El documento explica el concepto y propiedades de la multiplicación de números enteros. Brevemente describe cómo los egipcios, babilonios, griegos y romanos realizaban la multiplicación utilizando métodos como duplicaciones sucesivas. También presenta ejemplos para ilustrar los pasos para multiplicar según cada civilización antigua.

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MULTIPLICACIÓN EN Z
Concepto: Operación aritmética
directa que consiste en repetir
una cantidad denominada
multiplicando tantas veces como
lo indique otra, llamada
multiplicador.
P = a + a + a + … + a + a
P = a x n
P = 5 + 5 + 5 + … + 5 + 5
P = 5 x 8 = 40
M = 7 + 7 + 7 + … + 7 + 7
M = ( ) x ( ) =
M = 6 + 6 + 6 + … + 6 + 6
N = ( ) x ( ) = 66
 LEY DE SIGNOS:
Resolver:
(4) x (-6) x (2)
PASO 1:
Se multiplican los valores numéricos
normalmente.
4 x 6 x 2 = 48
PASO 2:
Se cuentan los signos negativos, si es un
número par el resultado es positivo, si es impar
es negativo.
(4) x (-6) x (2) = 480  resultado = -480
final
 Para la división se procede igual 
NO CONFUNDIR:
“n” veces
multiplicando
producto multiplicador
“8” veces
“12” veces
“ " veces
¡Qué
fácil!
Un solo signo
negativo
1 es impar

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-6 – 7 + 5  -6 x – 7 x 5 = (-6) (-7) (5)
 RESUELVE:
i) (-5) x (-3) x (-2) x (7) =
ii) (5) x (3) x (2) x (4) =
iii) (-9) (-4) (-3) (2) =
iv) (-3) (-6) (-7) =
OBSERVACIÓN:
1) Par x Par = Par
2) Par x Impar = Par
3) Impar x Impar = Impar
4) Inverso multiplicativo de un número entero ‘a’
es:
a
1
 PROPIEDADES:
1) Clausura: Si a  Z  b  Z  (a x b)  Z
2) Conmutativa: Si a Z  b  Z  a x b = b x a
3) Asociativa: Si a, b  c  Z  (a x b) x c = a x (b x c)
4) Elemento neutro: Si a  Z  a x 1 = a
5) Inverso: Si a  Z   





a
1
Z / (a) 





a
1
= 1
multiplicativo
Lenguaje Lenguaje
Escrito simbólico
El duplo de
un número …………………………
El doble de
un número …………………………
aumentado en 5
Cinco veces
un número …………………………
El recíproco
de x + 4 …………………………
1. Multiplica:
a) (-8) x (-7) x (6) =
b) (-5) x (-2) x (-3) x (2) =
c) (4) x (9) x (-6) x (-1) =
d) (3) x (8) x (4) x (-1) =
e) (7) x (-3) x (5) x (2) =
2. Escribe en el cuadrado el número que hace
verdadera la igualdad y la propiedad utilizada.
a) (-8) x (+12) = x (-8) …………………………………
b) (-24) x = -24 …………………………………
c) [(-5) x (-4)] x (-6) = (-5) x [ x (-6)]
…………………………………
3. La diferencia de un número y el triple de -4 es
-8. ¿Cuál es el número?
a) -20 b) 12 c) -12
d) 4 e) -4
4. La suma de 2 números es -12 y su producto es
+35. Hallar el mayor.
a) -7 b) 7 c) -5
d) 5 e) N.A.
5. El triple de un número aumentado en 8 es igual a
-10. ¿Cuál es el número?
a) 6 b) -18 c) 18
d) -12 e) -6
6. El domingo nevó en la ciudad de Puno, se formó
una capa de 78 cm. de nieve y si la capa de nieve
disminuye en promedio 5 cm. Cada día. ¿Cuál
será el espesor de la capa de nieve 6 días
después?
a) 48 cm. b) 38 c) 108
d) 58 e) 68
Adición y
sustracción
multiplicación
EJERCICIOS DE
APLICACIÓN

