1. FORELESNINGSNOTAT TIL FORDYPNINGSKURSET
50131 STRATEGISK ANALYSE
August 2003, Rev. January 2005, May 2007
Lars Thorlund-Petersen

2. 1
OR305E Beslutningsanalyse og strategi, Vår 2009
(Decision Analysis and Strategy, Spring 2009)
Pensum:
A. Dixit and B. Nalebuff: Thinking Strategically. The Competitive Edge in Business
Politics, and Everyday Life. Norton, New York and London, 1991 eller senere.
Pensumboken kan eventuelt suppleres av læreboken :
A. Dixit and S. Skeath: Games of Strategy. Norton, New York, 1999.
Boken er litt mere formell men forøvrig langt på vei parallell til DN. Innholdsfortegnelse m.v. kan
ses på
http://www.wwnorton.com/college/econ/strategy/praise.htm
Dessuten er for eksempel
S. Douma and H. Schreuder: Economic Approaches to Organizations. Pearson, 2002,
relevant, da forfatterne anvender enkel spillteori som verktøy i økonomisk organisationsteori. Se
også
http://www.pearsoneduc.com/book.asp?prodID=100000000014232&d=BS

3. 2
Forelesningsnotatet omfatter kommentarer til emnene i pensumlisten med unntak av de som er
stjernemerket:
1. Introduksjon DN Introduction, kap. 1 ; 13.1; 13.23
2. Dominante strategier og likevekt DN kap. 3
3. Blandet likevekt DN kap. 7
4. Sekvensielle spill DN kap. 2 ; 13.7; 13.14
5. Bedriftsoppkjøp DN case 3.6 og 13.4
6. Troverdighet og rykte* DN kap. 6
7. Forhandlinger og innsamlinger DN kap. 2.6; 11 ; case 13.21
8. Løsning på Fangenes dilemma* DN kap. 4 og 5
9. Insitamentsproblem DN kap. 12; 13.22
Våren 2009 vil forelesningene til dels dekke ovenstående 9 emner.
Translation to English
These notes contains comments to most of the following topics, except those marked with *.
1. Introduction DN Introduction, kap. 1 ; 13.1; 13.23
2. Dominant strategies and equilibrium DN kap. 3
3. Mixed equilibrium DN kap. 7
4. Sequential games DN kap. 2 ; 13.7; 13.14
5. Takeover DN case 3.6 og 13.4
6. Credibility and reputation* DN kap. 6
7. Bargaining, fund raising DN kap. 2.6; 11 ; case 13.21
8. Solving Prisonners’ dilemma* DN kap. 4 og 5
9. Incentives DN kap. 12; 13.22

4. 3
Følgende eksamensoppgavesett med tilhørende løsningsskisse er vedlagt:
Oppgave fra 51776 Samf.øk. An., Juni 1992
Desember 1993
Desember 1995
Juni 1996
Desember 1996
Desember 1998
Mai 1999
Desember 1999
Juni 2000
Desember 2000
Desember 2001
Juni 2002
Desember 2002
Juni 2003
Desember 2003

5. 4
1 Introduksjon
I boken Wealth of Nations fra 1776 (se DN kap. 9) lanserte Adam Smith begrepet "den usyn-
lige hånd"; dersom alle individ i et samfunn handler helt ut fra egen interesse, da vil en usyn-
lig hånd koordinere de individuelle beslutninger slik at det samlede resultatet blir best mulig.
Tankegangen er siden videreutviklet innen rammen av moderne velferdsøkonomi der håndens
virkemåte er beskrevet i den såkalte velferdsøkonomiens hovedsetning, ifølge hvilken en
optimal allokering kan realiseres ved å bruke markedet. Dette kan illustreres i en bytteboks,
noe som fjerdeårs siviløkonomstudenter er vel kjent med.
Dessverre er likevel ikke Smiths usynlige hånd noe universalverktøy når det gjelder å
løse ressursallokeringsproblemer. Avvik fra de vanlige frikonkurranseforutsetningene fører i
mange tilfeller til at håndens virkemåte forstyrres. Et opplagt eksempel på den usynlige hånds
begrensning er det såkalte Fangenes dilemma, som vi skal komme tilbake til.
Begrepet "marked" skal her ikke tolkes alt for snævert. I tillegg til ressursallokerings-
problem relatert til markeder i vanlig forstand, som f. eks. markedet for aluminium, ønsker vi
å analysere ressursallokering internt i bedrifter, høgskoler og andre organisasjoner, såvel som
forhandlinger, innsamlinger, avsløring av betalingsvilje osv. Vår oppmerksomhet er altså ikke
begrenset til vanlige markeder der varer omsettes til en gitt pris, vi er i dette kurset også
interessert i en rekke situasjoner der det ikke på forhånd er gitt at prising er mulig.
Dersom vi ser på problemet å allokere ressurser innen en organisasjon eller et
samfunn, møter vi i litteraturen to hovedtyper av avvik fra frikonkurranseforutsetningene. For
det første kan en analysere en organisasjon der alle aktører har samme målsetning samtidig
som omgivelsene er usikre og det er kostnader forbundet med å kommunisere. Selvom det
altså er full enighet og oppslutning om organisasjonens målsetting er det vanskelig å finne
frem til den best mulige ressursallokering og organisasjonsstruktur ettersom en må ta hensyn
til kommunikasjonskostnadene; informasjonsflyt er ikke alltid gratis. I litteraturen er slike
problem behandlet i det en kaller "theory of teams". I de seneste årene har det blitt fornyet
interesse for "team theory" også i relasjon til fagfeltet økonomisk organisasjonsteori.
Den annen hovedtype fokuserer på situasjoner der aktørerne ikke nødvendigvis er
enige om målsettingen samtidig med at den enkelte kan påvirke det samlede resultatet. Videre

6. 5
vil det ofte være slik at den enkelte har privat informasjon som kan skjules for motspillerne.
Dersom det er mer enn en enkelt aktør vil hver av disse i så fall befinne seg i en strategisk
beslutningssituasjon, med bevisste motspillere. For å illustrere dette, la oss som eksempel se
på følgende tre beslutningstakere:
(a) En monopolist velger kvantum
(b) En duopolist velger kvantum
(c) En produsent i et frikonkurransemarked velger kvantum.
Av de tre beslutningstakere er det bare (b) som kan sies å stå overfor et strategisk problem.
Duopolistens beslutning er fundamentalt mer vanskelig enn monopolistens og frikonkurranse-
produsentens. Det er i (b) ikke noen innlysende riktig tilpassing, imotsetning til (a) og (c)
(men en kan ut fra spillteoretiske betraktninger argumentere for at duopolisten bør velge
Cournot-kvantum).
Merk at eventuell usikkerhet i omgivelsene ikke i seg selv impliserer at beslutningen
er strategisk. Som et eksempel, anta følgende variant av (c):
(c*) En produsent i et frikonkurransemarked velger kvantum. Ferdigvareprisen er
usikker; den er høy eller lav med sannsynlighet 60% eller 40% . Produsenten ønsker å
maksimere forventet profitt og må velge kvantum før han vet om prisen blir høy eller
lav.
I (c*) er likevel ikke prisen bestemt av en bevisst motpart, slik at produsenten ikke står
overfor et egentlig strategisk problem. Som vi skal se senere, kan (c*) klassifiseres som et
spill mot naturen ("game against nature") i likhet med det å legge kabal.
Fordypningskurset Strategisk analyse er ment å fokusere på rasjonelle aktørers tilpass-
ning i strategiske beslutningssituasjoner. Som det etterhvert vil fremgå forutsetter slik analyse
et visst kjenskap til spillteori. Elementære spillteoretiske begrep og resonnement inngår
derfor i kurset. Videre må en hele tiden ha klart for seg at rasjonelle beslutninger i strategiske
situasjoner forutsetter evne og vilje til å sette seg i motpartens sted. Vi skal først innføre noen
spillteoretiske grunnbegrep.
Ved et to-personers spill , der spillerne kalles Spiller 1 og Spiller 2, forstår vi en liste
bestående av to mengder Σ 1 og Σ 2 , kallet strategimengdene til Spiller 1 og 2 og to
funksjoner P (⋅) og P2 (⋅) , kallet pay-off funksjonene til Spiller1 og 2, slik at dersom spillerne
1

7. 6
velger strategier σ ∈Σ1 og τ ∈Σ 2 da utbetales til hver av dem P ( σ, τ ) og P2 ( σ, τ ) . Dersom
1
vi alltid har P ( σ, τ ) + P2 ( σ, τ ) = 0 , for alle σ, τ , da kalles spillet et nullsumsspill. (De som
1
har litt kjenskap til funksjoner og mengder kan lett overbevise seg om at definisjonsmengden
for begge funksjonene P (⋅) og P2 (⋅) er Σ 1 × Σ 2 ). Mer generelt kan en definere et n-personers
1
spill for alle n = 2, 3,... ; tilfellet n = 1 er lite interessant.
Dette virker antakeligvis mer vanskelig og komplisert enn det egentlig er. La oss
derfor ta et enkelt eksempel som de fleste kjenner fra sin skoletid: "Stein, Saks, Papir", SSP.
Eksempel 1.1
Hver spiller velger en av de tre mulighetene Stein, Saks, Papir slik at Σ 1 = Σ 2 =
{Stein, Saks, Papir} . Pay-off funksjonen for Spiller 1 er gitt i følgende tabellen:
Σ2
P 1 Stein Saks Papir
Σ1 Stein 0 1 -1
Saks -1 0 1
Papir 1 −1 0
(Mengden Σ 1 × Σ 2 inneholder ialt 3 ganger 3 = 9 elementer svarende til ovenstående tabell).
For eksempel: dersom strategikombinasjonen (Stein,Saks) ∈ Σ 1 × Σ 2 velges, da overføres 1 kr
fra Spiller 2 til Spiller 1, P1 (stein,saks ) = 1. Strategimengdene er endelige mengder; hver
spiller har tre ulike strategier til rådighet. På grunn av spillets matriseform kalles et slikt spill
også et matrisespill. Spillet er et et nullsumsspill slik at P1 = − P2 . Derfor blir pay-off
funksjonen for Spiller 2 gitt som følger
P2 Stein Saks Papir
Stein 0 -1 1
Saks 1 0 −1
Papir −1 1 0

8. 7
For et nullsumsspill er det klart tilstrekkelig å angi den ene av de to tabellene. Merk at dette
spillet er symmetrisk i spillerne i den forstand at de har samme strategimengde og pay-off
funksjon.
Eksempel 1.2
Betrakt et to-personers nullsumsspill der Σ1 = { σ1, σ 2 , σ3} og Σ 2 = { τ1 , τ 2 , τ3 , τ 4 } og pay-off
funksjonen for Spiller 1 er:
P1 τ1 τ2 τ3 τ4
σ1 0 1 -4 0
σ2 -1 0 1 0
σ3 1 −1 0 3
Dette spillet er ikke symmetrisk i spillerne. Vi skal senere møte dette eksemplet i forbindelse
med likevektsproblemet, Eksempel 3.1.
Eksempel 1.3
Det følgende eksempel er fra DN Chp. 1.3. Det er to spillere, "Dirigent" og "Tchaikovsky",
begge har strategimengdene {tilstå, ikke tilstå}. Spillet er ikke null-sum og pay-off
funksjonene er gitt ved 2× 2 matrisene
Dirigent tilstå ikke tilstå Tchaikovsky tilstå ikke tilstå
tilstå -10 -1 ; tilstå -10 -25
ikke tilstå -25 -3 ikke tilstå -1 -3
som vi kan sammenfatte i en enkelt tabell:
Dirigent, Tchaikovsky tilstå ikke tilstå
tilstå -10,-10 -1,-25
ikke tilstå -25, -1 -3,-3
Spillet er symmetrisk i spillerne.

