1. Hoeveel elementen?
Non impeditus ab ulla scientia
K. P. Hart
Faculteit EWI
TU Delft
Utrecht, 16 januari 2010: 10:00–11:00
K. P. Hart Hoeveel elementen?
2. De vragen van vandaag
Hoeveel provincies heeft Nederland?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
3. De vragen van vandaag
Hoeveel provincies heeft Nederland?
Hoeveel natuurlijke getallen zijn er?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
4. De vragen van vandaag
Hoeveel provincies heeft Nederland?
Hoeveel natuurlijke getallen zijn er?
Hoeveel re¨le getallen zijn er?
e
K. P. Hart Hoeveel elementen?
6. Hoeveel provincies?
tekeni-yawenre,
kaksitoista,
K. P. Hart Hoeveel elementen?
7. Hoeveel provincies?
tekeni-yawenre,
kaksitoista,
XII,
K. P. Hart Hoeveel elementen?
8. Hoeveel provincies?
tekeni-yawenre,
kaksitoista,
XII,
twaalf
K. P. Hart Hoeveel elementen?
9. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
K. P. Hart Hoeveel elementen?
10. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1
K. P. Hart Hoeveel elementen?
11. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1, 2
K. P. Hart Hoeveel elementen?
12. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1, 2, 3
K. P. Hart Hoeveel elementen?
13. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1, 2, 3, 4
K. P. Hart Hoeveel elementen?
14. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1, 2, 3, 4, 5
K. P. Hart Hoeveel elementen?
15. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1, 2, 3, 4, 5, 6
K. P. Hart Hoeveel elementen?
16. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
K. P. Hart Hoeveel elementen?
17. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
Zo te zien
K. P. Hart Hoeveel elementen?
18. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
Zo te zien: meer dan ´´n
ee
K. P. Hart Hoeveel elementen?
19. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
Zo te zien: meer dan ´´n, meer dan twee
ee
K. P. Hart Hoeveel elementen?
20. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
Zo te zien: meer dan ´´n, meer dan twee, meer dan drie
ee
K. P. Hart Hoeveel elementen?
21. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
Zo te zien: meer dan ´´n, meer dan twee, meer dan drie, . . .
ee
K. P. Hart Hoeveel elementen?
22. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
Zo te zien: meer dan ´´n, meer dan twee, meer dan drie, . . .
ee
Meer dan eindig veel dus
K. P. Hart Hoeveel elementen?
23. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
Zo te zien: meer dan ´´n, meer dan twee, meer dan drie, . . .
ee
Meer dan eindig veel dus, oneindig veel
K. P. Hart Hoeveel elementen?
24. Hoeveel natuurlijke getallen?
De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om te
tellen:
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
Zo te zien: meer dan ´´n, meer dan twee, meer dan drie, . . .
ee
Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
25. Hoeveel re¨le getallen?
e
De re¨le getallen corresponderen met de punten op een lijn,
e
K. P. Hart Hoeveel elementen?
26. Hoeveel re¨le getallen?
e
De re¨le getallen corresponderen met de punten op een lijn,
e
nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.
0 1
K. P. Hart Hoeveel elementen?
27. Hoeveel re¨le getallen?
e
De re¨le getallen corresponderen met de punten op een lijn,
e
nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.
De plaats van π
0 1
K. P. Hart Hoeveel elementen?
28. Hoeveel re¨le getallen?
e
De re¨le getallen corresponderen met de punten op een lijn,
e
nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.
De plaats van π vinden we door een cirkel
0 1
K. P. Hart Hoeveel elementen?
29. Hoeveel re¨le getallen?
e
De re¨le getallen corresponderen met de punten op een lijn,
e
nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.
De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1
0 1
K. P. Hart Hoeveel elementen?
30. Hoeveel re¨le getallen?
e
De re¨le getallen corresponderen met de punten op een lijn,
e
nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.
De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1
vanuit 0 naar rechts
0 1
K. P. Hart Hoeveel elementen?
31. Hoeveel re¨le getallen?
e
De re¨le getallen corresponderen met de punten op een lijn,
e
nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.
De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1
vanuit 0 naar rechts ´´n omwenteling te laten maken.
ee
0 1 π
K. P. Hart Hoeveel elementen?
32. Hoeveel re¨le getallen?
e
De re¨le getallen corresponderen met de punten op een lijn,
e
nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.
De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1
vanuit 0 naar rechts ´´n omwenteling te laten maken.
ee
0 1 2 π
We kunnen de natuurlijke getallen als re¨le getallen beschouwen,
e
K. P. Hart Hoeveel elementen?
33. Hoeveel re¨le getallen?
e
De re¨le getallen corresponderen met de punten op een lijn,
e
nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.
De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1
vanuit 0 naar rechts ´´n omwenteling te laten maken.
ee
0 1 2 3
We kunnen de natuurlijke getallen als re¨le getallen beschouwen, er
e
zijn dus ten minste zoveel re¨le als natuurlijke getallen.
e
K. P. Hart Hoeveel elementen?
34. Hoeveel re¨le getallen?
e
De re¨le getallen corresponderen met de punten op een lijn,
e
nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.
De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1
vanuit 0 naar rechts ´´n omwenteling te laten maken.
ee
0 1 2 3 4
We kunnen de natuurlijke getallen als re¨le getallen beschouwen, er
e
zijn dus ten minste zoveel re¨le als natuurlijke getallen.
e
Maar de vraag blijft:
K. P. Hart Hoeveel elementen?
35. Hoeveel re¨le getallen?
e
De re¨le getallen corresponderen met de punten op een lijn,
e
nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.
De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1
vanuit 0 naar rechts ´´n omwenteling te laten maken.
ee
0 1 2 3 4 ...
We kunnen de natuurlijke getallen als re¨le getallen beschouwen, er
e
zijn dus ten minste zoveel re¨le als natuurlijke getallen.
e
Maar de vraag blijft: Hoeveel?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
36. De vragen zijn niet goed gesteld
De vraag “Hoeveel?” is eigenlijk geen goede vraag.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
37. De vragen zijn niet goed gesteld
De vraag “Hoeveel?” is eigenlijk geen goede vraag.
Een verzameling heeft geen intrinsiek ‘aantal elementen’.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
38. De vragen zijn niet goed gesteld
De vraag “Hoeveel?” is eigenlijk geen goede vraag.
Een verzameling heeft geen intrinsiek ‘aantal elementen’.
