1. MODUL 7
MATEMATIKA EKONOMI
DOSEN : LIANAH, SE.,MCom.
PROGRAM STUDI : AKUNTANSI
FAKULTAS EKONOMI
UNIVERSITAS MERCU BUANA
JAKARTA 2008

2. Limit
LIMIT
Tujuan Instruksional Khusus:
1. Dengan mempelajari limit, akan memudahkan mahasiswa dalam mendalami
teori diferensiasi dan integrasi yang berhubungan dengan perubahan sangat
kecil dalam variabel suatu fungsi.
10
1. PENDAHULUAN
Teori tentang limit sebuah fungsi merupakan “akar” dari aljabar kalkulus. Oleh
sebab itu uraian mengenai kalkulus selalu diawali dengan bahasan tentang limit.
Dimana aljabar kalkulus yang berintikan teori tentang diferensiasi dan integrasi.
Diferensiasi dan integrasi merupakandua operasi matematis yang saling
berkebalikan, seperti halnya antara penambahan dan pengurangan atau antara
perkalian dan pembagian. Pada intinya,diferensial (teori tentang diferensiasi) berkenaan
dengan penentuan tingkat perubahan suatu fungsi, sedangkan integral (teori tentang
integrasi) berkenaan dengan pembentukan persamaan sutau fungsi apabila tingkat
perubahan fungsi yang bersangkutan diketahui.
2. PENGERTIAN LIMIT
Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila
variable didalam fungsi yang bersangkutan terus menerus berkembang mendekati
suatu nilai tertentu. Sebagai gambaran : dari Y= f (x) akan dapat diketahui limit atau
batas perkembangan f(x) iniapabila variable x terus menerus berkembang hingga
mendekati suatu nilai tertentu. Jika fungsi f(x) mendekati L disebut limit fungsi f(x) untuk
x mendekati a. Hubungan ini dilambangkan dengan notasi:
Lim f(x) = L
x→a
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA EKONOMI

3. Limit
dan dibaca “limit fungsi f(x) untuk mendekati a adalah L”. Artinya jika variable x
berkembang secara terus menerus hingga mendekati bilangan tertentu a, maka nilai
fungsi x f(x) pun akan berkembang pula hingga mendekati L .Atau sebaliknya, fungsi
f(x) dapat dibuat mendekati nilai tertentu yang diinginkan L dengan mengembangkan
variable x sedemikian tupa hingga mendekati a.
Dua hal perlu diperhatikan dalam notasi atau pernyataan limit diatas. Pertama,
x→a harus dibaca serta ditafsirkan dengan mendekati a, dan bukan berarti x = a !
Kedua, lim f(x) = L harus dibaca serta ditafsirkan bahwa L adalah limit fungsi f(x),
dan bukan berarti L adalah nilai fungsi f(x).
Ringkasnya,
10
lim f(x) = L bukan berarti f(a) = L
x→a
Contoh praktis berikut ini akan menjelaskan bagaimana bekerjanya teori limit dan
apa sesungguhnya yang dimaksud dengan limit.
Andaikan y = f(x) = 1 - 2 x2 maka
lim f(x) = lim (1 - 2x2 ) = -7 lim f(x) = lim (1 - 2x2 )= - 17
x→2 x→2 x→3 x→3
Perhatikan perkembangan fungsi f(x) untuk perkembangan variable x sebagaimana
tercermin di dalam table berikut:
Dari table dibawah ini terlihat bahwa jika x bergerak mendekati 2 (baik dari x=1 lalu
menaik, maupun dari x=3.50 lalu menurun), maka f(x) akan mendekati –7. Sedangkan
jika x bergerak mendekati 3 maka f(x) akan berkembang mendekati –17.
x f(x) =1 - 2x2
3.5 1 - 2(3.50)2 = - 23.5
3.1 1 - 2(3.10)2 = - 18.22
3.05 1 - 2(3.05)2 = - 17.605
3.01 1 - 2(3.01)2 = - 17.1202
2.99 1 - 2(2.99)2 = - 16.8802
2.95 1 - 2(2.95)2 = - 16.405
2.90 1 - 2(2.90)2 = - 15.82
2.50 1 - 2(2.50)2 = - 11.5
2.10 1 - 2(2.10)2 = - 7.82
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA EKONOMI

