1. Il ruolo dei problemi per
l’acquisizione del pensiero
proporzionale
Daniela Medici, M. Gabriella Rinaldi
18 aprile 2012

2. Abbiamo scelto due argomenti
• Il pensiero proporzionale
• Introduzione al linguaggio algebrico
Perché proprio questi?
Sono
- verticali
- fondamentali anche per altre discipline
- fanno parte del bagaglio di competenze
indispensabili nella vita
Ma…

3. Pensiero proporzionale

4. I - 17 . Nonna Pina l’anno scorso con 21 Kg di
prugne ha preparato 7 Kg di marmellata.
Quest’anno vuole fare 10 Kg di marmellata.
b. Quanti chili di prugne le serviranno?
Risposta: ………………………… Kg
b. Scrivi come hai fatto per trovare la risposta.
…………………………………………………
…………………………………………………
corretta 45,2% errata 40,8% nulla 13,9%

5. Linguaggio algebrico

6. III - 2010 - 22. Scrivi la formula che esprime il perimetro p
del triangolo isoscele in figura in funzione di a.
p = ………………………
Corretta 62,2% Errata 22,9 %

7. Le difficoltà emerse durano nel tempo …
come mostrano le risposte al
questionario fornite dalle matricole di
MATEMATICA, FISICA,
INFORMATICA (Siena 46 studenti)
E INFORMATICA (Parma 32 studenti)
7

8. Corretti
%
1a. - 2x = 0 98%
1b. (3 - 5x)(x+2) = 0 73%
2. Scegliere una delle soluzioni di una data 65%
equazione
3. Sapendo che a è soluzione della 36%
equazione:
2(x2- 3) + (x – 1)- x3 = 0
Puoi dire se l’espressione
2(a2- 3) + (a – 1)- a3
è positiva, negativa, nulla?
4. Risolvere un’equazione rispetto ad x e 84%
rispetto ad a
78 elaborati

9. Che cosa non ha funzionato
nell’apprendimento?

10. ALCUNE IPOTESI
• Scarsità di motivazione e di interesse
• Prevalenza dei meccanicismi
• Interferenza di misconcezioni pregresse

11. Scarsità di motivazione e di
interesse
Negli attuali Obiettivi generali del processo
formativo si legge:
“Scuola della motivazione e del significato”
motivazione e significato sono condizioni
fondamentali di qualsiasi apprendimento
Quale strumento migliore del problema
può dare motivazione alle conoscenze
che vogliamo proporre?

12. Dalle Indicazioni nazionali per i Piani di
studio personalizzati nella Scuola Primaria:
Problemi e attività che siano sempre
dotate di senso e quindi motivanti per chi
le svolge

13. Dalle Indicazioni nazionali per i Piani di studio
personalizzati nella Scuola Secondaria di 1° grado:
...i ragazzi sono (…) molto resistenti agli apprendimenti di cui
non comprendono motivazioni e significato, che vogliano
sottometterli e non responsabilizzarli.
La scuola secondaria di primo grado è impegnata a radicare
conoscenze (…) utilizzando le modalità più motivanti e ricche
di senso, poiché l’allievo possa esercitarle sia individualmente,
sia insieme agli altri, sia dinnanzi agli altri. Motivazione e
bisogno di significato sono del resto condizioni fondamentali
di qualsiasi apprendimento.

14. Prevalenza dei meccanicismi
Spesso il meccanicismo non viene
associato al significato
INOLTRE
Il consolidamento di formule
attraverso l’esercizio ripetuto
agisce sulla
memoria a breve termine
e contribuisce a far nascere un’ immagine
non corretta della matematica

15. Convinzioni sulla materia
• In matematica quello che conta è il risultato
• In matematica si può anche non capire: basta
imparare formule e procedure
• In matematica ci vuole tanta memoria
• In matematica basta fare tanti esercizi
• La matematica è dissociata dalla vita reale
Di solito nascono dall’attività didattica e dalla
immagine che l’insegnante stessa ha della materia