Dat is te zien aan de antwoorden op de vraag naar het aantal
provincies van Nederland.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
39. De vragen zijn niet goed gesteld
De vraag “Hoeveel?” is eigenlijk geen goede vraag.
Een verzameling heeft geen intrinsiek ‘aantal elementen’.
Dat is te zien aan de antwoorden op de vraag naar het aantal
provincies van Nederland.
Wie het Mohawk of Fins niet beheerst heeft aan de eerste twee
antwoorden niets.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
40. Wat kunnen we doen?
We kunnen vergelijken.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
41. Wat kunnen we doen?
We kunnen vergelijken.
Denk aan lengten: als je wilt weten wie/wat het langst is dan
zet/leg je de dingen naast elkaar.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
42. Wat kunnen we doen?
We kunnen vergelijken.
Denk aan lengten: als je wilt weten wie/wat het langst is dan
zet/leg je de dingen naast elkaar.
welke is langer?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
43. Wat kunnen we doen?
We kunnen vergelijken.
Denk aan lengten: als je wilt weten wie/wat het langst is dan
zet/leg je de dingen naast elkaar.
welke is langer?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
44. Wat kunnen we doen?
We kunnen vergelijken.
Denk aan lengten: als je wilt weten wie/wat het langst is dan
zet/leg je de dingen naast elkaar.
welke is langer? kijk en vergelijk
K. P. Hart Hoeveel elementen?
45. Wat kunnen we doen?
We kunnen vergelijken.
Denk aan lengten: als je wilt weten wie/wat het langst is dan
zet/leg je de dingen naast elkaar.
welke is langer? kijk en vergelijk
En als we de objecten niet kunnen verplaatsen?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
46. Wat kunnen we doen?
We kunnen vergelijken.
Denk aan lengten: als je wilt weten wie/wat het langst is dan
zet/leg je de dingen naast elkaar.
welke is langer? kijk en vergelijk
En als we de objecten niet kunnen verplaatsen?
Gebruik een stokje en pas de lengten af.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
48. Verzamelingen vergelijken
Met verzamelingen kan zoiets ook
a b c de f gh i j k l mnopq r s t u v w x yz
K. P. Hart Hoeveel elementen?
49. Verzamelingen vergelijken
Met verzamelingen kan zoiets ook
a b c de f gh i j k l mnopq r s t u v w x yz
αβ γ δ ζ η θ ικλµ ν ξ oπ ρσ τ υ ϕχψ ω
K. P. Hart Hoeveel elementen?
50. Verzamelingen vergelijken
Met verzamelingen kan zoiets ook
a b c de f gh i j k l mnopq r s t u v w x yz
αβ γ δ ζ η θ ικλµ ν ξ oπ ρσ τ υ ϕχψ ω
Kijk en vergelijk.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
51. Verzamelingen vergelijken
Met verzamelingen kan zoiets ook
a b c de f gh i j k l mnopq r s t u v w x yz
αβ γ δ ζ η θ ικλµ ν ξ oπ ρσ τ υ ϕχψ ω
Kijk en vergelijk.
Op deze manier kunnen we betekenis hechten aan ‘minder’, ‘even
veel’ en ‘meer’.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
52. Verzamelingen vergelijken
Voor ‘eindige’ verzamelingen werkt deze methode in principe altijd:
K. P. Hart Hoeveel elementen?
53. Verzamelingen vergelijken
Voor ‘eindige’ verzamelingen werkt deze methode in principe altijd:
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
K. P. Hart Hoeveel elementen?
54. Verzamelingen vergelijken
Voor ‘eindige’ verzamelingen werkt deze methode in principe altijd:
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
K. P. Hart Hoeveel elementen?
55. Verzamelingen vergelijken
Voor ‘eindige’ verzamelingen werkt deze methode in principe altijd:
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
K. P. Hart Hoeveel elementen?
56. Verzamelingen vergelijken
Voor ‘eindige’ verzamelingen werkt deze methode in principe altijd:
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
...
K. P. Hart Hoeveel elementen?
57. Verzamelingen vergelijken
Voor ‘eindige’ verzamelingen werkt deze methode in principe altijd:
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
...
de verzameling die het eerst leeg is heeft minder elementen dan de
andere.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
58. Verzamelingen vergelijken
Voor ‘eindige’ verzamelingen werkt deze methode in principe altijd:
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
´´n van mij, ´´n van jou,
ee ee
...
de verzameling die het eerst leeg is heeft minder elementen dan de
andere.
Bij gelijk eindigen: even veel.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
59. Vergelijken op afstand
Wat als de verzamelingen niet bij elkaar te brengen zijn?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
60. Vergelijken op afstand
Wat als de verzamelingen niet bij elkaar te brengen zijn?
Neem een stok en maak een kerfje voor elk element van de
verzameling hier en neem die kerfstok mee naar de andere.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
61. Vergelijken op afstand
Wat als de verzamelingen niet bij elkaar te brengen zijn?
Neem een stok en maak een kerfje voor elk element van de
verzameling hier en neem die kerfstok mee naar de andere.
Vergelijk de andere verzameling met de verzameling kerfjes, klaar.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
62. Vergelijken op afstand
Wat als de verzamelingen niet bij elkaar te brengen zijn?
Neem een stok en maak een kerfje voor elk element van de
verzameling hier en neem die kerfstok mee naar de andere.
Vergelijk de andere verzameling met de verzameling kerfjes, klaar.
Die kerfstok kan vaker gebruikt worden.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
63. Vergelijken op afstand
Wat als de verzamelingen niet bij elkaar te brengen zijn?
Neem een stok en maak een kerfje voor elk element van de
verzameling hier en neem die kerfstok mee naar de andere.
Vergelijk de andere verzameling met de verzameling kerfjes, klaar.
Die kerfstok kan vaker gebruikt worden.
Markeer de kerfjes die met de ene verzameling corresponderen, ga
naar de andere en vergelijk.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
64. Notatiesystemen
Er zijn veel systemen bedacht om aantallen weer te geven.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
65. Notatiesystemen
Er zijn veel systemen bedacht om aantallen weer te geven.
Al die systemen beschrijven hetzelfde: datgene dat waar wij
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . .
voor gebruiken.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
66. Notatiesystemen
Er zijn veel systemen bedacht om aantallen weer te geven.
Al die systemen beschrijven hetzelfde: datgene dat waar wij
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . .
voor gebruiken.
Ze maken een betere boekhouding mogelijk dan kerfstokken.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
67. Notatiesystemen
Er zijn veel systemen bedacht om aantallen weer te geven.
