1. §2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами.
2.1 Постановка задачи
Пусть fi : Rn → R, i = 0, 1, . . . , m. Считаем, что все функции fi
обладают определенной гладкостью. Гладкая конечномерная
экстремальная задача с ограничениями типа равенств:
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Допустимые точки — удовлетворяющие ограничениям
задачи. Функция Лагранжа задачи (P): L (x) =
m
i=0
λifi(x),
вектор множителей Лагранжа λ = (λ0, λ1, . . . , λm) ∈ Rm+1.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
2. §2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами.
2.1 Постановка задачи
Пусть fi : Rn → R, i = 0, 1, . . . , m. Считаем, что все функции fi
обладают определенной гладкостью. Гладкая конечномерная
экстремальная задача с ограничениями типа равенств:
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Допустимые точки — удовлетворяющие ограничениям
задачи. Функция Лагранжа задачи (P): L (x) =
m
i=0
λifi(x),
вектор множителей Лагранжа λ = (λ0, λ1, . . . , λm) ∈ Rm+1.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
3. §2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами.
2.1 Постановка задачи
Пусть fi : Rn → R, i = 0, 1, . . . , m. Считаем, что все функции fi
обладают определенной гладкостью. Гладкая конечномерная
экстремальная задача с ограничениями типа равенств:
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Допустимые точки — удовлетворяющие ограничениям
задачи. Функция Лагранжа задачи (P): L (x) =
m
i=0
λifi(x),
вектор множителей Лагранжа λ = (λ0, λ1, . . . , λm) ∈ Rm+1.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
4. §2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами.
2.1 Постановка задачи
Пусть fi : Rn → R, i = 0, 1, . . . , m. Считаем, что все функции fi
обладают определенной гладкостью. Гладкая конечномерная
экстремальная задача с ограничениями типа равенств:
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Допустимые точки — удовлетворяющие ограничениям
задачи. Функция Лагранжа задачи (P): L (x) =
m
i=0
λifi(x),
вектор множителей Лагранжа λ = (λ0, λ1, . . . , λm) ∈ Rm+1.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
5. §2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами.
2.1 Постановка задачи
Пусть fi : Rn → R, i = 0, 1, . . . , m. Считаем, что все функции fi
обладают определенной гладкостью. Гладкая конечномерная
экстремальная задача с ограничениями типа равенств:
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Допустимые точки — удовлетворяющие ограничениям
задачи. Функция Лагранжа задачи (P): L (x) =
m
i=0
λifi(x),
вектор множителей Лагранжа λ = (λ0, λ1, . . . , λm) ∈ Rm+1.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
6. §2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами.
2.1 Постановка задачи
Пусть fi : Rn → R, i = 0, 1, . . . , m. Считаем, что все функции fi
обладают определенной гладкостью. Гладкая конечномерная
экстремальная задача с ограничениями типа равенств:
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Допустимые точки — удовлетворяющие ограничениям
задачи. Функция Лагранжа задачи (P): L (x) =
m
i=0
λifi(x),
вектор множителей Лагранжа λ = (λ0, λ1, . . . , λm) ∈ Rm+1.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
7. §2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами.
2.1 Постановка задачи
Пусть fi : Rn → R, i = 0, 1, . . . , m. Считаем, что все функции fi
обладают определенной гладкостью. Гладкая конечномерная
экстремальная задача с ограничениями типа равенств:
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Допустимые точки — удовлетворяющие ограничениям
задачи. Функция Лагранжа задачи (P): L (x) =
m
i=0
λifi(x),
вектор множителей Лагранжа λ = (λ0, λ1, . . . , λm) ∈ Rm+1.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
8. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
9. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
10. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
11. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
12. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
13. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
14. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
15. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
16. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
17. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
18. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
19. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
20. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
21. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
22. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
23. 2.2.2 Конечномерная теорема об обратной функции
Теорема (конечномерная теорема об обратной функции)
Пусть F : Rn → Rn, F ∈ C1(U), где U ⊂ O(ˆx, Rn), F(ˆx) = ˆy и
якобиан отображения F в точке ˆx отличен от нуля
det F (ˆx) = det
dFi(ˆx)
dxj
n
i,j=1
= 0 . Тогда ∃ обратное
отображение F−1 некоторой окрестности V точки ˆy в
окрестность точки ˆx такое, что F−1(ˆy) = ˆx и
F(F−1
(y)) = y, |F−1
(y) − F−1
(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ∀ y ∈ V
с некоторой константой K > 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
24. 2.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
2.2.1 Принцип Лагранжа
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Функция Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x).