9. 8
Eksempel 1.4
I et marked er etterspørselen gitt ved sammenhengen
⎧− aq + b hvis 0 ≤ q ≤ b
a
p=⎨ ,
⎩0 hvis q > a
b
der p og q betegner pris og kvantum og a,b>0 er gitte konstanter. (Skisser denne etterspør-
selskurven i et diagram). Det er i = 1,…, n produsenter som hver har kostnadsfunksjonen Ci .
Hver produsent (spiller) har strategimengde Σ i = 0, + ∞ (dvs. den positive halvlinje).
Dersom produsentene velger kvanta q1 ,…, qn ≥ 0 og samlet kvantum er q = q1 +…+ qn da fås
pay-off funksjonens verdi for spiller i,
Pi ( q1 ,…, qn ) = ( − aq + b )qi − Ci ( qi )
Dette spillet kalles et oligopol. Vi vil for det meste innskrenke oss til 2 produsenter, n = 2 ,
slik at vi får et duopol; hvis n = 1 har vi et monopol.
Øvelse 1.1
Dersom et 2-personers spill er gitt ved et duopol som i Eksempel 1.4 , hvilke krav må da være
oppfylt for at spillet er symmetrisk i spillerne.
Øvelse 1.2
Drøft spillet "Ludo" i relasjon til de foregående eksempler. Er det noen egenskaper ved Ludo
som ikke finnes i disse eksemplene?
Øvelse 1.3
Gå ut fra følgende to-personers spill der hver spiller har 3 strategier

10. 9
P , P2
1 Stein Saks Papir
Stein 4, 2 5,1 3,3
Saks 3, 3 4, 2 5,1
Papir 5, 1 3, 2 4, 2
Har dette spillet noe tilfelles med et nullsumsspill?
Vi har nå forsøkt å klassifisere ulike typer av spill. Det kan kanskje sålangt
forekomme å være formelt, men begrepene er nyttige når vi tar opp de ulike emnene fra DN.

11. 10
2 Dominante strategier og likevekt
Ettersom vi nå er fortrolige med begrepet et to-personers spill kan vi gå videre og se på føl-
gende fundamentale problemet: Finnes det noen retningslinjer som kan hjelpe en beslutnings-
taker som står overfor valg mellom ulike strategier ? Dessverre er svaret ikke helt så enkelt
som for eksempel for en frikonkurranseprodusent eller en monopolist.
DN drøfter følgende "Cover Page Game": Time against Newsweek (en mer lokal
variant kan kalles Nordlandsposten mot Nordlands Framtid), se DN Chp. 3.2. Vi har altså
følgende to-personers spill, som er symmetrisk og et ikke-nullsumspill,
Time, Newsweek Aids Budsjettsak
Aids 35,35 70,30
Budsjettsak 30,70 15,15
En strategi kalles dominant (eller dominerende) for en spiller, dersom denne er beste valget
uansett hva motparten gjør. (Merk den feilaktige definisjon av "dominant strategi" som siteres
av DN side 65). Man kan raskt overbevise seg om at Aids er en dominant strategi for begge
spillere. Begge redaktørerne står overfor en strategisk beslutning, men ettersom det finnes
dominante strategier er beslutningen likevel ikke vanskelig.
Vi kan imidlertid se på følgende (ikke-symmetriske) variant av spillet:
Time, Newsweek Aids Budsjettsak
Aids 42,28 70,30
Budsjettsak 30,70 18,12
I dette spillet har Time en dominant strategi, "Aids". Dette vet Newsweek som derfor bør
velge "Budsjettsak". (Altså er strategikombinasjonen (Aids,Budsjettsak) en likevekt, se
nedenfor). Vær oppmerksom på at vi sålangt ikke har introdusert begrepet sekvensielle trekk,
men det kommer i Avsnitt 4.
Det motsatte begrepet til dominant strategi er dominert strategi , som er definert ved
kravet at uansett hva motspilleren gjør vil det ikke lønne seg å bruke den. DN side 68 gir føl-
gende eksempel som er et null-sums spill: (Offense mot Defense)

12. 11
Offense τ1 τ 2 τ3
σ1 3 7 15
σ2 9 8 10
Ingen av parterne har en dominant strategi men Defense har en dominert strategi : τ 3 . Det
medfører at vi kan eliminere τ 3 fra Defense strategimengden slik at vi står igjen med et 2× 2
spill der σ 2 er dominant strategi. Dette peker i rettning av suksessiv (iterativ) eliminasjon av
strategier, noe som kan forenkle spillet. Dette skal vi se nærmere på i forbindelse med
Cournot-modellen, Avsnitt 4.
Slik eliminasjon er ikke alltid nok til å forutsi utfallet av et spill, se Eksempel 1.3. I det
eksempelet er det imidlertid en (Nash-)likevekt, (tilstå,tilstå): en strategikombinasjon slik at
hver spillers strategivalg er best mulig gitt motpartens valg. (En strategikombinasjon
bestående av dominante strategier er selvfølgelig en likevekt). Vi ser at likevekten ikke er
optimal derved at (ikke tilstå, ikke tilstå) er en "Paretoforbedring" av likevekten, (tilstå,tilstå).
Adam Smith's usynlige hånd er ikke effektiv i dette tilfelle, fangene er satt i et dilemma. (Se
DN Tale #3).
En annen komplikasjon er at et matrisespill ikke nødvendigvis har en likevekt i det
hele tatt, se Eksempel 1-1-1; i denne forstand er det ganske krevende å velge strategi i "Stein,
Saks, Papir". Vi skal se at i et slike situasjoner lønner det seg å være uforutsigelig i sitt valg
av strategi.

13. 12
3 Blandede strategier
3.1 Sannsynligheter og strategier (Det følgende bygger på DN : Tale #8 side22 og Kap. 7)
I ethvert spill kan vi tenke oss at en ikke trenger å velge rene strategier men derimot en sann-
synlighetsfordeling over slike strategier, en såkalt blandet strategi. Vi skal i dette kapittelet
holde oss til endelige strategimengder, slik at vi ser på matrisespill. Det ekstreme tilfellet der
en strategi spilles med sannsynlighet 1 er det samme som å velge en ren strategi. Derfor er en
ren strategi er et spesielt eksempel på en blandet strategi. Strengt tatt må vi også utvide defini-
sjonsområdet for pay-off funksjonene. Vi skal alltid anta at spillerne gjør dette ved å kalkulere
forventet utbetaling. Med andre ord, spillernes holdning til risiko er karakterisert ved risiko-
nøytralitet. Dersom hver spiller velger en sannsynlighetsfordeling over sine respektive (rene)
strategimengder Σ 1 og Σ 2 , da bestemmes samtidig en sannsynlighetsfordeling over Σ 1 × Σ 2
slik at forventet pay-off kan beregnes. Dette viser ved et eksempel:
Eksempel 3.1
Gå ut fra Eksempel 1.2 og antag at Spiller 1 spiller sine 3 mulige strategier med sannsynlighet
(1 / 3, 2 / 3, 0 ) og tilsvarende Spiller 2 spiller sine 4 mulige strategier med sannsynlighet
( 0,1 / 4, 3 / 4, 0 ) . Dette innebærer at de 3 × 4 = 12 strategikombinasjoner blir realisert med føl-
gende sannsynlighetsfordeling:
τ1 τ2 τ3 τ 4
σ1 0 1 / 12 1 / 4 0
σ2 0 1/ 6 1/ 2 0
σ3 0 0 0 0
Den forventede pay-off til Spiller 1 blir
1 × 12 + ( −4) × 1 + 0 × 1 + 1 × 1 = − 12
1
4 6 2
5
Merk, at de to spilleres sannsynlighetsfordelinger naturlig nok forutsettes å være "stokastisk
uavhengige"; i motsatt fall ville det foreligge hel eller delvis koordinering.

14. 13
Øvelse 3.1
Er strategikombinasjonen i Eksempel 3.1 en likevekt?
I Eksempel 1.1 ("Stein, Papir, Saks") kan en vise at dersom begge spillere spiller alle
sine tre strategier med sannsynlighet 1/3 , da har vi en likevekt. Med andre ord, strategikom-
binasjonen
⎛ ⎛ 1 1 1⎞ ⎛ 1 1 1⎞ ⎞
⎜⎜ , , ⎟,⎜ , , ⎟⎟
⎝ ⎝ 3 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 3⎠ ⎠
utgjør en likevekt.
Merk at når en introduserer muligheten for å anvende blandede strategiger, da utvider
vi strategimengden. For eksempel i SSP har Spiller 1 i utgangspunktet strategimengden Σ 1 .
Dersom blandede strategier er mulige blir strategimengden større:
{ }
Σ1 = ( z1, z2 , z3 ) z1 + z2 + z3 = 1, z1 ≥ 0, z2 ≥ 0, z3 ≥ 0 ,
*
og tilsvarende for Spiller 2. Prøv å tegne denne mengden i et tredimensjonalt diagram. En
enkel beregning viser at hver spiller har forventet pay-off lik null i denne likevekten.
Den blandede likevekten kan tolkes dersom vi tenker oss at to spillere spiller SSP
mange ganger, la oss sie 24 ganger. Derved har vi strengt tatt et nytt spill, et såkalt gjentatt
spill, se Kapittel 4. I en 24-gangers repetisjon er det likevekt dersom hver spiller i hver runde
velger en vilkårlig av de tre strategier med sannsynlighet 1/3 . (Det finnes mange andre og
mer kompliserte stategier; f. eks. kan Spiller 1's valg i runde 17 gjøres avhengig av hva som
har skjedd i rundene 1-16).
Blandede likevekter kan også forekomme i ikke-nullsums spill. DN gir følgende
eksempel side 190:

15. 14
Kvinne, Mann Selge Beholde
Beholde 1, 2 0, 0
Selge 0, 0 2,1
Vi ser at både (Beholde,Selge) og (Selge,Beholde) er likevekter i rene strategier. I tillegg er
⎛ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎞
⎜⎜ , ⎟,⎜ , ⎟⎟
⎝ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎠
et par av blandede strategier som utgjør en likevekt. Denne er imidlertid ikke optimal, i mot-
setning til de to ovennevnte likevekter i rene strategier. Sannsynligheten for at de begge får
null er 4 / 9 + 1 / 9 = 5 / 9 . Den beste løsning på ekteparrets problem er kanskje å avgjøre om
en skal velge (Beholde,Selge) eller (Selge,Beholde) ved å kaste en mynt. En slik løsning
krever en imidlertid en viss koordinering, noe det kan være vanskelig å få til.
Øvelse 3.2
Kan en si at ovenstående spillet Kvinne-Mann er et eksempel på Fangenes dilemma? Forklar.
3.2 Beregning av blandet likevekt
Sålangt har vi drøftet likevekt i en rekke tilfeller der det er nokså enkelt å finne likevekten.
Dersom det i et null-sums spill bare er to strategier for hver spiller, da kan problemet løses
ved et diagram, se DN side 175. Dersom en spiller spiller både strategi 1 og 2 med strengt
positiv sannsynlighet, da må disse to sannsynlighetene være slik at forventet pay-off er
uavhengig av hvilke av sine to strategier som Spiller to velger. På denne måten kan vi beregne
likevekten. Dette resonnement avhenger imidlertid av at spillerne har presis 2 strategier til sin
rådighet.
I spillet SPS har hver spiller 3 strategier, men situasjonen er likevel enkel fordi både
spillerne og strategiene er symmetriske. Dette er imidlertid noe spesiellt. La oss derfor se på
følgende mer krevende eksempel.

