8522107351 pre calculo_2ed

Sumário
Capítulo 1 – Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1 Definição de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Relação de pertinência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Descrição ou representação de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.4 Conjunto unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Conjunto vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.6 Diagrama de Euler-Venn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.7 Subconjuntos – relação de inclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7.1 Observações importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.7.2 Conjunto das partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.8 Operações com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.8.1 União (reunião) de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.8.2 Interseção de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.8.3 Conjunto diferença. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.8.4 Conjunto universo ou universo (U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.8.5 Conjunto complementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.8.6 Diferença simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.8.7 Conjunto complementar em relação a U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.8.8 Algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.9 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.10 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.11 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Capítulo 2 – Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Tipos de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Números naturais (). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.1.2 Números inteiros () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.1.3 Números fracionários ou racionais () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.1.4 Números irracionais (decimais infinitos) ( = ’) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.1.5 Números reais () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.1.6 Números complexos (). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.2 Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Operações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.2.2 Propriedades estruturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.2.3 Outras operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

VII
VII

Pré-cálculo

2.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Intervalos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.1 Números reais e a reta numerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.6.2 Ordenação dos reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.6.3 Definições. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.6.4 Algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2.6.5 Intervalos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
2.6.6 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.6.6.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.6.6.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.6.7 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.6.8 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Capítulo 3 – Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 Valor absoluto ou módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
3.6.2 Teoremas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
3.6.3 Raiz quadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
3.6.4 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
3.6.5 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
3.8 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.8.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
3.8.2 Valor numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
3.8.3 Polinômio nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
3.8.4 Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
3.8.5 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
3.8.6 Operações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
3.8.6.1 Adição de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
3.8.6.2 Diferença de polinômios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
3.8.6.3 Multiplicação por um número real (ou escalar) . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

VIII

Sumário

3.8.6.4 Multiplicação de polinômios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
3.8.6.5 Divisão de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
3.8.7 Produtos notáveis e fatoração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
3.8.7.1 Produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
3.8.7.2 Completar quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
3.8.7.3 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
3.8.8 Equações polinomiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
3.8.8.1 Leis de cancelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
3.8.8.2 Equação do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
3.8.8.3 Equação do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
3.8.9 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8.10 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

Capítulo 4 – Relações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1 Par ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Sistema cartesiano ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Produto cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Simetria de pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5 Distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.6 Relação binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.7 Domínio e imagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.8 Relação inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.12 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.12.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
4.12.2 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
4.12.3 Domínio e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
4.12.4 Funções iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
4.12.5 Gráfico de uma função. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
4.12.6 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
4.13 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Capítulo 5 – Funções do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

IX
IX

Pré-cálculo

5.2 Função constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Função identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5 Função linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7 Função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.9 Coeficientes e zero da função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.10 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.11 Funções crescentes e decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.13 Sinais de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.15 Equação de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.16 Retas paralelas e perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.17 Interseção entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.19 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Capítulo 6 – Relações quadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2 Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.5 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.5.1 Hipérbole eqüilátera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170

Capítulo 7 – Inequações do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.1 Conceitos iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.2 Resolução de uma inequação do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

X

Sumário

7.6 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.6.1 Função definida por várias sentenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232
7.6.2 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
7.6.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234

Capítulo 8 – Outras funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.1 Função par e função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.2 Função f(x) = x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
1
8.3 Função f ( x ) = x ou função recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.4 Função máximo inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.5 Função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
8.6 Funções injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.7 Função inversa e função simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.8 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8.9 Função logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Capítulo 9 – Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
9.2 Arcos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
9.3 Ciclo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
9.4 Funções periódicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
9.5 Funções trigonométricas ou circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
9.6 Função seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
9.7 Função cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
9.8 Função tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
9.9 Função cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
9.10 Função secante e função cossecante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
9.11 Relações fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

XI
XI

Pré-cálculo

9.12 Propriedades trigonométricas em triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
9.13 Funções trigonométricas simétricas (funções arco) . . . . . . . . . . . . . 349

Capítulo 10 – Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
10.1 Conceitos econômicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

Capítulo 11 – Álgebra matricial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
11.1 Definições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
11.2 Matrizes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
11.3 Igualdade de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
11.4 Adição de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
11.5 Multiplicação de um escalar por uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
11.6 Matriz transposta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
11.7 Produto de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
11.8 Inversa de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
11.9 Determinante de uma matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
11.9.1 Determinante de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .419
11.10 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
11.11 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
11.12 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

Capítulo 12 – Sistemas lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
12.2 Matrizes de um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
12.3 Solução de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
12.4 Determinante do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
12.5 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
12.6 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

XII

Sumário

12.7 Escalonamento de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

Capítulo 13 – Binômio de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
13.1 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
13.2 Coeficientes binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
13.3 Triângulo de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
13.4 Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
13.5 Termo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

Capítulo 14 – Análise combinatória. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
14.2 Princípio fundamental da contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
14.4 Agrupamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
14.5 Arranjo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
14.7 Arranjo com repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
14.9 Permutação simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
14.11 Combinação simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
14.13 Permutação com elementos repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

