1. Pokok Bahasan Rotasi Benda Tegar Matakuliah : Fisika Dasar I Tahun : 20 10 Fakultas : Ilmu Komputer

4. ISI * Pertemuan ini membahas mengenai rotasi benda . tegar , yang akan meliputi : rotasi , momen gaya . (torsi) , momentum sudut ,momen kelembaman , . gyroskop dan menggelinding . . * Pada umumnya prinsip rotasi dipergunakan pada . bagian-bagian benda yang berputar seperti pada . pesawat terbang , peralatan pemisah partikel , . gerakan –gerakan tubuh (olah raga pada umum- . nya) dan lain-lain .

5. 1. Pendahuluan. Pada umumnya sebuah benda akan berputar bila pada benda tersebut bekerja gaya yang tidak mela- lui titik pusat massanya. Dengan perkataan lain suatu benda akan berputar apabila benda tersebut mengalami momen gaya.Sebagaimana gaya adalah vektor ,maka momen gayapun merupakan vektor, sehingga menurut hukum Newton II benda yang berputar akan mengalami percepatan yang disebut percepatan sudut . • Gerak rotasi . Gerakan benda sembarang bentuk yang berputar terhadap suatu sumbu tetap .Dalam kenematika partikel telah diperoleh besaran-besaran berikut :

6. - Lintasan sudut , θ [radian = rad]: P Partkel bergerak melingkar dengan ω Q jejari R malalui busur PQ = S dalam ∆t detik -> θ = S / R 1 radian(rad) = 360/2 π = 57.3 0 - Kecepatan sudut , ω [rad/dt] ω = lim ∆t->0 (∆ θ /∆t) = d θ /dt - Kecepatan linier , v [m/dt] : v = dS/dt = R d θ /dt = ω R - Percepatan sudut , α [rad/dt 2 ] : α = lim ∆t 0 ∆ ω /∆t R O θ

7. - Percepatan tangensial(linier) , a t [m/dt 2 ] : a t = dv/dt = d( ω R)/dt = α R - Percepatan normal(radial=sentripetal) , a N [m/dt 2 ] : a N = v 2 / R = ω 2 R - Percepatan total ,a T [m/dt 2 ] a t = a N + a T atau secara skalar - Hubungan kecepatan sudut- frekuensi rotasi: ::: f = ω /2 π ff =

8. - Hubungan frekuensi rotasi f dengan waktu getar T : f = 1/T Contoh soal : Piringan hard disk komputer berotasi pada 5400 rpm . a, Berapa kecepatan sudut disk . b. Bila head pembaca pada drive ditempatkan 3 cm dari sumbu rotasi berapa laju disk di bawahnya . c. Berapa kecepatan linier titik ini , d, spanjang arah gerak Bila satu bit memerlukan 5 μ m sepanjang arah gerak , berapa bit persekon yang dapat ditulis oleh head ketika berada 3 cm dari sumbu rotasi .

9. Jawaban : a. Keccepatan sudut disk : b. Laju titik yang berada 3 cm disebelah luar ….. Sumbu rotasi : v = ω R = ( 3.0 x 10 -2 m)(570 rad/det) = 17 …… m/det c. Percepatan liniernya : a = ω 2 /R = (570 rad/det) x 0.03 m = 9700 m/det

10. d. Satu bit memerlukan 5 x 10 -6 m maka dengan laju 17 m/det , jumlah bit yang meliwati head per detik adalah : 2. Momen gaya (Torsi), τ [Nm]: τ = r x F = rF sin Θ ………(01) F = gaya , r = vektor posisi Θ = sudut yang diapit oleh F dan r ● τ tegak lurus bidang A mela- lui titik tangkap vektor r F Θ r r x F

11. - Hubungan momen gaya (Torsi) dengan perce …… - patan sudut α : ……. Tinjau suatu cakram yang tersusun dari banyak ……….. partikel, pada massa ke i(m i ) cakram bekerja ………. .gaya luar F i . Sumbu cakram melalui titik O …….. tegak lurus bidang gambar . r i = vektor posisi m i F i OP = L i , lengan dari …… gaya F i maka menurut definisi torsi : τ i = r i x F i -> τ i = r i F it = r i F i sin φ F i sin φ φ F i sin φ r i O O m i P P

12. F it = komponen gaya F i tegak lurus r i Menurut hukum Newton II : F it = m i a it = m i r i α Kalikan persamaan di atas dengan r i , diperoleh r i F it = m i r i 2 α -> τ i = m i r i 2 α Bila dijumlahkan untuk semua partikel cakram ……… maka diperoleh : τ = ∑ τ i = ∑ m i r i 2 α I = ∑ m i r i 2 = momen kelembaman Jadi : τ = I α …….(02)

13. Simulasi gaya centripetal http://www.walter-fendt.de/ph11e/carousel.htm

14. 3. Momentum sudut, L : L = r x p , p = momentum linier ...(03) d L /dt = d( r x p )/dt dL/dt = r x d p /dt + d r /dt x p d r /dt x p = v x mv = 0 r x (d p/ dt) = r x F -> dL/dt = r x (d p/ dt) = r x F Jadi τ = dL/dt ……(04) (kecepatan perubahan momentum sudut partikel terhadap waktu sama dengan momen gaya yang bekerja pada partikel tersebut)

