topog4qgis technical specifications

1. TOPOG4QGIS: DOCUMENTAZIONE TECNICA
GIULIANO CURTI
1.
2.
2.1.
Overview
Trattamento dei dati GPS
Trasformazione dal riferimento geocentrico a quello topocentrico.
3.
Collimazione delle stazioni (collimazione a 2 punti)
L'operazione nale della procedura, consistente nella collimazione del rilievo
con i punti duciali uciali, forniti dall'Agenzia del Territorio, consiste in una
trasformazione ane mediante una matrice di roto-scala-traslazione; questa trasformazione, ancorchè necessaria per il controllo nale del rilievo, modica pesantemente sia gli angoli che le distanze rilevate; la conservazione in particolare delle
distanze rilevate costituisce un importante strumento di indagine sulla qualità del
rilievo pertanto l'applicativo interpone, prima della collimazione nale, una operazione di traslazione del baricentro dei PF rilevati nel baricentro dei PF uciali ed
un allineamento con il primo duciale1; questi vertici sono conservati con il nome
di misurati, successivamente suddivisi in misurati veri e propri e ribattuti contandosi fra i primi le prime occorrenze dei vertici nel rilievo e fra i secondi tutte le
occorrenze successive, appunto le ribattiture.
4.
Collimazione ai Punti Fiduciali (collimazione a 3 o più punti)
La collimazione nale, come già accennato in precedenza, avviene mediante
trasformazione del rilievo nello spazio dei duciali; l'operazione, valida solo in presenza di 3 o più PF rilevati, avviene con il metodo L(east) S(quare) M(ethod)
di cui diamo nel seguito traccia, rinviando ad una seppur stringata descrizione in
appendice.  


x
x
z
z
Dette X =  y  e X =  y  le coordinate rispettivamente di un punto duciale rilevato e uciale, il problema diventa quello di trovare la matrice M tale che
M X = X ; estendendo a 3 punti  sviluppando abbiamo M X1 X2 X3 =
e


a
 e
i
b
f
l
c
g
m
 x
d  1
y
h  1
 z1
n
1
x2
y2
z2
1
x3
y3 
=
z3 
1
sando alla trasposta abbiamo M
X1

X1
X2
X2
X3
Date : 2013-11-04.
X3
T
=
x1
=  y1
z1
X1
X2
x2
y2
z2

x3
y 3 ; pasz3
X3
T
MT =
1Si poteva ovviamente optare per la traslazione nel primo PF ed allineamento sul secondo, ma
si è preferito usare una trasformazione più neutra rispetto ai PF.
1

2. TOPOG4QGIS: DOCUMENTAZIONE TECNICA
2


 T 


 a e i
T
X1
X1
x1 y1 z1 1 

T
 X2  M T =  x2 y2 z2 1   b f l  = X 1 X 2 X 3 T =  X T  =
 2 
 c g m 
T
T
x3 y3 z3 1
X3
X3
d h n


x1 y 1 z 1
 x2 y 2 z 2 ; introducendo le equazioni normali abbiamo X1 X2 X3
X1 X2 X3
x3 y 3 z 3 



 a e i
x1 x2 x3 
 y1 y2 y3  x1 y1 z1 1  b f l 
T




=
X1 X2 X3
 z1 z2 z3  x2 y2 z2 1  c g m  = X1 X2 X3
x3 y3 z3 1
1
1 
d h n
 1

x1 x2 x3 
 y1 y2 y3  x1 y 1 z 1



 z1 z2 z3  x2 y 2 z 2 riassumibile in CA = B dopo aver sostituito C =
x3 y 3 z 3
1
1
1






x1 x2 x3 
x1 x2 x3 
 y1 y2 y3  x1 y 1 z 1
 y1 y2 y3  x1 y1 z1 1






 z1 z2 z3  x2 y2 z2 1 e B =  z1 z2 z3  x2 y 2 z 2 , perx3 y3 z3 1
x3 y 3 z 3
1
1
1
1
1
1
tanto perveniamo alla soluzione A = C −1 B .
Nel caso di operazioni nello spazio bidimensionale XY le 




 matrici si riducono a

x1 x2 x3
x1 y1 1
x1 x2 x3
x1 y 1
a b c
C =  y1 y2 y3   x2 y2 1 , B =  y1 y2 y3   x2 y 2  e A =
.
e f g
1
1
1
x3 y3 1
1
1
1
x3 y 3

5.
T
MT =
Appendice
5.1. L(east) S(quare) M(ethod). Il metodo dei minimi quadrati è dovuto al
genio di Carl Friedrich Gauss che lo usò per determinare l'esatta posizione di un
pianeta o asteroide appena scoperto (1800) da Giuseppe Piazzi dell'Osservatorio
di Palermo2 e poco dopo scomparso (v. Carl B. Boyer, Storia della matematica,
Mondadori 1990, pag. 585 e Eric T. Bell, I grandi matematici, Rcs Libri 2010, pag.
304).
Il metodo esprime la ricerca di un valore incognito mediante l'approssimazione
con equazioni lineari imponendo che il valore approssimante presenti il minor errore quadratico rispetto al valore cercato. Esprimendo con più chiarezza in formule, abbiamo l'equazione lineare αx1 + βx2 + . . . + ωxn = x nella quale risultano
incogniti i parametri α, β, . . . , ω , mentre i valori x1 , x2 , . . . , xn , x possono essere ricavati da prove e saggi; la 
situazione dopo un certo numero m di prove risulterà






αx1 + βx2 + . . . + ωxn
x1
 αy1 + βy2 + . . . + ωyn 
 y1

 = 


 ...
...
αw1 + βw2 + . . . + ωwn
w1
x
x2 . . . x n
α
 y 
y2 . . . yn   β 


 = 
 . . . . La
... ... ...  ... 
w2 . . . wn
ω
w
condizione dei minimi quadrati impone di minimizzare l'espressione (αx1 + βx2 + . . . + ωxn − x)2 .
Una soluzione al problema riportata in vari testi di matematica è quella basata
sulla ricerca dei punti di minimo e massimo locale (nel caso specico minimo) che
si ha nel punto di derivata prima nulla delle varie equazioni quadratiche.
2É triste pensare che nel 1800 Palermo partecipava alla vita scientica mondiale ed ora.....

3. TOPOG4QGIS: DOCUMENTAZIONE TECNICA
3
Una soluzione più sintetica ed elegante è quella oerta da I.M. Gel'fand in LecDover Publications 1989, pag. 28, quale esempio
del problema Perpendicular from a point to a subspace (Ÿ2 pag. 26) in uno spazio


tures on Linear Algebra,
x
 y 

Euclideo, nel quale si presenta il vettore X = 
 . . .  come obiettivo, il sottospazio





 w 
xn 
x2
x1








 y1 

 , X2 =  y2  , . . . , Xn =  yn 
quello generato dai vettori X1 = 
 . . . 
 ... 
... 





w
w2
w1
 n
x1
 y1 

supposti linermente indipendenti e il vettore approssimante A = α 
 ...  +
w1






α
xn
x2




 y2 

 + . . . + ω  yn  = X1 X2 . . . Xn  β  nel sottospazio conβ
 ... 
 ... 

...
ω
wn
w2
siderato; la condizione di perpendicolarità, equivalente alla condizione di minimo
quadrato precedente, diventa quindi X − A ⊥ X1 X2 . . . Xn → X1 X2 . . . Xn

0→
X1
X2
...
T
Xn
(A) =


X1
 X2 


 ... 
Xn
X1

α
 β 


 ...  =
ω
X2
...
Xn
T
X1
X2
...
Xn

X1
X2
...
Xn
la forma presentata sopra3.
X1
X2
...
Xn
X che diventa
3É probabile che la forma con cui ho espresso l'argomento non sia irreprensibile e scevra
di errori; insieme alla preghiera di attingere alla fonte uciale indicata, formulo l'augurio che
imprecisioni ed errori mi siano segnalati per una loro pronta correzione.
α
 β 


 ...  =
ω
T
X −A