16. 15
Eksempel 3.2
Det er gitt et nullsums-spill med tilhørende 3× 3 matrise
P1 τ1 τ 2 τ 3
σ1 1 -1 - 2
.
σ2 -1 1 1
σ3 2 −1 0
Dette spillet er ikke symmetrisk i strategiene og heller ikke i spillerne.
Med utgangspunkt i Eksempel 3.2 skal vi forsøke å illustrere hvordan en finner en
likevekt. Først skal vi beregne en - muligvis blandet - strategi ( x1 , x2 , x3 ) som er en likevekts-
strategi for Spiller 1. Til det formål setter vi opp følgende lineære programmeringsproblem
(P) i fire variabler ( x1, x2 , x3 ,ξ) der den fjerde variabelen ξ er en hjelpevariabel :

17. 16
(P) Min ξ under sidevilkår:
⎡ 1 − 1 − 2⎤ ⎡1⎤
⎢− 1 1 ⎥ ⎢1⎥
( i ) [ x1 , x2 , x3 , ξ] ⎥ ≥ [0 0 0] , ( ii ) [ x , x , x , ξ]⎢ ⎥ = [1]
1
⎢
⎢ 2 −1 0 ⎥ 1 2 3
⎢1⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣1 1 1 ⎦ ⎣0 ⎦
(iii ) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 , ξ uten fortegnsrestriksjon
Sidevilkårene (ii) og (iii) sikrer at x'ene summerer til 1 og ikke er negative. Sidevilkåret (i)
innebærer at Spiller 1 maksimerer den verst tenkelige forventede verdi (over motpartens tre
mulige strategivalg, svarende til tre kolonner i 4 × 3 -matrisen). Det såkalt duale problemet
(D) har også fire variabler ( y1 , y2 , y3 , η) som er gitt ved
(D) Maks η under sidevilkår:
⎡ y1 ⎤ ⎡ y1 ⎤
⎡ 1 − 1 − 2 1⎤ ⎢ ⎥ ⎡0⎤ ⎢y ⎥
⎢ ⎥ y2 ⎢ ⎥
1 1⎥ ⎢ ⎥ ≤ ⎢0⎥ , ( ii ) [1 1 1 0]⎢ ⎥ = [1]
2
( i ) ⎢− 1 1
⎢ y3 ⎥ ⎢ y3 ⎥
⎢ 2 − 1 0 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥
⎣ ⎦ η ⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣η⎦
(iii ) y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0 , η uten fortegnsrestriksjon
Løsningen av (D) gir oss ( y1 , y2 , y3 ) som viser seg å være en likevektsstrategi for Spiller 2.
Problemene kan løses ved å bruke programpakken EXCEL-SOLVER: . Løsningene blir
(P) ( x1, x2 , x3, ξ) = (0,3 / 5,2 / 5,−1 / 5) ; (D) ( y1, y2 , y3, η) = (2 / 5,3 / 5,0,−1 / 5)
Merk at løsningsverdiene til de to LP-problem er identiske, ξ = η = −1 / 5 i samsvar med det
"Dualitetssetningen i lineær programmering" sier. Vi ser at i likevekt nytter Spiller 1 ikke sin
første (rene) strategi og Spiller 2 nytter ikke sin tredje strategi.

18. 17
Ovenstående metode kan anvendes også på spill med et stort antall strategier; EXCEL-
SOLVER kan utføre kalkulasjonene. Vi ser dermed at beregning av likevekt i et to-personers
null-sums matrisespill kan utføres ved å bruke LP-teknikk. Dersom vi ikke har et null-sums
spill, da er dette normalt ikke mulig og beregningsproblemet er betydelig mer komplisert
hvorfor vi skal avholde oss fra å gå nærmere inn på den saken.
Øvelse 3.1
Anta at du og en medstudent skal spille spillet i Eksempel 3.2. Før dette spillet spilles afgjøres
hvem av dere som skal være Spiller 1 og 2 ved et myntkast. Vil du foretrekke å bli Spiller 2?

19. 18
4 Sekvensielle spill
4.1 Spill- og beslutningstreer
La oss nok en gang se på spillet "Stein, Saks, Papir" og tenke oss at spillereglene endres til
følgende: Først velger Spiller 1 strategi i sin strategimengde {Stein, Saks, Papir} . Dernest
gjøres Spiller 2 kjent med valget og velger en av mulighetene Stein, Saks, Papir. Enhver stra-
tegi for Spiller 2 kan derfor identifiseres med en funksjon som til ethvert element i mengden
{Stein, Saks, Papir} tilordner en av de opprindelige strategiene {Stein, Saks, Papir} . En
strategi for Spiller 2 er derfor av følgende form:
Hvis Spiller 1 velger; så velger Spiller 2:
Stein x
Saks y
Papir z
der x,y,z alle betegner element i mengden {Stein, Saks, Papir} . Derfor har Spiller 2 i dette
eksemplet ialt 3 × 3 × 3 = 27 ulike strategier til sin rådighet. Spiller 2 kan gjøre sitt valg av
strategi betinget av Spiller 1's valg (men ikke omvendt, slik som spillereglene er: en kan ikke
betinge sin strategi på noe en ikke har informasjon om).
Øvelse 4.1
Anta at Spiller 2 velger en strategi slik at x=Papir, y=Stein, z=Papir. Er det et godt valg av
strategi?
Øvelse 4.2
Vis at i ovenstånde spillet har Spiller 1 ingen dominant strategi. Har Spiller 2 en dominant og/
eller en dominert strategi?
Øvelse 4.3
Begrunn at i en sekvensiell utgave av spillet i Eksempel 1.2 , (først Spiller 1, så Spiller 2) , da
har Spiller 2 ialt 64 ulike strategier.

20. 19
En kan merke seg selvom spillerne velger strategier med tidsforskyvning blir det ikke nød-
vendigvis snakk om et sekvensiellt spill; det avgjørende er at Spiller 2 får informasjon om
Spiller 1's valg.
Øvelse 4.4
Tegn spilltreet for sekvensiell SSP.
Forskjellen mellom et beslutningstre og et spilltre er illustrert i eksemplet hos DN side 37-40,
("Fastcleaners against Newcleaners"). Et beslutningstre kan være meget komplisert, men
usikkerheten er ikke forårsaket av en bevisst motspiller. Eksempelvis er et beslutningstre til-
strekkelig for å analysere en kabal eller en frikonkurranseprodusents tilpassing under pris-
usikkerhet . Derimot er et beslutningstre et utilstrekkelig redskap når det gjelder å analysere f.
eks. et "sekvensiellt oligopol" a la von Stackelberg, se nedenfor.
I eksempelet med "Fastcleaners against Newcleaners" antydes også hvordan en kan
finne likevektsstrategier: look forward and reason backward.
I noen spilltreer er det en skjult tredje spiller "Naturen" som bestemmer en tilstand, f.
eks. om det er "sol" eller "regn". I et slikt tilfelle kan det være mer komplisert å resonnere til-
bake i treet. Et enkelt og lærerikt eksempel er gitt i DN Case 13.1, side 326. Sammenlikne
med spillet "Ludo".
Følgende spill er en mellomting mellom simultan og sekvensiell "Stein, Saks, Papir".
Eksempel 4.2
La oss se på følgende variant: Først velger Spiller 1 en ut av de tre strategier Stein, Saks, Pa-
pir. Dernest informeres Spiller 2 om Spiller 1 har valgt Stein eller ikke (i så fall har han valgt
Saks eller Papir). En kan si at i motsetning til sekvensiell SSP der Spiller 2 har full
informasjon om Spiller 1's valg så har Spiller 2 nå bare delvis informasjon. Det tilsvarende
spilltreet er vist i Fig. 4.2 (sammenlikne med Fig. 4.1). Dersom Spiller 2 har ingen
informasjon, da er vi tilbake i tilfellet med simultan SSP.

21. 20
For å studere likevektsproblemet i et spilltre må vi introdusere begrepet et delspill av
et gitt spill. Begrepet kan illustreres i ovenstående Eksempel 4-2-1, og er det viktig i f. eks. en
oligopolmodell og i modeller for forhandlinger.
4.3. Cournot og von Stackelberg modellene for oligopol
Selve duopolmodellen er kjennt fra undervisningen i 51776 Samfunnsøkonomisk analyse.
Forskjellen mellom Cournot og Stackelberg modellen er at den første har simultant kvan-
tumsvalg, den annen har sekvensielt valg (først velger leder, så velger følger). Dette svarer til
"Stein, Saks, Papir" i simultan eller i sekvensiell utgave.
I Cournot-modellen har hver spiller i = 1,2,…,3 strategimengde Σ i = 0, + ∞ , se Ek-
sempel 1.4. Dersom det er bare to bedrifter (n=2) kan en likevekt illustreres som skjærings-
punktet mellom reaksjonskurverne. La oss i det følgende anta at det er konstant skalautbytte
slik at hver bedrift har konstante gjennomsnittskostnader lik c > 0 (dvs. at Ci ( qi ) = cqi ). Der-
som vi regner litt på saken vil vi komme frem til at reaksjonskurven for Bedrift 1 er gitt ved
⎧ 1 b−c b−c
⎪− 2 q2 + 2a ; q2 ≤ a
⎪
q1 *( q2 ) = ⎨
⎪0 ; q > b − c
⎪
⎩ 2
a
(Dersom b < c , da vil gjennomsnittskostnadene alltid være høyere enn markedsprisen og det
lønner seg ikke å produsere). Reaksjonskurven for Bedrift 2 er helt analog. Tegne inn i et
diagram de to reaksjonskurvene.
Først vil vi vise en anvendelse av begrepet "dominert strategi" og "suksessiv elimina-
sjon" i denne modellen. Både Bedrift 1 og 2 kan regne ut at motparten vil velge en strategi
mellom 0 og ( b − c ) / 2a . Derfor vil de hver for seg velge strategi
( b − a ) / 4 a ≤ qi ≤ ( b − a ) / 2 a , i = 1,2 . Slik kan en fortsette med å eliminere "dominerte
strategier" og en kan se at det eneste par av strategier som ikke elimineres er

22. 21
⎛ (b − c ) (b − c )⎞
( q1 , q2 ) = ⎜ , ⎟
⎝ 3a 3a ⎠
der kombinasjonen ( q1 , q2 ) er den entydig bestemte (Cournot-)likevekten i spillet; alle andre
mulige strategikombinasjoner vil inneholde en strategi som etter et passende antall elimina-
sjonsrunder er dominert. Hele resonnementet kan vises i reaksjonskurvediagrammet.
(Formellt kan en si at en ser på en følge av duopolmodeller der strategimengdene blir mindre
og mindre).
Alternativt til Cournot-modellen, la oss anta at først velger Bedrift 1 kvantum og dette
offentliggjøres. Dernest velger Bedrift 2 kvantum; med andre ord Bedrift 2 kan gjøre sin stra-
tegi betinget av Bedrift 1 sitt valg. (Strategimengden for Bedrift 2 blir derfor lik mengden av
alle avbildninger fra intervallet Σ i = 0, + ∞ inn i seg selv). En kan si at når først Bedrift 1
har valgt, så gjenstår det et "delspill", i dette tilfellet med bare en enkelt spiller, Bedrift 2.
Anta nå at bedriftene velger følgende kombinasjon av strategier ( q1 , q2 (⋅)) :
Bedrift 1: q1 = 0
⎧( b − c ) / 2a; q1 = 0
⎪
Bedrift 2: q2 ( q1 ) = ⎨( b − c ) / a; 0 < q1 ≤ ( b − c ) / a
⎪0; q > ( b − c ) / a
⎩ 1
Her velger Bedrift 2 å produsere det dobbelte av optimalt kvantum dersom Bedrift 1 etablerer
seg, dvs. q1 > 0 . En kan lett vise at ( q1 , q2 (⋅)) er en likevekt; imidlertid er Bedrift 2's strategi
ikke rasjonell dersom Bedrift 1 skulle velge et kvantum q1 > 0 . Den er ikke delspillperfekt.
Definisjon: En likevekt i et sekvensiellt spill er delspillperfekt, dersom likevekten også er
likevekt i ethvert delspill.
Intuisjonen bak likevekten ( q1 , q2 (⋅)) er at Bedrift 2 "truer" Bedrift 1 med stor produk-
sjon dersom Bedrift 1 etablerer seg; trusselen er imidlertid ikke troverdig ettersom Bedrift 2
etter at en slik etablering har funnet sted, ikke har interesse i å følge sin strategi.

23. 22
Hvordan kan vi da finne en delspillperfekt likevekt? Bruke prinsippet "look forward,
reason backward". Derfor, se på Bedrift 1. Denne bedriften må gå ut fra at dersom den velger
et kvantum q1 ≥ 0 , så er det rasjonellt for Bedrift 2 å svare i samsvar med sin reaksjonskurve
q2 * (⋅) , se ovenfor. Derfor er den eneste løsningen på Bedrift 1's strategiproblem å velge et
kvantum q1 ≥ 0 slik at profitten maksimeres:
maxq1 ≥ 0 − a( q1 + q2 *( q1 )) + b q1 − cq1
Dersom vi antar en "indre løsning" får vi ved derivasjon følgende førsteordensvilkår for mak-
dq * ( q1 ) 1
simum (merk at 2 = − ):
dq1 2
3
aq1 + aq2 * = b − c
2
Tilsvarende fåes fra reaksjonskurven til Bedrift 2 at
aq1 + 2 aq2 * = b − c
Dette gir to likninger i to ukjente q1 og q2 * ; likningssystemet kan også skrives på
matriseform:
⎡− 2 a − a ⎤ ⎡ q1 ⎤ ⎡c − b⎤
3
⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ .
⎣ a 2a ⎦ ⎣q2* ⎦ ⎣b − c ⎦
Løsningen blir
q1 = ( b − c ) / 2 a ; q2 * = ( b − c ) / 4 a
I reaksjonskurvediagrammet er denne løsningen beliggende på Bedrift 2's reaksjonskurve.
Samlet produksjon og pris blir

24. 23
3( b − c ) b + 3c
q= og p =
4a 4
2
En ser derfor at Bedrift 1 (lederen) har en fordel, ettersom bedriften har markedsandel .
3
Øvelse 4.5
Sammenlikne med sekvensiell SSP; er det en fordel å være leder?
Øvelse 4.6
Anta at det er tre bedrifter, 1,2 og 3 som velger kvantum i denne rekkefølge. Hvilke delspill er
det i dette spillet? Kan en si at Bedrift 2 er følger eller leder?