4. Limit
2.05 1 - 2(2.05)2 = - 7.405
2.01 1 - 2(2.01)2 = - 7.0802
1.99 1 - 2(1.99)2 = - 6.9202
1.95 1 - 2(1.95)2 = - 6.605
1.90 1 - 2(1.90)2 = - 6.22
1.50 1 - 2(1.50)2 = - 3.5
1.00 1 - 2(1.00)2 = - 1.0
Pada contoh di atas variable x bergerak mendekati nilai-nilai positif tertentu, yakni
2 dan 3.Limit sebuah fungsi dapat pula dianalisis untuk perkembangan bagan variable
yang menuju 0, bahkan menuju + ∞ dan - ∞. Dengan demikian,untuk setiap fungsi f(x)
kita dapat menganalisis lim f(x) untuk x→ +a , x → -a, x → 0, x → +∞ dan x→-
∞ . Seiring dengan itu dapat terjadi (untuk x mendekati seberang nilai tertentu) lim f(x)
10
= +L, lim f(x) = -L, lim f(x) = 0, lim f(x) = +∞ atau lim f(x) = -∞. Limit suatu fungsi hanya
mempunyai dua kemungkinan : ada (terdefinisi, tertentu; yakni jika limitnya adalah L,
atau –L, atau 0 atau +∞ atau - ∞ atau tidak ada sama sekali (tidak terdefinisi), ada
tidak boleh tak tentu 0 atau ∞.
Contoh:
1. lim (1- 2x2) = -7
x → -2
2. lim ( 1- 2x2) = 1
x →0
3. lim ( 1-2x2) = -∞
x →+∞
3. LIMIT SISI-KIRI DAN LIMIT SISI-KANAN
Analisis mengenai limit sesuatu fungsi sesungguhnya dapat dipilah menjadi dua
bagian, tergantung pada sisi mana kita melihat gerakan perkembangan variabelnya.
Apabila kita menganalisis lim f(x) dari nilai nilai x yang lebih kecil daripada a (dari
x→a
x<a), berarti kita melihatnya dari sisi kiri. Sebaliknya jika menganalisis lim f(x) dari
x→a
nilai-nilai x yang lebih besar daripada a ( x> a), berarti kita melihatnya dari sisi kanan.
Lim f(x)
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA EKONOMI

5. Limit
X→a
terdiri atas
Lim f (x) lim f (x)
x → a- x → a+
(analisis sisi kiri) (analisis sisi kanan)
x → a dilihat dari nilai-nilai x < a x→a dilihat dari nilai-nilai x>a
Limit sisi kiri dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila
variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang membesar (x→a dari
10
sisi kiri, melalui nilai-nilai x < a). Jadi jika,
Lim f(x) = L- berarti L- merupakan limit sisi kiri dari f(x) untuk x→ a
x→a-
Limit sisi kanan dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut
apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang mengecil ( x→a
dari sisi kanan melalui nilai-nilai x > a). Jadi jika
lim f (x) = L+ berarti L+ merupakan limit sisi kanan dari f(x) untuk x→ a
x →a+
Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi kiri dan limit sisi
kanannya ada serta sama.
Lim f(x) = lim f(x) = lim f(x)
x → a- x → a+ x→a
Apabila salah satu dari ketentuan-ketentuan di atas tidak terpenuhi, maka limit dari
fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi. Dengan demikian limit sebuah fungsi
dikatakan tidak ada jika limit salah satu sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya tidak
ada, atau limit kedua sisinya ada tetapi tidak sama.
Contoh:
1. lim ( 1- 2x2) = -7 (terdefinisi)
x→2
sebab lim ( 1-2x2 ) = lim ( 1-2x2) = -7
x →2- x→2+
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA EKONOMI