Al die systemen beschrijven hetzelfde: datgene dat waar wij
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . .
voor gebruiken.
Ze maken een betere boekhouding mogelijk dan kerfstokken.
Na verloop van tijd gaf zo’n systeem het antwoord op de vraag:
hoeveel elementen?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
69. Hoeveel natuurlijke getallen?
Hoeveel elementen heeft N (de verzameling der natuurlijke
getallen) nu?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
70. Hoeveel natuurlijke getallen?
Hoeveel elementen heeft N (de verzameling der natuurlijke
getallen) nu?
Dat kunnen we niet zeggen omdat
K. P. Hart Hoeveel elementen?
71. Hoeveel natuurlijke getallen?
Hoeveel elementen heeft N (de verzameling der natuurlijke
getallen) nu?
Dat kunnen we niet zeggen omdat
we geen punt op onze kerfstok hebben dat met N correspondeert.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
72. Hoeveel natuurlijke getallen?
Hoeveel elementen heeft N (de verzameling der natuurlijke
getallen) nu?
Dat kunnen we niet zeggen omdat
we geen punt op onze kerfstok hebben dat met N correspondeert.
Als in het begin moeten we het eerst gaan hebben over ‘meer’,
‘minder’ en ‘even veel’.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
73. Uit een brief van Cantor aan Dedekind
Halle, d. 29ten Nov. 73.
Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n
und bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa den
Inbegriff aller positiven reellen Zahlgr¨ssen x und bezeichne ihn
o
mit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so
zuordenen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes ein
und nur eines des andern geh¨rt?
o
K. P. Hart Hoeveel elementen?
74. De betekenis van Cantor’s vraag
Dit was de eerste keer dat deze vraag gesteld werd voor oneindige
verzamelingen.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
75. De betekenis van Cantor’s vraag
Dit was de eerste keer dat deze vraag gesteld werd voor oneindige
verzamelingen.
De vraag komt neer op: zijn er even veel natuurlijke getallen als
punten op een lijn?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
76. De betekenis van Cantor’s vraag
Dit was de eerste keer dat deze vraag gesteld werd voor oneindige
verzamelingen.
De vraag komt neer op: zijn er even veel natuurlijke getallen als
punten op een lijn?
Hierbij is ‘even veel’ ondubbelzinnig gedefinieerd
K. P. Hart Hoeveel elementen?
77. De betekenis van Cantor’s vraag
Dit was de eerste keer dat deze vraag gesteld werd voor oneindige
verzamelingen.
De vraag komt neer op: zijn er even veel natuurlijke getallen als
punten op een lijn?
Hierbij is ‘even veel’ ondubbelzinnig gedefinieerd: er is een
massahuwelijk mogelijk waarbij elk natuurlijk getal met ´´n punt op
ee
de lijn en elk punt op de lijn met ´´n natuurlijk getal zal trouwen.
ee
K. P. Hart Hoeveel elementen?
78. In wiskundige termen
In plaats van ‘massahuwelijken’ spreken we van bijectieve
afbeeldingen.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
79. In wiskundige termen
In plaats van ‘massahuwelijken’ spreken we van bijectieve
afbeeldingen.
Een afbeelding f : A → B is bijectief als
K. P. Hart Hoeveel elementen?
80. In wiskundige termen
In plaats van ‘massahuwelijken’ spreken we van bijectieve
afbeeldingen.
Een afbeelding f : A → B is bijectief als
voor elk tweetal verschillende elementen a1 en a2 van A geldt
dat f (a1 ) = f (a2 ) en
K. P. Hart Hoeveel elementen?
81. In wiskundige termen
In plaats van ‘massahuwelijken’ spreken we van bijectieve
afbeeldingen.
Een afbeelding f : A → B is bijectief als
voor elk tweetal verschillende elementen a1 en a2 van A geldt
dat f (a1 ) = f (a2 ) en
voor elke b ∈ B een a ∈ A bestaat met f (a) = b.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
82. In wiskundige termen
In plaats van ‘massahuwelijken’ spreken we van bijectieve
afbeeldingen.
Een afbeelding f : A → B is bijectief als
voor elk tweetal verschillende elementen a1 en a2 van A geldt
dat f (a1 ) = f (a2 ) en
voor elke b ∈ B een a ∈ A bestaat met f (a) = b.
Het “´´n van mij, ´´n van jou” beslist voor eindige verzamelingen
ee ee
in eindige tijd of er een bijectie tussen de verzamelingen bestaat.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
83. Hoe Cantor’s vraag te beantwoorden?
Men kan:
K. P. Hart Hoeveel elementen?
84. Hoe Cantor’s vraag te beantwoorden?
Men kan:
een formule/beschrijving geven van een bijectieve f : N → R
en
K. P. Hart Hoeveel elementen?
85. Hoe Cantor’s vraag te beantwoorden?
Men kan:
een formule/beschrijving geven van een bijectieve f : N → R
en een bewijs dat deze werkt
K. P. Hart Hoeveel elementen?
86. Hoe Cantor’s vraag te beantwoorden?
Men kan:
een formule/beschrijving geven van een bijectieve f : N → R
en een bewijs dat deze werkt of
K. P. Hart Hoeveel elementen?
87. Hoe Cantor’s vraag te beantwoorden?
Men kan:
een formule/beschrijving geven van een bijectieve f : N → R
en een bewijs dat deze werkt of
een bewijs dat zo’n formule/beschrijving niet bestaat.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
88. Hoe Cantor’s vraag te beantwoorden?
Men kan:
een formule/beschrijving geven van een bijectieve f : N → R
en een bewijs dat deze werkt of
een bewijs dat zo’n formule/beschrijving niet bestaat.
Het proces van “´´n van mij, ´´n van jou” werkt hier niet omdat
ee ee
het geen verifieerbare beschrijving oplevert.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
89. Een paar formules
De formule n → 2n laat zien dat er even veel even natuurlijke
getallen zijn als natuurlijke getallen.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
90. Een paar formules
De formule n → 2n laat zien dat er even veel even natuurlijke
getallen zijn als natuurlijke getallen.
De formule
K. P. Hart Hoeveel elementen?
91. Een paar formules
De formule n → 2n laat zien dat er even veel even natuurlijke
getallen zijn als natuurlijke getallen.
De formule
n −1 + (−1)n
n → (−1)n +
2 4
K. P. Hart Hoeveel elementen?
92. Een paar formules
De formule n → 2n laat zien dat er even veel even natuurlijke
getallen zijn als natuurlijke getallen.