25. 24
5 Bedriftsoppkjøp
5.1 Oppkjøp til under markedspris: spill mellom aksjonærer (DN side 81)
Dette case inneholder en interessant anvendelse av begrepet dominant strategi.
En "corporate raider", i dette case Campeau, planlegger å gi aksjonærerne et tilbud om
å overta deres aksjeposter. Campeaus målsetting er å skaffe seg minst 50% av aksjene. Spørs-
målet er om Campeau kan oppnå dette uten å betale full pris for aksjene, $ 100.0 . Når
Campeau gir et tilbud, "two-tiered bid" , genererer han et spill mellom aksjonærerne der
antall spillere er lik antall aksjonærer (det er uten betydning for analysen at de enkelte
aksjonærer eventuellt holder aksjeposter av ulik størrelse).
I dette spillet er "aksepter tilbuddet" en dominant strategi for hver aksjonær, se DN.
Derfor er det grunn til å vente at det lykkes Campeau å kjøpe alle aksjene til en pris $ 97.5
som er mindre enn markedsprisen $ 100.0. Intuisjonen bak dette er at Campeau ved å sette
aksjonærerne i en spill-situasjon bokstavelig talt spiller dem ut mot hverandre. En kan med en
viss rett si at aksjonærerne befinner seg i (blir satt i ) et fangenes dilemma.
I vår terminologi er dette spillet et simultant spill; hver spiller avgjør om han vil selge
sine aksjer eller ikke, uten å kommunisere eller samarbeide med andre aksjonærer. Vi ser at
det er mangelende samarbeid mellom aksjonærerne som gjør det mulig for Campeau å kjøpe
aksjene til en pris $ 97.5.
5.2 Virkning av særlige styreavstemningsregler til hinder for oppkjøp (DN 13.4)
Dette tilfellet viser at fastsettelse av slike regler ikke er noen enkel sak. En må gå igjennom
alle muligheter og anvende "backwards induction".
Øvelse 5.1
Anvendes regelen om forskudt oppnevningstid ("staggered board") for styremedlemmer i nor-
ske aksjeselskap?

26. 25
Øvelse 5.2
I en region har markedet lenge vært dominert av Lokalbanken og Storbanken. Ut fra begrun-
nelse om voksende skalautbytte ønsker Storbanken å kjøpe Lokalbanken. Markedsprisen på
Lokalbankaksjer har i lang tid vært 90. Storbanken tilbyr å kjøpe samtlige aksjer i
Lokalbanken til kurs 125, betinget av at minst 90% av aksjonærerne aksepterer, med en ukes
frist. Dersom dette skjer vil minoritetsaksjene (de resterende, mindre enn 10%) bli
tvangsinnløst til kurs 88. Dersom dette ikke sker bortfaller tilbudet og markedskursen vil
igjen bli 90. Dagen etter at kjøpstilbuddet er offentliggjort øker markedskursen til 121.
Regelverket pålegger styret for Lokalbanken å gi råd til sine aksjonærer hvorvidt de
bør akseptere tilbuddet. Rådet bør ta utgangspunkt i økonomiske realiteter. Som styremedlem,
hva ville du tilrå?
En aksjonær som representerer en større pensjonskasse får kjenskap til at en god del
andre aksjonærer prioriterer Lokalbankens fortsatte selvstendighet fremfor verdien på aksjene
sine. Hvilken strategi bør denne aksjonæren velge?
Hvilket utfall av saken er det beste sett fra Storbankens synspunkt?

27. 26
7 Forhandlinger og innsamlinger
7.1 Innledning
I forbindelse med forhandlingsspill har vi for det meste sett på tilfellet med en gitt endelig
tidshorisont, slik at løsningen kan bestemmes ved "backwards induction". En kan også tenke
seg at forhandlingene potensiellt kan fortsette i det uendelige; dette tilfellet er kort drøftet DN
p. 301.
Innsamlinger er drøftet av DN i et case p. 367, se nedenfor. Her ser vi også at inn-
samlingen varer et endelig antall perioder, men hvorlenge kan en ikke si på forhånd. En kan si
at lengden på innsamlingen blir bestemt i modellen, en såkalt endogen variabel. (I et vanlig
forhandlingsspill er slutttidspunktet på forhånd gitt).
7.2 Innsamling og betalingsvilje ( DN 13.21)
I dette case forlater vi forutsetningen om en endelig, på forhånd gitt tidshorisont. Det kan der-
for umiddelbart forekomme litt vanskelig å anvende "backwards induction".
Nå tenker vi oss en innsamlingsmetode som likner på en forhandlingsprosess: de to
TV-seere tilbyr alternerende økninger i sitt samlede bidrag. Det må samles inn ialt T før
sendingen begynner. Hver av de to seere tillegger sendingen en verdi lik V. De har felles
tidspreferanser, uttrykt ved diskonteringsfaktoren 0 < δ < 1 . La oss videre betegne de
akkumulerte bidrag på et gitt tidspunkt av innsamlingen C (contribution); C vil variere
(vokse) i løpet av innsamlingsprosessen. Hvis en seer står for tur å øke sitt bidrag, da vil han
plusse på så mye at målet T nåes dersom
T − C ≤ (1 − δ )V
og "nytten" V realiseres; dersom han gir et mindre bidrag kan han i beste fall oppnå δV . Der-
som nå en bidragsyter bringer opp C slik at C = T − (1 − δ )V , da vil sendingen begynne en
periode senere. Anta derfor at han tilby y slik at vi får C = T − (1 − δ )V . Da oppnåes "nytten"
δ(V − y ) .

28. 27
(Husk at y, det lovede bidraget, først skal betales når sendingen gjennomføres). Hvis han der-
imot venter, da vil motparten en periode senere bidra slik at C = T − (1 − δ )V , hvoretter han
selv bidrar (1 − δ )V . Dette gir nytten
δ 2 (V − (1 − δ )V ) = δ 3V
Derfor er det indifferens mellom å vente og å bidra dersom
y = (1 − δ 2 )V .
La oss nå anta, at det er slik at
(1 − δ )V < T ≤ (1 − δ )V + (1 − δ 2 )V
Kan en da si noe om hvorvidt innsamlingen vil lykkes og hvorlenge det vil ta? Svaret er ja og
det vil ta nøyaktig 2 perioder. Mer generelt, for gitte verdier av T og V slik at T > 2 V vil det
alltid være slik at nøyagtig en av følgende ulikheter gjelder:
1. T ≤ (1 − δ )V
2. (1 − δ )V < T ≤ (1 − δ )V + (1 − δ 2 )V
3. (1 − δ )V + (1 − δ 2 )V < T ≤ (1 − δ )V + (1 − δ 2 )V + δ(1 − δ 2 )V
4. (1 − δ )V + (1 − δ 2 )V + δ(1 − δ 2 )V < T ≤ (1 − δ )V + (1 − δ 2 )V + δ(1 − δ 2 )V + δ 2 (1 − δ 2 )V
osv.
Avhengig av hvilken ulikhet som gjelder kan vi nå si hvorlang tid det vil ta å samle inn T. Ek-
sempelvis, dersom 1. holder da vil første seer tilby å betale hele T. Dersom 4. holder, da tar
det 4 perioder å innsamle beløpet T. (Merk at dersom T > 2 V da kan beløpet ikke innsamles,
men i så fall bør heller ikke prosjektet gjennomføres).

29. 28
Øvelse
Nederst side 370 skriver DN :"The total potential for . . . ". Hvordan skal det forstås?
Eksempel 7.1
Det er gitt en innsamlingsmodell (T ,V , δ ) med to potensielle seere A og B. Gå ut fra følgende
verdier på modellens parametere:
Kostnader ved sending: T = 840kr
Verdi av sending for hver av seerne: V = 1000kr
Diskonteringsfaktoren: δ = 0,8
Merk, at
(1 − δ )V + (1 − δ 2 )V = 560kr
(1 − δ )V + (1 − δ 2 )V + δ(1 − δ 2 )V = 848kr
Derfor er
(1 − δ)V + (1 − δ 2 )V < T = 840kr ≤ (1 − δ)V + (1 − δ 2 )V + δ(1 − δ 2 )V (= x + y + z )
slik at vi ut fra våre generelle resonnementer vil vente at sendingene begynner i periode nr. 3.
Til illustrasjon begrunner vi dette mer direkte i det følgende. For det første, dersom det nå er
tilsagn om beløpet C < T = 840 , når lønner det seg da å betale resten, x, og få begynt sen-
dingen i inneværende periode? Dersom C + x ≥ T , da begynner sendingen og en oppnår
nytten V − x . Alternativt er det beste en kan håpe på at det blir sending 1 periode senere,
betalt av motparten, noe som gir nytten δV . Derfor, hvis V − x = δV , slik at
x = (1 − δ )V = 200 da vil nåværende budgiver være villig til å bidra slik at sendingen
begynner nå. Med andre ord, dersom det nå foreligger tilsagn om C = T − x =
840 − 200 = 640 , da vil sendingene begynne i inneværende periode.

30. 29
Hvis det foreligger tilsagn C som er mindre enn 640 kan det tenkes at nåværende bud-
giver byr et beløp y slik at C + y ≥ 640 , noe som ifølge ovenstående vil utløse sending 1
periode senere. Ved å by y = 640 − C vil en derfor oppnå nytten δ(V − y) . Hvis en byr
ingenting kan en i beste fall oppnå sending 2 perioder senere mot å betale x, dvs oppnå
δ 2 (V − x ) = δ 2 (V − (1 − δ )V ) = δ 3V .
Det vil derfor lønne seg å by beløpet y = 640 − C dersom δ(V − y ) ≥ δ 3V , altså
y ≤ (1 − δ 2 )V = 360 .
Hvis en budgiver står overfor et samlet tilsagn mellom 640 − 360 = 280 og 640, altså
280 ≤ C < 640 , da vil sendingen derfor begynne 2 perioder senere.
Gå nå ut fra at det samlede tilsagn er slik at 0 ≤ C < 280 . I det ekstreme tilfelle C = 0
kan budgiver by z = 280 og sendingen begynner 3 perioder senere, ifølge ovenstående. På det
tidspunkt vil en måtte betale z + x = 280 + 200 = 480 slik at nytten blir
δ 2 (V − z − x ) = 0,512 × 520 = 266,24
Alternativt vil i beste fall sendingen begynne 4 perioder senere og en må selv betale y = 360 ,
noe som ville gi nytten δ 3 (V − 360) = 0,4096 × 640 = 262,144 .
Konklusjon Vi vil få følgende likevektsforløp:
Periode 1 A tilbyr 280 [ = T − x − y ]
Periode 2 B tilbyr 360 [ = (1 − δ 2 )V = y ]
Periode 3 A tilbyr 200 [ = (1 − δ)V = x ] , sendingen begynner.
Kostnadene fordeles med 280 + 200 = 480 på A og 360 på B ; 480 + 360 = 840 = T .