6. Limit
2. y = f (x) = -3/x maka
limf (x) = lim (-3/x) = + ∞ lim f(x) = lim (-3/x) = - ∞
x → 0- x → 0+ x→0+ x→0+
Karena lim (-3/x) ≠ lim (-3/x), maka lim (-3/x) tidak terdefinisi.
X→ 0- x→ 0+ x →0
1. HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan
perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial
dapat pula disidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari
seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada.
10
Kuosien diferensi ∆y/ ∆x tak lain adalah lereng dari kurva y = f (x). Sedangkan
derivatif dy/dx adalah lim (∆y/∆x) untuk ∆x→0. Jika ∆x sangat kecil, lim (∆y/∆x) =∆y/∆x
itu sendiri,dengan perkataan lain derivatif fungsi yang ∆x→0 bersangkutan sama
dengan kuosien diferensinya (dy/dx = ∆y/∆x). jadi untuk ∆ x yang sangat kecil, derivatif
juga mencerminkan lereng dari kurva y = f(x). Uraian mengenai diferensial berikut ini
akan semakin memperjelas makna tentang derivatif, serta mempertajam pemahaman
akan ketiga konsep yang saling berkaitan: kuosien diferensi, derivatif, dan diferensial.
Notasi derivatif dy/dx sesungguhnya terdiri atas dua suku, yaitu dy dan dx. Suku
dy dinamakan diferensial dari y, sedangkan dx merupakan diferensial dari x. Diferensial
dari x (dx) mencerminkan perubahan sangat kecil pada variable bebas x.
Diferensial dari x: dx = ∆ x
Adapun diferensial dari y (dy) mencerminkan taksiran perubahan pada variable terikat
y berkenaan dengan perubahan sangat kecil pada variable bebas x. Diferensial
dari variable terikat sebuah fungsi sekaligus merupakan diferensial dari fungsi yang
bersangkutan, yakni hasil kali dari derivatifnya terhadap perubahan pada variable
bebas.
dy
Diferensialdari y : dy _____ dx
dx
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA EKONOMI

7. Limit
Berdasarkan penjelasan mengenai masing-masing dx dan dy di atas, maka derivatif
dy/dx tak lain adalah lereng taksiran ( approximated slope) dari kurva y = f(x) pada
kedudukan x tertentu. Lereng yang sesungguhnya (the true slope) adalah kuosien
diferensi ∆ y/ ∆ x. Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over estimated) dari,atau lebih
kecil(underestimated) dari atau sama dengan lereng sesungguhnya. Hal ini tergantung
dari jenis fungsinya dan besar kecilnya perubahan pada variabel bebas.
Untuk fungsi y = f (x) yang linier,lereng taksiran selalu sama dengan lereng
sesungguhnya, berapapun ∆ x. Dengan perkataan lain derivatif fungsi linear tak lain
adalah kuosien diferensinya, dy/dx = ∆ y/ ∆x. Berapapun ∆x (= dx),akan selalu dy =∆ y,
sehingga dy / dx = ∆y/∆ x.
10
Untuk fungsi y = f(x) yang nonlinear, semakin besar ∆x semakin besar pula
perbedaan antara lereng taksiran (derivatif,dy/dx) dan lereng sesungguhnya (kuosien
diferensi, ∆y/∆x). Dengan ∆x yang semakin besar,semakin besar pula perbedaan
antara dy dan ∆ y,sehinggamakin besar pulaperbedaan antara dy/dx dan ∆ y/ ∆x
(ingat :dx=∆x). Sebaliknya semakin kecil ∆x semakin kecilpula perbedaan antara
lereng taksiran dan lereng sesungguhnya. Dan jika ∆x sangat kecil (∆x→0) , lereng
taksiran akan sama dengan lereng sesungguhnya (kalaupun ada perbedaan, nilainya
sedemikian kecilnya sehingga boleh diabaikan).
Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variable bebas x sebesar ∆x (baca delta x), maka
bentuk persamaannya dapat dituliskan menjadi:
Y = f (x)
Y + ∆y = f (x + ∆x)
∆y = f (x + ∆x) – y
∆y = f (x + ∆x) – f (x)
∆ x adalah tambahan x dan ∆ y adalah tambahan y berkenaan dengan adanya
tambahan x. Jadi ∆ y timbul karena adanya ∆ x. Apabila ruas kiri dan kanan sama-
sama dibagi dengan ∆ x, maka diperoleh:
∆y = f (x + ∆x) – f (x)
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA EKONOMI

8. Limit
∆x ∆x
Cat : bentuk Δy / Δx inilah yang disebut dengan hasil bagi perbedaan atau
kuosien
diferensi.
Contoh :
Tentukan kuosien diferensi dari y = 3x²
Y = 3x²
Y + ∆y = 3 (x + ∆x)²
= 3(x² + 2x (∆x) + (∆x)² )
10
= 3x² + 6x (∆x) + 3 (∆x)²
∆y = 3x² + 6x (∆x) + 3 (∆x)² - y
∆y = 3x² + 6x (∆x) + 3 (∆x)² - 3x²
= 6x (∆x) + 3 (∆x)²
Δy 6x(Δx) + 3 (Δx)²
Δx = Δx = 6x + 3 Δx
Proses penurunan fungsi ini disebut diferensiasi. Limit dari suatu kuosien
diferensi disebut derivative atau turunan. Sehingga,
Jika Y = 3 x²
Maka kuosien diverensinya Δy 6x(Δx) + 3 (Δx)²
Δx = Δx = 6x + 3 Δx
Dan derivative atau turunan fungsinya limit Δx →0 Δy 6x(Δx) + 3
(Δx)²
Δx = Δx
Δy
Δx = 6x + 3 Δx =6x
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA EKONOMI

