Geometriamar - Prof. Marcelo Lopes - 001 - Conjuntos Numéricos

Matemática Faixa Preta – MSN – geometriamar@live.com 1 Matemática Faixa Preta – MSN – geometriamar@live.com 2

Material Didático Z + ⇒ {números inteiros não negativos} = { 0 ,1,2 ,3,...} = N
∗
Z+ ⇒ {números inteiros positivos} = { 1,2 ,3 ,...}
Conjuntos Numéricos / Operações Fundamentais Z− ⇒ {números inteiros não positivos} = {...,−2 ,−1,0 }
∗
Z ⇒
−
{números inteiros negativos} = {...,−3,−2 ,−1, }

CONJUNTOS NUMÉRICOS
A seqüência dos números naturais cresce de 1 em 1.
NATURAIS (N) : Qualquer número que resulte de uma contagem de unidades é chamado
Dois números vizinhos são chamados CONSECUTIVOS.
de número natural.

N = { 0, 1, 2, 3, 4,.... } é o conjunto dos números naturais.
Exemplo:
INTEIROS (Z) = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} é o conjunto dos números inteiros. (todo
a) 3, 4, e 5 são consecutivos.
número natural é inteiro)
b) 1.980, 1.981, 1.982 e 1.983 são consecutivos.
 a 
RACIONAIS (Q) : Q =  x / x = , a ∈ Z ,b ∈ Z ,b ≠ 0 
 b  c) n e n+1 são consecutivos.
É o conjunto dos números racionais. Em outras palavras: o número racional é todo
aquele que pode ser representado como a razão entre 2 números inteiros, com o 2º número O sucessor de 6 é o 7; o sucessor de 7 é o 8; o sucessor de 8 é o 9; e assim por diante.
não nulo. (todo número inteiro também é racional)
O antecessor de 7 é o 6; o antecessor de 8 é o 7; o antecessor de 9 é o 8. Da mesma
IRRACIONAIS (Q’) : forma:

Formados por elementos que não possuem raízes exatas. Fazem parte do conjunto: O sucessor de um certo número n é n+1.
2 , 3 , 3 4 ...
O antecessor de um certo número n é n− 1.

Dentre os números decimais, existem as dízimas não periódicas, que são números com
infinitas casas decimais e não periódicas. Fazem parte do conjunto: 3,1415...; Com exceção do zero, todo número NATURAL tem um sucessor e um antecessor. (O zero
0,000112312... é o único que não possui antecessor natural).

REAIS (R) : Qualquer número racional ou irracional é chamado de número real. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS (Z):

Em diagramas temos: REGRA PARA A ADIÇÃO ou PARA A SUBTRAÇÃO

SINAIS IGUAIS: Soma-se os números e repete-se o sinal.
+ 5 + 9 = +14 
− 6 − 8 = −14 
 ( + ) + ( + ) = ( + )
N Z Q R

Ex.: ⇒  ⇒ 
Q’
( +6 ) + ( +7 ) = +13 ( − ) + ( − ) = ( − )
( −5 ) + ( −4 ) = −9 
 
Então: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
SINAIS DIFERENTES: Subtrai-se os números e repete-se o sinal do maior dos números.
Subconjuntos dos conjuntos numéricos. + 5 − 9 = − 4 
− 6 + 8 = − + 2 
  ( + ) + ( − ) = ( sin al do maior )
Ex.: ⇒  ⇒  
N∗ ⇒ {conjunto dos números naturais não nulos (sem o zero)}
( −6 ) + ( +7 ) = +1 ( − ) + ( + ) = ( sin al do maior )
= { 1,2 ,3,4...} ( −5 ) + ( +4 ) = −1 
 
Z∗ ⇒ {conjunto dos números inteiros não nulos (sem o zero)}
= {...,−2 ,−1,1,2 ,...}

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REGRA PARA O PRODUTO ou DIVISÃO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