31. 30
9 Insitamentsproblem
9.1 Arbeidskontrakt
Vi ser på tilfellet med en arbeidskontrakt, dvs en situasjon der den ene av to parter ikke kan
observere den annens handling. Vi tar utgangspunkt i tabellen og eksempelet gitt i DN 303.
Først ser vi at dersom en kan observere arbeidsinnsatsen, da er det bedre å ansette en pro-
grammør som forplikter seg til å arbeide hardt og betale 70.000 fremfor å ansatte en pro-
grammør på vanlige vilkår til 50.000; det gir forventet profitt 90.000 fremfor 70.000. (Merk at
vi tenker oss at alle programmører er like dyktige. Enhver programmør kan velge om ved-
kommende vil yte en vanlig eller en høy innsats.)
Vi innfører nå istedet for vanlig lønn en bonusordning slik at det utbetales beløpet b i
tilfelle av suksess og beløpet b − x i tilfelle av fiasko. Bonusordningen skal være slik at
programmøren har insitament til å velge høy arbejdsinnsats:
(0,8 − 0,6) x ≥ 70 − 50 = 20 (insitament)
Dersom x er minst 100.000, da vil det lønne seg å velge høy innsats.
Videre må b være så stor at en programmør er villig til å akseptere ansettelse mot en
bonusytelse, fremfor det vanlige avlønningssystemet. Dette innebærer at forventet utbetaling
til en progammør som velger høy innsats under bonussystemet må være minst 70.000. Det
kreves altså at
0, 8b + 0, 2( b − x ) ≥ 70. 000 . (aksept)
Bedriften ønsker å velge b så liten som mulig. Dersom det er likhet får vi da
b = 70. 000 + 0, 2 x = 90. 000 siden x = 100. 000 . I tilfelle av fiasko straffes programmøren
med en bot lik 10.000, b − x = −10. 000 .
Ved hjelp av bonussystemet har bedriften oppnådd at problemet med "å velge lav
innsats" er løst. Det forutsetter imidlertid at programmøren er risikonøytral. Dersom vedkom-
mende er risikoavers vil x måtte være større enn 100.000 idet bonussystemet representer en
usikker inntekt, det må derfor være en risikopremie.

32. 31
En kan videre tenke seg at det er et sidevilkår at en programmør ikke kan ilegges bot,
dvs at en krever
b ≥ 0, b − x ≥ 0 .
I dette tilfellet blir det "best mulige" bonussystemet x = 100. 000 , b = 100. 000 (DN p. 305).
Dette systemet er mindre gunstig for bedriften ettersom det gir 10.000 mindre i forventet net-
toinntekt.
9.2 Kontrakter mellom to parter (”joint venture”)
For en gitt kontrakt fastlegges et spill mellom de to parter der hver spiller kan velge sin
(meldings)strategi. Gå ut fra eksempelet i DN Kap.12.2, der begge spillere observerer L(ave),
M(iddels) eller H(øye) kostnader. Etter å ha observert sine sanne kostnader kan parterne fritt
melde sine kostnader. Derfor har hver spiller ialt 3 × 3 × 3 = 27 strategier som følger:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
L L M L L H L L M L M M H M M
M L L M L L H L M M L M M H M
H L L L M L L H M M M L M M H
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
L H L H H M H H L H M L H M
.
M H H L H H M H M L H H M L
H H H H L H H M H M L M L H
(Strategiene er nummerert fra 1 til 27. Øverste rekke angir strateginummer og venstre kolonne
er observerte (sanne) kostnader). Strategiene nr. 22-27 svarer til å permutere de sanne
kostnader. En ser at valg av strategi nr. 22 innebærer at spilleren alltid melder sine observerte
(sanne) kostnader.
DN, side 311-12, drøfter følgende kontrakt. Hver spiller får refundert sine meldte
kostnader og resten deles i forholdet 2 : 1 . Kontrakten blir derfor som følger:

33. 32
S
(9) (12) (15)
13 15 17
(18)
26 24 22
11 13 15 .
H
(24)
28 26 24
9 0 0
(30)
30 0 0
Hvis H observerer L er det bedre å melde M enn L; hvis H observeres, da meldes H da det
ikke lønner seg å melde M. Derfor er Strategi nr. 14 i tabellen ovenfor en dominerende
strategi for H (se DN Kap.3). Dette vet S, slik at han må anta at H’s meldte strategi fordeler
seg som følger: H melder L, M og H med sannsynlighetsfordeling 0, 2 / 3 og 1 / 3 .
For S er det alltid bedre å melde H enn M, da kanselleringssannsynligheten blir den
samme. Samtidig er det best for S å melde H når det observeres L
[ (( 2 / 3) × 11 + (1 / 3) × 9) − 1× 9 = 4 / 3 < 4 = ((2 / 3) × 15 + (1/ 3) × 0) − (2 / 3) × 9 ]; likeså er det best
å melde H når det observeres H [ ( 2 / 3) × (15 − 15) + (1 / 3) × 0 = 0 > −14 / 3 = (2 / 3) × 11
+ (1 / 3) × 9 − 15 ] . Derfor velger S strategi nr. 15, slik at han alltid melder H. Denne
konklusjonen er i samsvar med den tilsvarende konklusjonen i DN, side 312, linje 13-14:
”The software firm has a similar temptation: it wants to pretend to have high costs”.
Kombinasjonen (Strategi nr. 14, Strategi nr. 15) er derfor en likevekt i meldingsspillet
genert av ovenstående ”2:1”-kontrakt. (Om likevekt, se DN Kap. 3.4).
Kontrakten oppfyller kravet om balanse tilstand for tilstand. Hva er da svakheten ved
denne kontrakten? Det vil i likevekt bli meldt (M,H) og (H,H) med sannsynlighet 2 / 3 og
1 / 3 . Projektet vil derfor bli gjennomført med sannsynlighet 2 / 3 < 7 / 9 , slik at kravet om
optimalitet ikke er oppfyldt. For eksempel kanselleres projektet med sannsynlighet 1 / 3 ,
selvom de observerte kostnader er (M,M). Ingen av parterne vil konsekvent melde sine sanne
kostnader.

34. 33
Translation to English
Once a contract has been decided, a game between the two firms is determined. Each firm
chooses a strategy of cost reporting. Consider the example in DN Ch.12.2, in which both
firms observe L(ow), M(edium) or H(igh) cost. Each firm may report any feasible cost level,
L, M, H. Thus each player has 3 × 3 × 3 = 27 strategies, see above in the Norwegian text. For
example, by choosing strategy no. 22 a player always reports the true cost level.
DN, page 311-12, considers the following contract. The project is cancelled in the two
cases (cells) shown above. Otherwise, each firm is reimbursed for its development cost and
the remaining sum between them in the ratio 2 : 1 . The contract is shown above.
If H observes L then it is better to report M than L; if H is observed, then H is
reported, rather than reporting M. Thus, Strategi nr. 14 in the table above is a dominant
strategy for H. This is known to S, thus, S must assume that the reported (by H) are distributed
as follows: H reports L, M og H with probabilities 0, 2 / 3 og 1 / 3 .
It is always better for S to report H than M. In addition S should report H if L is
observed: [ (( 2 / 3) × 11 + (1 / 3) × 9) − 1× 9 = 4 / 3 < 4 = ((2 / 3) × 15 + (1/ 3) × 0) − (2 / 3) × 9 ];
furthermore if H is observed, then report H
[ ( 2 / 3) × (15 − 15) + (1 / 3) × 0 = 0 > −14 / 3 = (2 / 3) × 11 + (1 / 3) × 9 − 15 ] .
Accordingly, S chooses Strategy no. 15. (This corresponds to DN, page 312, line 13-
14: ”The software firm has a similar temptation: it wants to pretend to have high costs”.)
The pair of strategies (Strategy no. 14, Strategy no. 15) constitute a (Nash-)
equilibrium in the game under the ”2:1”-contract. There is balance in all of the 9 cells.
However, in equilibrium (M,H) and (H,H) will be reported wit probability 2 / 3 and 1 / 3 ,
respectively. Thus, the project will proceed with probability 2 / 3 < 7 / 9 ; this contract does not
satisfy optimality. In the case of an integrated firm one would cancel the project with
probability 7/9.
___________________

35. 34
Oppgave 1 fra eksamensoppgavesett i 51776 Samfunnsøkonomisk analyse,
Siviløkonomutdanningen i Bodø, 7. september 1992
Sommerhotellet "Fawlty Towers" drives ved hjelp av arbeidskraft fra den lokale fagforeningen.
Hotellet er åpent i opp til 5 dager i løpet av en sesong, se nedenfor. Ikke alt ved dette hotellet
fungerer helt som det skal. For eksempel viser erfaringen at hotellets ledelse ikke greier å
administrere lønnsutbetalinger. Derfor er Eieren og Fagforeningen enige om at arbeidskraften
avlønnes gjennom Fagforeningen. Den samlede inntekten fra hotelldriften deles mellom Eieren og
Fagforeningen etter forutgående forhandlinger.
Forhandlingene foregår på følgende måte. Hver morgen møtes Eieren og Fagforeningen. Første dag,
t = 1, foreslår Eieren en deling av sesongens samlede inntekt. Dersom Fagforeningen aksepterer
dette åpnes hotellet og driften fortsetter i alle 5 dager. Dersom Fagforeningen avslår den foreslåtte
delingen holdes hotellet stengt første dagen og en møtes neste dag, t = 2 , der Fagforeningen foreslår
en deling. Dersom Eieren avslår tilbudet holdes hotellet også stengt annen dagen, ellers åpnes
hotellet og drives i 4 dager. Slik fortsettes med alternerende tilbud. Dersom enighet ikke oppnåes
senest femte dagen, t = 5, da forblir hotellet stengt hele sesongen og samlet inntekt blir null.
Ved vanlige sommerhoteller er inntektstapet ved å holde stengt en ekstra dag konstant over tid.
"Fawlty Towers" er litt spesiellt i så måte: Eieren, som har tatt et kveldskurs i bedriftsøkonomi,
drøfter ofte dette med gjestene. Han pleier å fremheve at "det er vanskelig å forhandle med
Fagforeningen samtidig som samlet inntekt avtar geometrisk over tid med en diskonteringsfaktor lik
20% . " En slik uttalelse imponerer de fleste av gjestene. Mer presis er det slik at dersom hotellet
holdes åpent hele sesongen da blir den samlede inntekt 10.000 pund. Dersom åpningen skjer annen
dagen da reduseres dette beløpet med 20%, slik at samlet inntekt blir 8.000 pund. For hver dag
hotellet holdes stengt, reduseres samlet inntekt med 20%.
a) Vis at dersom hotellet åpnes på dag t = 5 , da blir samlet inntekt lik 4.096 pund.
b) Kan en forutsi resultatet av forhandlingene mellom Eieren og Fagforeningen?
Fagforeningen mener at den så langt har fått for liten del av samlet driftsinntekt. Derfor foreslåes en
betydelig utvidelse av åpningssesongen, f. eks. til 40 eller 50 dager. En slik utvidelse vil ikke i seg
selv endre på inntektssiden. Fremdeles vil det være slik at samlet inntekt blir 10.000 pund dersom
det åpnes første dag, og deretter suksessiv 20% reduksjon. Fagforeningen ønsker at forhandlingen
tilsvarende skal utvides, med alternerende tilbud, begynnende med Eierens tilbud første dagen. Det
viser seg at Eieren er motstander av en slik utvidelse.
c) Er Eierens holdning rasjonell?
d) Drøft kort relevansen av teorien for forhandlingsspill når det gjelder å forklare
forekomsten av streiker i arbeidslivet?
_______________

36. 35
Høgskolesenteret i Nordland
Siviløkonomutdanningen
EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE
Dato: 4. desember 1993
Tid: 0900-1300
Hjelpemidler: Ingen spesielle
Oppgave 1
Det er gitt følgende to-personers nullsumsspill der to spillere, Spiller 1 og Spiller 2, begge har
strategimengden { A, B, C} . Pay-off funksjonen er gitt ved 3× 3 matrisen
A B C
A 0 3 −1
.
B −3 0 1
C 1 −1 0
(Eksempelvis, dersom spillerne velger startegikombinasjonen (A,B), da utbetales 3 til Spiller 1 og -3
til Spiller 2).
(a) Forklar med utgangspunkt i dette spillet begrepene "rene stategier" og "blandede strategier".
(b) Finnes i dette spillet en likevekt i rene strategier?
(c) Anta at Spiller 1 velger den blandede strategien x = ( x1 , x2 , x3 ) = (1 5 ,1 5 , 3 5) . Er x et beste
valg av strategi for Spiller 2? Er ( x , x ) en likevekt i spillet?
(d) Spillet gjentaes nå 20 ganger. Det observeres at Spiller 1 velger følgende strategi:
( A, A, A, A, B, B, B, B, C , C , C, C, C, C, C, C, C , C , C , C )
Kommenter dette strategivalget.