De formule
n −1 + (−1)n
n → (−1)n +
2 4
laat zien dat er even veel gehele getallen zijn als natuurlijke
getallen
K. P. Hart Hoeveel elementen?
93. Een paar formules
De formule n → 2n laat zien dat er even veel even natuurlijke
getallen zijn als natuurlijke getallen.
De formule
n −1 + (−1)n
n → (−1)n +
2 4
laat zien dat er even veel gehele getallen zijn als natuurlijke
getallen; de echtparen zijn als volgt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .
K. P. Hart Hoeveel elementen?
94. Een paar formules
De formule n → 2n laat zien dat er even veel even natuurlijke
getallen zijn als natuurlijke getallen.
De formule
n −1 + (−1)n
n → (−1)n +
2 4
laat zien dat er even veel gehele getallen zijn als natuurlijke
getallen; de echtparen zijn als volgt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .
0 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 5 −5 . . .
K. P. Hart Hoeveel elementen?
95. Een paar formules
De formule n → 2n laat zien dat er even veel even natuurlijke
getallen zijn als natuurlijke getallen.
De formule
n −1 + (−1)n
n → (−1)n +
2 4
laat zien dat er even veel gehele getallen zijn als natuurlijke
getallen; de echtparen zijn als volgt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .
0 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 5 −5 . . .
K. P. Hart Hoeveel elementen?
97. Paren en breuken
De formule
1
(m, n) → (m + n − 2)(m + n − 1) + m
2
K. P. Hart Hoeveel elementen?
98. Paren en breuken
De formule
1
(m, n) → (m + n − 2)(m + n − 1) + m
2
laat zien dat er even veel paren natuurlijke getallen bestaan als
natuurlijke getallen.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
99. Paren en breuken
De formule
1
(m, n) → (m + n − 2)(m + n − 1) + m
2
laat zien dat er even veel paren natuurlijke getallen bestaan als
natuurlijke getallen.
Er zijn dus ook even veel (positieve) breuken als natuurlijke
getallen.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
100. Het antwoord van Cantor op zijn eigen vraag
¨
Uit: Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen
algebraischen Zahlen, 1874
K. P. Hart Hoeveel elementen?
101. Het antwoord van Cantor op zijn eigen vraag
¨
Uit: Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen
algebraischen Zahlen, 1874
Stelling
Wenn eine nach irgendeinerm Gesetze gegebenen unendliche Reihe
von einander verschiedener reeller Zahlgr¨ßen
o
ω1 , ω2 , . . . , ων , . . . (4)
vorliegt, so l¨ßt sich in jedem vorgegebenen Intervalle (α . . . β) eine
a
Zahl η (und folglich unendlich viele solcher Zahlen) bestimmen,
welche in der Reihe (4) nicht vorkommt; dies sol nun bewiesen
werden.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
102. Wat betekent dit?
Er zijn ten minste twee soorten oneindig: die van N en die van R
(de verzameling der re¨le getallen).
e
K. P. Hart Hoeveel elementen?
103. Wat betekent dit?
Er zijn ten minste twee soorten oneindig: die van N en die van R
(de verzameling der re¨le getallen).
e
Dit geeft ons twee extra kerfjes op de stok; we markeren ze met de
symbolen die Cantor ingevoerd heeft:
K. P. Hart Hoeveel elementen?
104. Wat betekent dit?
Er zijn ten minste twee soorten oneindig: die van N en die van R
(de verzameling der re¨le getallen).
e
Dit geeft ons twee extra kerfjes op de stok; we markeren ze met de
symbolen die Cantor ingevoerd heeft:
ℵ0 , de machtigheid van N
K. P. Hart Hoeveel elementen?
105. Wat betekent dit?
Er zijn ten minste twee soorten oneindig: die van N en die van R
(de verzameling der re¨le getallen).
e
Dit geeft ons twee extra kerfjes op de stok; we markeren ze met de
symbolen die Cantor ingevoerd heeft:
ℵ0 , de machtigheid van N
c, de machtigheid van R
K. P. Hart Hoeveel elementen?
106. Wat betekent dit?
Er zijn ten minste twee soorten oneindig: die van N en die van R
(de verzameling der re¨le getallen).
e
Dit geeft ons twee extra kerfjes op de stok; we markeren ze met de
symbolen die Cantor ingevoerd heeft:
ℵ0 , de machtigheid van N
c, de machtigheid van R
Machtigheid is Cantor’s term voor wat we ‘het aantal elementen’
zouden willen noemen.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
107. Onze kerfstok
Als we oneindige verzamelingen bekijken kunnen we ons dus
afvragen of deze even groot zijn als N of even groot als R.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
108. Onze kerfstok
Als we oneindige verzamelingen bekijken kunnen we ons dus
afvragen of deze even groot zijn als N of even groot als R.
We vragen dus niet hoeveel elementen N en R hebben
K. P. Hart Hoeveel elementen?
109. Onze kerfstok
Als we oneindige verzamelingen bekijken kunnen we ons dus
afvragen of deze even groot zijn als N of even groot als R.
We vragen dus niet hoeveel elementen N en R hebben; we
gebruiken ze als modelverzamelingen om mee te vergelijken.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
110. Onze kerfstok
Als we oneindige verzamelingen bekijken kunnen we ons dus
afvragen of deze even groot zijn als N of even groot als R.
We vragen dus niet hoeveel elementen N en R hebben; we
gebruiken ze als modelverzamelingen om mee te vergelijken.
Hier is de kerfstok
K. P. Hart Hoeveel elementen?
111. Onze kerfstok
Als we oneindige verzamelingen bekijken kunnen we ons dus
afvragen of deze even groot zijn als N of even groot als R.
We vragen dus niet hoeveel elementen N en R hebben; we
gebruiken ze als modelverzamelingen om mee te vergelijken.
Hier is de kerfstok:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . ,
K. P. Hart Hoeveel elementen?
112. Onze kerfstok
Als we oneindige verzamelingen bekijken kunnen we ons dus
afvragen of deze even groot zijn als N of even groot als R.
We vragen dus niet hoeveel elementen N en R hebben; we
gebruiken ze als modelverzamelingen om mee te vergelijken.
Hier is de kerfstok:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , ℵ0 , . . . ,
K. P. Hart Hoeveel elementen?
113. Onze kerfstok
Als we oneindige verzamelingen bekijken kunnen we ons dus
afvragen of deze even groot zijn als N of even groot als R.