15. Apabila momen gaya total τ yang bekerja pada sistem adalah nol -> d L /dt = 0 , maka : L = konstan …………(05) (Hukum kekekalan momentum putar ) Persamaan (03) dapat dinyatakan sebagai berikut : L = r x m v = r x m ω r L = m r 2 ω , I = m r 2 -> L = I ω …………(5a) Suatu benda tegar dapat tersusun dari bagian-bagian kecil yang satu sama lain saling terikat. Apabila benda berputar terhadap suatu sumbu putar tertentu maka setiap bagian

16. dari benda akan berputar dengan kecepatan sudut yang sama , sehingga tenaga kinetik rotasi benda terhadap sumbu tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut: E KR = ½ ( m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2 + ….+ m n r n 2 ) ω 2 E KR = ½ ( ∑ m n r n 2 )ω 2 = ½ I ω 2 ….(06) 4 . Momen kelembaman rotasi , I : I = ∑ m n r n 2 ….(07) Untuk suatu benda yang malar , maka momen kelemba- mannya menjadi : I = ∫ r 2 dm .… (08)

17. dm = elemen massa = ρ dV ρ = kerapatan mssa dV = elemen volum I = ∫ ρ r 2 dV ………(8a) Contoh : Perhitungan momen kelembaman tongkat terhadap sumbu putar tegak lurus tongkat m = massa tongkat L = panjang tongkat A x dx B S = luas penampang C tongkat L h = jarak sumbu dari h ujung tongkat sumbu putar ρ = rapat massa tongkat

18. dm = ρ dV = ρ ( S L dx )/L = (m/L) dx I C = ∫ x 2 dm = ( m/L) ∫ -h L-h x 2 dx I C = (m/L) (x 3 /3)│ -h L-h = (m/3)( L 2 – 3Lh + 3h 2 ) I A = ⅓ mL 2 I CM = (1/12)mL 2 ; I CM = momen kelembaman terhadap pusat massa • Teorema sumbu sejajar (Lagrange) I O = I CM + m a 2 …..(09)

19. I O = momen kelembaman terhadap sumbu baru yang melalui titik O a = jarak antara sumbu perputaran melalui pusat massa c.m dengan sumbu perputaran baru melalui titik O 5. Gyroskop Gyroskop pada umumnya dipakai sebagai suatu alat untuk mempertahankan keseimbangan suatu benda yang bergerak oleng , sepert kapal laut. Berikut ini adalah skema dari suatu gyroskop . c.m a

20. Mg ω F D

21. 6. Menggelinding Benda tegar (silinder) yang menggelinding , gerakannya merupakan perpaduan gerak translasi pusat massa dan gerak rotasi terhadap pusat massa atau setara dengan rotasi murni dengan laju sudut yang sama terhadap sumbu yang melalui titik kontak benda yang menggelinding..

22. Gerak translasi Gerak rotasi V V V . P V P Penggabungan kedua gerakan di atas menjadi sebagai berikut : Q V Q V Q = ω (2R) = 2 V O ω Titik O =pusat massa V O = ω R R V P = 0 P P (titik kontak = pusat perputaran sesaat) C.M V ω C.M V = 0 Q O V O

23. ● Tenaga kinetik total ,E KT benda (silider) yang menggelinding : Dengan mempergunakan persamaan (09) maka E KT = ½ I P ω 2 E KT = ½ (I c.m + Ma 2 ) ω 2 I P = momen kelambaman terhadap titik kontak P ….. I c.m = momen kelembaman terhadap pusat ………. massa ……….. M = massa silinder E KT = ½ I c.m ω 2 + ½ M V c.m 2 ……….(10)

24. Contoh soal 1 : Sebuah piringan jejari R dan massa M dipasang pada sebuah poros tanpa gesekan dan pada piringan dililitkan tali yang pada ujungnya tergantung beban m kg. Tentukan percepatan sudutnya dan percepatan massa m. M #. Moman gaya τ = TR T τ = I α TR = (½MR) α -T Jadi α = 2T/MR Percepatan M : a M = R α = 2T/M mg

25. Contoh soal 2 : Sebuah silinder massa M jejari R mengge -linding pada bidang miring. Tentukan kecepatan pusat massa ketika tiba di dasar bidang miring. Jawaban : ½ I c.m ω 2 + ½MV c.m 2 = Mgh h I c.m = ½ MR 2 , ω = V c.m /R ½ (½ MR 2 ) (V c.m /R ) 2 + ½ MV c.m 2 = Mgh V = √(4gh/3)

26. Rangkuman : 1. Kecepatan sudut benda , ω : ω = d θ /dt Percepatan sudut benda α : α = d ω dt 2. Kecepatan linier partikel , v : v = ω R Perccetan tangnsial partikel ,a T : a T = R α Percepatan sentripetal ,a C : a C = ω 2 R

27. 3. Momen gaya (Torsi) , τ : τ = gaya x lengan = r x F Menurut hukum Newton II τ = I α Momen kelembaman ,I : I = ∑ m i r i 4. Tenaga rotasi , E RT : E KR = ½ I ω 2 5. Momentum anguler , L : L = I ω = r x p

28. 6. Bentuk hukum Newton II unutk gerak rotasi : τ = dL/dt = d(I ω /dt ) 7. Menggelinding : v c.m = ω R a c.m = α R

29. Setelah mengikuti dengan baik matakuliah rotasi benda . tegar ini, mahasiswa diharapkan sudah mampu menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan .. benda-benda yang berge- rak(berputar), khususnya yang terkait dengan perancangan suatu sistem dalam bidang teknik komputer . << CLOSING>>

30. Wouuu