O documento discute as geometrias Euclidiana e não-Euclidiana. Ele caracteriza a geometria Euclidiana, destacando o Teorema das Paralelas e o Quinto Postulado de Euclides. Também descreve os tipos principais de geometria não-Euclidiana e fornece um exemplo de como ela pode ser aplicada para resolver uma charada.

1. Projeto:
O Quinto Postulado de
Euclides e as Geometrias
não-Euclidianas
Geraldo José Gomes
Glorinha
Jéssica
Professor: Renato Aquino
Seropédica
Dezembro de 2011

2. Objetivos Gerais
 Caracterizar a Geometria Euclidianas
e a não-Euclidiana;
 Destacar as diferenças entre a
Geometria Plana e a Geometria Não
Plana;
 Citar aplicações da Geometria
Euclidianas e da não-Euclidiana.

3. Subtemas da Geometria Euclidiana
 O Teorema das Paralelas;
• Definição;
• Teorema das Paralelas;
• Quinto Postulado de Euclides;
• Demonstração do Teorema das Paralelas;
• Aplicações.

4. Subtemas da Geometria Não-
Euclidiana
 História da Geometria Não-
Euclidiana;
 Tipos de Geometria Não-Euclidiana;
 Charada;
 Aplicação.

5. Geometria Euclidiana
 O Teorema das Paralelas
• Definição
“Duas retas de um plano são
ditas paralelas quando não têm
ponto em comum”

6. Geometria Euclidiana
 Teorema das Paralelas
“Se as retas r e s são paralelas e t é
uma transversal a elas, então os
ângulos  e  são iguais.”

7. Geometria Euclidiana
 Quinto Postulado de Euclides
“Por um ponto fora de uma reta passa
uma única reta paralela a ela.”

8. Geometria Euclidiana
 Demonstração do Teorema das Paralelas
Hipótese: s//r.
Tese: =.
Supondo, por absurdo, que , pode-se construir
uma reta p, contendo o ponto B e fazendo com t
um ângulo ’, igual a . Pela recíproca: p//s,
temos que por B há duas retas, r e p, paralelas a
s, o que contraria o Postulado da Paralelas (Quinto
Postulado de Euclides). Logo =.

9. Geometria Euclidiana
 Aplicação
A Geometria Euclidiana é aplicada no
estudo de áreas e ângulos de figuras
geométricas.

10. Geometria Não-Euclidiana
 História da Geometria Não-Euclidiana
Na forma como conhecemos a Geometria, podemos
estabelecer seu ponto inicial na Grécia, por volta de 300a.C, quando
Euclides escreveu “Os Elementos”. Nesse tempo a Geometria que
chamamos de Geometria Euclidiana estava totalmente desenvolvida.
Começaram ocorrer vários questionamentos sobre essa
geometria euclidiana, o que levou muitos matemáticos estudarem
sobre o assunto. Isso gerou um grande acontecimento na história da
matemática que foi a descoberta das geometrias não euclidianas, o
que aconteceu por volta da primeira metade do século XIX. Esta
descoberta poderia ter acontecido séculos antes senão existissem os
preconceitos de que a geometria euclidiana era a única possível e
que era a geometria do universo. Um preconceito tão forte que
impediu Gauss de publicar os próprios achados sobre o assunto.
Assim a descoberta dessas novas geometrias representam uma
vitória contra uma concepção euclidiana do mundo.

11. Geometria Não-Euclidiana
 História da Geometria Não-Euclidiana
Por volta de 1820 já se conheciam os principais
teoremas da geometria não-euclidiana, nome dado por Gauss.
Gauss não publicou suas conclusões e em 1829 Lobachevsky e
em 1832 Johann Bolyai publicaram seus trabalhos
independentes sobre o assunto.
A razão pela qual Gauss manteve em segredo suas
descobertas, foi o fato de que a filosofia de Kant dominava a
Alemanha da época e seus dogmas eram que as idéias da
geometria euclidiana eram as únicas possíveis. Gauss sabia
que essa idéia era totalmente falsa, mas para não entrar em
conflito com os filósofos da época resolveu manter-se em
silêncio.
Em 1829 ele escreveu o seguinte para Bessel: “Não irei
dedicar muitos de meus esforços para escrever algo publicável
sobre esse assunto (fundamentos da geometria), pois tenho
horror aos gritos histéricos que ouviríamos dos beócios se eu
tornasse claro meus pensamentos sobre o assunto.”

12. Geometria Não-Euclidiana
 História da Geometria Não-Euclidiana
Por mais de dois mil anos os geômetras se
ocuparam nas tentativas de provar o postulado das
paralelas como um teorema a partir dos restantes,
nove axiomas e postulados, o que culminou em
alguns dos desenvolvimentos de maior alcance da
matemática moderna. Das muitas demonstrações
dadas a este postulado foi provado que cada uma
delas se baseava numa suposição tática equivalente
a ele.

13. Geometria Não-Euclidiana
 Tipos de Geometria Não-Euclidiana
• GEOMETRIA RIEMANNIANA
Um espaço com uma métrica da forma
onde os são constantes ou funções de x, y e z, é
conhecido agora como espaço de Riemann e a
geometria desse espaço como geometria
Riemanniana.

14. Geometria Não-Euclidiana
 Tipos de Geometria Não-Euclidiana
• GEOMETRIA DESCRITIVA
 Método de representar objetos tridimensionais por
meio de projeções convenientes sobre um plano
bidimensional, segredo absoluto. Tornou-se a
geometria descritiva;
• GEOMETRIA PROJETIVA
 Desargues, Monge e Carnot iniciaram o estudo da
Geometria projetiva, mas quem a desenvolveu foi
Jean Victor Poncelet.
 Quando a Geometria Projetiva se utiliza de elementos
ideais no infinito, há uma simetria notável entre
pontos e retas.

15. Geometria Não-Euclidiana
 Tipos de Geometria Não-Euclidiana
• GEOMETRIA N-DIMENSIONAL
As primeiras e nebulosas noções de um hiperespaço n –
dimensional (n>3) em pontos se perdem na obscuridade do
passado e se confundem com considerações metafísicas. O
primeiro artigo publicado que lidava explicitamente com
geometria pontual de dimensão superior foi escrito por
Arthur Cayley (1821 – 1895) em 1843, depois do qual o
assunto recebeu a atenção dos matemáticos ingleses, J.J.
Sylvester (1814 – 1897) e W. K. Clifford (1809 – 1887).O
pioneirismo do trabalho feito por H.G. Grassmann (1809 –
1877) e Ludwig Schläfli (1814 – 1895) em geometria em
dimensão superior, na Europa Continental, por algum
tempo não chamou a atenção.

16. Geometria Não-Euclidiana
 Tipos de Geometria Não-Euclidiana
• GEOMETRIA DIFERENCIAL
A geometria diferencial é o estudo das propriedades
das curvas e superfícies, e suas generalizações, por meio
do cálculo. Na maior parte dos casos, a geometria
diferencial investiga curvas e superfícies nas vizinhanças
imediatas de qualquer de seus pontos. Conhece-se esse
aspecto da geometria diferencial como geometria
diferencial local. Porém, há às vezes propriedades da
estrutura total de uma figura geométrica que decorrem de
certas propriedades locais que a figura apresenta em cada
um de seus pontos. Isso leva ao que se chama de
geometria integral ou geometria diferencial global.

17. Geometria Não-Euclidiana
 Charada
• Segue-se um exemplo de uma charada
que pode ser resolvida com base na
Geometria Não Euclidiana:
 Partindo de um certo ponto da Terra, um
caçador andou 10 Km para Sul, 10 Km para
Leste e 10 Km para Norte, voltando assim
ao ponto de partida. Aí encontrou um Urso.
Qual a Cor do Urso?

18. Geometria Não-Euclidiana
 Charada
Podemos pensar o caçador não voltaria ao
ponto de partida e, portanto, que o
problema não tem solução:

19. Geometria Não-Euclidiana
 Charada
Não nos podemos esquecer de
que a Terra não é uma
superfície plana, mas curva.
Assim a solução é: Andando 10
Km segundo aquelas 3 direções
perpendiculares, o caçador só
voltará ao ponto de partida se
iniciar a sua caminhada no Pólo
Norte.

20. Geometria Não-Euclidiana
 Charada
E o Urso? Como a história decorre no Pólo
Norte, só pode ser um Urso Polar e, por
isso um urso branco.

21. Geometria Não-Euclidiana
 Aplicações
• Na Saúde: os tratamentos e procedimentos
nas terapias respiratórias (pulmões), terapias
cardíacas (coração) e terapias renais, usam
volumes de fluídos.
• Na Agricultura: a fim de determinar o
volume de silos ou depósitos de
armazenamento – para grãos, feno, palha, etc.

22. Bibliografia
 Tinoco,L. Geometria Euclidiana Por Meio
da Resolução de Problemas. Instituto de
Matemática/UFRJ – Projeto Fundão. 3º ed.
Rio de Janeiro, 2011.
 http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opomb
o/seminario/alice/geometria_ne.htm
 http://educacaomatematica.vilabol.uol.co
m.br/histmat/introducao.htm