Texto sobre Lógica Matematica

1. Lógica Matemática
Genilson Gomes da Silva
1 Proposição
Denição 1.1 Chama-se proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que expri-
mem um pensamento de sentido completo, sendo ele verdadeiro ou falso.
Por exemplo, são proposições as três armações seguintes:
(a): O número 17 é primo.
(b): Fortaleza é a capital do Maranhão.
(c): Todo número primo maior do que 2 é ímpar.
Observação 1.1 Uma Proposição P é verdadeira se já é um axioma (uma armação de
sentido verdadeiro sem a necessidade de uma demonstração) da teoria ou então pode ser
reduzida (ou provada) a partir dos axiomas da teoria.
1.1 Princípios da Lógica
A Lógica Matemática repousa sobre dois princípios fundamentais que permite todo seu de-
senvolvimento posterior, e que dão validade a todos os atos do pensamento e do raciocínio.
São eles:
1. Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa
ao mesmo tempo.
2. Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa,
isto é, verica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
1.2 Proposições Simples e Proposições Compostas
O primeiro passo na construção de um linguagem simbólica, mais adequada à formulação
dos conseitos da Lógica, é a apresentação do que chmamos proposição simples.
Denição 1.2 Chama-se proposição simples aquela que não contém nenhuma outra
proposição como parte integrante de si mesma.
As proposições simples são em geral designadas pelas letras latinas minúsculas p, q, r, s, . . .,
chamadas letras proposicionais.
São exemplos de proposição simples:
p : A lua é um satélite da terra.
q : Pedro é estudante.
r : Todos os homens são mortais.
s : O número 25 é quadrado perfeito.
Denição 1.3 Chama-se proposição composta aquela formada pela combinação de
duas ou mais proposições.

2. Em geral designamos proposições compostas por letra latinas maiúsculas P, Q, R, S, . . .,
que também chamamos de letras proposicionais.
São exemplos de proposição composta:
P : Se pedro é estudante, então é feliz.
Q : Carlos é professor e Pedro é estudante.
R : Mário foi ao cinema ou Marcelo cou em casa.
1.3 Conectivos
Podemos perceber nos exemplos anteriores, que as proposições compostas P , Q e R, são
combinações de proposições simples separadas por conectivos.
Denição 1.4 Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas proposi-
ções a partir de outras.
A Lógica dispões de cinco conectivos: “e, “ou, “não, “se . . . então . . . e “ . . . se e
somente se . . . ”
Vejamos alguns exemplos:
P : Carlos é professor e Pedro é estudante.
Q : Mário foi ao cinema ou Marcelo cou em casa.
R : Não está chovendo.
S : Se pedro é estudante, então é feliz.
T : Um triângulo ABC é retângulo em B se e somente se AC 2 = AB 2 + BC 2 .
1.4 Tabela-Verdade
Além de proposições a Lógica dispõe de uma função chamada Valor Lógico que nos
permite associar a cada proposição simples um de dois valores lógicos.
Segundo o Princípio do terceiro excluido, toda proposição simples p é verdadeira
ou é falsa, isto é, tem valor lógico V (vedadeiro) ou valor lógico F (falsidade).
p
V
F
Porém, se a proposição for composta seu valor lógico depende unicamente dos valores
lógicos das proposições simples componentes, desta forma para que se possa determinar o
valor lógico de uma proposição composta dada, recorre-se quase sempre a um dispositivo
denominado tabela-verdade.
Para representar o valor lógico de uma dada proposição p, usa-se a seguinte notação:
V(p).
Vejamos os seguintes exemplo:
p: Fortaleza é a capital do Maranhão.
q : O número 17 é primo.
Temos:
V(p) = F, V(q ) = V

3. 2 Operações Lógicas sobre Proposições
2.1 Negação (∼)
Denição 2.1 Se p é uma proposição, assim a proposição representada por ∼ p é a ne-
gação de p, cujo valor lógico é vedade (V) quando p é falsa e a falsidade (F) quando p é
verdadeira.
Vejamos a tabela-verdade da negação:
p ∼p
V F
F V
2.2 Conjunção (∧)
Denição 2.2 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p∧q (que lê-se:
“p e q ) é a conjunção de p e q , cujo valor lógico é vedade (V) quando p e q são ambas
verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos.
Vejamos a tabela-verdade da conjunção:
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
2.3 Disjunção (∨)
Denição 2.3 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p∨q (que lê-se:
“p ou q ) é a disjunção de p e q , cujo valor lógico é vedade (V) quando pelo menos uma
das proposições p e q é verdadeira e a falsidade (F) as proposições p e q são ambas falsas.
Vejamos a tabela-verdade da disjunção:
p q p∨q
V V V
V F V
F V V
F F F
2.4 Disjunção Exclusiva ( ∨ )
A palavra “ou pode ter dois signicados, por exemplo:
Vejamos as seguintes proposições compostas:
P : Sou homem ou estudo matemática.
Q : João é cearense ou pernambucano.
Na proposição P temos que pelo menos um das proposições simples é verdadeira, po-
dendo ser ambas verdadeiras. Neste caso diz-se que este “ou é inclusivo (∨). Mas na
proposição Q, temos que as proposições simples não podem se ambas verdadeiras, pois não
é possível ocorrer “João é cearense e pernambucano. Neste caso o “ou é exclusivo, e
representado por ∨

