2. Prof. Gustavo Costa2
Ângulo central determina arco
Radiano (rad): arco unitário cujo
comprimento é igual ao raio da
circunferência que contém o arco a ser
medido. C(arco) = R.a
Arcos e ângulos
3. Prof. Gustavo Costa3
Ciclo ou Círculo Trigonométrico
Centro na origem
Raio = 1
Pode ser qualquer, mas facilita com R=1
Eixo x: eixo dos cossenos
Eixo y: eixo dos senos
Sentido Anti-Horário: >0
Sentido Horário: <0
Trigonometria na Circunferência
4. Prof. Gustavo Costa4
Cada número real está associado a um
ponto do ciclo
Os pontos do círculo correspondem
aos arcos/ângulos centrais na
circunferência
As coordenadas cartesianas dos pontos
correspondem aos valores de cosseno
e seno, respectivamente
Ciclo Trigonométrico
5. Prof. Gustavo Costa5
Cada ponto do ciclo está associado a mais de um
(infinitos) valor de ângulos
Côngruos
São arcos que estão representados no mesmo ponto do
círculo, mas que possuem valores diferentes
Identificamos pela diferença no número de voltas
Ex.: 60º 420º = 60º + 360º
Ex.: 30º –330º = 30º – 360º
1ª Determinação Principal (1ª DP)
0º < 360º
Exercícios
Obtenha a 1ª DP de:
1200º
-800º
Arcos Côngruos
9. Prof. Gustavo Costa9
Observe que, para todo ponto do
círculo, vale a relação:
Fórmula Mãe
cos(x)
sen(x)
R=1
2 2
cos (x) sen (x) 1
10. Prof. Gustavo Costa10
Calcular, a partir do ciclo, trigonométrico os
valores de cos(q) e sen(q) para os seguintes arcos
0, /2, , 3/2, 2.
–/2, –, –3/2, –2.
Cálculo de Senos e Cossenos
15. Prof. Gustavo Costa15
Gráfico
Cosseno f(x)=cos(x)
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ
16. Prof. Gustavo Costa16
Calcule o valor dos cossenos a seguir:
a) cos(210º)
b) cos(315º)
c) cos(120º)
d) cos(330º)
Determine período e imagem das funções
abaixo:
a) f(x) = 1 + 2cos(2x)
b) y = -3cos(x/2 + ) – 1
c) f(x) = 3 – 4cos(3x/4)
Exercícios
17. Prof. Gustavo Costa17
a) cos(210º)
Identifique a posição do ângulo
Localize o quadrante: 3º
Verifique quanto se afasta da
horizontal: 180º + 30º
Usaremos então o ângulo de 30º
para comparar o valor do
cosseno
cos(30º) = √3/2
Como o cosseno é negativo no
3ºQ
cos(210º) = –cos(30º) = –√3/2
Resolução
y
+–
30º
210º
18. Prof. Gustavo Costa18
a) f(x) = 1 + 2cos(2x)
Calculando o período (T):
Identifique o valor de m. m é o coeficiente de x
‘dentro’ do cosseno, o número que multiplica x: m=2
Aplica a fórmula: T = 2/|m| = 2/|2| T =
Para calcular a imagem, usamos os valores
máximo e mínimo do cosseno e substituímos
na expressão da função:
Mín.: cos(2x) = –1
fmín. = 1 + 2(– 1) = 1 – 2 = –1
Máx.: cos(2x) = 1
fmáx. = 1 + 2(1) = 1 + 2 = 3
Im(f) = [–1,3]
Resolução
19. Prof. Gustavo Costa19
Calcule o valor dos cossenos a seguir:
a) cos(210º) – resolvido no exemplo
b) cos(315º)
c) cos(120º)
d) cos(330º)
Determine período e imagem das funções
abaixo:
a) f(x) = 1 + 2cos(2x) – resolvido no exemplo
b) y = -3cos(x/2 + ) – 1
c) f(x) = 3 – 4cos(3x/4)
Exercícios
