Per studenti ed insegnanti scuole secondarie

1. LA PARABOLA.
.DEFINIZIONE
.EQUAZIONE
.INTERSEZIONI CON UNA RETTA
.PROBLEMI

2. DEFINIZIONE:
La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto
dato e da una retta data. Il punto si chiama fuoco, la retta
direttrice.
I DATI DELLA PARABOLA SONO : il punto F che costituisce il
fuoco e la retta d che costituisce la direttrice;
Se il punto e la retta sono dati, allora si conoscono: la distanza tra
F e d, indicata con 2c. 1clic
F•
2c
d

3. introduciamo un opportuno sistema di assi cartesiani ortogonali ……
y 1 clic
asse y la retta per F e
perpendicolare a d (orientato
in modo che l’intersezione con
d preceda il fuoco F); 1clic
F•
O
x
asse x l’asse del segmento
che rappresenta la
d
distanza di F dalla
direttrice d. 1clic

4. LA SCELTA DEGLI ASSI CARTESIANI DETERMINA :
LE COORDINATE DEL FUOCO E L’EQUAZIONE DELLA DIRETTRICE.
il fuoco ha coordinate:
F(0;c) y P(x;y)
e la direttrice ha equazione:
y=–c.
F•
c
O
Per ottenere l’ equazione cartesiana
x
del luogo considero un generico punto -c
P(x;y) e impongo che soddisfi la
condizione di equidistanza dal fuoco e d y=–c
dalla retta direttrice. 1CLIC

5. 1 CLIC
Preso un punto P(x;y)
y
calcolo la distanza PF
(1clic) P(x;y)
______________
PF =  (x – 0)2 + (y – c)2 F(0;c)
O
1 CLIC
x
Calcolo la distanza dalla
y=-c
direttrice: PH (1clic)
d H
PH =y- (-c)

6. Eguaglio le due distanze:
____________
 (x – 0)2 + (y – c )2 =y –(-c)
Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:
x2 + (y – c)2 = | y + c|2
e, sviluppando i calcoli, si ha l'equazione:
1
y = ·x2
4c

7. Equazione della parabola
• Siccome 2c è dato anche 1/4c è dato,
poniamolo uguale ad a;
allora l’equazione
1
y = ·x2
4c
diventa
y = a·x2

8. Viceversa
1clic
Se si tiene conto della sostituzione fatta, dall’equazione della
parabola nella forma:
y = a·x2,
confrontata con l’equazione ottenuta dalla def.: y = [1/(4c)] x2, si ha:
a = [1/(4c)] , quindi: c = 1/(4a)
si ottengono le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice,
espresse in funzione di a:
F(0; 1/(4a)) y = - 1/(4a)

9. Proprietà algebriche
• L’equazione della parabola,
y = a·x2,
che abbiamo ottenuta, presenta le
seguenti caratteristiche algebriche:
1. è di primo grado in y.
2. è di secondo grado in x;

10. PROPRIETA’ GRAFICHE (1/2)
Quando nell’equazione y = a·x2 alla variabile x si assegnano
tutti i valori reali positivi e negativi, i corrispondenti valori della y
risultano, con a > 0, non negativi (y > 0).
Quindi il grafico della parabola appartiene al 1 e 2 quadrante.

11. PROPRIETA’ GRAFICHE (2/2)
se una retta, parallela
all’asse delle ascisse,
incontra il grafico,
allora ciò avviene in
due punti simmetrici rispetto
all’asse y:
i grafici presentano simmetria
assiale
avente come asse di simmetria
l’asse y.

12. Esempi di grafici di parabole y = ax2
Caso a > 0 (1clic) a = 3/2 a=2 a=1 a=1/2
a =1/2;
a = 1;
a = 3/2;
a = 2.
L’origine O è detta vertice della
parabola
x

13. Prima generalizzazione dell’equazione
Possiamo generalizzare l’equazione che si è ottenuta,
y = a·x2
Se il parametro a è negativo, le ordinate dei punti della
parabola sono sempre non positivi. Il grafico sta nel 3 e 4
quadrante: y < 0

14. Grafici di parabole con a < 0
1clic
a =-1/2
a = -1
a =-3/2
a = -2.
a =-3/2
L’origine O è detta
vertice della parabola
a=-2 a=-1 a=-1/2
Ritorno all’indice

15. Equazione generale
In un piano cartesiano Oxy consideriamo una parabola il cui grafico
abbia il vertice in un punto V(x0;y0), diverso dall’origine.
y
Y
Eseguiamo la traslazione che porta
l’origine O’ nel vertice della parabola.
Le equazioni della traslazione sono:
x = X + x0
y = Y + y0
(1clic)
rispetto a tale sistema di riferimento,
la parabola risulta avere equazione: O’= V (x0;y0) X
O
Y = a X2.
x