Теорема
Пусть ˆx ∈ locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i = 0, 1, . . . , m. Тогда
∃ λ = 0 : для L выполняется условие стационарности
L (ˆx) = 0 ⇐⇒
∂L (ˆx)
∂xj
= 0, j = 1, . . . , n ⇐⇒
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
25. 2.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
2.2.1 Принцип Лагранжа
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Функция Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x).
Теорема
Пусть ˆx ∈ locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i = 0, 1, . . . , m. Тогда
∃ λ = 0 : для L выполняется условие стационарности
L (ˆx) = 0 ⇐⇒
∂L (ˆx)
∂xj
= 0, j = 1, . . . , n ⇐⇒
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
26. 2.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
2.2.1 Принцип Лагранжа
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Функция Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x).
Теорема
Пусть ˆx ∈ locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i = 0, 1, . . . , m. Тогда
∃ λ = 0 : для L выполняется условие стационарности
L (ˆx) = 0 ⇐⇒
∂L (ˆx)
∂xj
= 0, j = 1, . . . , n ⇐⇒
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
27. 2.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
2.2.1 Принцип Лагранжа
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Функция Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x).
Теорема
Пусть ˆx ∈ locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i = 0, 1, . . . , m. Тогда
∃ λ = 0 : для L выполняется условие стационарности
L (ˆx) = 0 ⇐⇒
∂L (ˆx)
∂xj
= 0, j = 1, . . . , n ⇐⇒
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
28. 2.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
2.2.1 Принцип Лагранжа
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Функция Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x).
Теорема
Пусть ˆx ∈ locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i = 0, 1, . . . , m. Тогда
∃ λ = 0 : для L выполняется условие стационарности
L (ˆx) = 0 ⇐⇒
∂L (ˆx)
∂xj
= 0, j = 1, . . . , n ⇐⇒
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
29. 2.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
2.2.1 Принцип Лагранжа
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Функция Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x).
Теорема
Пусть ˆx ∈ locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i = 0, 1, . . . , m. Тогда
∃ λ = 0 : для L выполняется условие стационарности
L (ˆx) = 0 ⇐⇒
∂L (ˆx)
∂xj
= 0, j = 1, . . . , n ⇐⇒
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
30. 2.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
2.2.1 Принцип Лагранжа
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Функция Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x).
Теорема
Пусть ˆx ∈ locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i = 0, 1, . . . , m. Тогда
∃ λ = 0 : для L выполняется условие стационарности
L (ˆx) = 0 ⇐⇒
∂L (ˆx)
∂xj
= 0, j = 1, . . . , n ⇐⇒
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
31. 2.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
2.2.1 Принцип Лагранжа
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Функция Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x).
Теорема
Пусть ˆx ∈ locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i = 0, 1, . . . , m. Тогда
∃ λ = 0 : для L выполняется условие стационарности
L (ˆx) = 0 ⇐⇒
∂L (ˆx)
∂xj
= 0, j = 1, . . . , n ⇐⇒
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
32. 2.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
2.2.1 Принцип Лагранжа
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Функция Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x).
Теорема
Пусть ˆx ∈ locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i = 0, 1, . . . , m. Тогда
∃ λ = 0 : для L выполняется условие стационарности
L (ˆx) = 0 ⇐⇒
∂L (ˆx)
∂xj
= 0, j = 1, . . . , n ⇐⇒
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
33. 2.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
2.2.1 Принцип Лагранжа
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Функция Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x).
