1) O documento explica os conceitos de perpendicularidade entre retas e planos em geometria descritiva. 2) São apresentadas várias situações como retas perpendiculares a planos de topo, verticais ou de rampa. 3) Também são explicados casos de planos perpendiculares a retas, com exemplos de determinação de traços.

1. GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Perpendicularidade entre Rectas e Planos © antónio de campos, 2009

2. Perpendicularidade de Recta com Plano Uma recta é perpendicular a um plano, se é perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano. A recta c é perpendicular às rectas a e b, que são concorrentes no ponto C da face [ CDEH ].

3. Recta Perpendicular a um Plano - Geral Pretendem-se as projecções de uma recta p , perpendicular ao plano α e passando pelo ponto P . x f α p 1 P 1 P 2 p 2 Os traços do plano α (f α e h α ) são duas rectas concorrentes desse plano. Se a recta p é perpendicular a f α e h α , é portanto perpendicular ao plano α . h α

4. Recta Perpendicular a um Plano de Topo Pretendem-se as projecções de uma recta, perpendicular ao plano de topo θ e passando pelo ponto P . x f θ h θ f 1 P 1 f 2 P 2 Uma recta frontal f permite obter a perpendicularidade ao plano θ .

5. Recta Perpendicular a um Plano Vertical Pretendem-se as projecções de uma recta perpendicular ao plano vertical δ e passando pelo ponto P . x f δ h 1 P 1 h 2 P 2 Uma recta horizontal h permite obter a perpendicularidade ao plano δ . h δ

6. Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com 1 cm de abcissa e fazem com o eixo x , ângulos de 30º (a.d.) e 60 (a.e.), respectivamente o traço frontal e o traço horizontal. Desenha as projecções de uma recta p , perpendicular ao plano α e passando pelo ponto M (-1; 4; 4). f α h α p 1 p 2 x y ≡ z M 1 M 2

7. Um plano vertical δ faz um diedro de 40º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. Determina as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano. De que recta se trata? f δ p 1 p 2 h δ Uma recta horizontal p permite obter a perpendicularidade ao plano δ . x

8. Recta Perpendicular a um Plano de Rampa Pretendem-se as projecções de uma recta p , perpendicular ao plano de rampa ρ e passando pelo ponto A . x f ρ A 1 p 1 ≡ p 2 A 2 h ρ Uma recta de perfil p permite obter a perpendicularidade ao plano ρ . Depois para definir a recta, é necessário obter outro ponto da recta para além do ponto A . ≡ F 1 ≡ h π ≡ f π ≡ p’ 1 ≡ p’ 2 Para poder obter o outro ponto, recorre-se a uma outra recta de perfil p’, contida num plano ρ ; e do plano π , que contém a recta p; pelo processo de rebatimento. ≡ e 2 ≡ (e 1 ) ≡ h π r ≡ f π r ≡ F r p r p’ r F 2 H 2 H 1 A r H r B r B 2 B 1

9. É dado um plano de rampa ρ com 4 cm de afastamento e 3 cm de cota. Desenha as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano ρ e passando pelo ponto R (3; 4). x f ρ p 1 ≡ p 2 h ρ Uma recta de perfil p permite obter a perpendicularidade ao plano ρ . Depois para definir a recta, é necessário obter outro ponto da recta para além do ponto R . ≡ F 1 ≡ h π ≡ f π ≡ p’ 1 ≡ p’ 2 Para poder obter o outro ponto, recorre-se a uma outra recta de perfil p’, contida num plano ρ ; e do plano π , que contém a recta p; pelo processo de rebatimento. ≡ e 2 ≡ (e 1 ) ≡ h π r ≡ f π r ≡ F r p r p’ r R 1 R 2 F 2 H 2 H 1 R r H r S r S 2 S 1

10. Plano Perpendicular a uma Recta - Geral Pretendem-se as projecções de um plano α , perpendicular ao uma recta r e passando pelo ponto P . f α r 1 r 2 Uma recta perpendicular a um plano é a todas as rectas do plano, incluindo uma recta horizontal. Uma recta horizontal passando pelo ponto P vai auxiliar na obtenção dos traços do plano α . h α h 2 h 1 x P 1 P 2 F 1 F 2

11. Uma recta r é definida pelos pontos M (1; 3; 4) e N (-2; 1; 2). Determina os traços de um plano θ perpendicular à recta r e passando pelo ponto P (1; 2; 3). f α r 1 r 2 Uma recta perpendicular a um plano é a todas as rectas do plano, incluindo uma recta horizontal. Uma recta horizontal passando pelo ponto P vai auxiliar na obtenção dos traços do plano θ . h α h 2 h 1 P 1 P 2 F 1 F 2 x y ≡ z M 1 M 2 N 1 N 2