Probabilidade: Hidrologia

1. Hidrologia
Professor: Dr. Lázaro Quintas
1. Probabilidade na hidrologia
2. Introdução e conceitos basicos de
probabilidades
3. Estatistica usado na hidrologia

2. CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE E
ESTATÍSTICA USADOS EM HIDROLOGIA
• 1. INTRODUÇÃO
• 1. 1. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE
• 1.2. ESTATÍSTICA USADOS EM
HIDROLOGIA

3. INTRODUÇÃO
• A incerteza sobre a atmosfera, ou sobre
qualquer sistema físico que descreva a
natureza, é, em geral, bastante grande.
• Por exemplo;
• Não podemos estar completamente certos de
que se choverá amanhã ou se a temperatura
média no próximo mês será maior ou menor que
a média no mês anterior.
•

4. INTRODUÇÃO (Cont.)
• Entretanto, é possível que você tenha
mais certeza sobre essa última questão
do que sobre a anterior.
• Assim, não é suficiente ou mesmo não é
formativo, dizer que um evento particular
é incerto.

5. INTRODUÇÃO (Cont.)
• Neste caso temos que estabelecer um
GRAU DE INCERTEZA que pode ser usado
em descrições qualitativas como:
• a) provável
• b) Não provável
• c) possível ou
• d) tem uma chance de;

6. INTRODUÇÃO (Cont.)
• Além disso, também não está claro se;
“chuva provável”, “pode chover”,
“probabilidade de chuva” indicam menos
incerteza sobre a ocorrência da chuva:

7. INTRODUÇÃO (Cont.)
• Vamos analisar alguns exemplos
comummente utilizados em
meteorologia:
• 1) Previsão de tempo para Angola,
fornecida pelos serviços de meteorologia
INAMET:

8. INTRODUÇÃO (Cont.)
• Uma frente fria está sobre o Sul de Angola
e espalha muita instabilidade sobre a
Região.
• As imagens de satélite mostram muitas
nuvens carregadas do planalto central e
para o litoral sul.

9. INTRODUÇÃO (Cont.)
• Ao longo do dia as nuvens de chuva
chegam a Malange.
• Na maior parte do Sudeste e do Centro
-Oeste o ar quente e seco ainda
predomina e dificulta a formação de
instabilidade. Pode chover um pouco hoje
no Planalto, no Litoral e no Leste do País.

10. INTRODUÇÃO (Cont.)
• 2) Previsão para Luanda hoje fornecido
pela INAMET;
• Previsão para dia 15 de Abril;
• Segunda-feira de sol e nebulosidade
variada, sem previsão de chuva;
• Temperatura media: Min-13º/ Max-28º
• Probabilidade de chuva: 00%
• Volume estimado: 00 mm

11. INTRODUÇÃO (Cont.)
• 3) Previsão de tempo para o Norte de Angola aos 15
de Abril, fornecida pelo Inamet:
• Segunda, 15 de Abril 2008
•
-Ceú encoberto e nublado com pancadas de
chuva e trovoadas, possibilidade de chuva
forte em áreas localizadas.
-Temperatura: ligeiro declínio max.- 28° /
• min.-12°
-Vento com intensidade: fracos /moderados
c/rajadas;

12. INTRODUÇÃO (Cont.)
• Em geral, é preferível expressar uma
incerteza quantitativamente, e isto é
feito usando números chamados
PROBABILIDADES.
• Elementos de probabilidade:
• 1. Eventos
• 2. Espaço amostral:

13. INTRODUÇÃO (Cont.)
• 1. Evento
• Um evento - é um conjunto, classe ou
grupo de possíveis resultados incertos.
• Eventos; podem ser de dois tipos.
• COMPOSTO; que pode ser decomposto
em 2 ou mais sub - eventos,
• ELEMENTAR; que não pode ser
decomposto.

14. INTRODUÇÃO (Cont.)
• Por exemplo:
• - “precipitação ocorrerá amanhã”,
poderia ser um evento composto;
• -“precipitação não ocorrerá amanhã”.,
poderia ser um evento simples ou
elementar;
• Contudo, elas distinguem-se pelas formas
de precipitação.

15. INTRODUÇÃO (Cont.)
• “Precipitação ocorrerá” poderia ser
considerado como um evento composto,
possivelmente compreendendo 3 eventos
elementares:
• chuva convectiva (chuva forte a
moderada),
• chuva estratiforme (ou “chuviscos”),
• chuva convectiva e chuva estratiforme”.

16. INTRODUÇÃO (Cont.)
• precipitação não ocorrerá amanhã, não
ocorre nenhum evento;
• 2. Espaço amostral:
• O espaço amostral é o conjunto de todos
os possíveis eventos.
• Assim, o espaço amostral representa o
universo de todos os possíveis eventos.

17. INTRODUÇÃO (Cont.)
• De maneira análoga, pode ser definido
como o maior evento composto
possível.
• As relações entre os eventos em um
espaço amostral podem ser
representadas geometricamente, por um
diagrama que se chama; Diagrama de
Venn.

18. INTRODUÇÃO (Cont.) Fig.Diagram de
Venn
Sem chuva
Chuva
convectiva
Chuva
estratiforme

19. INTRODUÇÃO (Cont.)
• Tal colecção de todos os possíveis
eventos; é chamado de “MUTUALMENTE
EXCLUSIVO E COLETIVAMENTE
EXAUSTIVO – MECE”.
• Mutualmente Exclusivo significa que não
mais do que um dos eventos pode ocorrer
ou não correrá nenhum evento.
• Coletivamente Exaustivo significa que
mais de um evento irá ocorrer.

20. INTRODUÇÃO (Cont.)
• Axiomas da Probabilidade:
• A parte mais divertida da teoria da
probabilidade;
• é, após determinar o espaço amostral dos
eventos, saber associar probabilidades a cada
um deles.
• As regras para se fazê-lo devem sempre fluir
naturalmente partir dos 3 axiomas da
probabilidade (que sempre teremos que manter
em mente). São eles:

21. INTRODUÇÃO (Cont.)
• 1. A probabilidade de qualquer evento é
sempre NÃO NEGATIVA
• 2. A probabilidade do evento composto S
é sempre igual a 1;
• 3. A probabilidade de um ou outro dos
dois eventos mutualmente exclusivos
ocorrer- é igual à soma de suas duas
probabilidades individuais.

22. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• Variável aleatória: não possui uma
explicação determinista da sua
ocorrência:
• Exemplo: a precipitação de um local; qual
o número que sairá numa roleta (jogo de azar)
• População; é o universo de possibilidades
de ocorrência de uma variável aleatória.
• Exemplo: num dado são seis
possibilidades, sendo que cada número
tem igual chance de ocorrer.

23. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• A população estatística : é o total de
ocorrência e as estatísticas da população
mostram que cada número tem igual
probabilidade.
• Amostra: é a quantidade de resultados
que nós permitem estimar as estatísticas
da população.

24. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• Ex. após jogar o dado 1000 vezes é
possível determinar qual a probabilidade
de ocorrer cada um dos números e
certamente será 1/6, mas se tivesse
jogado o dado apenas 10 vezes,
provavelmente a nossa estimativa da
probabilidade seria errada porque minha
amostra é pequena.

25. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• Estatísticas: uma variável aleatória tem
várias estatísticas que a caracterizam
como: média, desvio padrão,
assimetria, etc.
• A média pode ser aritmética, geométrica,
etc. A média aritmética que simplesmente
é a média dos valores da amostra;

26. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• O desvio padrão : retrata a distribuição
dos valores da variável com relação a
média. Quanto mais o valor, maior a
dispersão com relação a média;
• A assimetria : retrata como os dados se
distribuem com relação a média. Uma
assimetria positiva mostra que a maioria
da frequência do valores são maiores que
a média.

27. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• Risco: é a possibilidade de ocorrência de
valores da variável aleatória fora do
planejado. Por ex. qual o risco de
ocorrência de um número do dado maior
que 4?

28. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
Incerteza : é o erro da diferença entre as
estatísticas da amostra e da população na
estimativa do risco. Para o exemplo
anterior se tivéssemos estimado (a partir
de amostra pequena) que a
probabilidade do número cinco e do
número seis eram respectivamente: 60%
e 65%. O risco estimado seria de 80% e a
incerteza = 0,2/6.

29. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• Em hidrologia a incerteza pode estar na
medida das vazões, no processamento
dos dados, no tamanho da amostra e na
metodologia.

30. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• Variável estacionária: uma variável é
estacionária quando as suas estatísticas
não variam com o tempo e não
estacionária no caso contrário.
• Ex. a mudança da média do escoamento
de uma bacia urbana devido a
impermeabilização; aumento ou
diminuição da vazão de estiagem depois
da construção de uma barragem.

31. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• Hidrologia estocástica: trata da estatística
temporal.
• Conceitos de probabilidade para avaliar
a variabilidade temporal de uma variável
aletória.
• Probabilidade e tempo de retorno: A
probabilidade é a chance de ocorrência
de uma variável. Esta probabilidade
pode ser acumulativa ou individual.

32. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• Exemplo: A probabilidade de sair o
número 3 é de 1/6 a chance de que
ocorra um número maior que 3 é de 3/6
ou ½.
• O tempo de retorno (utilizado em
hidrologia) retrata a frequência sequencial
de ocorrência de valores.
•

33. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• Exemplo: o número 3, em média, ocorre a
cada seis jogadas.
• Portanto TR = 1/P
• Em hidrologia é utilizado para caracterizar
a frequência de repetição de um evento.

34. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• Exemplo: Uma inundação que tem a
chance de ser maior ou igual num ano
qualquer de 0,05 ou 5%, tem um tempo
de retorno de 1/0,05 = 20 anos.
• Significa que, em média, a inundação
ocorrerá a cada 20 anos.

35. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• Condições
• Valores independentes: os valores da
amostra não devem apresentar correlação
entre si.
• Exemplo: Numa amostra de vazões
máximas anuais, o valor de cada ano não
devem ter correlação com o do ano
seguinte. Por isto que os valores são
escolhidos dentro do ano hidrológico.

36. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• Variável estacionária: as estatísticas da
série não podem se alterar ao longo do
tempo.
• Amostra representativa: as estatísticas
das amostras devem ser representativas
da população. O número de anos de uma
amostra de valores é importante, mas não
significa tudo.

37. CONCEITOS BÁSICOS DE
PROBABILIDADE (Cont.)
• Exemplo: Níveis de Cheias em Luanda
• Cheias máximas em Luanda
• Ano-------Nível
• 1852 – 16,52 m
• 1880 – 17,10 m
• 1911 – 16,90 m
• 1983 - 15,34 m
• 1984 – 15,50 m
• Entre 1911 e 1983 não houve nenhuma inundação com
cota maior que 12,90 m, período pouco representativo

38. Estatística usados em hidrologia
• Considera-se a experiência simples,
referida no ponto anterior que, consiste no
lançamento de um dado perfeito. O
conjunto de resultados dessa experiência,
designado por população ou universo,
• Ώ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

39. Estatística usados em hidrologia (Cont.)
• Denomina-se experiência aleatória uma
experiência em que em que:
• - é conhecido o conjunto Ώ de todos os
resultados possíveis;
• - não é possível conhecer, antes da
realização da experiência o resultado
que ocorrerá.

40. Estatística usados em hidrologia (Cont.)
• 1)Função de probabilidade e função de
distribuição
• -Suponha-se que se dispõe de um grande
número de observações de um dado fenômeno:
• precipitação anual numa bacia hidrográfica,
por exemplo.
• - Precipitação diária
• -Precipitação semanal
• -e precipitação mensal

41. Estatística usados em hidrologia (Cont.)
• Se os seus valores forem classificados
por ordem crescente, a frequência de não
ser ultrapassado o acontecimento de
ordem n, será n/N.
• A função assim definida chama-se função
de frequência ou função de distribuição
empírica e será designada por F(x).
•

42. Estatística usados em hidrologia (Cont.)
• F(x) = P (X ≤ x)
• Se os valores forem classificados por
ordem decrescentes, defini-se a
frequência de ser igualada ou
ultrapassado o acontecimento de ordem
n, como:
• G (x) = P (X ≥ x)

43. Função de probabilidade e função
de distribuição (Cont.)
• A função G (x) é também conhecida por
função de duração. No caso de uma
variável aleatória discreta que, só pode
tomar valores com probabilidade não nula
do conjunto {X1, X2,....}, define-se massa
de probabilidade como sendo a função.
•

44. Estatística usados em hidrologia (Cont.)
• (F)-função de distribuição
• (P)- função de probabilidade
• P (x) = 0 se x ¢ {x1, x2, ....}
• P (x1) = p (x = x1) = p1
• P (x2) = p (x = x2) = p2
• etc.

45. Estatística usados em hidrologia (Cont.)
• Neste caso defini-se função de
distribuição como:
• F (x) = Σ p (xi) onde xi ≥ x
• E função de duração como:
• G (x) = p (xi)
• No caso de uma variável aleatória
contínua, defini-se densidade de
probabilidade como sendo a função.
• f (x) = lim ð F(x)/ ðx = d F (x)/dx

46. Estatística usados em hidrologia (Cont.)
• 2) Regressão
• Regressão: é a equação que relaciona as
variáveis y = F(x);
• a) Combinação de regressões
• Número de regressões possíveis 2p
• p = número de variáveis.
• Exemplo para 2 variáveis.
•

47. Estatística usados em hidrologia (Cont.)
• y = b; y = a1x1 +b; y = a2x2 +by= a1x1 +
a2x2 + b
• b) Função básica de regressão
• Y = f(x1, x2, ....xn; a1,a2,...an)+ e
• Onde y é variável dependente, f é a
função de regressão, xi são as variáveis
independentes, ai são os parâmetros; e é
o erro.

48. Estatística usados em hidrologia (Cont.)
• Correlação; é qualidade do ajuste da
função a um conjunto de dados; ajuste de
uma equação a um conjunto de dados é
diferente da regressão estatística. O
ajuste não tem compromisso estatístico,
mas a representatividade dos pontos.

49. Estatística usados em hidrologia (Cont.)
• Exemplo: o ajuste de uma recta a dois
pontos garante que os pontos estarão na
função e o grau de liberdade = n-p+1
onde (n=número de pontos; p=parâmetros
da equação) é igual a zero.

50. Estatística usados em hidrologia (Cont.)
• A correlação pode ser positiva ou
negativa:
• Correlação R (-); Correlação positiva R
(+)
• A correlação indica a qualidade do ajuste
e o coeficiente de correlação é seu
indicador;

51. FIM
• OBRIGADO