Toa do-trong-mat-phang

TRUNG TÂM BDVH & LUY N THI THÀNH ð T “Vì ch t lư ng th t trong giáo d c”
727– 583 TR N CAO VÂN – ðÀ N NG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 1- Ths. Nguy n Văn B y
M C L C
Trang
CHUYÊN ð 1: PHƯƠNG PHÁP T A ð TRONG M T PH NG
Phương trình ñư ng th ng………………………………………………………........……. 4
Phương trình ñư ng tròn…………………………………………………………….......… 17
Ba ñư ng Cônic………………………………………………………………….........…... . 26
CHUYÊN ð 2: PHƯƠNG PHÁP T A ð TRONG KHÔNG GIAN
Phương trình m t ph ng………………………………………………………..…….......... 36
Phương trình ñư ng th ng ……………………………………………………...........…… 56
Phương trình m t c u………………………………………………………….…..........…. 70
CHUYÊN ð 3: HÌNH H C KHÔNG GIAN……………………….......……… 73
Th tích c a kh i ña di n......................................................................................................88
Ch ng minh ñư ng th ng vuông góc m t ph ng...................................................................92
Ch ng minh hai m t ph ng vuông góc..................................................................................94
D ng ñư ng cao c a hình chóp.............................................................................................96
D ng m t m t ph ng vuông góc v i m t m t bên c a hình chóp.......................................102
Cách d ng hình chi u c a m t ñi m lên m t m t ph ng.....................................................104
Tìm góc gi a ñư ng th ng và m t ph ng.............................................................................107
Xác ñ nh góc gi a hai m t ph ng ........................................................................................111
Tính các kho ng cách...........................................................................................................103

A. TOÏM TÀÕTA. TOÏM TÀÕTA. TOÏM TÀÕTA. TOÏM TÀÕT LYÏ THUYÃÚTLYÏ THUYÃÚTLYÏ THUYÃÚTLYÏ THUYÃÚT::::
HÃÛ TRUÛC TOAÛ ÂÄÜHÃÛ TRUÛC TOAÛ ÂÄÜHÃÛ TRUÛC TOAÛ ÂÄÜHÃÛ TRUÛC TOAÛ ÂÄÜ
1. Bi u th c to ñ c a vectơ:
jyixuyxu +=⇔= ),(
v i )0,1(=i và )1,0(=j là các vectơ ñơn v .
2. Các tính tính ch t c a vectơ
Cho ),( yxu = , )','( yxv = và s th c k. Ta có:
)','( yyxxvu ±±=± ),( kykxuk =
22
yxu +=



=
=
⇔=
'
'
yy
xx
vu
3. Tích vô hư ng c a hai vectơ, góc gi a hai vectơ:
Cho hai vectơ ),( yxu = và )','( yxv = . Ta có:
• ''. yyxxvu +=
• 2222
''
''
),cos(
yxyx
yyxx
vu
++
+
=
HQ: 0. =⇔⊥ vuvu
4. To ñ c a vectơ xác ñ nh b i hai ñi m:
Cho A(xA, yA) và B(xB,, yB). Khi ñó to ñ vectơ AB là:
),( ABAB yyxxAB −−=
5. Hai vectơ cùng phương – Ba ñi m th ng hàng:
• ),( yxu = cùng phương )','( yxv = khi vku =
• Ba ñi m A, B, C th ng hàng khi AB cùng phương AC .
6. T a ñ trung ñi m I c a ño n AB:






+
=
+
=
2
2
BA
I
BA
I
yy
y
xx
x

7. Xác ñ nh các y u t trong tam giác:
a) Tr ng tâm G c a tam giác ABC
To ñ tr ng tâm G c a tam giác ABC:






++
=
++
=
3
3
CBÁ
G
CBA
G
yyy
x
xxx
x
b) Tr c tâm H c a tam giác ABC:
H là tr c tâm tam giác ABC khi: 



=
=
0.
0.
ACBH
BCAH
c) Tâm I ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC
I là tâm ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC: 



=
=
22
22
ICIB
IBIA
d) Chân ñư ng phân giác c a tam giác:
D là chân ñư ng phân giác h t ñ nh A khi DC
AC
AB
DB −=
e) Di n tích tam giác ABC:
•
222
).(.
2
1
ACABACABS −=
• BCAHS .
2
1
= ( AH là ñư ng cao h t ñ nh A)
• Gi s ),( baAB = và )','( baAC = thì:
baabS ''
2
1
−=
(Công th c này ch s d ng ñ ki m tra k t qu )
8. M t s trư ng h p ñ c bi t lưu ý:
• ði m M∈ Ox thì to ñ M có d ng M(x, 0)
• ði m M∈ Oy thì to ñ M có d ng M(0, y)
• V i ñi m M(x, y) ta có:
+ ði m M’ ñ i x ng v i M qua Ox thì M’(x, –y)
+ ði m M’ ñ i x ng v i M qua Oy thì M’(– x, y)

