Систематизация элементарной математики (СЭМ ) как научный метод
передачи знаний.
Мансур Муллагаянович Галламов (г. Москва).
Потребность в систематизации элементарной математики назрела
давно. Это вызвано с одной стороны такими причинами как олимпиадная
математика, которая достигла профессионального уровня, и набирающая
обороты исследовательская работа школьников; с другой стороны –
обучение школьников общению с компьютером. Последнее дает
возможность применение пакетов программ к исследованию различных
вопросам, что естественно вызвало появление в школьном образовании
элективных курсов.
К элемен тарной ма тема тике относится та часть математики, которая
воспринимаемая без специальной подготовки с уровнем знаний школьной
математики.
СЭМ можно осуществлять с разных позиций, в частности, с научной
или образовательной. Систематизация на основании первой позиции
требует – осуществления её на тех же принципах, что и построение науки:
предмет, метод, логическая стройность – обоснованность фактов,
составляющую науку. Примером такой систематизации служат
энциклопедии элементарной математики (см.[1] и [2]). Систематизация на
основании второй позиции требует учета уровня обучаемой аудитории.
Примером является полный цикл учебной литературы по школьной
математике. Предлагаемая Вашему вниманию систематизация
осуществлена с научной точки зрения.
Цели СЭМа:
• Наиболее полное и целос тное представление элемен тарной ма тема тики и
её применения.
• Прак тическая реализуемос ть СЭМа в учебной процессе, научной,
исследовательской и методической работах.
СЭМ состоит из 11 разделов:
I. Арифметика,
II. Алгебра,
III. Анализ,
IV. Дискретная ма тема тика,
V. Теория вероя т нос тей и ма тема т ическая с т а т ис т ика ,
VI. Планиме трия , VII. С тереоме трия ,
VIII. Дискре тная геоме трия ,
IX. Комбина торная геоме трия ,

X. Топология ,
XI. Ма тема т ические рассу ждения .
Разделы в свою очередь состоят из подразделов, которые разделяются
на темы, а некоторые из тем — на подтемы — самые мелкие единицы
структурирования СЭМа. Систематизация каждого раздела завершается
подразделами об истории, исследовательских вопросах и применением
инновационных технологий в соответствующем разделе.
В подразделе по истории приблизительно понятно, какой материал
должен быть систематизирован, а вот последние два из перечисленных
подразделов требуют пояснений.
В подразделе по исследовательским вопросам систематизируются
материал исследовательского характера по соответствующему разделу для
школьников, которые имеются в открытом доступе и расхожий среди
специалистов. Вследствие чего систематизация данного подраздела требует
усилий многих специалистов, связанных с исследовательской работой в
области элементарной математики и поэтому он всегда будет находиться в
состоянии пополнения и развития.
Относительного подраздела о применении инновационных технологий
отметим следующее. В настоящее время разработано многочисленное
количество различных алгоритмов и компьютерных программ по
выполнению трудоемкой вычислительной работы и их систематизация
необходима по той причине, чтобы можно было более плодотворно
школьникам заниматься исследовательской работой. Последнее служит
одним из основных средств достижения цели — воспи т ание
исследова тельских качес тв , которая была путеводной звездой при
реализации СЭМа в системе дополнительного математического
образования школьников (ДМОШ ). Здесь кроме вопросов систематизации
алгоритмов и программ по типу задач рассматриваются вопросы, которые
непосредственно примыкают к информатике такие, например, как оценка
количества операций алгоритма, на основе которого составлена та или
иная программа, а также необходимого объема памяти для его реализации в
виде программы. Все эти вопросы дают возможность осознать природу
систематизации алгоритмов и компьютерных программ, применяемых при
вычислительной работе, а также и более эффективное их использование.
Из заявленных целей вытекают следующие следствия:
1. Независимос т ь и самодос та точнос т ь структурных элементов СЭМа
друг от друга.