Теорема
Пусть ˆx ∈ locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i = 0, 1, . . . , m. Тогда
∃ λ = 0 : для L выполняется условие стационарности
L (ˆx) = 0 ⇐⇒
∂L (ˆx)
∂xj
= 0, j = 1, . . . , n ⇐⇒
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
34. 2.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
2.2.1 Принцип Лагранжа
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Функция Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x).
Теорема
Пусть ˆx ∈ locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i = 0, 1, . . . , m. Тогда
∃ λ = 0 : для L выполняется условие стационарности
L (ˆx) = 0 ⇐⇒
∂L (ˆx)
∂xj
= 0, j = 1, . . . , n ⇐⇒
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
35. 2.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
2.2.1 Принцип Лагранжа
f0(x) → extr; fi(x) = 0, i = 1, . . . , m. (P)
Функция Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x).
Теорема
Пусть ˆx ∈ locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i = 0, 1, . . . , m. Тогда
∃ λ = 0 : для L выполняется условие стационарности
L (ˆx) = 0 ⇐⇒
∂L (ˆx)
∂xj
= 0, j = 1, . . . , n ⇐⇒
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
36. Теорема
ˆx ∈locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i =0, ..., m ⇒ ∃ λ=0 :
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
¡ Доказательство проведем от противного. Предположим,
что условие стационарности не выполняется. Это означает,
что векторы fi (ˆx) =
∂fi(ˆx)
∂x1
, . . . ,
∂fi(ˆx)
∂xn
, i = 0, 1, . . . , m,
линейно независимы. Поэтому ранг матрицы
A =
∂fi(ˆx)
∂xj i=0,...,m
j=1,...,n
=
∂f0(ˆx)
∂x1
· · ·
∂f0(ˆx)
∂xn
· · · · · · · · ·
∂fm(ˆx)
∂x1
· · ·
∂fm(ˆx)
∂xn
равен m + 1. Тогда по теореме о ранге матрицы существует
матрица M порядка (m + 1) × (m + 1) с определителем,
отличным от нуля.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
37. Теорема
ˆx ∈locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i =0, ..., m ⇒ ∃ λ=0 :
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
¡ Доказательство проведем от противного. Предположим,
что условие стационарности не выполняется. Это означает,
что векторы fi (ˆx) =
∂fi(ˆx)
∂x1
, . . . ,
∂fi(ˆx)
∂xn
, i = 0, 1, . . . , m,
линейно независимы. Поэтому ранг матрицы
A =
∂fi(ˆx)
∂xj i=0,...,m
j=1,...,n
=
∂f0(ˆx)
∂x1
· · ·
∂f0(ˆx)
∂xn
· · · · · · · · ·
∂fm(ˆx)
∂x1
· · ·
∂fm(ˆx)
∂xn
равен m + 1. Тогда по теореме о ранге матрицы существует
матрица M порядка (m + 1) × (m + 1) с определителем,
отличным от нуля.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
38. Теорема
ˆx ∈locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i =0, ..., m ⇒ ∃ λ=0 :
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
¡ Доказательство проведем от противного. Предположим,
что условие стационарности не выполняется. Это означает,
что векторы fi (ˆx) =
∂fi(ˆx)
∂x1
, . . . ,
∂fi(ˆx)
∂xn
, i = 0, 1, . . . , m,
линейно независимы. Поэтому ранг матрицы
A =
∂fi(ˆx)
∂xj i=0,...,m
j=1,...,n
=
∂f0(ˆx)
∂x1
· · ·
∂f0(ˆx)
∂xn
· · · · · · · · ·
∂fm(ˆx)
∂x1
· · ·
∂fm(ˆx)
∂xn
равен m + 1. Тогда по теореме о ранге матрицы существует
матрица M порядка (m + 1) × (m + 1) с определителем,
отличным от нуля.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
39. Теорема
ˆx ∈locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i =0, ..., m ⇒ ∃ λ=0 :
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
¡ Доказательство проведем от противного. Предположим,
что условие стационарности не выполняется. Это означает,
что векторы fi (ˆx) =