Capítulo 15 – Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
15.2 Representação algébrica (forma de Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

XIII
XIII

Pré-cálculo

15.4 Igualdade de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
15.5 Adição e subtração de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
15.6 Multiplicação de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
15.7 O conjugado de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
15.8 O quociente entre números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
15.9 As potências de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
15.10 Raiz quadrada de números negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
15.12 Representação algébrica (forma de Hamilton) . . . . . . . . . . . . . . . . 515
15.13 Módulo de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
15.15 Inverso de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
15.17 Representação geométrica – plano complexo ou plano de
Argand-Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
15.18 Forma trigonométrica ou polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
15.20 Produto e potenciação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
15.21 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
15.22 Equações binômias e trinômias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

XIV

capítulo 1
Conjunto
Este capítulo tem por objetivo habilitar o aluno para lidar com os con
juntos numéricos e suas operações, principalmente pela sua importân
cia para o processo de contagem. Além disso, uma grande parte da
matemática é desenvolvida a partir de conjuntos.

1.1 Definição de conjuntos
Trata-se de uma noção primitiva, sem definição própria, podendo o con-
junto ser considerado qualquer coleção de objetos ou entidades.
Os objetos que compõem a coleção são os elementos do conjunto.
Designamos, normalmente, por letras maiúsculas os conjuntos e por
letras minúsculas seus elementos.

1.2 Relação de pertinência
Relaciona elemento com conjunto. Para indicarmos que um objeto x é
elemento do conjunto A, escrevemos (lê-se: x pertence a A). Se o
objeto x não for elemento do conjunto A, escrevemos x ∉ A (lê-se: x não
pertence a A).

1.3 Descrição ou representação de um conjunto
Para a descrição de um conjunto, são utilizados dois recursos principais:

1o Enumeração:
Quando escrevemos entre chaves, e separados por vírgulas, os seus ele-
mentos formadores do conjunto.

1

Pré-cálculo

Exemplos:
a) A = {a,b,c}
b) B = {1,2,3,4,5}
c) C = {2,3,5,7,11,...}

2o Compreensão:
Quando escrevemos, entre chaves, uma característica comum a todos os
elementos formadores do conjunto.

Exemplos:
a) A = {x | x é divisor inteiro de 7} = {–7,–1,1,7}
b) B = {x | x é vogal} = {a,e,i,o,u}

1.4 Conjunto unitário
É o conjunto que possui apenas um elemento.

Exemplos:
a) A = {x | x é par compreendido entre 9 e 11} = {10}
b) B = {x | x é satélite natural da Terra} = {Lua}

1.5 Conjunto vazio
É o que não possui elementos e denota-se por { } ou Æ.
Exemplos:
a) A = {x | x2 = 9 e x é par} = Æ
b) B = {x | x é ímpar e múltiplo de 2} = Æ

1.6 Diagrama de Euler-Venn
Uma boa maneira de se visualizar as relações entre conjuntos é por
meio dos diagramas de Euler-Venn. Os conjuntos são representados por
regiões planas interiores a uma curva fechada e simples.

2

1 Conjunto

Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4}

A
1
2
3
4

1.7 Subconjuntos – relação de inclusão
Se todo elemento de um conjunto A também for um elemento de um con-
junto B, então podemos dizer que A é um subconjunto de B.
Para indicarmos que A é subconjunto de B, escreveremos:

• A ⊂ B (lê-se: A está contido em B);
• B ⊃ A (lê-se: B contém A);
• A é parte de B.

Se o conjunto A não for subconjunto de B, escreveremos A ⊄ B (lê-se:
A não está contido em B).

1.7.1 Observações importantes

• Todo conjunto é subconjunto dele mesmo ( A ⊂ A) .
• Æ é subconjunto de qualquer conjunto .

• O total de subconjuntos que podemos formar a partir de um conjun-
to A, constituído por n elementos, é dado por 2n, e denota-se por # A
(# A = 2n).
• A ⊂ B e B ⊂ A se, e somente se, A = B .
• A é subconjunto próprio de B se, e somente se, A ⊂ B e A ≠ B .

1.7.2 Conjunto das partes
Consideremos um conjunto A. Denominamos conjunto das partes (P(A)) o
conjunto formado por todos os subconjuntos de A.

3

Pré-cálculo

Exemplo:
Seja A = {1, 2, 3} . Então:
.
Observe que, por exemplo, {1,2} ⊂ A , mas .

1.8 Operações com conjuntos
1.8.1 União (reunião) de conjuntos
O conjunto P é a união dos conjuntos A e B, se todos os elementos de A
e B, e apenas estes, estiverem presentes em P.

{
P = A ∪ B = x x ∈ A ou x ∈ B }
A B A B A
B

A∪B A∪B A∪B

Exemplos:
a) Se A = {1,2,3,4} e B = {2, 4, 6} , então A ∪ B = {1,2,3,4,6} .

b) Se A = {1,2,3,4} e B = {1, 4} , então A ∪ B = {1,2,3,4} = A .

c) Se A = {1,2,3} e B = {4, 5, 6} , então .