16. Convinzioni sulle proprie
capacità
• Non ho predisposizione per la matematica
• Non capisco la matematica
Di solito nascono da esperienze fallimentari
che l’allievo ha tentato di modificare, ma
con esito negativo

17. Si tratta spesso di convinzioni implicite in
cui il soggetto non è consapevole, e, per
questo agiscono in modo subdolo e sottile
(Zan 1998)
portano ansia, paura, insicurezza,
…

18. Alcune misconcezioni pregresse
g 1256 = kg
«Ma se c’è la marca più grande, perché il
numero è più piccolo?»

19. III- 9. Il prezzo p (in euro) di una padella dipende dal suo
diametro d (in cm)
1 2
secondo la seguente formula: p= d
15
Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o
falsa.
a. Il prezzo della padella è direttamente proporzionale al suo
diametro □ V 61,5% □ F 34,3 %
b. Il prezzo della padella aumenta all’aumentare del suo diametro
□ V 83,9 % □ F 12,6 %
c. Il rapporto fra il diametro della padella e il suo prezzo è 15
□ V 27,7 % □ F 67,6 %

20. Misconcezioni pregresse
• Utilizzare il segno “ = ” prevalentemente
come comando di esecuzione di operazione
fa da ostacolo all’interpretazione
dell’uguaglianza come relazione e di
conseguenza alla lettura da destra a sinistra,
senza riconoscere la proprietà simmetrica

21. Come costruire i concetti matematici?
i concetti matematici presentano due aspetti
• concetto – strumento
• concetto – oggetto
dal punto di vista temporale in classe si
sovverte la sequenza storica

22. Processo storico e Processo didattico
Proporre problemi o attività, che utilizzino il
concetto che si vuole “costruire” come
STRUMENTO necessario
• In seguito istituzionalizzare:
definire
enunciare le proprietà

23. Qualche proposta concreta
• Introdurre i concetti a partire da buoni
problemi, interessanti e coinvolgenti
• Proporre buoni problemi che mettano in gioco
argomenti non trattati nell’immediato
• Meno problemi, più discussione
• Abituarli ad argomentare, anche per iscritto e a
difendere le proprie posizioni con i compagni e
ad ascoltare le idee degli altri
• Non imporre soluzioni preconfezionate che li
abituino a seguire acriticamente regole e ricette

24. Pensiero proporzionale

25. Necessità di appropriarsi del pensiero
proporzionale
“Se tu ben discorri in tutte l’arti, tu troverai la
proportione di tutte esser madre et regina: et
senza lei niuna potesse esercitare”
Fra' Luca Bartolomeo de Pacioli
Summa de arithmetica, geometria, proportioni e
proportionalità
1494

26. Nella vita “reale” lo strumento
“proporzioni” è utile?
• Ricette
• Statistiche
• Medicinali
• Sconti
• Lettura di carte geografiche ...
• Frazioni
• Percentuali
• Probabilità
• Misure
• …

27. Qualche esempio
• Su mozzarelle di marche diverse:
sconto del 30% sconto del 50%
con quale spendo meno?
E’ importante conoscere il prezzo iniziale!
• Sconto del 30% e un ulteriore sconto del
20%
• E’ più o meno conveniente di uno sconto del
50%?
• Aumenta del 50%... Raddoppia?
E’ importante conoscere il prezzo iniziale?