We vragen dus niet hoeveel elementen N en R hebben; we
gebruiken ze als modelverzamelingen om mee te vergelijken.
Hier is de kerfstok:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , ℵ0 , . . . , c, . . .
K. P. Hart Hoeveel elementen?
114. Is er meer?
Eerste vraag: is er iets tussen ℵ0 en c?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
115. Is er meer?
Eerste vraag: is er iets tussen ℵ0 en c?
ℵ2 misschien?
0
K. P. Hart Hoeveel elementen?
116. Is er meer?
Eerste vraag: is er iets tussen ℵ0 en c?
ℵ2 misschien?
0
Dat is de machtigheid van N × N, de verzameling van alle paren
natuurlijke getallen.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
117. Is er meer?
Eerste vraag: is er iets tussen ℵ0 en c?
ℵ2 misschien?
0
Dat is de machtigheid van N × N, de verzameling van alle paren
natuurlijke getallen.
We hebben al een bijectie tussen N × N en N gezien, dus
K. P. Hart Hoeveel elementen?
118. Is er meer?
Eerste vraag: is er iets tussen ℵ0 en c?
ℵ2 misschien?
0
Dat is de machtigheid van N × N, de verzameling van alle paren
natuurlijke getallen.
We hebben al een bijectie tussen N × N en N gezien, dus
ℵ2 = ℵ0
0
K. P. Hart Hoeveel elementen?
119. Is er meer?
Eerste vraag: is er iets tussen ℵ0 en c?
ℵ2 misschien?
0
Dat is de machtigheid van N × N, de verzameling van alle paren
natuurlijke getallen.
We hebben al een bijectie tussen N × N en N gezien, dus
ℵ2 = ℵ0
0
Met inductie volgt: ℵn = ℵ0 voor alle n.
0
K. P. Hart Hoeveel elementen?
120. Continu¨mhypothese
u
Cantor vermoedde, en dacht te kunnen bewijzen, dat er niets
tussen ℵ0 en c te vinden is.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
121. Continu¨mhypothese
u
Cantor vermoedde, en dacht te kunnen bewijzen, dat er niets
tussen ℵ0 en c te vinden is.
Dit is Cantor’s Continu¨mhypothese.
u
K. P. Hart Hoeveel elementen?
122. Continu¨mhypothese
u
Cantor vermoedde, en dacht te kunnen bewijzen, dat er niets
tussen ℵ0 en c te vinden is.
Dit is Cantor’s Continu¨mhypothese.
u
Deze is noch te bewijzen, noch te ontkrachten.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
123. Continu¨mhypothese
u
Cantor vermoedde, en dacht te kunnen bewijzen, dat er niets
tussen ℵ0 en c te vinden is.
Dit is Cantor’s Continu¨mhypothese.
u
Deze is noch te bewijzen, noch te ontkrachten.
We kunnen dat laatste bewijzen.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
124. Is er meer?
Tweede vraag: is er iets boven c?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
125. Is er meer?
Tweede vraag: is er iets boven c?
Bijvoorbeeld c2 , de machtigheid van het platte vlak?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
126. Is er meer?
Tweede vraag: is er iets boven c?
Bijvoorbeeld c2 , de machtigheid van het platte vlak?
Cantor: R en R2 hebben even veel elementen; dus c = c2 .
K. P. Hart Hoeveel elementen?
127. Is er meer?
Tweede vraag: is er iets boven c?
Bijvoorbeeld c2 , de machtigheid van het platte vlak?
Cantor: R en R2 hebben even veel elementen; dus c = c2 .
Er zijn zelfs even veel rijen re¨le getallen als er re¨le getallen zijn;
e e
met behulp van Cantor’s symbolen: c = cℵ0 .
K. P. Hart Hoeveel elementen?
128. Er is meer
Elke verzameling heeft echt minder elementen dan
deelverzamelingen.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
129. Er is meer
Elke verzameling heeft echt minder elementen dan
deelverzamelingen.
Als f : X → P(X ) een willekeurige afbeelding is dan is er g´´n x
ee
met f (x) = A, waarbij A = {z ∈ X : z ∈ f (z)}.
/
K. P. Hart Hoeveel elementen?
130. Er is meer
Elke verzameling heeft echt minder elementen dan
deelverzamelingen.
Als f : X → P(X ) een willekeurige afbeelding is dan is er g´´n x
ee
met f (x) = A, waarbij A = {z ∈ X : z ∈ f (z)}.
/
Geen enkele f : X → P(X ) is dus bijectief.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
131. Er is meer
Dit is van toepassing op R: de machtigheid van P(R) is strikt
groter dan die van R.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
132. Er is meer
Dit is van toepassing op R: de machtigheid van P(R) is strikt
groter dan die van R.
Meer algemeen: er is geen grootste machtigheid.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
134. Kardinaalgetallen?
Wat we nog niet hebben: een functie
X → |X |
K. P. Hart Hoeveel elementen?
135. Kardinaalgetallen?
Wat we nog niet hebben: een functie
X → |X |
met de eigenschap dat
K. P. Hart Hoeveel elementen?
136. Kardinaalgetallen?
Wat we nog niet hebben: een functie
X → |X |
met de eigenschap dat
|X | = |Y |
K. P. Hart Hoeveel elementen?
137. Kardinaalgetallen?
Wat we nog niet hebben: een functie
X → |X |
met de eigenschap dat
|X | = |Y |
equivalent is met
K. P. Hart Hoeveel elementen?
138. Kardinaalgetallen?
Wat we nog niet hebben: een functie
X → |X |
met de eigenschap dat
|X | = |Y |
equivalent is met
“er is een bijectie tussen X en Y ”.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
139. Kardinaalgetallen?
Wat we nog niet hebben: een functie
X → |X |
met de eigenschap dat
|X | = |Y |
equivalent is met
“er is een bijectie tussen X en Y ”.