PHÆÅNG TRÇNH ÂÆÅÌNG THÀÓNGPHÆÅNG TRÇNH ÂÆÅÌNG THÀÓNGPHÆÅNG TRÇNH ÂÆÅÌNG THÀÓNGPHÆÅNG TRÇNH ÂÆÅÌNG THÀÓNG
A. TA. TA. TA. TOÏM TÀÕT:OÏM TÀÕT:OÏM TÀÕT:OÏM TÀÕT:
I. KI N TH C CƠ B N V ðƯ NG TH NG TRONG M T PH NG
1. Phương trình t ng quát c a ñư ng th ng:
ðư ng th ng (d) qua M(x0, y0) nh n ),( BAn = làm vectơ pháp
tuy n có phương trình t ng quát là:
A(x – x0) +B(y – y0) = 0
2. Phương trình tham s và phương trình chính t c c a ñư ng
th ng:
ðư ng th ng (d) qua M(x0, y0) nh n ),( baa = làm vectơ ch
phương có
∗∗∗∗ PT tham s



+=
+=
btyy
atxx
0
0
∗∗∗∗ PT chính t c: b
yy
a
xx 00 −
=
−
(ab ≠ 0)
∗∗∗∗ Chú ý: ðư ng th ng AB là ñư ng th ng qua ñi m A và nh n vectơ
AB làm vectơ ch phương.
3. ðư ng th ng (d) qua M(x0, y0) có h s góc k có phương trình:
)( 00 xxkyy −=−
4. Quan h v vuông góc và song song c a hai ñư ng th ng:
Cho ñư ng th ng (d) có phương trình: Ax + By + C = 0.
+ ðư ng th ng (∆) vuông góc v i (d) có d ng: –Bx + Ay + m = 0
+ ðư ng th ng (∆) song song v i (d) có d ng: Ax + By + m = 0
(m ≠ C)
N u bi t thêm (∆) ñi qua ñi m M(x0, y0) thì th to ñ M vào các
ñư ng th ng trên ñ tìm m.
4. ð tính kho ng cách t m t ñi m M(xo,yo) ñư ng th ng
(∆ ): Ax + By + C = 0 ta dùng công th c :
d(M,∆ ) = 22
00
BA
CByAx
+
++

5. Góc gi a hai ñư ng th ng :
1∆ : A1x + B1y + C1 = 0
2∆ : A2x + B2y +C2 = 0
Công th c : cos( 1∆ , 2∆ ) = 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A A B B
A B A B
+
+ +
6. Phương trình c a hai ñư ng ñư ng phân giác c a các góc h p b i
1∆ và 2∆ :
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
Ax By C Ax By C
A B A B
+ + + +
= ±
+ +
II. KI N TH C LIÊN QUAN ð N TAM GIÁC - T GIÁC
I. Tr ng tâm G c a tam giác ABC:
• G là giao ñi m c a ba ñư ng trung tuy n AA’,
BB’ và CC’
•
2
' ' ' 3AA
AG BG CG
BB CC
= = =
• T a ñ tr ng tâm G:
A B C
G
B CÁ
G
x x x
x
3
y y y
x
3
+ +
=

+ + =

• Do AA’ = 3GA’ và 'AA cùng hư ng 'GA nên
'AA = 3 'GA
II. Tr c tâm H c a tam giác ABC:
• H là giao ñi m c a ba ñư ng cao AM. BN và
CK.
• N u có t a ñ A, B và C. Mu n tìm H ta dùng
h :
AH BC
BH AC
⊥

⊥
III. Tâm I c a ñư ng tròn ngo i ti p tam giác
ABC:
• I là giao ñi m c a ba ñư ng trung tr c c a ba
c nh.
• M, N, K là các trung ñi m các c nh AB, BC và
CA thì:
IM ⊥ AB, IN ⊥ BC và IK ⊥ AC