∂fi(ˆx)
∂x1
, . . . ,
∂fi(ˆx)
∂xn
, i = 0, 1, . . . , m,
линейно независимы. Поэтому ранг матрицы
A =
∂fi(ˆx)
∂xj i=0,...,m
j=1,...,n
=
∂f0(ˆx)
∂x1
· · ·
∂f0(ˆx)
∂xn
· · · · · · · · ·
∂fm(ˆx)
∂x1
· · ·
∂fm(ˆx)
∂xn
равен m + 1. Тогда по теореме о ранге матрицы существует
матрица M порядка (m + 1) × (m + 1) с определителем,
отличным от нуля.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
40. Теорема
ˆx ∈locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i =0, ..., m ⇒ ∃ λ=0 :
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
¡ Доказательство проведем от противного. Предположим,
что условие стационарности не выполняется. Это означает,
что векторы fi (ˆx) =
∂fi(ˆx)
∂x1
, . . . ,
∂fi(ˆx)
∂xn
, i = 0, 1, . . . , m,
линейно независимы. Поэтому ранг матрицы
A =
∂fi(ˆx)
∂xj i=0,...,m
j=1,...,n
=
∂f0(ˆx)
∂x1
· · ·
∂f0(ˆx)
∂xn
· · · · · · · · ·
∂fm(ˆx)
∂x1
· · ·
∂fm(ˆx)
∂xn
равен m + 1. Тогда по теореме о ранге матрицы существует
матрица M порядка (m + 1) × (m + 1) с определителем,
отличным от нуля.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
41. Теорема
ˆx ∈locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i =0, ..., m ⇒ ∃ λ=0 :
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
¡ Доказательство проведем от противного. Предположим,
что условие стационарности не выполняется. Это означает,
что векторы fi (ˆx) =
∂fi(ˆx)
∂x1
, . . . ,
∂fi(ˆx)
∂xn
, i = 0, 1, . . . , m,
линейно независимы. Поэтому ранг матрицы
A =
∂fi(ˆx)
∂xj i=0,...,m
j=1,...,n
=
∂f0(ˆx)
∂x1
· · ·
∂f0(ˆx)
∂xn
· · · · · · · · ·
∂fm(ˆx)
∂x1
· · ·
∂fm(ˆx)
∂xn
равен m + 1. Тогда по теореме о ранге матрицы существует
матрица M порядка (m + 1) × (m + 1) с определителем,
отличным от нуля.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
42. Теорема
ˆx ∈locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i =0, ..., m ⇒ ∃ λ=0 :
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Допустим для определенности, что этой матрицей является
матрица, составленная из первых столбцов матрицы A:
det
∂f0(ˆx)
∂x1
· · ·
∂f0(ˆx)
∂xm+1
· · · · · · · · ·
∂fm(ˆx)
∂x1
· · ·
∂fm(ˆx)
∂xm+1
= det M = 0.
Не ограничивая общности, считаем, что f0(ˆx) = 0.
Действительно, если f0(ˆx) = 0, то следует рассмотреть
функцию f0(x) = f0(x) − f0(ˆx) и для нее будет выполняться
условие f0(ˆx) = f0(ˆx) − f0(ˆx) = 0, а условия стационарности и
точки экстремума для функций f0 и f0 одинаковы.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
43. Теорема
ˆx ∈locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i =0, ..., m ⇒ ∃ λ=0 :
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Допустим для определенности, что этой матрицей является
матрица, составленная из первых столбцов матрицы A:
det
∂f0(ˆx)
∂x1
· · ·
∂f0(ˆx)
∂xm+1
· · · · · · · · ·
∂fm(ˆx)
∂x1
· · ·
∂fm(ˆx)
∂xm+1
= det M = 0.
Не ограничивая общности, считаем, что f0(ˆx) = 0.
Действительно, если f0(ˆx) = 0, то следует рассмотреть
функцию f0(x) = f0(x) − f0(ˆx) и для нее будет выполняться
условие f0(ˆx) = f0(ˆx) − f0(ˆx) = 0, а условия стационарности и
точки экстремума для функций f0 и f0 одинаковы.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
44. Теорема
ˆx ∈locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i =0, ..., m ⇒ ∃ λ=0 :
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Допустим для определенности, что этой матрицей является
матрица, составленная из первых столбцов матрицы A:
det
∂f0(ˆx)
∂x1
· · ·
∂f0(ˆx)
∂xm+1
· · · · · · · · ·
∂fm(ˆx)
∂x1
· · ·
∂fm(ˆx)
∂xm+1
= det M = 0.