16. Per ottenere l’equazione della parabola riferita al sistema Oxy
occorre applicare le equazioni della traslazione inversa
X = x - x0
t-1 :
Y = y - y0
L’equazione diventa:
y - y0 = a·(x - x0)2
Che è l’equazione di una parabola con asse di simmetria
parallelo all’asse y e con il vertice in V(x0;y0) .
Se si sviluppano i calcoli, si ottiene:
y = ax2 –2ax0x + ax02 + y0 ;
Ponendo -(2ax0) = b e ax02 +y0= c
Si ha :
y = ax2 + bx + c

17. In conclusione si è dimostrato che una qualsiasi parabola, con asse di
simmetria parallelo all’asse y , ha equazione del tipo:
y = ax2 + bx + c
Le informazioni relative:
1. alle coordinate del Vertice,
2. all’equazione dell’asse di simmetria ,
3. alle coordinate del Fuoco e
4. all’equazione della Direttrice
risultano contenute nei tre coefficienti:
a, b, c.

18. Le coordinate del vertice:
Tenendo presente che x0 ed y0 sono le coordinate del vertice, si conclude:
(1clic)
V ( _ b ; _ b2- 4ac )
2a 4a
2. Equazione dell’asse di simmetria
Se si tiene conto che l’asse di simmetria della parabola
y = ax2 coincide con l’asse y, di equazione x = 0, per
effetto della traslazione operata, l’equazione diventa:
x = - b/(2a)

19. 3. Le coordinate del FUOCO F
Per effetto della traslazione t le coordinate del fuoco F(0; 1/4a)
diventano:
xF = 0 + (b/(2a)) e
yF = 1/(4a) + (b2+4ac)/(4a) 1clic
In conclusione:
b  1
F ( -  ; -  +  )
2a 4a 4a

20. 4. L’equazione della direttrice
Per effetto della traslazione inversa t -1 , l’equazione della
direttrice
y= - 1/(4a)
diventa:
y = (b2+4ac)/(4a) - 1/(4a)
cioè:
 1
y = -  - 
4a 4a

21. RELAZIONI TRA V, F,d
1clic
y
F
-/4a+1/(4a)
1/(4a)
-/(4a) V
1/(4a)
d
-/(4a)-1/(4a)
x

22. Viceversa
Viceversa, ogni equazione del tipo
y = ax2 + bx + c
rappresenta, per a ≠ 0, una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse
y.
[N.B. in realtà un’equazione generale di 1 grado in y e di 2 in x è
del tipo: mx2 + nx + py + q= 0
Se si esplicita rispetto ad y si ha:
y = -(m/p)x2 –(n/p)x –(q/p)
e sostituendo:
- (m/p) = a; -(n/p) = b; - (q/p) = c
si ottiene l’equazione nella forma canonica:
y = ax2 + bx + c ]

23. y = ax2 + bx + c
y = a[x2 + (b/a)x ] + c
Metodo del completamento dei quadrati:
y = a[x2 + (b/a)x + (b/2a )2 - (b/2a )2] + c
y = a[x + (b/2a )]2 – b2/4a + c
y = a[x + (b/2a )]2 – [(b2 - 4ac)/4a] , sostituendo: (b2 -4ac) = ∆
y + ∆ /4a = a[x + (b/2a )]2
se si pone: ∆ /4a = -y0 e b/2a = -x0,
L’equazione diventa:
y - y0 = a·(x - x0)2
Che coincide con l’equazione di una parabola con asse di
simmetria parallelo all’asse y e con il vertice in V(x0;y0) .

24. Dati della parabola
Vertice: Asse di simmetria:
b
V(_ b ;_ b2-4ac ) x = - 
2a 4a 2a
Fuoco direttrice:
b -1 +1
F ( -  ; -  )
y = - 
2a 4a
4a

25. Esempio di grafico di
una parabola di data
equazione:
1clic
y = x2 – 4x + 6
F
Di vertice V(2;2)
1clic V
Di direttrice d
y =7/4 1clic
O
Di fuoco F(2; 9/4) x
1clic

26. Problemi relativi alla ricerca dell’equazione di una
parabola soddisfacente a date condizioni.
Premessa:
Siccome le equazioni di una parabola con asse di simmetria
parallelo ad un asse cartesiano dipendono da tre parametri
occorrono tre condizioni .

