asesoría para maestros de 3° Secundaria

1. Metodología de las Matemáticas
Secundaria
Zona 524
Telesecundaria.

2. • En equipos de 4 resolvamos el
problema presentado
• Compartamos nuestras formas
de resolución
• En plenaria expongamos los
procedimientos de resolución de
cada equipo

3. • ¿Qué es Homotecia?
• Homotecia: Transformación en el plano con respecto
a un centro O (centro de homotecia) que permite
obtener un polígono semejante a otro polígono dado.
La figura A'B'C' se construyó tomando el punto
O y trazando paralelas al triángulo ABC.
Triángulo OCB es semejante a Triángulo OC'B',
entonces: OB'/OB=OC'/OC=B'C'/BC
Triángulo OCA es semejante a Triángulo OC'A',
entonces: OC'/OC=OA'/OA=C'A'/CA
Luego, concluimos que: B'C'/BC=C'A'/CA

4. • Lo anterior es válido para todos los lados correspondientes:
• B'C'/BC=C'A'/CA=B'A'/BA=k (factor de conversión)
• Por tanto Triángulo ABC es semejante a Triángulo A'B'C'
• Diremos que k (factor de homotecia) es el factor de conversión o
escala de conversión de una homotecia, siendo k la razón entre las
medidas de los lados correspondientes de los polígonos
semejantes. Para k entre 1 y cero (homotecia fraccionaria),
obtenemos una figura más pequeña que la original.
• Observación: dividir distancia desde el centro de homotecia hasta
el vértice correspondiente de la figura a escala (imagen), entre la
distancia desde el centro de homotecia hasta el vértice.

5. • La figura homotética es la figura hecha a
escala, para éste caso A’, B’, C’.
• HOMOTECIAS POSITIVAS.
• (El punto P’ se encuentran del mismo lado de
O y P)
• Sea k un número positivo, cuando aplicamos
una homotecia de centro O y razón k a un
punto cualquiera P, obtenemos otro punto P'
de la semirrecta que definen O y P, de
manera que
• Al punto P' lo denominaremos homólogo de
P.

6. • Homotecia positiva: k > 1 Homotecia positiva fraccionaria: k < 1
• Implica una ampliación de la figura Implica una reducción de la figura
• El punto P’ se encuentra fuera de O y P El punto P’ se encuentra entre O y P
OP’ = 6.6 cm. OP’ = 0.7 cm.
OP = 2.2 cm. OP = 2.1 cm.
OP’ = 6.6 = 3 OP’ = 0.7 = 1
OP 2.2 OP 2.1 3

7. • OA’ = 3.2 cm. = 2 OA’ = 1.3 cm. = 1
OA 1.6 cm. OA 2.6 cm. 2
• A su vez:
• A’C’ = 2 cm. = 2 A’C’ = 2.5 cm. = 1
AC 1 cm. AC 5.0 cm. 2

8. • HOMOTECIAS NEGATIVAS
• (Si k<1, el punto P' queda situado al otro lado de O y P)
• Las figuras quedan a un lado y otro del centro de homotecia.
• Con k < 1 corresponde a una rotación de 180º alrededor del centro
de homotecia.
• También se pueden considerar homotecias en la que la razón sea
negativa, en la figura tienes el efecto de aplicar una homotecia de
centro O y razón -2 al Triángulo ABC:
Cuando la razón es negativa, el centro de la
homotecia queda situado entre el punto P y su
imagen P’.

9. • RESUMIENDO:
• 1) El centro de homotecia es el punto en el que
concurren las rectas que determinan los puntos
de una figura y sus correspondientes
homólogos.
• 2) La razón de homotecia se calcula hallando el
cociente entre OA y OA’, siendo A un punto
cualquiera. El signo de ésta dependerá de la
posición de O respecto de A y A'.
• 3) Una homotecia transforma un segmento AB
en otro paralelo A'B', k veces el primero. En
consecuencia, la razón también se halla
dividiendo la longitud de dos segmentos
homólogos.

10. • Realicemos una lectura comentada
del Enfoque de la asignatura de
Matemáticas (programa de
matemáticas 2011, PP 19-23)
• Reflexionemos sobre la Lectura y
desarrollemos conclusiones
• En equipos de 4 resolvamos el
problema planteado por el
coordinador
• En plenaria expongamos los
procedimientos desarrollados

11. TEOREMA DE THALES
• Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan
por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los
segmentos determinados en una de las rectas
(AB, BC) son proporcionales a los segmentos
correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

12. • Si en un triángulo se traza una línea paralela a
cualquiera de sus lados, se obtienen dos
triángulos semejantes.

