
¿Qué característica en común tienen todos los números que son mayores que 103
menores que 104 ?
e.
¿Entre qué potencias de 10 están todos los números de 8 cifras?
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
2
4. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
al
senci
Matemáticas
Unidad 2
Guía de Trabajo N°2
(TRABAJO INDIVIDUAL)
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
1
Supongamos que se quiere multiplicar dos potencias de 10, por ejemplo, 103 · 105. De acuerdo
con la definición de potencias, 103 = 10 · 10 · 10 y 105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10. Por lo tanto:
103 · 105 = (10 · 10 · 10) · (10 · 10 · 10 · 10 · 10) = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 108
a.
Explica cada uno de los pasos seguidos para llegar al resultado.
b.
De acuerdo con este razonamiento, ¿cuánto es 103 · 105 ?
c.
¿Qué relación hay entre el exponente de los factores y el exponente del producto?
d.
¿Crees tú que esta relación será válida para cualquier multiplicación de dos potencias
que tengan la misma base? Explica tu respuesta.
e.
¿Sería válido el razonamiento anterior si los factores fueran potencias de distinta base?
Explica tu respuesta.
f.
Escribe como potencia el resultado de las siguientes multiplicaciones.
32 · 33
2
105 · 106
52 · 54
25 · 25
Observa el siguiente razonamiento.
34 · 3 = (3 · 3 · 3 · 3) · 3 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35
a.
¿Estás de acuerdo con el resultado obtenido?
b.
Ignacio afirma que esta multiplicación podría considerarse como un producto de
potencias
de igual base y escribe lo siguiente:
34 · 3? = 35
¿Qué exponente debería tener el segundo factor para que se cumpliera la regla de
multiplicación de potencias de igual base? Explica tu respuesta.
c.
De acuerdo con lo anterior, ¿qué significado darías tú a estas potencias?
21
61
41
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
101
11
3
5. al
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
senci
Matemáticas
Unidad 2
Guía de Trabajo N°3
(TRABAJO INDIVIDUAL)
DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
(Nota: En la división de potencias de igual base, vamos a considerar solo los casos en que el exponente
del dividendo es mayor que el exponente del divisor. Luego veremos qué hacer si el exponente del
dividendo es igual o menor que el exponente del divisor.)
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
1
Supongamos que se quiere dividir dos potencias de 10, por ejemplo, 106 : 104.
Esto significa encontrar un número que multiplicado por 104 sea igual a 106. Es decir, se
desea encontrar un número x tal que se cumpla la siguiente relación:
x · 104 = 106
a.
¿Crees tú que es posible encontrar una potencia de 10 que cumpla esta relación?
¿Cuánto debería ser su exponente?
b.
¿Qué relación ves tú entre este exponente, el exponente del dividendo y el
exponente
del divisor de la división inicial?
c.
Escribe como potencia el resultado de las siguientes divisiones.
105 : 102
2
a.
105 : 101
106 : 103
105 : 104
Elisa afirma que al resultado de una división de dos potencias de 10 es también una
potencia de 10. ¿Estás de acuerdo con ella? Justifica tu respuesta.
b.
Elisa afirma también que esa relación también es válida para la división de potencias
de igual base aunque la base sea un número natural distinto de 10. ¿Estás de
acuerdo
con ella? Justifica tu respuesta.
c.
¿Podrías enunciar una regla para encontrar el resultado de una división de potencias
de igual base? Compara tu propuesta con la de tus compañeras y compañeros.
d.
¿Te parece razonable esto, considerando que la división es la operación inversa de la
multiplicación y que la sustracción es la operación inversa de la adición? Explica tu
respuesta.
e.
Escribe como potencia el resultado de las siguientes divisiones.
46 : 44
34 : 31
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
83 : 82
55 : 53
4
6. al
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
senci
Matemáticas
Unidad 2
Guía de Trabajo N°4
(TRABAJO INDIVIDUAL)
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
1
Supongamos que se quiere multiplicar dos potencias que tienen distinta base pero igual
exponente, por ejemplo, 43 · 53.
De acuerdo con la definición de potencias, 43 = 4 · 4 · 4 y 53 = 5 · 5 · 5.
Por lo tanto:
43 · 53 = (4 · 4 · 4) · (5 · 5 · 5) = (4 · 5) · (4 · 5) · (4 · 5) = (4 · 5)3 = 203.
a.
Explica cada uno de los pasos seguidos para llegar al resultado.
b.
De acuerdo con este razonamiento, ¿cuánto es 43 · 53 ?
c.
¿Qué relación hay entre el exponente de los factores y el exponente del producto? ¿Y
entre la base de los factores y la base del producto?
d.
¿Crees tú que estas relaciones serán válidas para cualquier multiplicación de dos
potencias que tengan el mismo exponente? Explica tu respuesta.
e.
Escribe como potencia el resultado de las siguientes multiplicaciones.
24 · 34
2
45 · 65
52 · 32
23 · 103
Supongamos que se quiere dividir dos potencias que tienen distinta base pero igual
exponente, por ejemplo, 34 : 84. Escribamos la división como una fracción y las potencias
como multiplicciones de factores iguales.
4
4
3 :8 =
3
3
3
3
3·3·3·3
__ __ __ __
___________
= 8 · 8· 8 · 8 =
8·8·8·8
4
3
__
8
a.
Explica cada uno de los pasos seguidos para llegar al resultado.
b.
De acuerdo con este razonamiento, ¿cuánto es 34 : 84?
c.
¿Qué relación hay entre el exponente del dividendo, el exponente del divisor y el
exponente del cuociente? ¿Y entre la base del dividendo, la base del divisor y la base del
cuociente?
d.
¿Crees tú que estas relaciones serán válidas para cualquier división de dos potencias
que tengan la misma base? Explica tu respuesta.
e.
Escribe como potencia el resultado de las siguientes divisiones.
34 : 24
85 : 45
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
12 : 32
103 : 23
5
7. al
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
senci
Matemáticas
Unidad 2
Guía de Trabajo N°5
(TRABAJO INDIVIDUAL)
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
1
En las guías anteriores, al tratar la división de potencias de igual base, nos hemos limitado a
los casos en que el exponente del dividendo es mayor que el exponente del divisor. Ahora
analizaremos lo que sucede cuando el exponente del dividendo es igual o menor que el
exponente del divisor.
Y esto nos permitirá dar una interpretación a potencias de exponente 0 y a potencias de
entero negativo.
a.
¿Qué resultado se obtiene si se divide por sí mismo un número cualquiera distinto de
cero?
b.
Consideremos la división 104 : 104. ¿Qué resultado obtendríamos si aplicamos la
regla de división de potencias de igual base?
c.
Comparando las respuestas a las dos preguntas anteriores, ¿qué valor le darías a la
potencia 100?
d.
¿Qué valor le darías a potencias de exponente 0 y cuya base es un número natural
cualquiera? Justifica tu respuesta y discútela con tus compañeros y compañeras.
2
a.
¿Qué resultado obtienes si aplicas la regla de división de potencias de igual base a la
división 103 : 105?
Este resultado no puede ser interpretado como una multiplicación de factores iguales. Para
encontrarle una interpretación, resolvamos esa división utilizando otros procedimientos.
103
103
5 =
3
10
10 · 102
b.
=
1
102
Explica cada uno de los pasos seguidos para llegar al resultado.
c.
De acuerdo con esto, ¿cuánto debería valer la potencia 10-2 para no entrar en
contradicciones con nuestros conocimientos matemáticos anteriores?
3
a.
¿Qué interpretación darías a las siguientes potencias?
2-3
b.
10-4
4-1
3-2
Escribe el valor numérico de las siguientes potencias de 10.
10-3
c.
5-2
10-5
10-1
101
100
¿Qué características tienen todas las potencias de 10 de exponente entero negativo?
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
6
8. al
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
senci
Matemáticas
Unidad 2
4
a.
Escribe el resultado de las siguientes multiplicaciones de un número natural o decimal
por una potencia de 10 de exponente positivo.
3 · 103
45 · 106
200 · 102
2.500 · 101
0,8 · 102
6,25 · 105
0,008 · 101
0,04 · 105
b.
Escribe el resultado de las siguientes divisiones de un número natural o decimal por
una potencia de 10 de exponente positivo.
5 : 103
38 : 106
0,3 : 102
600 : 102
8.400 : 101
4,77 : 105
2,1 : 101
54 : 105
c.
Escribe el resultado de las siguientes multiplicaciones de un número natural por una
potencia de 10 de exponente negativo.
5 · 10-1
32 · 10-3
400 · 10-6
8.250 · 10-2
d.
Escribe el resultado de las siguientes multiplicaciones de un número decimal por una
potencia de 10 de exponente negativo.
0,2 · 10-2
5
3,6 · 10-5
0,005 · 10-3
0,033 · 10-2
Escribe los siguientes números como el producto de un número natural por una potencia de
10.
8.000
17.000
25.000.000.000
0,9
6
150.000.000
0,0065
0,02
0,000 000 04
1
El recuadro1 muestra la
descomposición de dos números.
Estas descomposiciones pueden ser
expresadas como una suma de
productos de un dígito por una
potencia de 10, como muestra el
recuadro 2.
2
328 = 300 + 20 + 8
8,036 = 8 + 0,03 + 0,006
328 = 3 · 102 + 2 · 101 + 8 · 100
8,036 = 8 · 100 + 3 · 10-2 + 6 · 10-3
Escribe en la forma que muestra el recuadro 2 la descomposición de los siguientes
números.
4.520
175.038
22.422
108.898.000
36,5
0,81
0,0066
5,777
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
7