DOIS SINAIS IGUAIS: O produto terá sinal positivo. I) ADIÇÃO - Propriedade – ( P1 + P2 = S )
( +5 ) × ( +9 ) = +45  ( + ) × ( + ) = ( + ) 
( −6 ) × ( −8 ) = +48  ( − ) × ( − ) = ( + )  A → 1a PARCELA
   
Ex.:  ⇒   + B → 2a PARCELA
( +25 ) ÷ ( +5 ) = +5  ( + ) ÷ ( + ) = ( + ) C → SOMA OU TOTAL
( −42 ) ÷ ( −6 ) = +7 
  ( − ) ÷ ( − ) = ( + )
 
II) SUBTRAÇÃO:
DOIS SINAIS CONTRÁRIOS: O produto terá sinal negativo.
( +5 ) × ( −9 ) = −45  ( + ) × ( − ) = ( − )  A → MINUENDO (M)
( −6 ) × ( +8 ) = −48  ( − ) × ( + ) = ( − )  - B → SUBTRAENDO (S)
   
Ex.:  ⇒   C → RESTO (R) OU DIFERENÇA (D)
( +25 ) ÷ ( −5 ) = −5  ( + ) ÷ ( − ) = ( − )
( −42 ) ÷ ( +6 ) = −7 
  ( − ) ÷ ( + ) = ( − )
  Propriedade (01) ⇒ M −S=R
Propriedade (02) ⇒ M + S + R = 2×M
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
III) MULTIPLICAÇÃO: Propriedade – ( M × m = P )
1. (Geometriamar) Efetue:
A → 1O FATOR ou MULTIPLICANDO
a. + 4 +7 = x B → 2O FATOR ou MULTIPLICADOR
b. −9−5 = C → PRODUTO
c. + 12 + 5 =
d. − 3 −7 = IV) DIVISÃO:
e. − 19 + 12 = Dividendo Divisor
f. + 15 − 11 = Resto Quociente
g. + 21 − 18 =
h. + 13 − 8 = Propriedade (01) – Dividendo = divisor x quociente + resto
Propriedade (02) – resto máximo = divisor – 1
2. (Geometriamar) Efetue: Propriedade (03) – resto mínimo = 0
a. ( −4 )× ( −3 ) = ADIÇÃO
b. ( −12 ) ÷ ( −4 ) =
c. ( −6 )× ( −8 ) = NOTA: Toda vez que variarmos uma ou mais parcelas de uma adição, o total
d. ( −12 ) ÷ ( −6 ) = também sofrerá variação. Essas variações podem ser diversas mas, qualquer que ela seja,
poderemos levá-la sempre para a soma ou subtração de uma quantidade a uma ou mais
e. ( −18 ) × ( +2 ) =
parcelas.
f. ( +8 )× ( −3 ) =
g. ( −12 ) × ( +8 ) ÷ ( −4 ) = PROPRIEDADES:
h. ( −18 ) ÷ ( −6 ) × ( −3 ) =
i. 5( 4 − 3 × 2 + 1 ) + ( −3 ) = 1ª) Quando somamos ou subtraímos uma quantidade qualquer a uma das parcelas de uma
j. 2{ 5 ÷ 5 + [ 8 . 2 ÷ 4 − ( 3 − 5 ) + 2 ]} = adição, o total aumenta ou diminui desta mesma quantidade.
k. 20 ÷ 2 .5 + 4( −5 − 2 ) + 3 =
2a) COMUTATIVA → A ordem das parcelas não altera a soma ou o total.
l. − 2( −3 × 5 + 18 ) + 5 [ −2( −2 ) − 3 ] = Exemplo: 2 + 3 =3 + 2 = 5
m. 12 + 3[ −4 + 2( −3 + 5 × 2 − 11 ) + 5 × 2 ] =
n. 10 [ −3 − 4 × 2 + 5( −3 + 5 )] − 3[ 3( 1 − 2 )] = 3a) ELEMENTO NEUTRO → É o número zero. Por que a soma de qualquer número com
o zero dá, como resultado, o próprio número.
Exemplo: 5 + 0 = 0 + 5 = 5



