2. Φ Phi maiúsculo
O número de ouro não é mais do que um valor
numérico cujo valor aproximado é 1,618.
Este número irracional é considerado por muitos o
símbolo da harmonia. A escola grega de Pitágoras
estudou e observou muitas relações e modelos
numéricos que apareciam na natureza, beleza,
estética, harmonia musical e outros, mas
provavelmente a mais importante é a razão áurea,
razão divina ou proporção divina.

3. A HISTÓRIA DO NÚMERO DE OURO
A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No
Egito as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a
razão áurea: a razão entre a altura de uma face e a metade do lado
da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro.
A pirâmide de Khéops, em Gisé.

4. Outro exemplo da proporção áurea na antiguidade é o Papiro de
Rhind (Egípcio) ou Ahmes que mede 5,5 metros de comprimento
por 0,32 metros de largura, datado aproximadamente no ano
1650 a.C onde encontramos um texto matemático na forma de
manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita
hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo.
Papiro de Rhind (Egípcio) ou Ahmes (Museu Britânico)

5. Partenon Grego
Fídias foi o escultor e o arquiteto encarregado da construção deste templo. A designação
adaptada para o número de ouro é a inicial do nome deste arquiteto - a letra grega Φ (Phi
maiúsculo).

6. Os Pitagóricos usaram também a seção de ouro na
construção da estrela pentagonal.
Foi o primeiro número
irracional de que se teve
consciência que o era. Este
número era o número ou
seção de ouro apesar deste
nome só lhe ser atribuído
2000 anos depois.
Posteriormente, os gregos consideraram que o retângulo cujos lados
possuía esta relação apresentava uma especial harmonia estética e lhe
chamaram retângulo áureo ou retângulo de ouro, considerando esta
harmonia como uma virtude excepcional.

7. LEONARDO DA VINCI (1452-1519)
A excelência dos desenhos de Leonardo da Vinci revela os seus conhecimentos
matemáticos bem como a utilização da razão áurea como garante de uma
perfeição, beleza e harmonia únicas.

8. Simetria

9. Perspectiva
Leonardo da Vince

10. O Homem Vitruviano
Data: 1490 – Técnica: Lápis e tinta - Dimensão: 34 x 24 cm
O Homem Vitruviano é baseado numa famosa passagem do
arquitecto/arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio, em que ele descreve
as proporções do corpo humano:
Um palmo é a largura de quatro dedos
Um pé é a largura de quatro palmos
Um antebraço é a largura de seis palmos
A altura de um homem é quatro antebraços (24 palmos)
Um passo é quatro antebraços
A longitude dos braços estendidos de um homem é igual à altura dele
A distância entre o nascimento do cabelo e o queixo é um décimo da altura
de um homem
A distância do topo da cabeça para o fundo do queixo é um oitavo da
altura de um homem
A distância do nascimento do cabelo para o topo do peito é um sétimo da
altura de um homem
A distância do topo da cabeça para os mamilos é um quarto da altura de
um homem
A largura máxima dos ombros é um quarto da altura de um homem
A distância do cotovelo para o fim da mão é um quinto da altura de um
homem
A distância do cotovelo para a axila é um oitavo da altura de um homem
A longitude da mão é um décimo da altura de um homem
A distância do fundo do queixo para o nariz é um terço da longitude da
face
A distância do nascimento do cabelo para as sobrancelhas é um terço da
longitude da face
A altura da orelha é um terço da longitude da face

11. Roda d`Água com Taças
1503
Desenho
O Codex Atlanticus, guardado na
Biblioteca Ambrosiana, em Milão, é
a maior coleção de anotações e
esboços de Leonardo, mas até isso
representa apenas uma pequena
parte de suas notas e manuscritos.
Dentro desta coleção, muitas
páginas estão dedicadas a bombas,
moinhos d`água e diversos
aparelhos hidráulicos.
Leonardo se sentia
frustrantemente limitado em
muitas de suas invenções, pois as
formas de energia motriz que hoje
para nós são comuns - eletricidade,
gás, gasolina e outros -
simplesmente não estavam
disponíveis. Mas ele podia soltar as
rédeas da imaginação ao projetar
aparelhos mecânicos movidos a
água.

