1. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
DEPTO. DE MATEMATICAS Y ESTAD´
´ ISTICA
Problemas
1. Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que responder s´ o no.
ı
Suponiendo que a los estudiantes que se le aplica no saben responder
a ninguna de las preguntas y, en consecuencia, responden de manera
aleatoria.
a. Hallar la funci´n de probabilidad y la funci´n de distribuci´n acu-
o o o
mulada.
b. ¿Cu´l es la probabilidad de pasar el examen si cada punto vale 0.5?
a
c. ¿Cu´l es la probabilidad de obtener una calificaci´n mayor o igual
a o
a 4?
d. ¿Cu´l es la probabilidad de obtener una calificaci´n mayor o igual
a o
a 3.5 e inferior a 4.8?
e. ¿Cu´ntas preguntas esperamos responda correctamente?
a
f. ¿Hallar la varianza y la desviaci´n est´ndar?
o a
2. La probabilidad de que un enfermo se recupere de un padecimiento
g´strico es 0.8. Sup´ngase que 20 personas han contra´ tal afecci´n.
a o ıdo o
a. ¿Cu´l es la probabilidad de que sobrevivan exactamente 14?
a
b. ¿Cu´l es la probabilidad de que al menos 10 sobrevivan?
a
c. ¿Cu´l es la probabilidad de que al menos 14, pero no m´s de 18
a a
sobrevivan?
d. ¿Cu´l es la probabilidad de que al lo m´s 16 sobrevivan?
a a
e. Si 100 personas han contraigo la afecci´n g´strica. ¿Cu´ntos esper-
o a a
amos que sobrevivan?
3. En pruebas realizadas a un amortiguador para autom´vil se encon-
o
tr´ que el 20 % presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estos
o
amortiguadores, hallar la probabilidad de que:
a. 4 salgan defectuosos,
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2. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
b. m´s de 5 tengan fuga de aceite.
a
c. de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.
d. Determine el promedio y la desviaci´n est´ndar de amortiguadores
o a
con defectos.
4. Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de
una empresa el´ctrica, inspecciona una muestra al azar de 10 alter-
e
nadores de un lotes. Si el 15 % de los alternadores del lote est´n defec-
a
tuosos. Cu´l es la probabilidad de que en la muestra,
a
a. ninguno est´ defectuoso,
e
b. uno salga defectuoso,
c. al menos dos salgan defectuosos
d. m´s de tres est´n con defectos
a e
5. Un sistema de protecci´n contra cohetes est´ construido con n unidades
o a
de radar que funcionan independientemente, cada una con probabilidad
de 0.9 de detectar un cohete que ingrese en la zona que cubren todas
las unidades.
a. Si n = 5 y un cohete entra en la zona. ¿Cu´l es la probabilidad de
a
que exactamente cuatro unidades detecten el cohete?
b. Si n = 5 y un cohete entra en la zona. ¿Cu´l es la probabilidad de
a
que al menos una unidades detecten el cohete?
c. ¿Cu´l debe ser el valor de n para que la probabilidad de detectar el
a
cohete al entrar a la zona, sea de 0.999?
6. Un fabricante de cera para pisos desarrolla dos productos nuevos, A y
B, que desea someter a la evoluci´n de amas de casa para determinar
o
cu´l es la mejor. Las dos ceras, A y B, se aplica en los pisos de 15 casas.
a
Se supone que en realidad no hay diferencia en calidad entre las dos
marcas.
a. ¿Cu´l es la probabilidad de que 10 o m´s amas de casa vayan a
a a
preferir la marca A?
b. ¿Cu´l es la probabilidad de que 10 o m´s amas de casa vayan a
a a
preferir la marca A o B?
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3. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
7. En un almac´n en particular los clientes llegan al mostrador de caja,
e
conforme una distribuci´n de Poisson con un promedio de siete por
o
hora. En una hora dada.
a. ¿Cu´l es la probabilidad de que no lleguen m´s de tres clientes?
a a
b. ¿Cu´l es la probabilidad de que lleguen al menos dos clientes?
a
c. ¿Cu´l es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco clientes?
a
8. El n´mero de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de
u
operaci´n es una variable aleatoria de Poisson. Si el n´mero promedio
o u
de ´stas es ocho:
e
a. ¿Cu´l es la probabilidad de que falle una componente en 25 horas?
a
b. ¿Cu´l es la probabilidad de que fallen no m´s de dos componentes
a a
en 50 horas?
c. ¿Cu´l es la probabilidad de que falle por lo menos diez componentes
a
en 125 horas?
9. Mediante estudios reciente se ha determinado que la probabilidad de
morir por causa de cierta vacuna para la gripe es de 0.00002. Si se
administra la vacuna a 100.000 personas y si suponemos que esta con-
stituyen un conjunto de ensayos independientes: (Sugerencia: haga λ =
np = (100,000)(0,00002) = 20 y aplique la distribuci´n de Poisson).
o
a. ¿Cu´l es la probabilidad de que mueran no m´s de dos personas a
a a
causa de la vacuna?
b. ¿Cu´l es la probabilidad de que mueran exactamente cinco de las
a
personas a causa de la vacuna?
c. ¿Cu´l es la probabilidad de que mueran ninguna de las personas a
a
causa de la vacuna?
d. ¿Cu´ntas personas esperamos se mueran, de las 100.000, a causa de
a
la vacuna?
10. Sea X una variable aleatoria binomial. Para n = 20, calcular las proba-
bilidades puntuales binomiales y compararlas con las correspondientes
probabilidades de Poisson para p =0.5, 0.3, 0.1 y 0.01. (Sugerencia:
haga λ = np)
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4. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
11. Un lote de televisores est´ formado por 5 TV a color (3 de la marca A
a
y 2 de la marca B) y 6 TV blanco y negro (4 de la marca A y 2 de la
marca B). Si se seleccionan sin reemplazo un grupo de 3 TV. Hallar la
probabilidad de:
a. Seleccionar 2 TV de la marca B.
b. Seleccionar 2 TV de la marca A o 2 TV a color.