4a) ASSOCIATIVA → O resultado de uma adição não se altera quando substituímos duas 4a) FECHAMENTO → A multiplicação tem a propriedade de fechamento em relação ao
ou mais parcelas por sua soma. conjunto IN porque o produto entre dois naturais é, também, um natural.
Exemplo: Exemplo: Se 2 ∈ IN e 4 ∈ IN ⇒ (2x4) ∈ IN
a) 2 + 5 + 8 = 7 + 8 ( 7 = 2 + 5 ) ou
ou 2 + 5 + 8 = ( 2 + 5 ) + 8 = 2 + ( 5 + 8 ) 5ª) DISTRIBUTIVA
5.1) Em relação à adição → Para multiplicar um número por uma adição, multiplica-se o
5a) FECHAMENTO → A adição tem a propriedade de fechamento em relação ao conjunto número por todas as parcelas da adição e somam-se os produtos.
IN, pois a soma de dois naturais quaisquer é, também, um natural. Exemplo:
Exemplo: Se 2 ∈ IN e 4 ∈ IN ⇒ (2+4) ∈ IN a) 2 x ( 4 + 7 ) = 2 x 4 + 2 x 7
b) 3 x ( 2 + 5 + 15 ) = 3 x 2 + 3 x 5 + 3 x 15
SUBTRAÇÃO
5.2) Em relação à subtração → Para multiplicar um número por uma subtração, multiplica-
NOTA: A subtração não possui as propriedades comutativa, elementos neutro, se o número por todos os termos da subtração e subtrai-se de produtos.
associativa e fechamento em relação a IN. Mas, possui outras que são, também, muito Exemplo:
importantes, que veremos a seguir. a) 3 x ( 8 – 2 ) = 3 x 5 – 3 x 2
b) 2 x ( m – n ) = 2m - 2n
PROPRIEDADES:
VARIAÇÃO DO RESULTADO DE UMA MULTIPLICAÇÃO
1a) Somando-se ou subtraindo-se um número qualquer ao minuendo de uma subtração, o
resto aumenta ou diminui desse mesmo número. PROPRIEDADES

2a) Somando-se ou subtraindo-se um número qualquer ao subtraendo de uma subtração, o 1ª) Multiplicando-se ou dividindo-se um dos fatores de uma multiplicação por um número
resto diminui ou aumenta desse mesmo número. qualquer (≠ 0) o produto ficará multiplicado ou dividido por esse mesmo número.

3a) Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número ao minuendo e ao subtraendo de uma 2ª) Somando-se (ou subtraindo-se) um número a um dos fatores de uma multiplicação, o
subtração, o resto permanece constante. produto aumenta (ou diminui) deste número vezes o fator que não foi alterado.

4a) Somando-se o minuendo, o subtraendo e o resto de uma subtração obtemos o dobro do 3ª) Multiplicação de um número por uma potência de 10:
minuendo. Acrescentam-se ao número tantos zeros quantos são as unidades do expoente.
Exemplo: ⇒ 42 x 102 = 4200
MULTIPLICAÇÃO ⇒ 6754 x 103 = 6754000

PROPRIEDADES: 4ª) Multiplicação de um número por 9, 19, 29, 39....
a
Multiplica-se o número por 10, 20, 30, 40....e depois subtrai-se o próprio número.
1 ) COMUTATIVA → A ordem dos fatores não altera o produto. Exemplo: ⇒ 35 x 9 = 350 – 35 = 315
Exemplo: 2 x 3 = 3 x 2 ⇒ 28 x 19 = 28 x 20 – 28 = 532