12. Desenho das proporções da Cabeça e do Olho
data desconhecida
Leonardo reforçava suas observações do
corpo humano com o estudo da anatomia. Em
Florença, teve permissão para fazer
dissecações no hospital Santa Maria Nuova.
Como sempre, anotou e desenhou. Embora
tivesse um bom conhecimento do que ocorre
por debaixo da pele, assim como total
compreensão das relações entre as diferentes
partes do corpo, como demonstram estas
anotações sobre as medidas e ângulos do
rosto, suas pinturas jamais parecem rígidas ou
acadêmicas. Seu conhecimento informa mais
do que dita a estrutura.

13. Em 1502 Leonardo da Vinci fez o projeto de uma ponte para cruzar um rio em Constantinopla, na Turquia. A ponte, projetada para
ser feita em pedra, teve o projeto rejeitado pelo Sultão Bajazet II, de Constantinopla (Istambul) e nunca foi construída. Nunca é
uma palavra que nunca deve ser usada porque acaba acontecendo sempre. Alias, sempre é outra palavra que nunca deve ser
usada porque as vezes, nunca acontece. Então a ponte nunca foi construída, isto é, nunca, até agora, porque faz poucos anos o
projeto foi realizado, não na Turquia, mas na Noruega. O projeto original previa perto de 350m e foi reduzido para 100m e pedras
foram substituídas por madeira e modernos materiais de construção. A ponte foi realizada graças ao artista Vebjoern Sand, que
analisou o assunto e convenceu autoridades norueguesas a realizar o projeto de Leonardo, com as devidas adaptações para o
local. A ponte é uma passarela de 8 m de largura para ajudar pedestres na travessia de uma estrada de alta velocidade. Projetada
500 anos antes, continua sendo a coisa mais moderna e arrojada na paisagem em que se encontra agora.
A ponte na Noruega - o projeto original Leonardo da Vinci - moderno, mesmo depois de 500 anos

14. FIBONACCI
O Matemático Italiano Leonardo de Pisa
nasceu na Itália por volta de 1175 e ficou
conhecido como Fibonacci (filho de
Bonaccio) (Fibonacci = filius Bonacci).
Seqüência de Fibonacci, indica o número de
pares ao final de cada mês:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...}
{1,
A razão entre os termos desta seqüência convergirá
para o numero de ouro.
Ф = ( 1 + √5 )) / 2
Esquema do problema dos coelhos.

15. O NÚMERO DE OURO NA:
NATUREZA
Pinha
Sementes do girassol
Moluscos náuticos vistos em seção. Truta

16. Construção do Retângulo Raiz √2
1
Um retângulo tem a propriedade de poder ser
dividido infinitamente em retângulos menores
proporcionais. Isto significa que, quando um
retângulo é dividido ao meio, sucedem dois
retângulos menores. Deve se observar que a 2
proporção de um retângulo aproxima-se
bastante da razão áurea. As proporções do
retângulo são 1:1,141 e a razão áurea é 1:
1,618.
Construção de um retângulo, pelo método do
quadrado.
1 - comece com um quadrado.
2 - trace uma diagonal dentro do quadrado e
use-a como arco que toca a linha de base do
quadrado. Prolongue os lados do quadrado e
obterá, assim, um retângulo √2.

17. A Anatomia do Compartilhar
Cavala Sardinha Perca
Muitos peixes também apresentam proporções Truta
áureas. Três seções de construção em
proporção áurea, aplicadas ao corpo de uma
truta, mostram as relações entre o olho e a
barbatana da cauda em retângulos e quadrados
áureos recíprocos. Além disso, as barbatanas
individuais também guardam essas mesmas
proporções.
A forma do peixe azul tropical cabe de forma
perfeita num retângulo áureo. Sua boca e
guelras apresentam-se em razões áureas
recíprocas em relação à altura do seu corpo.

18.  Corpo humano Comparação das proporções
faciais (desenhos de Da Vinci e
Dürer)
O quadrado inscreve a altura do
corpo; mãos e pés tocam o círculo
cujo o centro é no umbigo. A figura é
dividida ao meio na virilha pela seção
áurea cujo lado superior do quadrado
passa também no umbigo.

19. Geometria Modular
O estudo da geometria é extremamente
importante na formação de designers, artistas e
arquitetos: não há divisão de espaços sem a Saint Chapelle
modulação geométrica; não há sistemas
construtivos sem suportes geométricos que
definam a localização virtual de elementos.
A divisão pela utilização de módulos concerne
não somente ao plano, mas também, a outras
dimensões do espaço.
Sistema LEGO
A geometria modular é portanto o
estudo rigoroso de formas que
podemos planejar no plano para
conceber o espaço. Sistema ABSTRACTA

20. Capela do I.I.T., Mies van der Rohe – 1949/1952
Mies van der Rohe é mais conhecido por seus
monumentais arranha-céus em aço e vidro. Ele
foi um mestre em sistemas proporcionais e tais
arranha-céus guardam formas e proporções tão
semelhantes que poderiam ser classificados
como um arquétipo único.
Mies foi diretor da Faculdade de Arquitetura no
Instituto de Tecnologia de Illinois (IIT) por vinte
anos, e naquele período ele projetou todo o
campus e muitos dos seus prédios.
A capela do IIT é um bom exemplo do uso das
proporções em pequena escala. A fachada do
prédio é proporcionada à razão áurea, 1:1,618.
O prédio está perfeitamente subdividido em
cinco colunas por retângulos áureos, e quando
eles são repetidos, como padrão, o prédio
aparece como um módulo de 5x5 retângulos
horizontais.
Arquitetura

21. Arquitetura
A razão áurea pode ser vista de pronto nestes
desenhos. A fachada da frente da capela pode ser
subdividida numa série de retângulos áureos, que
circundam as grandes janelas superiores e as
pequenas superiores, para ventilação.
- As grandes janelas inferiores são quadradas.
- O desenho em corte do interior, em direção ao
altar, mostra que o perímetro da fachada frontal
pode ser definido por três retângulos áureos.
- O plano do perímetro da capela cabe
perfeitamente num retângulo áureo.
- O quadrado do retângulo áureo define o altar e
as áreas de serviço e dispensa da capela.
- Estas duas áreas estão separadas por uma
pequena elevação do altar e grades.

22. Arte
Poster Folies-Bergére, Jules Chéret, 1877

23. Poster Mostra Bauhaus - Fritz Schleifer, 1922

24. Diário, de Adolphe Mouron” - 1960
A relação áurea define simplesmente proporções ideais, já previamente
intuídas pelo designer; é uma forma de verificação, e não um sistema
(estaria fadado ao insucesso, se assim fosse, como todos os sistemas).
quot;Diário, de Adolphe Mouron” - 1960.

25. Chaise Longue - Le Corbusier, 1929
Design de
Produto Chaise Longue de Thonet - 1870

26. Brno Chair - Mies van der Rohe, 1929
Bentwood de Thonet

27. Plywood Chair - Charles Eames, 1946
Raios: A=1; B=4; C=6; D=8 M

28. Pedestal Chair - Eero Saarinen, 1957

29. Misturador Manual Braun - 1987

30. Volkswagen Beetle - Jay Mays, Freeman Thomas, Peter Schreyer, 1997

31. Análise
Visão Posterior:
A exemplo da visão frontal, a visão traseira pode
ser inscrita num quadrado. O logotipo está
colocado próxima ao centro do quadrado, e todas
as superfícies e elementos são simétricos.
A geometria do corpo do carro apresenta, ainda,
outros detalhes; os faróis dianteiros e traseiros
são elípticos, mas como repousam sobre curvas,
aparentam ser circulares.
O ângulo que rege o capô da mala está a 45°.
Antena:
O ângulo da antena é tangente ao círculo do
para-lama da roda da frente e a posição da sua
base alinha-se com o para-lama da roda traseira.