dat is wat we van de notie ‘aantal elementen’ (of ‘kardinaalgetal’)
willen.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
143. Kardinaalgetallen?
De waarden
|N| = ℵ0 en
|R| = c
voldoen niet
K. P. Hart Hoeveel elementen?
144. Kardinaalgetallen?
De waarden
|N| = ℵ0 en
|R| = c
voldoen niet want ℵ0 en c waren alleen maar tekentjes op onze
kerfstok
K. P. Hart Hoeveel elementen?
145. Kardinaalgetallen?
De waarden
|N| = ℵ0 en
|R| = c
voldoen niet want ℵ0 en c waren alleen maar tekentjes op onze
kerfstok, geen duidelijke wiskundige objecten.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
147. Kardinaalgetallen?
Hier is zo’n functie:
|∅| = 0
n −n
|{1, . . . , n}| = i=1 2 ;
K. P. Hart Hoeveel elementen?
148. Kardinaalgetallen?
Hier is zo’n functie:
|∅| = 0
|{1, . . . , n}| = n 2−n ; en elke X even groot als deze
i=1
verzameling krijgt deze waarde
∞ −n
|N| = i=1 2 = 1;
K. P. Hart Hoeveel elementen?
149. Kardinaalgetallen?
Hier is zo’n functie:
|∅| = 0
|{1, . . . , n}| = n 2−n ; en elke X even groot als deze
i=1
verzameling krijgt deze waarde
∞ −n
|N| = i=1 2 = 1; en elke aftelbare X krijgt deze waarde
K. P. Hart Hoeveel elementen?
150. Kardinaalgetallen?
Hier is zo’n functie:
|∅| = 0
|{1, . . . , n}| = n 2−n ; en elke X even groot als deze
i=1
verzameling krijgt deze waarde
∞ −n
|N| = i=1 2 = 1; en elke aftelbare X krijgt deze waarde
|R| = π; idem voor alles wat even groot is als R
·π
π ·· n
|P n (R)| = ππ ;
K. P. Hart Hoeveel elementen?
151. Kardinaalgetallen?
Hier is zo’n functie:
|∅| = 0
|{1, . . . , n}| = n 2−n ; en elke X even groot als deze
i=1
verzameling krijgt deze waarde
∞ −n
|N| = i=1 2 = 1; en elke aftelbare X krijgt deze waarde
|R| = π; idem voor alles wat even groot is als R
·π
π ·· n
|P n (R)| = ππ ; en alles . . .
K. P. Hart Hoeveel elementen?
152. Kardinaalgetallen?
Gek genoeg: voor 99% van de wiskunde voldoet deze functie prima
...
K. P. Hart Hoeveel elementen?
153. Kardinaalgetallen?
Gek genoeg: voor 99% van de wiskunde voldoet deze functie prima
...
. . . als we genegen zijn de Gegeneraliseerde Continu¨mhypothese
u
aan te nemen.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
154. Kardinaalgetallen?
Gek genoeg: voor 99% van de wiskunde voldoet deze functie prima
...
. . . als we genegen zijn de Gegeneraliseerde Continu¨mhypothese
u
aan te nemen.
Dat wil zeggen voor geen enkele oneindige X is er een machtigheid
tussen die van X en P(X ).
K. P. Hart Hoeveel elementen?
155. Maar nu serieus
Kan dat niet wat eenvoudiger/basaler/natuurlijker?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
156. Maar nu serieus
Kan dat niet wat eenvoudiger/basaler/natuurlijker?
Is er een definitie van |X | die wat verzamelingtheoretischer is?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
157. Maar nu serieus
Kan dat niet wat eenvoudiger/basaler/natuurlijker?
Is er een definitie van |X | die wat verzamelingtheoretischer is?
En die geen menselijke tussenkomst vergt?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
158. Maar nu serieus
Kan dat niet wat eenvoudiger/basaler/natuurlijker?
Is er een definitie van |X | die wat verzamelingtheoretischer is?
En die geen menselijke tussenkomst vergt?
Die definitie is er maar het is even wennen.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
159. Wat is een natuurlijk getal?
We hebben N als standaard representant van de machtigheid ℵ0
gekozen en R als die van c.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
160. Wat is een natuurlijk getal?
We hebben N als standaard representant van de machtigheid ℵ0
gekozen en R als die van c.
Hoe zit dat met de eindige machtigheden?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
161. Wat is een natuurlijk getal?
We hebben N als standaard representant van de machtigheid ℵ0
gekozen en R als die van c.
Hoe zit dat met de eindige machtigheden?
Von Neumann heeft daar wat op gevonden.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
162. Wat is een natuurlijk getal?
We hebben N als standaard representant van de machtigheid ℵ0
gekozen en R als die van c.
Hoe zit dat met de eindige machtigheden?
Von Neumann heeft daar wat op gevonden.
De lege verzameling, ∅, is een perfecte representant voor de
machtigheid 0.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
163. Wat is een natuurlijk getal?
{∅} is een prima representant voor 1
K. P. Hart Hoeveel elementen?
164. Wat is een natuurlijk getal?
{∅} is een prima representant voor 1
{∅, {∅}} is een prima representant voor 2
K. P. Hart Hoeveel elementen?
165. Wat is een natuurlijk getal?
{∅} is een prima representant voor 1
{∅, {∅}} is een prima representant voor 2
{∅, {∅}, {∅, {∅}}} is een prima representant voor 3
K. P. Hart Hoeveel elementen?
166. Wat is een natuurlijk getal?
{∅} is een prima representant voor 1
{∅, {∅}} is een prima representant voor 2
{∅, {∅}, {∅, {∅}}} is een prima representant voor 3
{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}} is een prima representant
voor 4
K. P. Hart Hoeveel elementen?
167. Wat is een natuurlijk getal?
{∅} is een prima representant voor 1
{∅, {∅}} is een prima representant voor 2
{∅, {∅}, {∅, {∅}}} is een prima representant voor 3
{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}} is een prima representant
voor 4
...
K. P. Hart Hoeveel elementen?
168. Wat is een natuurlijk getal?
Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:
K. P. Hart Hoeveel elementen?
169. Wat is een natuurlijk getal?
Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:
We defini¨ren 0 = ∅.
e
K. P. Hart Hoeveel elementen?
170. Wat is een natuurlijk getal?
Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:
We defini¨ren 0 = ∅.
e
1 = {∅}, dus 1 = {0}.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
171. Wat is een natuurlijk getal?
Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:
We defini¨ren 0 = ∅.
e
1 = {∅}, dus 1 = {0}.
2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
172. Wat is een natuurlijk getal?
Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:
We defini¨ren 0 = ∅.
e
1 = {∅}, dus 1 = {0}.
2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.
3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, dus 3 = {0, 1, 2}.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
173. Wat is een natuurlijk getal?
Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:
We defini¨ren 0 = ∅.
e
1 = {∅}, dus 1 = {0}.
2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.
3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, dus 3 = {0, 1, 2}.
4 = {0, 1, 2, 3}.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
174. Wat is een natuurlijk getal?
Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:
We defini¨ren 0 = ∅.
e
1 = {∅}, dus 1 = {0}.