2a) ELEMENTO NEUTRO → É o número 1. Porque o produto de qualquer número por 1 5ª) Multiplicação de um número por 11, 21, 31, 41.....
dá, como resultado, o próprio número. Multiplica-se o número por 10, 20, 30, 40.... e depois soma-se o próprio número.
Exemplo: 5 x 1 = 1 x 5 = 5 Exemplo: ⇒ 18 x 11 = 180 + 18 = 198
⇒ 32 x 21 = 32 x 20 + 32 = 672
3a) ASSOCIATIVA → O resultado de uma multiplicação não se altera quando
substituímos dois ou mais fatores pelo seu produto.
Exemplo:
2 x5 x8 = 10 x8( 10 = 2 x5 )ou
a) 
2 x 5 x 8 = ( 2 x 5 ) x 8
3 x5 x 9 x15 = 135 x15( 135 = 3 x5 x9 )ou
b) 
3 x5 x 9 x15 = ( 3 x5 x9 ) x15



DIVISÃO 9. (Geometriamar) Achar dois números inteiros e consecutivos, cuja soma seja 753.
(NOTA: Números inteiros e consecutivos são aqueles que diferem de uma unidade).
PROPRIEDADES:

1ª) Multiplicando-se ou dividindo-se o divisor de uma divisão por um número qualquer 10. (Geometriamar) Uma adição tem três parcelas. Somou-se “p” unidades a primeira e
( ≠ 0 ) o quociente fica dividido ou multiplicado pelo mesmo número. subtraiu-se “q” unidades da segunda. Para que o total não se altere devemos, na terceira
parcela:
2ª) Multiplicando-se ou dividindo-se o dividendo e o divisor de uma divisão por um mesmo
número ( ≠ 0 ) o quociente não se altera. a. somar ( q – p )
b. somar ( p – q )
IDENTIDADE FUNDAMENTAL DA DIVISÃO EXATA c. subtrair ( q – p )
d. subtrair ( p + q )
Em toda divisão exata, temos: D = q × d onde:
D→ dividendo; 11. (Geometriamar) (EPCAR-81) Em uma subtração, o resto é 6.012 e o minuendo é o
q → quociente; quádruplo do subtraendo. A diferença entre o resto e o subtraendo, nesta ordem, é:
d → divisor.

IDENTIDADE FUNDAMENTAL DA DIVISÃO INEXATA 12. (Geometriamar) Um aluno, quando multiplicou um número por 30, esqueceu de
colocar o zero à direita no produto encontrando desta forma um resultado inferior em
Em toda divisão inexata temos: D = q × d + r onde: 5535 unidades ao verdadeiro produto. Qual é o número que este aluno multiplicou por
30?
D → dividendo
q → quociente
d → divisor 13. (Geometriamar) Vinte pessoas, rapazes e moças, que passavam o verão numa praia,
r → resto deram um passeio de lancha, por um pagamento de Cr$ 600,00. Como os rapazes não
consentiram que as suas colegas pagassem, a quantia de cada rapaz foi aumentada de
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Cr$ 20,00. Quantas moças faziam parte do grupo?

3. (Geometriamar) Multiplicamos um número 10 e somamos 21 ao produto. O resultado
é 81. Qual é o número? 14. (Geometriamar) Durante a ceia de Natal, na mesa de 3 meninos, foi colocada uma
travessa com 60 castanhas. O 1º comeu mais 2 castanhas que o 2º e este mais 5 que o
3º. Quantas castanhas cada menino comeu, sabendo que sobraram 3 castanhas na
4. (Geometriamar) Adicionando 50 ao dobro de um número, obtém-se o dobro de 30. travessa?
Qual é o número?

15. (Geometriamar) Uma pessoa tem nove moedas num total de Cr$ 12,00. Sabendo-se
5. (Geometriamar) Um negociante vendeu certa mercadoria, que lhe custou Cr$ 650,00 que só tem moedas de Cr$ 0,50 e de Cr$ 2,00, pergunta-se quantas tem de uma e de
com um lucro de Cr$ 195,00. Por quanto deveria vender se quisesse ganhar o dobro? outra.