37. 36
Oppgave 2
Butikkskjeden Rena 100 er organisert som et aksjeselskap. Aksjene eies av mange små aksjonærer.
Hver aksje har en markedsverdi lik 200 kr. Nå ønsker selskapet Corporate Strategy (CS) å kjøpe
opp hele Rena 100. Dette gjøres ved å gi aksjonærerne er todelt tilbud ("Two-tiered bid").
Derfor tilbyr CS en pris lik 215 kr pr. aksje for de første 50% av aksjonærerne som tar imot
tilbuddet. De resterende aksjer tilbys bare 180 kr pr. aksje. Likevel får alle aksjonærerne som
aksepterer tilbuddet en og samme pris; anta at y betegner den andel av aksjonærer som tar imot
tilbuddet. Da oppnår de alle følgende pris:
⎧215kr dersom 0 ≤ y ≤ 1 2
⎪
P=⎨ 1 y −1 2
⎪215kr 2 y + 180kr y dersom 1 2 < y ≤ 1
⎩
(a) Skisser i et diagram prisen P som funksjon av andelen y. Hvor stor må y være dersom P skal bli
lik markedsprisen 200 kr pr aksje ?
(b) Hver aksjonær har valget mellom de to strategiene "aksepter tilbuddet fra CS" og "ikke aksepter
tilbuddet fra CS". Dersom mer enn 50% av aksjonærerne aksepterer tilbuddet, da vil de resterende
aksjonærer måtte selge til pris 180 kr pr. aksje. Kan en si noe om hvilken av disse strategiene som
er best for den enkelte aksjonær?
(c) Vil CS trolig lykkes å kjøpe opp Rena 100 til en pris under markedspris?
(d) Vil konklusjonen kunne endres dersom det ikke som ovenfor antatt utelukkende er mange små
aksjonærer, men i tillegg en eller flere store?

38. 37
Oppgave 3
To entreprenører A og B ønsker å starte opp et gatekjøkken. Det planlegges at A oppfører bygget og
B kjøper inn utstyr. I utgangspunktet drives prosjektet som en samlet bedrift. Byggekostnadene kan
være høye, lik 12 (regnet i 10.000 kr) eller lave, lik 6, begge med sannsynlighet 50%. Tilsvarende
kan utstyrskostnadene være høye, lik 8 eller lave, lik 4, med sannsynlighet 50%. Forventet inntekt
fra gatekjøkkenet er 18.
(a) Begrunn at prosjektet vil bli gjennomført med sannsynlighet 75%.
Imidlertid blir de to entreprenører enige om å drive hver for seg og å organisere prosjektet i et "joint
venture". Derved har de ikke infomasjon om partnerens kostnader. For eksempel, før prosjektet
besluttes gjennomført får A vite størrelsen på byggekostnadene men denne informasjonen har ikke
B.
Det inngåes følgende kontrakt. Når entreprenørerne hver for seg kjenner sine kostnader så
melder de disse kostnadene (sanne eller falske). Prosjektet gjennomføres dersom ikke begge melder
høye kostnader. Videre skjer følgende betalinger som angitt i Kontrakt I:
B
Kontrakt I Lav( 4 ) Høy(8)
9 6
A Lav(6 )
12 12
9 6
Høy(12 )
7 7
(a) Er denne kontrakten i balanse?
(b) Dersom B alltid melder sine sanne kostnader, lønner det seg da for A å melde sine sanne
kostnader? Besvar tilsvarende spørsmål for A.
Kontrakt II er gitt som følger:

39. 38
B
Kontrakt II Lav( 4 ) Høy(8)
9 6
A Lav( 6 )
9 12
9 6
Høy(12 )
4 7
(c) Lønner det seg alltid å melde sine sanne kostnader under Kontrakt II ?
(d) Besvar samme spørsmål for Kontrakt III:
B
Kontrakt III Lav( 4 ) Høy(8)
9 6
A Lav( 6)
9 12
5 2
Høy(12 )
13 −2
(e) Hvilken av kontraktene I, II, III vil du anbefale at entreprenørerne velger?
Oppgave 4
Diskuter muligheten for å oppnå monopolprofitt for en produsent av et varig forbruksgode. (Gå ut
fra at produsenten ikke har noen konkurrenter i markedet). Vil det eventuellt kunne lønne seg for
produsenten å utleie fremfor å selge?

40. 39
Høgskolen i Bodø
Siviløkonomutdanningen
EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE
Dato: 14. desember 1995
Tid: 09.00 - 13.00
Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator m/slettet minne uten
kommunikasjonsmuligheter.
Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen
Dato for sensur: 29. januar 1996.
Lykke til!
Oppgave 1
Ved en høgskole er det to uavhengige studentkantiner A og B som begge tilbyr samme middagsrett.
Enhetskostnaden ved å produsere en slik middag er 15 kr. Studentene kjøper middagen sin der den
er billigst; ved samme pris fordeler de seg likt på A og B. Det er iallt 10 studenter ved høgskolen.
Tradisjonen tilsier at prisen for en middag er enten 40 kr eller 30 kr. Kantinene setter prisen
simultant.
(a) Beskriv prissettingen som et spill mellom kantinene.
(b) Kan en si at kantinene befinner seg er i et "Fangenes dilemma" ?
Gå nå inntil videre ut fra at kantinene kan sette prisen lik et vilkårlig kronebeløp mellom 0 og 40.
(c) Endres derved konklusjonen på (b) vesentlig?
(d) Begrunn at for begge kantinene er en pris lik 14 kr en dominert strategi.

41. 40
Direktøren for A ønsker å ha et godt samarbeidsforhold til høgskolens studentforening. Han har
nylig tatt et brevkurs i Strategisk analyse. Etter nøye overveielse beslutter han derfor å annonsere
følgende prisgaranti:
"Dersom en student etter å ha kjøpt middag hos oss finner ut samme dag at middagen kunne vært kjøpt billigere ved en
annen kantine på høgskolen, og henvender seg til oss, da vil vi kontant refundere det dobbelte av prisforskjellen."
(e) Har Studentforeningen grunn til å være fornøyd med en slik garanti?
Gå tilbake til (a) slik at prisen på en middag kan settes til enten 30 kr eller 40 kr og anta nå at spillet
gjentas hver dag. Hver morgen annonserer kantinene simultant dagens pris. De kjenner begge
motpartens tidligere priser. Direktøren for B er tidvis ikke helt nøye med å observere gårsdagens
pris. Begge velger følgende strategi: første dag velges 40 kr og deretter settes prisen for dagen lik
den prisen som motparten satte gårsdagen.
(f) Er denne kombinasjon av strategier en likevekt i det gjentatte spillet? Fører dette til at et
"kartell" etableres?
Oppgave 2
Drøft kort og gjerne ved bruk av eksempler følgende tre påstander:
(i) "Troverdighetsproblemet kan løses ved å undertegne en kontrakt."
(ii) "Ved en vanlig førsteprisauksjon av f. eks. en antikk stol melder alle sin sanne
betalingsvilje."
(iii) "Et forlag som publiserer lærebøker burde leie ut istedet for å selge bøkene til
studentene."
Oppgave 3
En ny fjernsynsstasjon, TV-Royal, spesialiserer seg i reportasjer om kongelige personer. Stasjonen
ønsker å etablere seg i Bodø der det er to potensielle seere, A og B. Kostnadene ved å starte sending
er T = 6 (i tusen kr ) og begge seere tillegger sendestart verdien V = 24 .
Stasjonen kan kreve opp lisens fra enhver som tar inn sendingene. Det krever imidlertid peileutstyr
å observere hvem som tar imot sendingene, hvilket er kostnadsberegnet til iallt 43; peileutstyret har
ingen alternativ verdi.
(a) Vil TV-Royal kunne drives som en lisensfinansiert stasjon, eventuelt ved frivillig lisensbetaling?

42. 41
TV-Royal beslutter å drive på grunnlag av en innsamling som følger.
Begge seerne er like utålmodige, noe som kommer til uttrykk ved at 1 kr i neste periode er ekvi-
valent til δ kr i nåværende periode, der δ = 0,9 . Gå ut fra at verdiene på T , V ,δ er kjent for alle. I
første periode lover A ( d.v.s. gir tilsagn om å betale) et beløp, deretter lover B et beløp i annen
periode; slik fortsettes skiftevis inntil det samlede lovede beløp første gang er minst like stor som T.
Da starter sendingen og hver seer betaler sitt samlede lovede beløp.
(b) Vil innsamlingen lykkes og i så fall hvor hurtig?
Nå viser det seg at seer B tidligere har fulgt et kurs i Strategisk analyse. Før innsamlingen begynner
skriver B en rekke leserinnlegg i Nordlandsposten, der hun argumenterer for innførelse av
republikk.
(c) Kan en eventuelt si noe om hvorfor B skriver disse leserinnlegg?
Oppgave 4
En veikro på Saltfjellet er åpen i opp til 7 sammenhengende dager i løpet av en sommersesong.
Inntektene fra driften skal deles mellom Eieren og Fagforeningen. Inntekten ved å holde åpent er
16.000 kr pr dag, slik at samlet mulig inntekt på en sesong er 112.000 kr.
Delingen skjer etter forhandlinger mellom Eieren og Fagforeningen. Første mulige åpningsdag,
t = 1, tilbyr Eieren en deling av den samlede inntekten. Dersom Fagforeningen aksepterer åpnes
veikroen og driften fortsetter alle t = 1,2,…,7 dager. Ellers holdes veikroen stengt første dag og
neste dag, t = 2 , foreslår Fagforeningen en deling av gjenstående samlet inntekt, som Eieren kan
akseptere eller avslå; hvis han aksepterer holdes åpent på dagene t = 2,3,…,7 . Slik fortsettes med
alternerende tilbud. Dersom ikke enighet oppnås på noe tidspunkt forblir veikroen stengt hele
sesongen.
(a) Du planlegger å kjøre over Saltfjellet hver dag og ønsker å besøke veikroen. Har du grunn til å
tro at veikroen blir åpen hele sesongen?
Gå nå ut fra at Fagforeningen alternativt kan sysselsette sine medlemmer ved det nærliggende
Polarsenteret, noe som gir en daglig inntekt på 10.000 kr.
(b) Endrer dette på svaret under (a)?
Anta at alternativ sysselsetting ved Polarsenteret ikke er mulig. Videre endres forhandlingsreglene
slik at det i hver periode er Eieren som tilbyr en deling som Fagforeningen kan akseptere eller
avvise.
(c) Hva blir resultatet av forhandlingene? Hva skjer dersom Fagforeningen troverdig kan erklære at
den ikke aksepterer en andel mindre enn 1/4?

43. 42
Høgskolen i Bodø
Siviløkonomutdanningen
EKSTRAORDINÆR EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE
Dato: 3. juni 1996
Tid: 09.00 - 13.00
Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator m/slettet minne uten
kommunikasjonsmuligheter.
Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen
Dato for sensur: 2. august 1996.
Oppgave 1
Et hotell i Saltdalen har gått konkurs og gjenoppstår nå som sommerhotellet Saltens Juvel . Eieren
planlegger å ha åpent i t = 1,2,…,10 sammenhengende dager i løpet av en sesong. Inntekten ved å
holde åpent er 12.000 kroner pr dag, dog slik at siste dag, t = 10 , er inntekten 30.000 kroner. Alle
ansatte ved Saltens Juvel er organisert i en og samme fagforening.
Inntekten fra driften deles mellom Eieren og Fagforeningen, etter forhandlinger. Første dag tilbyr
Eieren en deling av den samlede inntekten. Hvis fagforeningen aksepterer åpnes hotellet og drives
alle 10 dager. Hvis ikke holdes hotellet stengt første dagen, og neste dag, t = 2 , foreslår
Fagforeningen en deling av gjenstående samlet inntekt som Eieren så enten kan akseptere eller
avslå. Hvis han aksepterer, så holdes åpent på dagene t = 2,3,…,10 . Slik fortsettes med alternerende
tilbud.
(a) Næringslivet frykter at Saltens Juvel forblir stengt hele sesongen. Er denne frykten
velbegrunnet?
(b) Kan en utfra spillteorien forutsi resultatet av forhandlingene? Presiser forutsetningene.
(c) Drøft momenter som kan føre til at hotellet ikke åpnes første dagen.