13. • Esquematicemos el proceso metodológico
desarrollado en la actividad anterior .
• Resolvamos en equipo y en plenaria
argumentemos nuestros procedimientos y
respuestas
Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de
4.33 m de altura que forma un ángulo de 60°� con respecto al
piso.

14. De las razones a las funciones trigonométricas
• a. Antes de iniciar el llenado de la tabla comente
con sus compañeros de grupo por que a los
valores de 180° y 360° les corresponden
respectivamente “π radianes” y “2 π radianes” .
• b. En la tabla proporcionada por el coordinador
llene primero la columna referida a radianes y
verifique con sus compañeros dichos valores
• c. Luego, según se muestre en la presentación
con geometría dinámica que dirigirá el
instructor, registre las medidas solicitadas en las
columnas correspondientes.

15. • d. Compare los valores de las razones
obtenidas, con las que proporciona la
calculadora cuando se pide el valor
seno, coseno o tangente de los ángulos
en referencia.
• Anote su observación al respecto:
• Particularmente, ¿qué medidas le
corresponden a los diferentes
triángulos rectángulos cuyo ángulo
agudo es de 30°?

16. TRIÁNGU
LO
ÁNGUL
O A
CATETO
ADYACENT
E
CATETO
OPUEST
O
HIPOTENU
SA
(SENO) (COSENO) (TANGENTE)
AMB 27º 6 6.71
ANC 27º 4 8.90
AOD 14 7 15.65
APE 10 22.36
hipotenusa
opuestocat.
hipotenusa
adyacentecat.
adyacentecat
opuestocat
.
.

17. f. ¿Por qué el valor de las razones indicadas
permanece constante en cada uno de los casos
presentados?
g. Explore qué sucede para otros ángulos. Seleccione
algunos y registre en la tabla lo que sucede en la
presentación dinámica.
Comenten los resultados obtenidos.

18. • h. ¿Con qué nombre se identifica cada una de las
razones consideradas en los triángulos rectángulos
observados?
• Tome nota del papel que juega la semejanza de
triángulos rectángulos para establecer que el valor de
cada una de las razones trigonométricas referidas a
un ángulo agudo permanece constante.
• Esto lo utilizamos como una herramienta poderosa en
situaciones en las que el cálculo de medidas que
interesan pueda representarse geométricamente
mediante triángulos rectángulos.

19. • Algunos ejercicios:
• Encuentre, valiéndose del triángulo equilátero de la figura ,
los valores de :
• sen30° ___________
• Cos30° ___________
• Tan30° ___________
• Sen60° ___________
• cos 60° ___________
• Tan60° ___________
2 2
2

20. • b. Ahora, haciendo los trazos convenientes en el
cuadrado de la figura , determine el valor de:
• 1. sen 45° ___________
• 2. cos 45° ___________
• 3. tan 45° ___________
1
1

21. • 3. Para cualquier triangulo rectángulo ABC (con el ángulo
recto en C), explique
• por que sucede que sen A = cos B
• 4. Como hemos visto, cuando se determina el valor de una
razón trigonométrica para un ángulo agudo de un triangulo
rectángulo, esta permanece constante para cualquier otro
triangulo rectángulo semejante.
• a. En consecuencia, .Que se requiere variar para obtener
diferentes valores de cada una de las razones consideradas?
• b. .Hay algún valor de α al que le correspondan dos o mas
valores de la razón sen(α)? Comente.
A
B
C

22. • Como hemos visto, el valor de la razón
trigonométrica sen (α) es única para cada valor
de α . Por lo tanto, podemos establecer lo
siguiente: esta relación que a cada valor del
ángulo α le asigna un y sólo un valor de la razón
seno, es una función*
• De la misma manera, a las otras dos razones
trigonométricas, cos(α) y tan(α) se les puede
llamar “funciones”.
• Genéricamente a estas relaciones se les llama
funciones trigonométricas.
• * ¿Qué es una función? Comenten en grupo.

23. • Comentemos en plenaria el tratamiento de las
matemáticas en nuestras aulas.
• Establezcamos conclusiones