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7. Desde hace 6 minutos, José esta cargando
Gasolina en el tanque de un auto, a razón de 7 
por minuto. En este momento el tanque tiene 31
litros, indicar la cantidad de gasolina que tendrá
dentro de 2 minutos.
a) 73 lts. b) 45 c) 38
d) 49 e) 56
8. La fábrica Rylos tiene un gastó diario de
S/. 2300, el gasto acumulado hasta hoy S/. 18
500. Calcular el gasto acumulado que tuvo hace
4 días.
a) S/. 16 200 b) 9 300 c) 14 900
d) 10 300 e) 9 200
9. Tom ahorra S/. 18 semanalmente, ¿Cuánto más
tendrá en 5 semanas a partir de ahora?
a) S/. 90 b) 72 c) 108
d) 81 e) 54
10. Se tiene una regla de 60 cm. que luego se parte
en 2 pedazos. Si un pedazo es el doble del otro.
¿Cuánto mide el pedazo menor?
a) 10 cm. b) 20 c) 30
d) 30 e) 50
11. Las edades de un padre y su hijo suman 95 años.
Si la edad del hijo es la cuarta parte de la de su
padre. ¿Cuál es la edad del hijo?
a) 19 b) 76 c) 38
d) 57 e) 48
12. La suma de 2 números es -144, uno de ellos es
igual a 5 veces el otro. ¿Cuál es el mayor?
a) -24 b) 24 c) -12
d) -120 e) 120
13. Si Tito vende cada lápiz en S/. 6, ganaría S/. 48
en todos los lápices que tiene. Si cada lápiz le
costo S/. 3. ¿Cuántos lápices vendió?
a) 16 b) 48 c) 32
d) 96 e) 30
14. Pepita y Rosita tienen juntas S/. 240. Si lo que
tiene Rosita es 5 veces lo que tiene Pepita.
¿Cuánto tiene Rosita?
a) S/. 40 b) 200 c) 160
d) 120 e) 100
15. Jorge y Lucho tienen que llenar un depósito de
agua de 360  de capacidad, con baldes de 8 y 3
litros respectivamente. En cada viaje, ¿Cuántos
litros faltarán por llenar en el depósito, después
de 20 viajes?
a) 220 lts. b) 140 c) 160
d) 100 e) 150
1. Efectuar:
A = (2 + 2 + 2 + 2 + … + 2) (3 + 3 + … + 3)
a) 200 b) 240 c) 100
d) 150 e) 120
2. Efectuar:
B = [(-3) + (-3) + (-3) + … + (-3)] x [(-2) (5)]
a) -33 b) -10 c) 330
d) -330 e) -110
3. Entre Toño y Jorge tienen S/. 126. Si la
cantidad que tiene Toño es 17 veces la que
tiene Jorge. ¿Cuánto más tiene Toño que
Jorge?
a) 129 b) 112 c) 17
d) 34 e) 68
4. Las edades de Olinda y Manuela suman 78 años.
Si la edad de Olinda es el doble que la de
Manuela. ¿Cuál es la edad de Olinda?
a) 26 años b) 52 c) 13
d) 39 e) 42
TAREA DOMICILIARIA Nº
5
8 veces 5 veces
11 veces

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5. Entre dos personas tienen S/. 400 si la
cantidad que tiene una de ellas es el triple de lo
que tiene la otra. Hallar la cantidad mayor.
a) S/. 100 b) 200 c) 150
d) 250 e) 300
6. Alberto tiene 10 años y Lucho tiene el triple de
su edad. ¿En cuánto se diferencian sus edades?
a) 20 años b) 40 c) 15
d) 25 e) 30
7. Cecilia va de compras, y gasta el triple de lo que
gastó Paco más S/. 10. Si Paco gasto S/. 30,
¿Cuánto gastó Cecilia?
a) S/. 60 b) 70 c) 80
d) 100 e) 80
8. Carola compra 6 polos y Susan la tercera parte
de la que compró Paula que fueron el doble de
las que compró Carola. ¿Cuántos polos
compraron en total?
a) 20 b) 16 c) 12
d) 14 e) 22
9. Francisco tiene S/. 30 y Lucía tiene el doble de
lo que tiene el menos S/. 10. Calcular la
diferencia de dinero que tienen.
a) S/. 60 b) 70 c) 50
d) 20 e) 30
10. Le preguntan a Juan Pablo por su edad y este
responde si el doble de mi edad le suman 8,
obtienen 40 años. ¿Cuál es la edad de Juan
Pablo?
a) 48 años b) 50 c) 32
d) 24 e) 18
11. Un teniente quiere formar a sus soldados en 6
filas de 7 cada, pero observa que le faltarían 4
soldados, entonces la forma en 7 filas de 5.
¿Cuántos soldados le sobran ahora?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12. Se tiene una multiplicación de 2 factores. Si se
triplica uno de ellos y se duplica el otro. ¿En
cuánto varía el producto inicial?
a) 5 veces b) 6 c) 2
d) 3 e) 4
13. El producto de 2 números es 396, si se añaden
3 unidades al multiplicador, el producto
aumenta en 66 unidades. Hallar el factor
mayor.
a) 25 b) 18 c) 7
d) 22 e) 66
14. Si a 2 números enteros se le aumenta y
disminuye 6 unidades respectivamente. El
producto de ellos aumenta en 204 unidades.
Hallar la diferencia de los números.
a) 60 b) 80 c) 40
d) 50 e) 100
15. En qué cifra termina el resultado de multiplicar:
E = 2(2 + 1) (22
+ 1) (23
+ 1) (24
+ 1) … (224
+ 1)
a) 1 b) 4 c) 2
d) 5 e) 0