28. Prova invalsi 2008
C5.
In ottobre un maglione costa 100 euro. Prima di Natale il suo
prezzo è aumentato del 20%. Nel mese di gennaio, con i saldi,
il costo del maglione si è ribassato del 10% rispetto al prezzo
natalizio. Quale affermazione è vera?
A. Il maglione in gennaio ha un costo pari a quello di ottobre.
B. Il maglione in gennaio ha un costo maggiore rispetto a quello di
ottobre dell’8%.
C. Il maglione in gennaio ha un costo inferiore rispetto a quello di
ottobre del 10%.
D. Il maglione da ottobre a gennaio ha subito un rincaro del 10%.
Risposte corrette 15% (B)

29. Prova invalsi 2008
C8.
Un padre e i suoi quattro figli si dividono la cifra vinta al
Totocalcio in questo modo: al padre spetta 1/3 dell’intera
somma e il rimanente viene diviso in parti uguali tra i figli.
Quale frazione della somma spetta a ognuno dei figli?
A. 1/2
B. 1/3
C. 1/4
D. 1/6
Risposte corrette 35% (D)

30. Prova invalsi 2008
C14. Da una lamiera a forma rettangolare viene eliminata la parte
non quadrettata come in figura.
Quale percentuale della superficie della lamiera è rimasta?
A. 60%
B. 70%
C. 75%
D. 80%
Risposte corrette 46% (C)
E’ forse andato meglio perché è più “insolito”?

31. Van Dooren et al.: ”Cognition and Instruction” (2005)
in Atti CERME 6 (2009)
Un gruppo di 5 musicisti suona un pezzo in 10
minuti.
Un altro gruppo di 35 musicisti suonerà lo stesso
pezzo domani.
Quanto impiegherà? Perché?
Risposte corrette:
12-13 anni 41%
15-16 anni 68%

32. Van Dooren et al.: ”Cognition and Instruction” (2005)
in Atti CERME 6 (2009)
Vittorio e Anna stanno correndo sulla pista di atletica.
Corrono con la stessa velocità, ma Anna parte dopo.
Quando Anna ha fatto 5 giri, Vittorio ne ha fatti 15.
Quando Anna ha fatto 30 giri, quanti giri avrà fatto
Vittorio?
Spiegate la vostra risposta.
Risposte corrette:
12-13 anni 57%
15-16 anni 46%

33. Effetto “Einstellung”
Se si chiede di risolvere numerosi problemi che
richiedono l’applicazione della stessa
procedura, (come accade di solito alla fine di
una sequenza di insegnamento),
e si propone poi un problema per il quale la
procedura stessa è inadeguata,
si potrà osservare il permanere di tale procedura,
applicata in modo acritico.

34. un quesito sul quale, di solito, sono
tutti d’accordo:
Aggiungendo 3 cm ad entrambe le misure
dei lati di un rettangolo, si ottiene un
rettangolo simile?

35. Cosa non ha funzionato?
Difficoltà legate all’acquisizione del pensiero
proporzionale persistenti anche in età
adulta
Difficoltà nel riconoscere una situazione di
proporzionalità

36. Perché il pensiero proporzionale è
“difficile”?
Si tratta di superare la “barriera” del
campo concettuale delle strutture additive
per entrare nel
campo concettuale delle strutture
moltiplicative

37. L’addizione
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3+5=8
Addizione, sottrazione, traslazioni, spostamenti
su una linea

38. La moltiplicazione
Viene presentata come addizione ripetuta, visualizzando
sulla linea dei numeri:
1_2_3_4_5_6_7_8_9_10_11_12_13_14_15
3 x 5 = 15
3 “salti” da 5 3 volte 5 5 preso 3 volte
… o 5 volte 3 ?

39. La moltiplicazione
3 x 5 = 15
5 “salti” da 3 o 3 “salti” da 5?
I due numeri non hanno lo stesso “statuto”
Salto dimensionale: la rappresentazione più
corretta della moltiplicazione è nel piano
° ° °
° ° ° ° °
° ° °
° ° ° ° °
° ° °
° ° ° ° °
° ° °
° ° °

40. La moltiplicazione
La rappresentazione più corretta della
moltiplicazione è nel piano: si “vede” facilmente
anche la proprietà commutativa:
° ° °
° ° ° ° ° ° ° °
° ° ° ° ° ° ° °
° ° ° ° ° ° ° °
° ° °