Не ограничивая общности, считаем, что f0(ˆx) = 0.
Действительно, если f0(ˆx) = 0, то следует рассмотреть
функцию f0(x) = f0(x) − f0(ˆx) и для нее будет выполняться
условие f0(ˆx) = f0(ˆx) − f0(ˆx) = 0, а условия стационарности и
точки экстремума для функций f0 и f0 одинаковы.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
45. Теорема
ˆx ∈locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i =0, ..., m ⇒ ∃ λ=0 :
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Допустим для определенности, что этой матрицей является
матрица, составленная из первых столбцов матрицы A:
det
∂f0(ˆx)
∂x1
· · ·
∂f0(ˆx)
∂xm+1
· · · · · · · · ·
∂fm(ˆx)
∂x1
· · ·
∂fm(ˆx)
∂xm+1
= det M = 0.
Не ограничивая общности, считаем, что f0(ˆx) = 0.
Действительно, если f0(ˆx) = 0, то следует рассмотреть
функцию f0(x) = f0(x) − f0(ˆx) и для нее будет выполняться
условие f0(ˆx) = f0(ˆx) − f0(ˆx) = 0, а условия стационарности и
точки экстремума для функций f0 и f0 одинаковы.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
46. Теорема
ˆx ∈locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i =0, ..., m ⇒ ∃ λ=0 :
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Допустим для определенности, что этой матрицей является
матрица, составленная из первых столбцов матрицы A:
det
∂f0(ˆx)
∂x1
· · ·
∂f0(ˆx)
∂xm+1
· · · · · · · · ·
∂fm(ˆx)
∂x1
· · ·
∂fm(ˆx)
∂xm+1
= det M = 0.
Не ограничивая общности, считаем, что f0(ˆx) = 0.
Действительно, если f0(ˆx) = 0, то следует рассмотреть
функцию f0(x) = f0(x) − f0(ˆx) и для нее будет выполняться
условие f0(ˆx) = f0(ˆx) − f0(ˆx) = 0, а условия стационарности и
точки экстремума для функций f0 и f0 одинаковы.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
47. Теорема
ˆx ∈locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i =0, ..., m ⇒ ∃ λ=0 :
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Допустим для определенности, что этой матрицей является
матрица, составленная из первых столбцов матрицы A:
det
∂f0(ˆx)
∂x1
· · ·
∂f0(ˆx)
∂xm+1
· · · · · · · · ·
∂fm(ˆx)
∂x1
· · ·
∂fm(ˆx)
∂xm+1
= det M = 0.
Не ограничивая общности, считаем, что f0(ˆx) = 0.
Действительно, если f0(ˆx) = 0, то следует рассмотреть
функцию f0(x) = f0(x) − f0(ˆx) и для нее будет выполняться
условие f0(ˆx) = f0(ˆx) − f0(ˆx) = 0, а условия стационарности и
точки экстремума для функций f0 и f0 одинаковы.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
48. Теорема
ˆx ∈locextr P, fi ∈ C1(Uˆx ), i =0, ..., m ⇒ ∃ λ=0 :
m
i=0
λifi (ˆx) = 0.
Допустим для определенности, что этой матрицей является
матрица, составленная из первых столбцов матрицы A:
det
∂f0(ˆx)
∂x1
· · ·
∂f0(ˆx)
∂xm+1
· · · · · · · · ·
∂fm(ˆx)
∂x1
· · ·
∂fm(ˆx)
∂xm+1
= det M = 0.
Не ограничивая общности, считаем, что f0(ˆx) = 0.