27. CASO : assegnati tre punti non allineati
 A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) (1 clic)
Si imposta il sistema costituito dalle tre condizioni di
appartenenza dei tre punti dati alla parabola:
y = ax2 + bx +c (1 clic)
Appartenenza di A alla parabola y = ax2 += ax c + bx + c
y bx + 2 (1 clic)
1 1 1
(1 clic)
Appartenenza di B alla parabola y = ax22 = ax2c + bx2+ c
y + bx + 2 (1 clic)
(1 clic)
y 2 = ax3 + bx3+
Appartenenza di C alla parabola: y = ax3 + bx +2c (1 clic) c

28. Si ottiene un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite a, b, c
y1 = ax12+ bx1+ c
y2 = ax22+ bx2+ c
y3 = ax32+ bx3+ c
che ammette una ed una sola soluzione (per il teorema di Cramer)
Fine problema

29. CASO : assegnati il vertice V e un punto
Siano dati: il vertice V(xV;yV) e
il punto A(x1;y1)
1) si impone il passaggio per il punto A(x1;y1)
y1 = ax12+ bx1+ c
2) Il passaggio per V(xV;yV)
yV = axV2+ bxV+ c
3) Si impone che l’asse di simmetria x = -(b/2a) coincida con l’ascissa del
vertice:
-(b/2a) = xV
Ritorno al problema

30. Dati concernenti
il Vertice, il Fuoco, la Direttrice
Casi in cui sono noti 2 dei seguenti 3 dati:
il vertice V, il fuoco F, la direttrice d.
Dalle combinazioni dei tre dati, presi a due a due, si possono presentare i
seguenti TRE casi: (1clic)
Il fuoco F e la direttrice Il vertice V e la Il vertice V e il
d direttrice d fuoco F

31. Primo caso: noti il fuoco F e la direttrice d
Dati: F(xF;yF) e d: y = h
Si perviene subito all’equazione della parabola utilizzando F e y = h
nella definizione di parabola: equidistanza da F e da d di un generico
punto P(x;y):

32. _____________
 (x – xF)2 + (y – yF)2 = | y  h |
Da cui, sviluppando i calcoli, si perviene all’equazione richiesta.
Fine problema

33. Secondo caso: noti il Vertice e
la direttrice d.
Dati: V(xV;yV) e d: y = h
Per via algebrica. Si imposta il sistema, di tre equazioni in tre incognite,
utilizzando i dati del problema: (1clic)
l’ascissa del vertice: -b/(2a) = xV ;
L’ordinata del vertice: - /(4a) = yV ;
L’equazione della direttrice: - /(4a) –1/(4a) = h;

34. Parabola di dato Fuoco e per un Punto dato
Dati: il fuco F(xF;yF) e un punto P(xo;yo)
Osservazione: da una
prima analisi si deduce P
che vi sono DUE
F P
F
parabole che soddisfano
le condizioni del
problema. 1 CLIC

35. (1clic) (1clic)
P
F P F

36. Risoluzione del problema per via algebrica.
Per via algebrica. Si imposta il sistema, di tre equazioni in tre incognite,
utilizzando i dati del problema: (1clic)
l’ascissa del fuoco: -b/(2a) = xF ;
L’ordinata del fuoco: - /(4a) –1/(4a) = yF ;
Appartenenza di P: axo2+bxo+c = yo
-b/(2a) = xF
-b2 +4ac – 1 = yF
4a
axo2+bxo+c = yo
Fine problema

37. Intersezione tra Retta e Parabola
Per ricercare gli eventuali punti di intersezione tra una
data retta ed una data parabola ,cioè quei punti le cui
coordinate soddisfano contemporaneamente l’equazione
della retta e della conica, si mettono a sistema le
rispettive equazioni formando così un sistema di 2 grado :
y = mx + q
y = ax2 + bx + c
Dal punto di vista algebrico il sistema ammette due soluzioni
(x1;y1) e (x2;y2), che possono essere: (1clic)
due reali e distinte, due reali e coincidenti, due complesse coniugate

38. Nel primo caso la retta e la conica hanno due punti distinti in
comune e si dice che la retta è secante; (1clic)
(x2;y2)
(x1;y1)

39. nel secondo caso hanno due punti coincidenti in comune e si dice
che la retta e la parabola sono tangenti; (1clic)
(x1;y1)

40. In questo caso la tangente e la parabola hanno due punti coincidenti in
comune 1 clic
Mentre la retta secante s
viene ‘spostata ’
s parallelamente a se stessa
verso la posizione di retta
tangente, le coppie di punti
di intersezione si
‘avvicinano’ sempre più fino
a ‘sovrapporsi’ in due punti
coincidenti.
1 clic

41. nel terzo caso non hanno punti in comune e si dice che la
retta è esterna alla parabola.

42. In conclusione:
1 clic
secante
tangente
esterna

43. Caso particolare di rette secanti
Si deve tenere conto del caso
particolare relativo alle rette
parallele all’asse di simmetria,
di equazione: x = k.
Queste rette intersecano in un
solo punto la parabola.