9. Limit
Cara menuliskan turunan dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa
macam notasi atau lambang. Jika fungsi aslinya y = f(x), maka turunannya dapat
dituliskan
Limit Δx →0 Δy = y’ = f’ (x) = yx = fx (x) = dy = df (x) = Δy
Δx dx dx Δx
2. DERIVATIF DARI DERIVATIF
Setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan perkataan lain,
10
turunannya masih bisa diturunkan lagi. Turunan pertama (first derivative) sebuah fungsi
adalah turunan dari fungsi awal atau fungsi aslinya. Turunan kedua (second derivative)
sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama, turunan ketiga (third derivative)
adalah turunan dari turunan kedua dan seterusnya.
Fungsiawal : y = f(x)
Turunan pertama : dy d f(x)
: y’ = f ‘ (x)= ___ = ___
dx dx
d2 y d2 f(x)
Turunan kedua : y’’ = f’’ (x) = ____ = ______
dx2 dx2
d3y d3f(x)
Turunan ketiga : y’’’= f’’’(x) = ____ = ______
dx3 dx3
dny dnf(x)
turunan ke-n : yn = fn (x) = ____ = ______
dxn dxn
Derivatif yang diperoleh dari derivatif sebuah fungsi dinamakan derivatif berderajad
lebih tinggi (higher order derivatives). Derivatif pertama dan derivatif kedua sangat
penting untuk menelaah fungsi yang bersangkutan.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA EKONOMI

10. Limit
3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar suatu
fungsi non linear. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama (first
derivative) dan turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi, akan dapat dikenali
bentuk gambar dari fungsi tersebut.
Berdasarkan kaidah diferensiasi,dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi
berderajad “n” adalah sebuah fungsi berderajad “n-1”.
Contoh:
y = f (x) = 1/3x3 – 4x2 + 12x – 5 ………… fungsi kubik
y’= dy/dx= x2 – 8x +12 ………….. fungsi kuadrat
y’’= d2y/dx2 = 2x – 8 …………. fungsi linear
10
y’’’= d3y/dx3 =2 …………. Konstanta
4. FUNGSI MENAIK DAN FUNGSI MENURUN
Derivatif pertama dari sebuah fungsi nonlinear dapat digunakan untuk menentukan
apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik ataukah menurun pada kedudukan
tertentu. Dalam kasus khusus derivatif pertama dapat pula menunjukkan titik ekstrim
sebuah fungsi non linear.
Jika derivatif pertama f’ (a) > 0 (lereng kurvanya positif pada x = a), maka y = f (x)
merupakan fungsi menaik pada kedudukan x = a, yaitu y = f (x) menaik pada saat x
bertambah sesudah x = a. Sedangkan jika derivatif pertama f’ (a)< 0 (lereng kurvanya
negatif pada x = a), maka y = f(x) merupakan fungsi menurun pada kedudukan x = a,
yaitu y = f(x) menurun pada saat x bertambah sesudah x = a.
Uji tanda.
Apabila derivatif pertama f’(x) = 0,berarti y = f (x) berada di titik ekstrimnya. Guna
menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah titik
minimum, perlu dilakukan uji tanda terhadap f’(a) = 0.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA EKONOMI

11. Limit
i. Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’ (x) < 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya
adalah titik maksimum.
ii. Jika f’ (x) < 0 untuk x< a dan f’ (x) >0 untuk x> a ,maka titik ekstrimnya adalah
titik minimum.
10
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA EKONOMI

12. Limit
i. Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’ (x) < 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya
adalah titik maksimum.
ii. Jika f’ (x) < 0 untuk x< a dan f’ (x) >0 untuk x> a ,maka titik ekstrimnya adalah
titik minimum.
10
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA EKONOMI

13. Limit
i. Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’ (x) < 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya
adalah titik maksimum.
ii. Jika f’ (x) < 0 untuk x< a dan f’ (x) >0 untuk x> a ,maka titik ekstrimnya adalah
titik minimum.
10
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA EKONOMI