4. Denição 2.4 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p ∨ q (que
lê-se: “p ou q ou “p ou q , mas não ambas) é a disjunção exclusiva de p e q , cujo
valor lógico é vedade (V) somente quando p verdadeira ou q é verdadeiras, mas não quando
ambas são verdadeiras e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas
falsas.
Vejamos a tabela-verdade da disjunção exclusiva:
p q p∨q
V V F
V F V
F V V
F F F
2.5 Condicional (→)
Denição 2.5 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p → q (que
lê-se: “se p então q é a proposição condicional, cujo valor lógico é falsidade (F) no
caso em que p é verdadeira e q é falsa, e a verdade (V) nos demais casos.
Temos que a proposição condicional p → q tem os seguintes signicados:
(i) p é condição suciente para q .
(ii) q é condição necessária para p.
Observação 2.1 O símbolo “ → ” é chamado símbolo de implicação.
Vejamos a tabela-verdade da condicional:
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
2.6 Bicondicional (↔)
Denição 2.6 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p ↔ q (que
lê-se: “p se e somente se q é a proposição bicondicional, cujo valor lógico é a verdade
(V) no caso em que p e q são ambas verdadeira ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos
demais casos.
Temos que a proposição bicondicional p ↔ q tem os seguintes signicados:
(i) p é condição necessária e suciente para q .
(ii) q é condição necessária e suciente para p.
Vejamos a tabela-verdade da bicondicional:
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V

5. 3 Tautologia, Contradição
3.1 Tautologia
Denição 3.1 Chama-se tautologia toda proposição composta cuja a última coluna da
sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdade).
Exemplo 3.1 A proposição “ ∼ (p ∧ ∼ p)” (principio da não contradição) é tautoló-
gica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
p ∼p p∧ ∼p ∼ (p ∧ ∼ p)
V F F V
F V F V
Portanto, dizer que uma proposição nõ pode ser simultâneamente verdadeira e falsa é
veradeiro.
3.2 Contradição
Denição 3.2 Chama-se contradição toda proposição composta cuja a última coluna da
sua tabela-verdade encerra somente a letra F (falsidade).
Exemplo 3.2 A proposição “p ∧ ∼ p” é uma contradição, conforme se vê pela sua
tabela-verdade:
p ∼p p∧∼p
V F F
F V F
Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultâneamente verdadeira e falsa é falso.
4 Implicação Lógica
Denição 4.1 Diz-se que uma proposição composta P implica uma proposição Q, se Q é
verdadeira (V) toda vez que P é verdadeira (V).
Em outras palavras, dizer que uma proposição P implica uma proposição Q, signica
que para os valores verdadeiros (V) de P não se pode ter valores falsos (F) em Q.
Notação: P ⇒ Q
A relações de implicação possui as seguintes propriedades:
Reexiva: P ⇒ P
Transitiva: Se P ⇒ Q e Q ⇒ R então P ⇒ R
Teorema 4.1 Dada uma proposição P e uma proposição Q diz-se que P inplica Q, ou
seja, P ⇒ Q se e somente se a condicional P → Q é tautológica.
Demonstração:
Se P implica Q, então os respectivos valores lógicos de P e Q não podem ser simul-
taneamente V e F , e por conseguinte a última coluna da tabela-verdade da condicional
encerra somente a letra V , daí a condicional é tautológica.
Reciprocamente, se a condicional é tautológica, isto é, se a última coluna da sua tabela-
verdade encerra somente a letra V , então não ocorre que os valores lógicos simultâneos das
proposições P e Q sejam respectivamente V e F e por conseguinte a primeira proposição
implica a segunda.
Portanto, a toda implicação lógica corresponde uma condicional tautológica, e vice-
versa.

6. 5 Equivalência Lógica
Denição 5.1 Diz-se que uma proposição P é equivalente a uma proposição Q se, suas
tabelas-verdades forem idênticas.
Notação: P ⇐⇒ Q
A relação de equivalência possui as seguintes propriedades:
Reexiva: P ⇐⇒ P
Simétrica: Se P ⇐⇒ Q, então Q ⇐⇒ P
Transitiva: Se P ⇐⇒ Q e Q ⇐⇒ R então P ⇐⇒ R
Teorema 5.1 A proposição P é equivalente à proposição Q, isto é, P ⇐⇒ Q se e somente
se a bicondicional P ↔ Q é tautológica.
Demonstração:
Seja P e Q proposição equivalentes, então têm tabelas verdades idênticas, desta forma
o valor lógico da bicondicional é sempre verdade (V), logo é tautológica.
Reciprocamente, se a bicondicional dada é tautológica, então tem-se que a última coluna
da tabela-verdade encerra somente em verdade (V) desta forma temos que os respectivos
valores lógicos de P e Q são ambos verdadeiros (V) ou ambos falsos (F), logo estas duas
proposições são equivalentes.
Portanto, a toda equivalência lógica corresponde uma bicondicional tautológica, e vice-
versa.