32. Cia. Brasileira de Petróleo Ipiranga - Verschleisser/Visconti, 1972
2/3 1/6

34. PORTOBRÁS - Verschleisser/Visconti, 1980

35. CEG Cia. Estadual de Gás - Verschleisser/Visconti, 1972

36. Os textos , ilustrações e obras de
arte que constam deste trabalho
foram retirados de pesquisas
efetuadas nos sites que constam
na bibliografia .

37. REFERÊNCIAS
www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm
www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/provaouro.htm
members.tripod.com/caraipora/proporouro.htm
www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/num_ouro.htm
www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm203/numeros.htm
pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htm
pascal.iseg.utl.pt/~ncrato/Expresso/FiFibonacci_Expresso_20041009.htm
www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/num_ouro.htm
www.perfeitauniao.org/pficial/2004/a_proporcao_aurea.htm
Leo Visconti - Apresentação do Microsoft Office PowerPoint

38. • www.somatematica.com.br
• www.pinturasbrasileiras.com
• www.buscatematica.com
• http://galeriadearte.vilabol.uol.com.br
• www.ima.art.br/workshops.htm#
• http://pt.wikipedia.org/wiki/Simetria
• http://www.theart.com.br/biografias/davinci/davinci.htm
• http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo
/capitulos/cap21s3.html
• http://paginas.terra.com.br/arte/mundoantigo/michelangelo/
• http://www.tg3.com.br/vinci/l-link.htm
• http://paineis.org/INDICE.htm

39. Geometria
Plana
Alguns conteúdos que serão
utilizados no estudo da
Geometria Analítica

40. Ponto SÃO ENTES
MATEMÁTICOS, SÓ
Reta PODEMOS TER UMA
IDÉIA DE CADA UM
Plano DELES.

41. REPRESENTAÇÃO
Normalmente usamos letras
PONTO maiúsculas para designarmos
AB C
RETA Normalmente usamos letras
minúsculas para designarmos
a b c
Plano Normalmente usamos letras
gregas para designarmos.
γβ θ

42. SEMI-RETA
É a parte de uma reta que foi dividida por
um ponto, cada uma das partes da reta
recebe então o nome de semi-reta.
B
O ponto A dividiu a reta em
duas bem ao meio cada lado
A
será representado:
C
AB ou AC

43. SEGMENTO
Tomando-se uma reta e sobre ela definimos
dois pontos A e B distintos. Chama-se
SEGMENTO a parte da reta compreendida
entre esses dois pontos inclusive, os quais
passam a ser chamados de extremidades
r
B
AB ou BA
A

44. Posições Relativas de Duas Retas no Plano
CONCORRENTES
COINCIDENTES
PARALELAS
r r
s
s r
s

45. EQUIDISTANTES
MESMA DISTÂNCIA
r
Vamos observar a figura H M
para concluirmos: E
G
D
M I
A
I B
A T
J R
I
L
Z
Os pontos H,G,M,I,J,L pertencem a reta r, e são
todos eqüidistantes de AB
A reta r é a MEDIATRIZ de AB, e forma 90°.

46. Ponto Médio
Por definição é o ponto que divide um segmento
em dois outros segmentos congruentes ( mesma
mediada).
B
C
A
PM =dist AC = dist CB

47. POSIÇÕES DE TRÊS PONTIOS
NO PLANO
ALINHADOS ou Vértices de um
COLINEARES triângulo
O det é ZERO O det é diferente de ZERO

48. estudar a Reta
Vamos
Podemos Determinar uma reta sempre
que conhecermos.
a) Dois pontos dela. b) Um ângulo e um ponto

49. Toda a reta como vimos, forma com o eixo
y2 y1
x um ângulo cuja a sua tangente
m
chamamos de coeficiente angular e
representaremos pela letra m.
x2 x1
β>90
β<90
Logo m NEG.
Logo m POSIT

50. Equações da RETA
Já estudamos a equação da reta quando vimos Função:
f(x) = mx + b Este termo
independente passa
a ser chamado de
coeficiente linear e
será o ponto que a
Este m da função afim é o reta intercepta o
coeficiente angular da reta eixo dos Y
e nos fornece a inclinação.

51. Determinando a equação da reta:
Temos agora condições de encontrar
ou podemos aplicar a teoria do
a equação da reta conhecendo:
alinhamento de três pontos
a) DOIS PONTOS
x y 1
y2 y1
m x1 y1 1 0
x2 x1
x2 y2 1
(y y1 ) m( x x1 )

52. Conhecendo o ângulo
c)
Conhecendo UM
b)
que a reta forma com o
ponto e o
eixo dos X
coeficiente angular
3
30 m
y2 y1 3
m
45 m 1
x2 x1
60 m 3
(y y1 ) m( x x1 )

53. São duas retas que:
Voltando ao Paralelismo
1. Não se cruzam.
2. Tem o mesmo coeficiente
angular.
3. A distância entre pontos de
m m
intersecção com uma reta
perpendicular são sempre
iguais.
4. A solução do sistema entre
as duas equações é sempre
uma impossibilidade.

54. PERPENDICULAREISMO
1. São duas retas que
formam entre sí um
ângulo de 90º.
Cruzam-se em um único
2.
ponto determinado por
1
meio da resolução do
m
m
sistema.
3. Seus coeficientes angulares
guardam a relação INVERSO
SIMÉTRICO.

55. É um polígono de três lados.
3 lados =
EQUILÁTEROS
Quanto aos
2 lados =
ISÓSCELES
seus Lados
ESCALENO 3 lados ≠

56. ALGUNS ELEMENTOS
Reta suporte da altura
ALTURA relativa ao lado ou
vértice
MEDIANA
Reta suporte ao
lado

57. Triângulo Eqüilátero
Características * Três lados Iguais
* Sua altura l3
2
* Sua área
2
l 3
4
1
* Sua área D
2
A 1/3 da altura temos o RAIO da circunferência
inscrita e a 2/3 o Raio da circunferência Circunscrita

58. Triângulo Isósceles
* Dois lados iguais
* A altura o divide em dois
triângulos retângulos iguais
b
c
h
1
* Sua área D
2
a

59. Triângulo Escaleno
* Três lados diferentes
1
* Sua área
D
2

60. Triângulo Retângulo
* T. Pitágoras a2 = b2 + c2
* Um ângulo reto
C .O
sen
h
* Trigonometria cos C. A
h
C .O
tan
C. A
* Área Cat.Cat
2

61. Quadrilátero
Quadrado
Q
Paralelogramo
u
Retângulo
A
D
Losango ou Rombo
R
I
L
Retângulo
A
Trapézio
T
Isósceles
E
R
Escaleno
o

62. Algumas Particularidades
Paralelogramos As diagonais cruzam-se
no PONTO MÉDIO
Quadrado e no As diagonais também são
PERPENDICULARES
Losango
Trapézio Prolongando os lados não
paralelos optemos um triângulo

63. CIRCUNFERÊNCIA
É um conjunto de
pontos eqüidistantes
. de um único ponto
chamado centro

64. Elementos
AE Arco
E
A AC EC BC Raio
D
CD Corda
C
AB Diâmetro
B
c

65. Reta Secante a
r
¥ Circunferência
A reta secante r
sobre a
.c circunferência ¥
determina uma corda
onde sua mediatriz
passa pelo centro da
circunferência
OBS. Três pontos determinam uma circunferência

66. Reta Tangente
¥ A Reta tangente
a uma
r circunferência é
sempre
.c perpendicular a
reta suporte que
contém o raio