44. 43
Oppgave 2
To tenåringer, Per og Pål, kjører bil mellom Mørkved og Tverlandet. Pål kjører fra Mørkved mot
Tverlandet, Per kjører motsatt. De starter samtidig og begge kjører midt på veien. Når de møtes har
de to muligheter: "V(ike)" eller "F(ortsette)". Dersom begge velger F da overlever ingen av dem og
de påføres begge et tap lik -3. Dersom den ene velger V og den anden F, da anses den første som en
helt og den annen som kujon, hvilket tillegges verdien 0 til den første og 2 til den annen. Hvis de
begge velger V, da er de begge kujoner og får verdien 1.
(a) Formuler ovenstående som et 2-personers matrisespill, der Per er spiller nr. 1.
(b) Er kombinasjonen av strategier (V,F) en likevekt i rene strategier
(c) Er det mer enn en likevekt i rene strategier?
(d) Dersom både Per og Pål velger en blandet strategi med 25% sannsynlighet for F, hva blir da
sannsynligheten for at begge overlever?
(e) Er strategikombinasjonen i (d) en likevekt?
Oppgave 3
Staten skal bygge et nytt veistykke og organiserer en anbudsrunde med tre anbydere A,B,C.
Anbuddet organiseres som en "førsteprisauksjon", slik at det laveste tilbud aksepteres. Gå i det
følgende ut fra at du skal fastsette B's bud. Dine kostnader er 8, og du vet at de to andre har
kostnader 7 og 9, allt regnet i millioner kroner.
(a) Vil det lønne seg for deg å gi et bud høyere enn dine sanne kostnader; kan dette være en
"dominant" strategi?
(b) Kan Staten ved å endre på anbudsreglene sikre at ingen gir bud høyere enn sine kostnader?
(c) Vil et anbudssystem som under (b) føre til høyere veikostnader for Staten enn under en første-
prisauksjon?
Oppgave 4
Drøft om prisgarantier alltid er i konsumentenes interesse.
_____________________________

45. 44
Høgskolen i Bodø Side 1 av 3 sider
Siviløkonomutdanningen
EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE
Dato: 5. desember 1996
Tid: 09.00-13.00
Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator med slettet minne
uten kommunikasjonsmuligheter.
Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen
Dato f. sensur: 15. januar 1997
Lykke til!
OPPGAVE 1
To siviløkonomstudenter A og B skal begge til eksamen i Økonomistyring i januar, noe de begge
frykter. Den 5. desember avtaler de å drøfte pensum over telefon den 30. desember klokken 12.00.
Deretter reiser de begge hjem til henholdsvis Andenes og Bergen og vil møtes igjen i Bodø i januar.
Studentene har ikke avtalt hvem som skal ringe. Etter ankomsten til hjemstedet har hver av
studentene valget mellem å "ringe" eller å "vente". Hvis den ene ringer og den annen venter, da får
den første verdien (pay-off) 1 og den annen 3; forskjellen, 3 − 1 = 2 , skyldes kostnadene ved å
telefonere. Hvis de begge ringer eller de begge venter, da får de begge verdien 0.
(a) Formuler dette som et spill mellom studentene.
(b) Har spillet en eller flere dominante strategier?
(c) Har spillet en likevekt (i rene) strategier?
Gå nå ut fra at spillerne eventuelt spiller blandede strategier.
(d) Drøft begrepet "en symmetrisk likevekt" ; finnes det en slik likevekt i dette spillet og er den
eventuelt optimal? Sammenligne med svaret under (c).
(e) Kan en si noe om sannsynligheten for at det lykkes A og B å gjennomføre telefonsamtalen?
(f) Hva blir den symmetriske likevekt hvis det er gratis å telefonere? Sammenligne med (d).

46. 45
Side 2 av 3 sider
Oppgave 2
To bedrifter X og Y ønsker å åpne en ny kino i Bodø. De er enige om at X anskaffer utstyr og Y
oppfører bygget. Først må hver av dem investere 0,6 henholdsvis 0,5 (regnet i 100.000 kr) for å
avdekke kostnadene. Utstyrskostnadene kan være lave, lik 8, eller høye lik 16, med sannsynlighet
1/2. Byggekostnadene kan være lave, lik 4, middel, lik 10, eller høye, lik 16, hver med
sannsynlighet 1/3. I utgangspunktet drives prosjektet som ett selskap. Kinodriften vil gi en inntekt
på 24.
(a) Finn forholdet mellom de forventede kostnader hos X og Y . Vil prosjektet bli gjennomført?
Gå nå i stedet ut fra at X og Y driver hver for seg i et "joint venture" slik at de kjenner sine egne
men ikke partnerens kostnader. Nå foreslås følgende avtale mellem dem. Hvis prosjektet
gennemføres, så får hver av dem refundert sine meldte kostnader, hvoretter det overskytende
beløpet deles mellem X og Y i forholdet 6:5
(b) Skriv den foreslåtte avtale inn som kontrakt i en vanlig tabell (f. eks. en 2 × 3 -tabell). Vil
parterne melde sine sanne kostnader?
(c) Drøft de krav som en naturlig kan stille til en kontrakt.
(d) Gi, under hensyntagen til svaret på (c), ett eller flere forslag til en kontrakt .
Oppgave 3
(a) Drøft minst 3 ulike eksempler på fenomenet "fangenes dilemma" i økonomi.
(b) Hvordan kan en løse dilemmaet?
(c) Er det alltid ønskelig å løse det og i så fall for hvem?
Oppgave 4
I en nord-norsk by er det stor befolkningsvekst samtidig som antallet av drosjeløyver over lengere
tid har vært konstant lik 200. Drosjeløyver er fritt omsettelige og for tiden omsettes en løyve til
800.000 kr. Det er politisk press for å øke antallet av løyver, samtidig som det er generell skepsis i
befolkningen når det gjelder kommunestyrets langsigtige planlegging.

47. 46
Side 3 av 3 sider
Kommunen vurderer å utstede 10 nye løyver, noe som vil gi en fortjeneste på nesten 8 millioner kr.
Enten kan en velge å selge vanlige permanente løyver eller å selge tidbegrensede løyver, av
varighet ett år.
(a) Hva bør kommunen gjøre for å tjene mest mulig på løyvesalget? Kan en si at salg av tids-
begrensede løyver svarer til utleie av løyver? Presiser dine forutsetninger.
(b) Drøft ett eller flere andre eksempler på strategiske beslutninger, som kan sies å svare til den som
kommunen står over for.
________________________

48. 47
Høgskolen i Bodø Side 1 av 3 sider
Siviløkonomutdanningen
EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE
Dato: 9. desember 1998
Tid: 09.00-13.00
Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator med slettet minne
uten kommunikasjonsmuligheter.
Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen
Dato f. sensur: 18. januar 1999
Lykke til!
OPPGAVE 1
To bedrifter A og B selger en vare i samme marked der de daglig fastsetter sin pris. Bedriftene har
mulighet for å velge "Høy" eller "Lav" pris. De fire mulige strategikombinasjoner fører til følgende
"pay-off" for bedriftene (regnet i titusen kroner)
B
Lav Høy
5 6
A Lav
5 2
4 2
Høy
4 1
Ved dagens begynnelse velger hver bedrift sin strategi. Markedet eksisterer i en sesong som utgjør
30 dager.
(a) Kan en forutsi prisdannelsen i dette markedet?
Bedrift A vurderer å fremskynde prisfastsettelsesbeslutningen til kvelden før slik at neste dags pris
annonseres allerede da. Derved påføres A kostnader i form av betaling av overtid.
(b) Hvor store slike kostnader kan A tåle dersom det likevel skal være lønnsomt å fremskynde
prisfastsettelsen til kvelden før?
(c) Når det gjelder strategiske beslutninger, er det da alltid en fordel å velge strategi først? Illustrer
med ett eller flere enkle eksempler.

49. 48
Side 2 av 3 sider
Gå nå igjen ut fra at alle prisbeslutningene skjer ved dagens begynnelse. Dessuten er markedet ikke
begrenset til en enkelt 30 dagers sesong men fortsetter og er åpent fremover hver dag. Anta
dessuten at hver bedrift kan velge en strategi der prisfastsættelsen (Høy eller Lav) kan avhenge av
tidligere valgte priser.
(d) Kan en tenke seg en strategikombinasjon som er en likevekt, og slik at den samlede pay-off
(inntekt) for de to bedrifter hver dag blir størst mulig?
Oppgave 2
En bedrift ansetter en selger som skal oppsøke kunder i distriktene. Selgeren kan velge å gjøre en
stor eller en liten innsats. Den gjeldende ukelønn for denne typen arbeidskraft er 15.000 (i kroner
per uke). Dersom selgeren gjør en stor eller en liten innsats, da har han transportkostnader på
henholdsvis 5.000 eller 1.000. Selgeren liker å jobbe og utover transport har han ingen
merkostnader ved å gjøre en stor innsats.
Hvis selgeren gjør en stor innsats, da vil bedriften tjene 50.000 med sannsynlighet 70% og 20.000
ellers. Tilsvarende, hvis han gjør en liten innsats reduseres denne sannsynligheten til 50%.
Bedriften kan ikke direkte observere selgerens innsatsnivå. Den tilbyr derfor en bonusavlønning der
det utbetales b = 26.000 med fratrekk x = 20.000 hvis bedriften bare tjener 20.000.
Gå ut fra at både selger og bedrift er risikonøytrale.
(a) Vil selgeren akseptere denne kontrakten? Beregn bedriftens forventede fortjeneste.
(b) Er kontrakten den best mulige for bedriften?
Ved å installere elektronisk utstyr blir det mulig direkte å observere selgerens innsats. Slikt utstyr
kan leies og koster 8.000. I så fall vurderer bedriften å tilby selgeren en ny kontrakt der han får lønn
lik 20.000 forutsatt hans innsats er stor og null ellers.
(c) Lønner det seg for bedriften å leie utstyret?
Oppgave 3
(a) Drøft betydningen av følgende to strategiske trekk
(i) en bedrifts investering i overskuddskapasitet
(ii) en beslutningstakers bevisste innskrenkning av egne handlingsmuligheter.
(b) Fra to bidragsytere skal innsamles T = 100 og for begge er verdien av prosjektet V = 80 .
Graden av utålmodighet er δ = 1 / 2 . Kan innsamlingen gjennomføres i løbet av to perioder? Endres
svaret dersom graden av utålmodighet blir større?

50. 49
Side 3 av 3 sider
Oppgave 4
Kioskkjeden Mix er nylig omorganisert som et aksjeselskap. Den største av aksjonærerne har en
aksjepost på 10%. For tiden er markedsverdien 102 kr (per aksje). To utenlandske selskap,
Conditional og Two-Tier, er begge interessert i å kjøpe alle aksjene i Mix.
Derfor tilbyr Conditional 103 kr betinget av at minst halvparten av aksjene tilbys. I så fall de
tvangsinnløses de resterende aksjer til 80 kr.
Two-Tier tilbyr å betale 110 kr for de første 50% av aksjonærerne som tar imot tilbuddet. De
resterende aksjer tilbys bare 90 kr. Alle aksjonærer som aksepterer tilbuddet oppnår samme pris
beregnet som det tilsvarende gjennomsnitt. Hvis X betegner den andel av aksjonærer som tar imot
tilbuddet, da oppnås prisen P der P = 110 kr hvis X ≤ 1 2 og
1 X −1 2
P = 110 kr + 90 kr
2X X
hvis 1 2 < X ≤ 1 . Dersom mere enn 50% av aksjonærerne aksepterer tilbuddet fra Two-tier, da vil
de resterende aksjonærer måtte selge til pris 80 kr.
Hver aksjonær har tre mulige strategier: å akseptere tilbuddet fra Conditional, å akseptere tilbuddet
fra Two-tier og å avslå begge tilbud. Det er ikke tilladt å akseptere dem begge.
(a) Drøft hvilken strategi den enkelte aksjonær bør velge og hva blir i så fall resultatet?
(b) Kan Conditional kjøpe opp Mix ved å øke sitt bud fra 103 kr til 109 kr ?
(c) Hva skjer dersom Conditional endrer sitt tilbud til et ubetinget tilbud, slik at hver aksjonær
tilbys prisen 103 kr uavhengig av de andre aksjonærers beslutning?
(d) Hva blir svaret på (a) dersom en aksjonær har en vesentlig større aksjepost enn 10%?