1.8.2 Interseção de conjuntos
P é o conjunto interseção de A e B, se ele for composto por todos os ele-
mentos comuns a A e B, ao mesmo tempo.

{
P = A ∩ B = x x ∈ A e x ∈B }
A B A B A
B

A∩B A∩B A∩B

4

1 Conjunto

Exemplos:
a) Se A = {1,2,3,4} e B = {2, 4, 6}, então A ∩ B = {2,4}.
b) Se A = {1,2,3,4} e B = {1, 4} , então A ∩ B = {1,4} = B .
c) Se A = {1,2,3} e B = {4, 5, 6}, então . Nesse caso, A e B são cha-
mados conjuntos disjuntos.

1.8.3 Conjunto diferença
P é o conjunto diferença de A e B, se for composto pelos elementos de A
que não são elementos de B.

{
P = A − B = x x ∈ A e x ∉B }

A B A B A
B

A–B A–B A–B

Exemplo:
Se A = {1,2,3,4} e B = {2,4,6} , então A − B = {1,3} e B − A = {6} .

1.8.4 Conjunto universo ou universo (U)
É um conjunto especificado que contém todos os elementos de interesse
para um determinado problema.

1.8.5 Conjunto complementar

• Se , então o complementar de B em relação a A é o conjunto
, denotado por CB = A − B .
A

• CA = A' = A = U − A .
U

Exemplo:
Se A = {1,2,4} e , então CB = {0, 6, 9} .
A

5

Pré-cálculo

1.8.6 Diferença simétrica
Dados dois conjuntos A e B, chamamos diferença simétrica entre A e B o
conjunto denotado por A∆B e definido por A∆B = ( A − B) ∪ ( B − A) .

Exemplo:
Se A = {1,2,4,7} e B = {1,3,6,7,10 }, então A∆B = {2, 4} ∪ {3, 6, 10} = {2, 3, 4, 6, 10} .

1.8.7 Conjunto complementar em relação a U

U U U

A A B A B
B B

, , ,
A (A ∪ B) (A ∩ B)

1.8.8 Algumas propriedades
União 1 A∪A = A
União 2
União 3 A∪B = B∪A
União 4 A∪U = U
Interseção 1 A∩A = A
Interseção 2
Interseção 3 A∩B = B∩A
Interseção 4 A∩U = A
Diferença 1
Diferença 2
Diferença 3 A − B ≠ B − A , em geral
Diferença 4 U − A = A'

6

1 Conjunto

Complementar 1 ( A') ' = A
Complementar 2
Complementar 3
Complementar 4 ( A ∪ B) ' = A' ∩ B'
Complementar 5 ( A ∩ B) ' = A' ∪ B'

1.9 Exercícios resolvidos
1) Dados os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {2,4,5} , pede-se para escrever

simbolicamente as sentenças a seguir, classificando-as em verdadeiras
(V) ou falsas (F):
a) 2 é elemento de A.
b) 4 pertence a B.
c) B é parte de A.
d) 1 não é elemento de B.
e) A é igual a B.

Solução:
a) 2 ∈ A. É verdadeira.
b) 4 ∈ B . É verdadeira.
c) B ⊂ A. É falsa, pois 5 ∈ B , mas 5 ∉ A .
d) 1 ∉B . É verdadeira.
e) A = B. É falsa (pode-se usar o mesmo elemento 5 para verificar a fal-
sidade).

2) Classifique em verdadeiras (V) ou falsas (F) as sentenças a seguir:

a) {1} ∈{1} e) i)

b) {1} ⊂ {1} f) {1} ⊂ {{1} , {2}} j) {{1}} ⊂ {1,2, {1}}
c) 1 ∈{1} g) {1} ⊂ {1, {1}} k)

d) {1} ∈{{1} , {2}} h) l)

7

Pré-cálculo

Solução:
a) F e) V i) V
b) V f) F j) V
c) V g) V k) V
d) V h) F l) V

3) Sendo A = {a,b,c,d} , determine P(A).

Solução:
Como A tem quatro elementos, P(A) tem 2 = 16 elementos.
4

Daí,
{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} , { b,c,d} , {a,b,c,d}} .
4) Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12, 15} e C = {0, 5, 10, 15, 20},
determine:

a) A ∩ B h) A ∪ B ∪ C

b) A ∪ B i) A ∩ ( B ∪ C)

c) A ∩ C j) ( A ∩ B) ∪ (B − A)

d) C − A k) ( A − B) ∩ ( C − A)

e) B ∪ C l) ( A ∩ B) ∩ (B ∪ C)

f) B − C m) ( A − B) ∩ ( B ∪ C)

g) A ∩ B ∩ C n) ( B − C) ∪ ( A − C) ∪ ( B − A)

Solução:
a) A ∩ B = {6,12}
b)
c) A ∩ C = {10}
d) C − A = {0,5,15,20}
e) B ∪ C = {0,3,5,6,9, 10,12,15,20}
f) B − C = {3,6,9,12}
g)

8

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