Действительно, если f0(ˆx) = 0, то следует рассмотреть
функцию f0(x) = f0(x) − f0(ˆx) и для нее будет выполняться
условие f0(ˆx) = f0(ˆx) − f0(ˆx) = 0, а условия стационарности и
точки экстремума для функций f0 и f0 одинаковы.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
49. Для вектора ¯x = (x1, . . . , xm+1) положим
F(¯x)= F0(¯x), ..., Fm(¯x) = f0(¯x,ˆxm+2, ...,ˆxn), ..., fm(¯x,ˆxm+2,...,ˆxn).
Тогда функция F отображает некоторую окрестность точки
ˆ¯x = (ˆx1, . . . , ˆxm+1) ∈ Rm+1 в Rm+1, является (в силу условий
гладкости теоремы) непрерывно дифференцируемым
отображением в этой окрестности и F(ˆ¯x) = ˆy = 0 в силу
допустимости точки ˆx. Кроме того, якобиан отображения F
в точке ˆ¯x отличен от нуля, т. е.
det
∂Fi(ˆ¯x)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det
∂fi(ˆx)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det M = 0 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
50. Для вектора ¯x = (x1, . . . , xm+1) положим
F(¯x)= F0(¯x), ..., Fm(¯x) = f0(¯x,ˆxm+2, ...,ˆxn), ..., fm(¯x,ˆxm+2,...,ˆxn).
Тогда функция F отображает некоторую окрестность точки
ˆ¯x = (ˆx1, . . . , ˆxm+1) ∈ Rm+1 в Rm+1, является (в силу условий
гладкости теоремы) непрерывно дифференцируемым
отображением в этой окрестности и F(ˆ¯x) = ˆy = 0 в силу
допустимости точки ˆx. Кроме того, якобиан отображения F
в точке ˆ¯x отличен от нуля, т. е.
det
∂Fi(ˆ¯x)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det
∂fi(ˆx)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det M = 0 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
51. Для вектора ¯x = (x1, . . . , xm+1) положим
F(¯x)= F0(¯x), ..., Fm(¯x) = f0(¯x,ˆxm+2, ...,ˆxn), ..., fm(¯x,ˆxm+2,...,ˆxn).
Тогда функция F отображает некоторую окрестность точки
ˆ¯x = (ˆx1, . . . , ˆxm+1) ∈ Rm+1 в Rm+1, является (в силу условий
гладкости теоремы) непрерывно дифференцируемым
отображением в этой окрестности и F(ˆ¯x) = ˆy = 0 в силу
допустимости точки ˆx. Кроме того, якобиан отображения F
в точке ˆ¯x отличен от нуля, т. е.
det
∂Fi(ˆ¯x)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det
∂fi(ˆx)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det M = 0 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
52. Для вектора ¯x = (x1, . . . , xm+1) положим
F(¯x)= F0(¯x), ..., Fm(¯x) = f0(¯x,ˆxm+2, ...,ˆxn), ..., fm(¯x,ˆxm+2,...,ˆxn).
Тогда функция F отображает некоторую окрестность точки
ˆ¯x = (ˆx1, . . . , ˆxm+1) ∈ Rm+1 в Rm+1, является (в силу условий
гладкости теоремы) непрерывно дифференцируемым
отображением в этой окрестности и F(ˆ¯x) = ˆy = 0 в силу
допустимости точки ˆx. Кроме того, якобиан отображения F
в точке ˆ¯x отличен от нуля, т. е.
det
∂Fi(ˆ¯x)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det
∂fi(ˆx)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det M = 0 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
53. Для вектора ¯x = (x1, . . . , xm+1) положим
F(¯x)= F0(¯x), ..., Fm(¯x) = f0(¯x,ˆxm+2, ...,ˆxn), ..., fm(¯x,ˆxm+2,...,ˆxn).
Тогда функция F отображает некоторую окрестность точки
ˆ¯x = (ˆx1, . . . , ˆxm+1) ∈ Rm+1 в Rm+1, является (в силу условий
гладкости теоремы) непрерывно дифференцируемым
отображением в этой окрестности и F(ˆ¯x) = ˆy = 0 в силу
допустимости точки ˆx. Кроме того, якобиан отображения F
в точке ˆ¯x отличен от нуля, т. е.
det
∂Fi(ˆ¯x)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det
∂fi(ˆx)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det M = 0 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
54. Для вектора ¯x = (x1, . . . , xm+1) положим
F(¯x)= F0(¯x), ..., Fm(¯x) = f0(¯x,ˆxm+2, ...,ˆxn), ..., fm(¯x,ˆxm+2,...,ˆxn).