41. La moltiplicazione
e la proprietà distributiva della moltiplicazione:
° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
5x3 + 2x3 = (5 + 2 ) x 3 = 7 x 3

42. Proporzioni e
“pensiero proporzionale”
• Quando si insegnano le proporzioni?
• Quando si costruisce (o si può cominciare
a costruire) il pensiero proporzionale?
• Strumento matematico
• Oggetto matematico

43. • La proporzionalità nell’allievo è
percepita in modo intuitivo molto tempo
prima del suo studio in classe
(generalmente nella seconda classe di
scuola secondaria di primo grado) ed è
in rapporto stretto con la sua
progressione nel campo concettuale della
moltiplicazione.
f. Jaquet

44. Dai programmi della scuola media (1979)
L’argomento “proporzioni” non deve
essere appesantito imponendo come
nuove regole che sono implicite nelle
proprietà delle operazioni aritmetiche,
ma deve essere finalizzato alla scoperta
delle leggi di proporzionalità
(y = kx ; xy = k)

45. Una didattica innovativa:
il modello socio-costruttivista
M.Henry
Nuovo equilibrio
Incontro con una nuova situazione
Equilibrio precedente
Fase di disequilibrio

46. La “situazione problema”
La situazione-problema deve far apparire
le conoscenze che si vuole mobilizzare
come necessarie ed efficaci
lo strumento più efficace o il più adatto alla
risoluzione del problema.
In tal modo la conoscenza trova il suo
senso.

47. Insegnamento tradizionale:
il trasmissivismo M.Henry
INSEGNANTE: SORGENTE
trasmissione
testa decodifica testa
ALLIEVO: RECETTORE

48. problemi “buoni” in un’ottica sociocostruttivista
(in qualunque livello scolare)
• possono essere affrontati autonomamente
• suscitano comportamenti di ricerca: sono
“interessanti” e (di solito) il primo tentativo non
conduce immediatamente alla soluzione
• sono autovalidanti: gli allievi sono in grado di
controllare autonomamente la validità delle soluzioni
prodotte e di prendere coscienza della insufficienza
delle conoscenze in possesso
inoltre
• sono situazioni concrete nelle quali l’allievo è portato
ad “agire”

49. Il puzzle 6 cm 5 cm
4 cm
m
A B
5c
Il puzzle rappresentato
in figura va ingrandito:
8 cm
il segmento che misura
m
4 cm deve misurarne 6
5c
sul puzzle ingrandito.
7 cm
Ingrandite ciascuno
C
D
3 cm
dei quattro pezzi e
costruite così il nuovo
grande puzzle.
3 cm 8 cm

50. “ingrandire”
dal dizionario Baruk, Edizione italiana a cura di
Francesco Speranza e Lucia Grugnetti, pag. 276,
alla voce
INGRANDIMENTO: s.m. XVII sec., da “grande”
a. I (Italiano) Riproduzione di un oggetto in dimensioni
maggiori conservando i rapporti. La parola è
particolarmente usata in fotografia.
b. M (Matematica) La parola ingrandimento è entrata di
recente, con rimpicciolimento o riduzione, nel
vocabolario pedagogico-matematico.
Cfr. riduzione e ingrandimento (alle pagine 520-522).

51. Il puzzle
Analisi delle difficoltà
Si tratta di superare la concezione
“additiva”, riconoscendo un problema di
proporzionalità.
La strategia del ritaglio permette un
controllo immediato della soluzione.

52. Il puzzle “ingrandito”

53. Federica ha voluto ingrandire il disegno :
A 2 F
6
8
2 D
E
e ha ottenuto questo: ? B
2
A' F' 4 C
9
?
? D'
E'
?
B' ? C'
Senza misurare, trova le dimensioni mancanti della
seconda figura

54. Mauro ha voluto imitare Federica e ha fatto questi due
disegni:
6
2
4
6 2
2
4
Senza misurare, trova le dimensioni mancanti della seconda
figura
Utilizzati sia come introduzione che come “diagnosi” alle superiori