2. Типы реализации СЭМа .
Для практических нужд на основании СЭМа есть возможность составлять
программы, путеводители и приложения по любому его структурному
элементу.
Краткое описание типов реализации СЭМа.
• Программы , как правило, составляются к разделам с указанием тем к
подразделам и самым необходимым списком литературы с комментариями,
а также указывается возраст, на который рассчитан соответствующий
материал. В некоторых случаях перечисляются вопросы с целью
оперативного погружения в данную тему.
• Пу теводи тели представляют собой такой тип реализации СЭМа,
посредством которой можно было бы ориентироваться в соответствующем
его структурном элементе, как по схеме в незнакомом месте. Путеводитель
включает в себя перечень вопросов с кратким описанием необходимого
теоретического материала, терминов, понятий, кратких исторических
комментариев и литературы, а также формулировкой исследовательских
задач по соответствующей теме.
• Прило жения готовятся в тех случаях, когда теоретического материала
недостаточно по соответствующему вопросу в литературе, или нет
источника, который содержал бы его в достаточно полном объёме, а также
рассматривался с нужной точки зрения. В некоторых путеводителях также
предлагаются исследовательские задачи.
Отбор тем, вопросов к ним и литературы основан на личном опыте и
научных интересах автора вследствие чего к каждому разделу даются
необходимые пояснения в виде преамбул, которые позволяют увидеть как
границы включаемого материала, так и позицию, с которой
рассматривается включаемый материал.
3. Ме тодология сис тема т изации .
Последовательность выбора разделов определяется как историческим
развитием самой математики, так и её логической стройностью.
4. Кри терии о тбора ма териала .
5. Кри терии о тбора ли тера туры .
6. Прак т ическая реализуемос т ь СЭМа в сис теме ДМО Ш .
СЭМ прежде всего рассчитана на постоянное изучение и применение
математики как в учебном процессе, так и в других формах деятельности —
см. http://gallamov.livejournal.com.

Систематизация составлялась с учетом достижения следующих целей
в ДМОШ :
• Целос тное восприя тие элемен тарной ма тема тики как обучаемыми, т ак и,
в особеннос ти, обучающими.
• Формирование ма тема тического мышления и культуры.
• Воспи тание творческих и исследовательских качес тв.
• Разви тие индивидуальных способностей.
• Обучение олимпиадной ма тема тике.
7. Разнообразие предс тавления ма тема т ического знания .
Реализация математических теорий посредством различных моделей .
8. Овладение инновационными т ехнологиями , ко торые применяю т ся в
исследова тельской рабо те .
Работа , связанная с данной систематизацией является весьма
трудоемкой и требует усилий многих специалистов , вследствие чего
систематизированы только пять первых разделов и некоторые подразделы
дискретной геометрии ; оставшаяся часть находится в разработке .
Наработанный материал в ыставлен на http://gallamov.livejournal.com и
частично опубликован в журнале « Математическое образование».
Ли тература.
1. Вебер Г. Энциклопедия элемен тарной ма тема тики.
Том 1. Одесса: Типография бланкоиздателя М . Щпенцера, ул.
Новосельского, 66, 1906. – С.626.
Том II. Книга I. Основания геометрии. Одесса: МАТЕЗИС, 1908. –
С.362. Книга II. Тригонометрия (Г. Вебер, В . Якобсталь). Книга III.
Анали тическая геометрия и с тереометрия (Г. Вебер). Одесса:
МАТЕЗИС, 1910. --- С.321 ( Книгоиздательство научных и популярно-
научных сочинений из области физико-математических наук).
2. Энциклопедия элемен тарной ма тема тики. Под ред. П.С.
Александров, А.И. Маркушевич и А. Я . Хинчин. Книга 1. Арифметика
(1951). Книги 2. Алгебра (1951). Книги 3. Функции и пределы (1952). Книга
4. Геометрия (1963). Книга 5. (1967). Москва – Ленинград: Гос. изд. ТТЛ.
http://math.ru/lib/cat.