Тогда функция F отображает некоторую окрестность точки
ˆ¯x = (ˆx1, . . . , ˆxm+1) ∈ Rm+1 в Rm+1, является (в силу условий
гладкости теоремы) непрерывно дифференцируемым
отображением в этой окрестности и F(ˆ¯x) = ˆy = 0 в силу
допустимости точки ˆx. Кроме того, якобиан отображения F
в точке ˆ¯x отличен от нуля, т. е.
det
∂Fi(ˆ¯x)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det
∂fi(ˆx)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det M = 0 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
55. Для вектора ¯x = (x1, . . . , xm+1) положим
F(¯x)= F0(¯x), ..., Fm(¯x) = f0(¯x,ˆxm+2, ...,ˆxn), ..., fm(¯x,ˆxm+2,...,ˆxn).
Тогда функция F отображает некоторую окрестность точки
ˆ¯x = (ˆx1, . . . , ˆxm+1) ∈ Rm+1 в Rm+1, является (в силу условий
гладкости теоремы) непрерывно дифференцируемым
отображением в этой окрестности и F(ˆ¯x) = ˆy = 0 в силу
допустимости точки ˆx. Кроме того, якобиан отображения F
в точке ˆ¯x отличен от нуля, т. е.
det
∂Fi(ˆ¯x)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det
∂fi(ˆx)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det M = 0 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
56. Для вектора ¯x = (x1, . . . , xm+1) положим
F(¯x)= F0(¯x), ..., Fm(¯x) = f0(¯x,ˆxm+2, ...,ˆxn), ..., fm(¯x,ˆxm+2,...,ˆxn).
Тогда функция F отображает некоторую окрестность точки
ˆ¯x = (ˆx1, . . . , ˆxm+1) ∈ Rm+1 в Rm+1, является (в силу условий
гладкости теоремы) непрерывно дифференцируемым
отображением в этой окрестности и F(ˆ¯x) = ˆy = 0 в силу
допустимости точки ˆx. Кроме того, якобиан отображения F
в точке ˆ¯x отличен от нуля, т. е.
det
∂Fi(ˆ¯x)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det
∂fi(ˆx)
∂xj i=0,1,...,m
j=1,...,m+1
= det M = 0 .
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
57. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
58. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
59. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
60. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
61. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
62. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
63. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
64. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
65. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
66. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
67. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
68. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
69. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
70. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
71. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
72. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
73. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
74. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
75. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
76. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
77. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
78. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
79. По т. об обратной функции ∃ F−1 :Uˆy=0 →Uˆx : F−1(ˆy) = ˆ¯x и
|F−1(y) − F−1(ˆy)| ≤ K|y − ˆy| ⇔ |F−1(y) − ˆ¯x| ≤ K|y| (K > 0).
В частности, для достаточно малого по модулю ε определен
¯x(ε):= F−1(ε, 0, . . . , 0), для которого |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Тогда F(¯x(ε)) = (ε, 0, . . . , 0) ⇔ f0(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = ε,
fi(¯x(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn) = 0, i = 1, . . . , m. Таким образом, для
x(ε) = (x1(ε), . . . , xm+1(ε), ˆxm+2, . . . , ˆxn)
f0(x(ε)) = ε, fi(x(ε)) = 0, i = 1, . . . , m,
|x(ε) − ˆx| = |¯x(ε) − ˆ¯x| ≤ K|ε|.
Отсюда ˆx ∈ locextr P, ибо вблизи него ∃ x(ε) ∈ D(P), на
которых f0(x(ε)) = ε 0 = f0(ˆx), т. е. f0 принимает значения
как большие так и меньшие чем f0(ˆx).
Получили противоречие с тем, что ˆx ∈ locextr P.
Следовательно, наше предположение (противного) неверно и
тем самым теорема доказана. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление
