1. § Determinanten
Definition
Sn : Menge aller Permutationen von 2,..., n;
1,
Eine Permutation der bei genau zwei Elem ente vertauscht werden und
alle andernen fest bleiben heisst Transp osition
Satz
i) Jede Permutation lässt sich als Hintereinanderausübung von Transpositionen
schreiben.
ii) Die Anzahl der Transpositionsfaktoren in der Darstellung einer fest
vorgegebenen Permutation ist für jede mögliche Darstellung entweder immer
gerade oder ungerade.
Definition
1 falls die Permutation gerade Anzahl von Tr anspositionen hat
:
1 falls die Permutation ungerade Anzahl von Tr anspositionen hat
Definition
det : n, n
a ij i 1,..., n
j 1,..., n
Sn
a1 (1) ...an( n)
Satz
Für A, B ¡n , n gilt:
(i ) det( A) 0 Rang( A) n
(ii ) det( AB) det( A) det( B);
(iii ) det( I ) 1;
(iv ) det( A) 0 1n ,n : A 1A I ;
A
det( A1 ) det( A ) .
1
2. § Eigenwerte
Definition
Sei A n ,n , dann heisst:
¡(oder £) Eigenwert von A : : Av v ;
v n 0
v ¡n Eigenvektor zu : Av v ;
Lemma
Für A n,n ,
(oder ) Eigenwert von A,
V : v n 0 | Av v 0 ;
V linearer Unterraum
Lemma
Für A n, n
, (oder ) Eigenwert von A mit ,
V V = 0
Satz
Für A n,n gilt:
(i ) Eigenwert von A det( A I ) 0,
(ii ) Eigenwert von A V : v n 0 | Av v 0
v n | ( A I )v 0 ;
Definition
Sei A n,n , dann heisst
det( A xI ) charakteristisches Polynom.
Bemerkung:
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms