Mennyi a háromszög szögeinek összege? Kivezetés az euklideszi geomeztriából.

1. Nagy Gábor SZTE 2010
Mennyi is a háromszög szögeinek
összege?
avagy
„Kivezetés” az euklideszi geometriából

2. Mit csinál egy matematikus?

Számol...

Elvont fogalmakat alkot és azokat vizsgálja

Már maga a szám is nagyon elvont fogalom

Természetes, racionális, valós – komplex (?)

(A gimis matek csak a jéghegy csúcsa.)

A lényeg: csak precízen!!!

Definíció, állítás kimondása, bizonyítás

3. Mire jó a matematika?

Sokat számolnak az alábbi területeken:

Természettudományok (fizika, kémia, biológia)

Informatika

Építészet, földrajz

Pénzügyek

Sok esetben a területek összefonódnak

Pl. helymeghatározás GPS-el

4. A geometria megalapozása

Eukleidész (kb. Kr.e. 330-275) axiómarendszere

Alapfogalmak (nem definiáljuk)
Pl. pont, egyenes, illeszkedés, egybevágóság

Axiómák (nem bizonyítjuk)
Pl. Két pont meghatároz egy egyenest;
Bármely két derékszög egybevágó.

Elvárások egy axiómarendszerre:

Kicsi

Független

Az alapfogalmak „közismertek”, az axiómák „igazak”

5. Az 5. posztulátum

Ha két egyenes vonal egy ezeket metsző
egyenessel belső és ugyanazon az oldalon fekvő,
két derékszögnél kisebb szögeket alkot, akkor
ezen egyenesek végtelenbe meghosszabbítva
azon az oldalon találkoznak, melyen a két
derékszögnél kisebb szögek vannak.

Az hogy két derékszögnél kisebb, úgy értendő,
hogy a két szög összege kisebb mint két
derékszög.

6. A párhuzamosság axióma
megfogalmazásai

Egyenértékű (ekvivalens) átfogalmazások:

Proclus (Kr.u. 5. sz.):
Minden ponton keresztül minden egyeneshez
pontosan egy párhuzamost lehet húzni.

Wallis (17. sz.): Léteznek hasonló idomok.

Legendre (18. sz.): A háromszög belső szögeinek
összege 180 fok.

Gauss (19. sz.): Létezik bármilyen nagy területű
háromszög.

Fontos!!! Illeszkedés ⇔ mérés

7. Történeti háttér

Aquinói Szt. Tamás (Summa contra Gentiles, 13.
sz.) a Mindenhatósági Paradoxonról:
Tud-e Isten olyan háromszöget teremteni, melynek
szögösszege nem 180 fok?

Immanual Kant (A tiszta ész kritikája, 18. sz.):
Az euklideszi axiómák a tapasztalást
szükségszerűen megelőző emberi ismeretek.

Tehát a cél:
Megmutatni, hogy a párhuzamossági axióma nem
független a többitől.

8. A koordinátarendszer

René Descartes (16. sz., racionalizmus)

Filozófus és matematikus (nagyon vallásos!)

A koordinátarendszer összekapcsolja a
geometriát a számok világával

Pontok = szám párok

Egyenesek = elsőfokú egyenletek, stb.

Derékszögű koordinátarendszer,
Ferdeszögű koordinátarendszer,
Polárkoordináta-rendszer

9. Polárkoordináta-rendszer

10. Mennyi? Mi mennyi?

Távolságmérés

Hosszúságmérés

Szög- és területmérés

Szinusz- és koszinusz-tételek: a háromszög
adatainak meghatározása három adatból.

Geometria a gömbfelszínen

Egyenesek = főkörök

Szögösszeg > 180 fok

Gömbi háromszög területe

11. A 2000 éves probléma megoldása

Az áttörést hárman szolgáltatták:
Bolyai János (1802-1860)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij (1792-1856)

Az elmélet kiépítése 1860-tól
Arthur Cayley, Felix Klein, Eugenio Beltrami, Henri
Poincaré, Bernhard Riemann, stb.

A társadalmi fogadtatás problémái:
Mi kivel, kikkel azonosítjuk magunkat?

12. π=?

Azt tanuljuk, hogy a π a kör kerületének és az
átmérőjének hányadosa, π = 3,14159265...

(Feltételezzük, hogy minden kör hasonló!)

Kir 7,13-23 szerint π = 3:
Salamon király elküldött és elhozatta a tíruszi Hirámot,
[...] Eljött hát Salamon királyhoz, és mindenféle
munkát elvégzett neki. […]
Aztán öntött egy medencét is, 10 könyököt tett ki
az egyik peremétől a másikig, kerek volt, a
magassága 5 könyök, és egy 30 könyöknyi zsinór
érte körül.

13. Na de akkor mennyi???
 Az euklideszi geometriában a szögösszeg
180 fok = π (radiánban).
 A gömbi geometriában a szögösszeg
π + a háromszög területe
 A Bolyai-geometriában
π – a háromszög területe
 Az Einstein-féle relativitáselmélet szerint a tér a
gravitáció hatására negatívan görbül.
 A különbség csak „nagy” háromszögeknél
érvényesül. (Pl. GPS helymeghatározás.)

14. A gömbi háromszög területe

15. A pszeudoszféra