51. 50
Side 1 av 4
Høgskolen i Bodø
Siviløkonomutdanningen
EKSTRAORDINÆR EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE
Dato: 27. mai 1999
Tid: 09.00 - 13.00
Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator m/slettet minne uten
kommunikasjonsmuligheter.
Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen
Dato for sensur: 28. juni 1999.
Oppgave 1
En monopolist, Bedrift A, har efterspørselskurven P = 36 − 4Q hvis Q ≤ 9 og P = 0 ellers.
Bedriften har grensekostnader lik 4 og faste kostnader lik 9. Det er en potensiell konkurrent, Bedrift
B, som kan etablere seg i dette markedet. Bedrift B har samme kostnadsforhold som A.
(a) Vis at dersom Bedrift A ser bort fra muligheten av etablering, så vil bedriften velge kvantum
Q = 4 og pris P = 20 . Beregn den tilhørende profit.
(b) Hvis Bedrift A produserer 4 enheter enten det skjer etablering eller ikke, hva blir da den
residuale etterspørselskurve for Bedrift B?
(c) Gitt denne residuale etterspørselskurven og forutsetningen at Bedrift A ikke endrer kvantum.
Hva blir da kvantum for Bedrift B dersom bedriften velger å etablere seg?
(d) Ville Bedrift A tjene på å velge et større kvantum (for eksempel Q = 5 ) enn monopolkvantum
og dermed en lavere pris?
(e) Hvis bedrift A tar høyde for Bedrift B's kvantum efter etablering, hva blir da Cournot-likevekten
i duopolet med både Bedrift A og B?
(f) Vil den strategi for Bedrift A som foreslås i (d) være troverdig når det gjelder å avskrekke
etablering? Drøft kort ulike måter å oppnå troverdighet på.

52. 51
Side 2 av 4
Oppgave 2
To parter gjennomfører en forhandlingsprosess. Er det generelt en fordel å være mere utålmodig
enn motparten?
Oppgave 3
I en bransje med stadig synkende etterspørsel er det i inneværende periode, t = 1 , kun to bedrifter ,
A og B igjen. Bedrift A produserer 2 enheter i hver periode og Bedrift B produserer 3 enheter.
Bedriftene kan ikke velge andre produksjonsmengder, men kan velge i en periode å opphøre med
produksjonen. Dersom en bedrift velger å opphøre i en periode kan produksjonen ikke senere
gjenopptaes.
I periode t = 1 oppnås prisen (minus produktionskostnader) 10 hvis kun A produserer, 8 hvis kun B
produserer og 2 hvis både A og B produserer. Den synkende etterspørsel innebærer at prisen faller 1
i hver periode. For eksempel oppnås således i periode t = 2 følgende priser:
t kun A kun B A og B
2 9 7 1
(a) Begrunn at det allt annet like lønner seg for bedriftene å produsere så lenge som mulig.
(b) I en artikkel i "Dagens Næringsliv" hevdes det at begge bedriftene vil være opphørt senest i
periode t = 9 . Er det grunn til å tro at det skjer tidligere? Presiser forutsetningene.
Oppgave 4
Utviklingen av et nytt produkt omfatter separat utvikling av to delprodukter, I og II. To bedrifter A
og B, som hver utvikler I henholdsvis II, inngår som partnere i det samlede prosjekt.
Drøft ulike problemer og muligheter i forbindelse med organisering av prosjektet som et "joint
venture."
________________________

53. 52
Side 3 av 4
OVERSETTELSE AV DEN ORIGINALE OPPGAVETEKST TIL ENGELSK
Question 1
An incumbent monopolist (Firm A) faces a demand function of P = 36 − 4Q if Q ≤ 9 and P = 0
otherwise. The firm has constant marginal cost of 4 and pays a fixed cost of 9. A potential entrant
(Firm B) exists with exactly the same technology.
(a) Show that if Firm A ignores the possibility of entry, it will set a quantity of Q = 4 and price of
P = 20 . Calculate corresponding profits.
(b) If Firm A produces a quantity of 4 and does not vary that output after entrance occurs, what will
the residual demand curve of Firm B be?
(c) Given this residual demand curve, and the assumption that Firm A will not respond to the output
of Firm B,what output will the entrant set?
(d) Under these assumptions, will Firm A be better off setting a higher output (for example Q = 5 )
than the monopoly output and hence a lower price?
(e) If Firm A takes into account the quantity set by Firm B after entrance, what will the Cournot
equilibrium of the postentry duopoly game be?
(f) Will the strategy of Firm A suggested in (d) be a credible entry-deterring strategy? Discuss
briefly some devices for achieving credibility.
Question 2
In a bargaining session, is it generally an advantage to be more impatient than one's opponent?
Specify your assumptions.
Question 3
In a declining industry only two firms remain active in the current period, t = 1 , Firm A and Firm
B. Firm A produces 2 units each period and Firm B produces 3 units. The firms have no flexibility
in choosing input and once they choose to stop production, they cannot come back in a later period.
Thus every period, the firms must decide to produce or to exit.
At t = 1 the price (net of cost) obtained will be 10 if A is alone, 8 if B is alone and 2 if both A and
B are producing. In this declining industry, the price decreases by one each period. Thus for
example in period t = 2 , the price obtained will be
t A alone B alone A and B
2 9 7 1

54. 53
Side 4 av 4
(a) Show that it pays for firms to hold on as long as possible.
(b) Some commentators have predicted that both firms will exit before period t = 9 . Is there reason
to believe that this will happen even earlier? State your assumptions.
Question 4
Suppose the development of a new product involves separate development of two products I and II.
Two firms A and B, each specializing in development of I and II, respectively, are partners in this
development project.
Discuss various problems and possibilities in connection with organizing such a joint venture.
________________________

55. 54
Side 1 av 3 sider
Høgskolen i Bodø
Siviløkonomutdanningen
EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE
Dato: 10. desember 1999
Tid: 09.00-13.00
Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator med slettet minne
uten kommunikasjonsmuligheter.
Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen
Dato f. sensur: 17. januar 2000
Oppgave 1
Aksjepostene i familiebryggeriet Hjemmebrygg innehaves av familiemedlemmer men kan nå
omsettes på børsen. Det er tre styremedlemmer A, B og C som alle er etterkommere av
Hjemmebryggs opprinnelige stifter.
Avstemning i styret skjer i rekkefølge ved at A stemmer først, dernest B og så C. Styret har forskutt
oppnevningstid slik at bare 1 styreplass er på valg hvert år. Hvert medlem har således en treårig
oppnevningstid.
Endring i styrets vedtekter kan bare besluttes av styret selv. En vedtektsendring kan kun
gjennomføres ved enstemmighet og forslagsstiller må stemme for sitt eget forslag. Hvis et
styremedlem foreslår en vedtektsendring som ikke blir vedtatt, da mister medlemmet hele
aksjeposten sin som fordeles likeligt mellom de to øvrige medlemmer.
I et forsøk på å overta Hjemmebrygg har bryggeriet Storebrygg kjøpt opp 60% av aksjene. Dette
året er styremedlem A på valg, og Storebrygg får derfor valgt sin egen representant som nytt
styremedlem A.
På første styremøde foreslår Storebryggs representant en fullstendig omlegging av bedriften som
innebærer at Hjemmebrygg integreres som en avdeling i Storebrygg, men fortsatt med eget styre.
Forslaget innebærer dessuten følgende. Hvis forslaget vedtaes med 2 stemmer mot 1, da vil det
medlem som stemmer imot miste sin styreplass, og det medlem som stemmer for vil beholde sin
plass samt få overført 2/3 av Storbryggs aksjepost svarende til 40% av aksjepostene. Hvis forslaget
vedtas enstemmig, da vil 1/15 av Storbryggs aksjepost svarende til 4% av aksjepostene bli overført
til og delt lige mellom B og C.
(a) Er det grunn til å tro at forslaget blir vedtatt?
(b) Vil svaret på (a) endres dersom Storebryggs representant ble valgt inn som medlem C istedet for
som medlem A?

56. 55
Side 2 av 3 sider
Anta at avstemning i Hjemmebryggs styre skjer ikke i rekkefølge, men ved samtidig og hemmelig
stemmeavgivning.
(c) Hva blir da svaret på (a) ?
Oppgave 2
To studenter A og B har hver kjøpt 4 billetter til en kveld på Studentsamfunnet, som begynner
klokken 21. Prisen på en billett er er 1 (regnet i 100 kroner); beløpet refunderes for hver billett som
returneres før klokken 21. Begge studentene planlegger å (videre)selge billettene foran
inngangsdøren mellom klokken 20 og 21.
La Q = q A + qB , der q A , q B betegner de to studenters salg og Q er samlet salg. I dette markedet er
etterspørselen slik at prisen P blir
P = 5 − Q hvis Q ≤ 5 og P = 0 ellers ;
det er ikke mulig å prisdiskrimminere blandt kjøperne.
(a) Hvor mange billetter billetter kan A selge? Hva blir kostnadene for A ved å selge f. eks. 2
billetter?
(b) Vis, at dersom q A = 1, qB = 1 , da får de fortjeneste (pay-off) π A = 2, π B = 2 .
Begge studentene er usikre på hvor mange billetter de skal selge.
(c) Formuler studentenes beslutningsproblem som et topersoners spil der hver spiller har 5
strategier. Er det et nullsumsspill?
(d) Har spillerne dominerte eller dominerende (dominante) strategier?
(e) Er det noen likevekt(er) i spillet? Hvordan skal en velge mellom eventuelt flere likevekter?
(f) Kommer de to studentene i "Fangenes Dilemma"?
Oppgave 3
(a) Drøft ulike midler til å oppnå troverdighet. Ta f. eks. utgangspunkt i "skrive kontrakt", " avbryte
forbindelse (kommunikasjon)", "brenne bruer."
(b) Drøft fordeler og ulemper for en produsent (av f. eks. computerutstyr) ved å korttidsutleie
fremfor å selge .

57. 56
Side 3 av 3 sider
(c) Hva kan en selger oppnå ved å gi en prisgaranti og hvordan påvirker det kjøperne?
Oppgave 4
Diskuter ut fra eksempler hva som er formålet med å spille en såkaldt blandet strategi ("mixed
strategy"). Ta gjerne utgangspunkt i situasjoner som kan modelleres som nullsumsspill.
___________________

58. 57
Side 1 av 3 sider
Høgskolen i Bodø
Siviløkonomutdanningen
EKSTRAORDINÆR EKSAMEN i 50131 STRATEGISK ANALYSE
Dato: 6. juni 2000
Tid: 09.00-13.00
Hjelpemidler: Generelle hjelpemidler, programmerbar kalkulator med slettet minne
uten kommunikasjonsmuligheter.
Fagansvarlig: Lars Thorlund-Petersen
Dato f. sensur: 26. juni 2000
Oppgave 1
To studenter A og B går sammen om et investeringsprojekt ved å etablere en IT-bedrift. Dette
omfatter både investering i utstyr ("hardware") og i programvare ("software"). I utgangspunktet er
prosjektet organisert som en samlet bedrift. Utstyrskostnadene kan være lave, 12, eller høye, 24 (i
100.000 kr), med sannsynlighet 50%. Tilsvarende kan programvarekostnadene være lave, 8, eller
høye , 16, med sannsynlighet 50%. . Den forventede inntekten fra bedriften er 36.
(a) Hvor stor er sannsynligheten for at projektet avlyses (kanselleres) ?
Anta at projektet istedet organiseres som et "joint venture". Det avtales at A står for investering i
utstyr og B utvikler programvare. Dette innebærer at den enkelte deltaker ikke kan observere
partnerens kostnader. For eksempel, før prosjektet besluttes gjennomført får B opplyst størrelsen på
programvarekostnadene men denne informasjonen får ikke A.
Det inngåes følgende kontrakt. Når entreprenørerne hver for seg kjenner sine kostnader så
melder de disse kostnadene; de kan velge å melde falske kostnader. Prosjektet gjennomføres
dersom ikke begge melder høye kostnader og betalingene blir som angitt i følgende Kontrakt I:
B
Kontrakt I Lav(8 ) Høy(16)
18 12
A Lav(12)
24 24
18 12
Høy( 24)
14 14
(b) Dersom A alltid melder sine sanne kostnader, lønner det seg da for B å melde sine sanne
kostnader? Besvar tilsvarende spørsmål for A.