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LA OPERACIÓN DE MULTIPLICAR
 Antiguamente resultaba muy trabajosa la operación de
multiplicar, debido sobre todo al poco o ningún
conocimiento o uso del valor de posición en la escritura
de los números; y hasta tal punto era engorrosa que los
romanos, por ejemplo, la mandaban hacer con los
esclavos.
 LOS EGIPCIOS
Para efectuar la multiplicación recurrieron ellos a las
duplicaciones sucesivas, las cuales eran adecuadamente
seleccionadas y sumadas después.
Así, para multiplicar 32 por 27, operaban de la manera siguiente:
DUPLICACIONES SUCESIVAS DUPLICACIONES ESCOGIDAS
* 1 ……………………… 3 2 1 6 ………………………….. 5 1 2
* 2 ……………………… 6 4 8 ………………………….. 2 5 6
* 4 ………………… 1 2 8 2 ………………………………. 6 4
* 8 ………………… 2 5 6 1 ………………………………. 3 2
* 1 6 ………………… 5 1 2 2 7 Veces 32 8 6 4
El resultado de la multiplicación es 864
OBSERVACIONES:
II. En el ejemplo dado, las duplicaciones escogidas se han indicado con una asterisco
III.Después de duplicar sucesivamente el multiplicando 32, hasta un límite prudente, se escogen aquellas
duplicaciones cuya suma de su número de veces, sea igual al multiplicador 27.
 LOS BABILONIOS
Simplificaron un tanto, porque tenían tablas de multiplicar grabadas en arcilla cocida.
 LOS GRIEGOS
Tuvieron un gran auxiliar en la tabla de doble entrada desde la época de Pitágoras, a quien se le considera su
inventor; fue ésta la razón por la cual se le bautizó con su nombre.
 COMO MULTIPLICABAN LOS ROMANOS
Damos a continuación un ejemplo de como los romanos efectuaban la siguiente multiplicación:
123 x 165 = 20,295
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 18 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
CXXIII
CLXV
D LL VVV
1

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NOTA: El resultado final que aparece en la última fila, pero escrito en la forma moderna que nosotros
conocemos, es CCXCV
XX .
 Se podría aclarar la anterior multiplicación, de la siguiente manera:
1) Se escriben los factores.
2) Se escriben unos debajo de otros los respectivos productos
que resultan de multiplicar las cifra V, X, L, C del
multiplicador, por una de las cifras del multiplicando, ubicando
adecuadamente en columna los numerales iguales.
3) Se escriben todos los resultados parciales en una sola fila.
4) Dos V se convierten en X; cuatro L en dos C (paso 4); cinco C
en D (paso 5); cuatro D en dos M (paso 6).
5) El resultado final, escrito ordenadamente, es CCXCV
XX .
 COMO MULTIPLICABAN EN LA EDAD MEDIA
Daremos a continuación, un ejemplo de cómo efectuaban la multiplicación
en Europa durante la Edad Media, empleando un procedimiento hindú
bastante perfeccionado por los árabes.
Sea la multiplicación: 845 x 326 = 275,470
Multiplicación en la Edad Media: 845 x 326 = 275,470
 Como se puede observar, ya multiplicaban cada cifra del multiplicador por cada una de las cifras del
multiplicando, escribiendo íntegramente cada uno de los productos de las cifras. Para obtener el resultado
final sumaban oblicuamente los resultados parciales, tal como lo indican las flechas del grabado, y comenzando
por la parte inferior derecha (donde dice 1º).
 NUESTROS ACTUAL MÉTODO DE MULTIPLICAR
En un tratado de PACIOLI y con una disposición
que casi no difiere de la actual, ya se encontraba
la multiplicación en la forma que se da a
continuación.
Método actual
3849 x 963 = 3’706.587
6a
8
5a
4
4a
5
3
2
6
3a
2a
1a
2
7
5
2
4
1
6
4
8
1
2
8
2
4
1
5
1
0
3
0
4 7 0
3 8 4 9 x
9 6 3
1 1 5 4 7
2 3 0 9 4
3 4 6 4 1
3 7 0 6 5 8 7
2 4 5 x
1 2
4 9 0
- -
0