12. La probabilidad de un lanzamiento exitoso es igual a 0.8. Supongamos
que se hacen ensayos de lanzamientos hasta que han ocurrido 3 lanza-
mientos exitosos.
a. ¿Cu´l es la probabilidad de que sean necesarios 6 ensayos?
a
b. Suponga que se hacen los ensayos de lanzamientos hasta que ocurren
3 lanzamientos exitosos consecutivos. Responda la pregunta (a) en
este caso.
c. Suponga que cada uno de los ensayos de lanzamiento cuesta $5000.
Adem´s, un lanzamientos que fracase produce un costo adicional
a
de $500. Calcule el costo esperado para obtener los 3 lanzamientos
exitosos.
13. El 20 % de los peces de un lago son de la especie A y el resto de
otras especies. Un investigador decide realizar el siguiente experimento:
Extraer peces del lago hasta obtener 3 de la especie A (asuma que el
m´todo de captura utilizado por el investigador es igualmente efectivo
e
para con todas las especies).
a. ¿Cu´l es la probabilidad de que el investigador realice solamente 10
a
extracciones?
b. Para la v.a. definida en la parte (a), calcule el valor esperado e
interpretarlo.
c. Suponga que en el lago solo hay 50 peces, 10 de los cuales son de la
especie A.
d. ¿Cu´l es la probabilidad de que en 10 extracciones se obtengan 3 de
a
la especie A?
e. Bajo los supuestos de la pregunta (c), ¿cu´l es la probabilidad de
a
que sean necesarias 10 extracciones para obtener 3 de la especie A?
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5. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
14. Sup´ngase que el n´mero de accidentes en una f´brica se puede repre-
o u a
sentar por un proceso de Poisson con un promedio de 2 accidentes por
semana.
a. Encuentre la distribuci´n de probabilidades de la variable aleatoria
o
tiempo hasta que ocurra un nuevo accidente.
b. ¿Cu´l es la probabilidad de que el tiempo entre un accidente y el
a
siguiente sea mayor de 3 d´
ıas?
c. Cu´l es la probabilidad de que el tiempo hasta que ocurran cinco
a
accidentes sea mayor a 2 semanas?
d. Si ocurri´ un accidente en el tiempo 0, y un d´ despu´s a´n no
o ıa e u
ocurre otro, ¿cu´l es la probabilidad de que pasen dos d´ m´s y
a ıas a
a´n no halla ocurrido el siguiente accidente?
u
15. Las l´ıneas telef´nicas que entran a una oficina de reservaciones de
o
aerol´
ıneas est´n ocupadas un 60 % del tiempo.
a
a. Si usted habla en esa oficina, ¿cu´l es la probabilidad que le respon-
a
dan en la primera llamada? ¿En la segunda? ¿En la tercera?
b. Si usted y un amigo deben hacer llamadas separadas a esta ofici-
na, ¿cu´l es la probabilidad de que deban hacer un total de cuatro
a
intentos para lograr las dos llamadas?
16. Un electrodom´stico se vende en dos colores, blanco y caf´, y tiene igual
e e
demanda. Un vendedor tiene tres electrodom´sticos de cada color en
e
existencia, aunque esto no lo saben los clientes. Dichos clientes llegan
y piden en forma independiente estos electrodom´sticos. Calcular la
e
probabilidad d que
a. el quinto cliente pida el tercer blanco
b. el quinto cliente se lleve el tercer caf´
e
c. se piden todos los blancos antes del primer caf´
e
d. se pidan todos los blancos antes que se agoten los caf´.
e
17. Se definen los requisitos peor de los casos como objetivos de dise˜o n
de una marca de terminales de computadora. Una prueba preliminar
r´pida indica que 4 de 10 terminales no pasan la prueba del peor de los
a
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6. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
casos. Se seleccionan 5 de los 10, en forma aleatoria, para pruebas pos-
teriores. Sea X la variable aleatoria el numero, entre las 5 terminales,
que no pasan la prueba preliminar. Calcular:
a. la funci´n de probabilidad y de distribuci´n acumulada e interprete
o o
b. el valor esperado y la desviaci´n est´ndar e interprete.
o a
18. Los procedimientos de muestreo para aceptar lotes en una empresa
manufaturera electr´nica requiere el muestreo de n art´
o ıculos de un lote
de N art´ ıculos, y aceptar el lote si X ≤ c, donde X es el n´mero de
u
art´
ıculos defectuosos en la muestra. Para un lote de 20 cubiertas de
impresoras, se debe mostrar 5. Calcular de aceptar el lote si c = 1, y si
el n´mero real de cubiertas defectuosas en el lote es:
u
a. X = 0, 1, 2, 3, 4
b. Responder la anterior pregunta se c = 2.
19. De cada 2.000 tornillos fabricados por una determinada m´quina hay 2
a
defectuosos. Para realizar el control de calidad se observan 150 tornillos
y se rechaza el lote si el n´mero de defectuosos es mayor que 1. Calcular
u
la probabilidad de que el lote sea rechazado.
20. En pruebas realizadas a un amortiguador para autom´vil se encon-
o
tr´ que el 20 % presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estos
o
amortiguadores, hallar la probabilidad de que:
a. 4 salgan defectuosos,
b. m´s de 5 tengan fuga de aceite.
a
c. de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.
d. Determine el promedio y la desviaci´n est´ndar de amortiguadores
o a
con defectos.
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