6. (Geometriamar) Carlos tinha 39 laranjas e deu 14 para Antônio sendo que este ficou 16. (Geometriamar) Um pomicultor, para expor os figos que colhera, condicionou-os em
agora com 7 a mais do que aquele. Com quantas laranjas ficou cada um? caixas de quatro dúzias cada uma; se os tivesse condicionado em caixas de três dúzias
cada uma, teria empregado 56 caixas a mais. Quantos figos o pomicultor colheu?

7. (Geometriamar) (CFS-78) Numa subtração, a soma do minuendo,, subtraendo e resto
é 1440. Se o resto é a quarta parte do minuendo, o subtraendo é: 17. (Geometriamar) Numa divisão, o quociente 135 é igual à soma do divisor com o resto.
Calcule o dividendo, sabendo que o resto é o maior possível.

8. (Geometriamar) A diferença entre dois números é 15. multiplicando-se o maior por
11, a diferença passa a ser 535. Os números são:



18. (Geometriamar) Um estudante ao efetuar uma adição cometeu os seguintes erros: 650 27. (Geometriamar) O multiplicando de uma multiplicação é 47 e o produto é “p”.
unidades a mais na primeira parcela, 815 a menos na segunda e 340 a mais na terceira, Somando-se 5 unidades ao multiplicador, o novo produto será:
encontrando, desta forma, o total de 2.136. Qual é a soma exata?
a. p + 47
b. p + 235
19. (Geometriamar) Um pai tem 55 anos e seus filhos 9, 11 e 13 anos. No fim de quanto c. p+5
tempo a idade do pai será igual à soma das idades dos filhos?
d. p − 235

20. (Geometriamar) Em uma subtração onde a soma do subtraendo com o resto é igual a 28. (Geometriamar) O dividendo de uma divisão, cujo divisor é igual a 5, o quociente é
40. Quanto vale o minuendo? igual a 7 e o resto é o maior possível, é igual a:

21. (Geometriamar) Uma senhora comprou duas dúzias de copos e 4 jarras, tudo por Cr$ 29. (Geometriamar) Numa divisão, o divisor é 15 e o resto é 6. Qual o menor número que
960,00. Quanto custou cada copo e cada jarra, sabendo-se que cada jarra custa tanto devemos somar ao dividendo para que o quociente aumente de uma unidade?
como 6 copos?
30. (Geometriamar) Numa divisão, o dividendo é 175, o resto é 15 e o divisor é o menor
22. (Geometriamar) O soldado João e o cabo Antônio têm quantias iguais. Se o cabo número inteiro possível. Quanto vale o quociente?
Antônio der Cr$ 100,00 ao soldado João, este ficará com que quantia a mais que o cabo
Antônio?

23. (Geometriamar) (CFS-80) A propriedade da adição que diz: “A ordem das parcelas
não altera a soma”, é:

a. Comutativa
b. Distributiva
c. Associativa
d. Elemento neutro

24. (Geometriamar) A soma de três números pares e consecutivos é 42. Determine o
menor desses números.

25. (Geometriamar) Que alteração sofre o resto de uma subtração quando somamos 15
unidades ao minuendo e subtraímos 8 unidades do subtraendo?

a. aumentado de 7 unidades
b. diminuído de 7 unidades
c. aumentado de 23 unidades
d. diminuído de 8 unidades
FIM
26. (Geometriamar) (CFS-75) Se, numa adição de três parcelas, multiplicarmos cada DÚVIDAS ON LINE - MSN
parcela por 5, a soma fica: geometriamar@live.com

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a. multiplicada por 5 http://www.geometriamar.com.br
b. multiplicada por 15
c. multiplicada por 3 Estude sempre e muito.
d. inalterada O seu sucesso é o meu descanso!!!


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