2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.
3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, dus 3 = {0, 1, 2}.
4 = {0, 1, 2, 3}.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
175. Wat is een natuurlijk getal?
Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:
We defini¨ren 0 = ∅.
e
1 = {∅}, dus 1 = {0}.
2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.
3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, dus 3 = {0, 1, 2}.
4 = {0, 1, 2, 3}.
Elk natuurlijk getal is de verzameling van zijn voorgangers.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
176. Wat is een natuurlijk getal?
Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:
We defini¨ren 0 = ∅.
e
1 = {∅}, dus 1 = {0}.
2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.
3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, dus 3 = {0, 1, 2}.
4 = {0, 1, 2, 3}.
Elk natuurlijk getal is de verzameling van zijn voorgangers.
Zo kunnen de natuurlijke getallen geheel in termen van
verzamelingen gedefinieerd worden.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
177. Eindige definitie van N
Merk op, met deze definitie volgt n + 1 = n ∪ {n}.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
178. Eindige definitie van N
Merk op, met deze definitie volgt n + 1 = n ∪ {n}.
De verzameling N der natuurlijke getallen is hiermee de kleinste
verzameling met de volgende twee eigenschappen
K. P. Hart Hoeveel elementen?
179. Eindige definitie van N
Merk op, met deze definitie volgt n + 1 = n ∪ {n}.
De verzameling N der natuurlijke getallen is hiermee de kleinste
verzameling met de volgende twee eigenschappen
∅ ∈ N, en
K. P. Hart Hoeveel elementen?
180. Eindige definitie van N
Merk op, met deze definitie volgt n + 1 = n ∪ {n}.
De verzameling N der natuurlijke getallen is hiermee de kleinste
verzameling met de volgende twee eigenschappen
∅ ∈ N, en
als x ∈ N dan x ∪ {x} ∈ N.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
181. Eindige definitie van N
Merk op, met deze definitie volgt n + 1 = n ∪ {n}.
De verzameling N der natuurlijke getallen is hiermee de kleinste
verzameling met de volgende twee eigenschappen
∅ ∈ N, en
als x ∈ N dan x ∪ {x} ∈ N.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
182. Eindige definitie van N
Merk op, met deze definitie volgt n + 1 = n ∪ {n}.
De verzameling N der natuurlijke getallen is hiermee de kleinste
verzameling met de volgende twee eigenschappen
∅ ∈ N, en
als x ∈ N dan x ∪ {x} ∈ N.
Dit is een definitie zonder . . . er in en in eindig veel symbolen op
te schrijven.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
183. Ordinaalgetallen
Dit leidde tot een bijzondere klasse van verzamelingen:
ordinaalgetallen.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
184. Ordinaalgetallen
Dit leidde tot een bijzondere klasse van verzamelingen:
ordinaalgetallen.
Een ordinaalgetal is een verzameling x met
K. P. Hart Hoeveel elementen?
185. Ordinaalgetallen
Dit leidde tot een bijzondere klasse van verzamelingen:
ordinaalgetallen.
Een ordinaalgetal is een verzameling x met
als y ∈ x en z ∈ y dan z ∈ x, (transitiviteit)
K. P. Hart Hoeveel elementen?
186. Ordinaalgetallen
Dit leidde tot een bijzondere klasse van verzamelingen:
ordinaalgetallen.
Een ordinaalgetal is een verzameling x met
als y ∈ x en z ∈ y dan z ∈ x, (transitiviteit)
als y , z ∈ x dan y ∈ z of y = z of z ∈ y
(lineair geordend door ∈)
K. P. Hart Hoeveel elementen?
187. Ordinaalgetallen
Dit leidde tot een bijzondere klasse van verzamelingen:
ordinaalgetallen.
Een ordinaalgetal is een verzameling x met
als y ∈ x en z ∈ y dan z ∈ x, (transitiviteit)
als y , z ∈ x dan y ∈ z of y = z of z ∈ y
(lineair geordend door ∈)
als a ⊆ x dan heeft a een minimum ten opzichte van ∈
(welgeordend door ∈)
K. P. Hart Hoeveel elementen?
188. Ordinaalgetallen
Elk natuurlijk getal, zoals hierboven door Von Neumann
gedefinieerd, is een ordinaalgetal
K. P. Hart Hoeveel elementen?
189. Ordinaalgetallen
Elk natuurlijk getal, zoals hierboven door Von Neumann
gedefinieerd, is een ordinaalgetal,
N is het ook
K. P. Hart Hoeveel elementen?
190. Ordinaalgetallen
Elk natuurlijk getal, zoals hierboven door Von Neumann
gedefinieerd, is een ordinaalgetal,
N is het ook;
met Cantor noteren we N-als-ordinaalgetal ook wel als ω.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
191. De ultieme meetlat
De ordinaalgetallen vormen de ultieme meetlat.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
192. De ultieme meetlat
De ordinaalgetallen vormen de ultieme meetlat.
We kunnen nu de machtigheid of het kardinaalgetal geheel binnen
de verzamelingenleer defini¨ren:
e
K. P. Hart Hoeveel elementen?
193. De ultieme meetlat
De ordinaalgetallen vormen de ultieme meetlat.
We kunnen nu de machtigheid of het kardinaalgetal geheel binnen
de verzamelingenleer defini¨ren:
e
Het kardinaalgetal van X is het kleinste ordinaalgetal dat even
groot is als X .
K. P. Hart Hoeveel elementen?
194. De ultieme meetlat
De ordinaalgetallen vormen de ultieme meetlat.
We kunnen nu de machtigheid of het kardinaalgetal geheel binnen
de verzamelingenleer defini¨ren:
e
Het kardinaalgetal van X is het kleinste ordinaalgetal dat even
groot is als X .
De ordinaalgetallen vormen een wat fijnmaziger structuur dan die
der machtigheden.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
195. Wat met R?
Verzamelingtheoretisch geldt: N = ω = ℵ0 .
K. P. Hart Hoeveel elementen?
196. Wat met R?
Verzamelingtheoretisch geldt: N = ω = ℵ0 .
Hoe zit het met c, de machtigheid van R?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
197. Wat met R?
Verzamelingtheoretisch geldt: N = ω = ℵ0 .
Hoe zit het met c, de machtigheid van R?
Cantor’s Continu¨mhypothese komt neer op
u
“R is net zo groot als het eerste overaftelbare ordinaalgetal”.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
198. Wat met R?
Verzamelingtheoretisch geldt: N = ω = ℵ0 .
Hoe zit het met c, de machtigheid van R?
Cantor’s Continu¨mhypothese komt neer op
u
“R is net zo groot als het eerste overaftelbare ordinaalgetal”.
De plaats van c is dus niet te bepalen; dat wil zeggen niet met
behulp van de gangbare spelregels van de verzamelingenleer.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
199. R heeft meer elementen dan N
Stelling
Wenn eine nach irgendeinerm Gesetze gegebenen unendliche Reihe
von einander verschiedener reeller Zahlgr¨ßen
o
ω1 , ω2 , . . . , ων , . . . (4)
vorliegt, so l¨ßt sich in jedem vorgegebenen Intervalle (α . . . β) eine
a
Zahl η (und folglich unendlich viele solcher Zahlen) bestimmen,
welche in der Reihe (4) nicht vorkommt; dies sol nun bewiesen
werden.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
200. R heeft meer elementen dan N
Stelling
Wenn eine nach irgendeinerm Gesetze gegebenen unendliche Reihe
von einander verschiedener reeller Zahlgr¨ßen
o
ω1 , ω2 , . . . , ων , . . . (4)
vorliegt, so l¨ßt sich in jedem vorgegebenen Intervalle (α . . . β) eine
a
Zahl η (und folglich unendlich viele solcher Zahlen) bestimmen,
welche in der Reihe (4) nicht vorkommt; dies sol nun bewiesen
werden.
Met andere woorden: bij elke koppeling van natuurlijke getallen
aan re¨le getallen blijven er altijd re¨le muurbloempjes over.
e e
K. P. Hart Hoeveel elementen?
201. Het bewijs
Cantor’s bewijs maakte gebruik van de volledigheid van R.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
202. Het bewijs
Cantor’s bewijs maakte gebruik van de volledigheid van R.
Hij begon met een rij
ω1 , ω2 , . . . , ων , . . .
van re¨le getallen en een willekeurig interval
e
(α, β)
K. P. Hart Hoeveel elementen?
203. Het bewijs
Cantor’s bewijs maakte gebruik van de volledigheid van R.
Hij begon met een rij
ω1 , ω2 , . . . , ων , . . .
van re¨le getallen en een willekeurig interval
e
(α, β)
Hij liet toen zien dat er een re¨el getal η ∈ (α, β) bestaat ongelijk
e
aan alle ων .
K. P. Hart Hoeveel elementen?
205. Het bewijs
α α1 β1 β
Laat α1 en β1 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die er
zijn) die in (α, β) liggen en wel z´ dat α1 < β1 .
o
K. P. Hart Hoeveel elementen?
206. Het bewijs
α α1 α2 β2 β1 β
Laat α1 en β1 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die er
zijn) die in (α, β) liggen en wel z´ dat α1 < β1 .
o
Laat α2 en β2 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die er
zijn) die in (α1 , β1 ) liggen en wel z´ dat α2 < β2 .
o
K. P. Hart Hoeveel elementen?
207. Het bewijs
α α1 α2 α3 β3 β2 β1 β
Laat α1 en β1 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die er
zijn) die in (α, β) liggen en wel z´ dat α1 < β1 .
o
Laat α2 en β2 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die er
zijn) die in (α1 , β1 ) liggen en wel z´ dat α2 < β2 .
o
Laat α3 en β3 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die er
zijn) die in (α2 , β2 ) liggen en wel z´ dat α3 < β3 .
o
K. P. Hart Hoeveel elementen?
208. Het bewijs
α α1 α2 α3 β3 β2 β1 β
Laat α1 en β1 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die er
zijn) die in (α, β) liggen en wel z´ dat α1 < β1 .
o
Laat α2 en β2 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die er
zijn) die in (α1 , β1 ) liggen en wel z´ dat α2 < β2 .
o
Laat α3 en β3 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die er
zijn) die in (α2 , β2 ) liggen en wel z´ dat α3 < β3 .
o
...
K. P. Hart Hoeveel elementen?
215. Het bewijs
α α1 α2 α3 β3 β2 β1 β
K. P. Hart Hoeveel elementen?
216. Het bewijs
α α1 α2 α3 β3 β2 β1 β
Geval 1: de constructie stopt bij n.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
217. Het bewijs
α α1 α2 α3 β3 β2 β1 β
Geval 1: de constructie stopt bij n.
Waarom zou dat kunnen gebeuren?
K. P. Hart Hoeveel elementen?
218. Het bewijs
α α1 α2 α3 ων β3 β2 β1 β
Geval 1: de constructie stopt bij n.
Waarom zou dat kunnen gebeuren?
Nog maar ´´n (of geen) ων in (αn , βn );
ee
K. P. Hart Hoeveel elementen?
219. Het bewijs
η
α α1 α2 α3 ων β3 β2 β1 β
Geval 1: de constructie stopt bij n.
Waarom zou dat kunnen gebeuren?
Nog maar ´´n (of geen) ων in (αn , βn ); dan is η gauw gevonden.
ee
K. P. Hart Hoeveel elementen?
220. Het bewijs
α α1 α2 α3 β3 β2 β1 β
K. P. Hart Hoeveel elementen?
221. Het bewijs
α α1 α2 α3 β3 β2 β1 β
Geval 2: de constructie stopt nooit.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
222. Het bewijs
α α1 α2 α3 a b β3 β2 β1 β
Geval 2: de constructie stopt nooit.
Laat a = supn αn en b = inf n βn .
K. P. Hart Hoeveel elementen?
223. Het bewijs
α α1 α2 α3 a b β3 β2 β1 β
Geval 2: de constructie stopt nooit.
Laat a = supn αn en b = inf n βn .
Dan a b.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
224. Het bewijs
η
α α1 α2 α3 a b β3 β2 β1 β
Geval 2: de constructie stopt nooit.
Laat a = supn αn en b = inf n βn .
Dan a b.
Neem η ∈ [a, b]
K. P. Hart Hoeveel elementen?
225. Het bewijs
η
α α1 α2 α3 a b β3 β2 β1 β
Geval 2: de constructie stopt nooit.
Laat a = supn αn en b = inf n βn .
Dan a b.
Neem η ∈ [a, b], klaar!
K. P. Hart Hoeveel elementen?
226. Verder lezen
Website: fa.its.tudelft.nl/~hart
K. P. Hart.
De Continu¨mhypothese, Nieuw Archief voor Wiskunde, 10
u
(2009), 33–39.
K. P. Hart Hoeveel elementen?