• N u có t a ñ A, B và C mu n tìm I ta dùng h
IA = IB = IC
IV. Tâm J c a ñư ng tròn n i ti p tam giác
ABC:
• J là giao ñi m ba ñư ng phân giác trong c a
tam giác.
• G i M , N và K là hình chi u vuông góc c a J
lên
các c nh AB, BC và CA thì
JM = JN = JK
V. Tính ch t tia phân giác c a góc:
Cho Oz là tia phân giác c a góc xOy . Hai tính
ch t hay dùng là:
+ N u M thu c tia Ox và N là ñi m ñ i x ng
v i M qua Oz thì N thu c tia Oy.
+ N u A thu c tia Oz thì d(A, Ox) = d(A, Oy)
VI. Tam giác cân:
Tam giác ABC cân t i A thì:
+ AB = AC, ABC ACB=
+ ðư ng trung tuy n h t ñ nh A v a là ñư ng
cao, ñư ng phân giác, ñư ng trung tr c.
CB
A
VII. Tam giác ñ u:
+ Ba ñư ng trung tuy n ñ ng th i là ba ñư ng
cao, ba ñư ng phân giác, ba ñư ng trung tr c.
+ Tr ng tâm cũng chính là tr c tâm, tâm ñư ng
tròn n i ti p, tâm ñư ng tròn ngo i ti p.
VIII. Tam giác vuông:
Tam giác ABC vuông t i A thì:
+ Tâm ñư ng tròn ngo i ti p là trung ñi m c nh
huy n.
+ M là trung ñi m c nh huy n BC thì MA = MB
= MC
IX. Hình bình hành ABCD:
• AB = CD, AD = BC
• AB //CD và AD // BC
• Tâm I là giao ñi m c a hai ñư ng chéo AC và
BD
IA = IC và IB = ID

X. Hình thoi ABCD:
• Có các tính ch t c a hình bình hành
• AB = BC = CD = DA
• Hai ñư ng chéo vuông góc v i nhau.
• M i ñư ng chéo là m t ñư ng phân giác
c a hai góc nó ñi qua
XI. Hình ch nh t ABCD
• Có các tính ch t c a hình bình hành
• Hai c nh liên ti p vuông góc v i nhau.
• Hai ñư ng chéo b ng nhau.
• I là tâm c a hình ch nh t thì
IA = IB = IC = ID
XII. Hình vuông ABCD:
• Có b n c nh b ng nhau.
• Hai ñư ng chéo b ng nhau và vuông
góc v i nhau
• M i ñư ng chéo là m t ñư ng phân giác
hai góc mà nó ñi qua.
B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:
Ví d 1: Vi t phương trình t ng quát c a ñư ng th ng (∆) qua ñi m
M(7; 2) và có vectơ pháp tuy n ( ; )n = −4 1 .
Gi i:
ðư ng th ng (∆) qua ñi m M(7; 2) và có vectơ pháp tuy n ( ; )n = −4 1 có
phương trình t ng quát là:
–4(x – 7) + 1.(y – 2) = 0
⇔ –4x + y + 26 = 0
Ví d 2: Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho hai ñư ng th ng (d1):
4x + 3y + 3 = 0 và (d2): x + 7y + 1 = 0
a) Tính kho ng cách t ñi m M(1; 2) ñ n ñư ng th ng (d1).
b) Tính kho ng cách t ñi m N(2;–1) ñ n ñư ng th ng (d2).
Gi i
a) Kho ng cách t ñi m M(1; 2) ñ n ñư ng th ng (d1) là

1 2 2
| 4.1 3.2 3| 13
d(M,d )
54 3
+ +
= =
+
b) Kho ng cách t ñi m N(2; –1) ñ n ñư ng th ng (d2) là
2 2 2
|1.2 7.( 1) 1| 4 2 2
d(M,d )
55 21 7
+ − +
= = =
+
Ví d 3: Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho hai ñư ng th ng (d1):
2x – y + 3 = 0, (d2): 2x – 4y + 1 = 0 và (d3): x – y – 2 = 0.
a) Tìm ñi m M ∈ (d1) sao cho kho ng cách t ñi m M ñ n (d3) b ng 2 .
b)Tìm ñi m A thu c ñư ng th ng (d3) sao cho kho ng cách t M ñ n
(d1) b ng 2 l n kho ng cách t M ñ n (d2).
Gi i
a) Do M ∈ (d1): y = 2x – 3 nên M(a; 2a – 3)
3 2 2
| a (2a 3) 2|
d(M,d ) 2 |1 a | 2
1 1
1 a 2 a 3 M(3;3)
1 a 2 a 1 M( 1; 5)
− − −
= = ⇔ − =
+
− = = ⇒ 
⇔ ⇔ − = − = − ⇒ − − 
b) Ta có (d3): y = x – 2 ⇒ A(a; a – 2) ∈ (d3)
.
1 2
| 2a (a 2) 3| 2| 2a 4(a 2) 1|
d(A,d ) 2d(A;d )
5 20
a 5 2a 9
| a 5| | 2a 9|
a 5 ( 2a 9)
4 4 2
a A ;
3 3 3
a 14 A(14;12)
− − + − − +
= ⇔ =
+ = − +
⇔ + = − + ⇔  + = − − +
  
= ⇒ − ⇔  
= ⇒
V y có hai ñi m th a mãn ñ toán là
4 2
A ;
3 3
 
− 
 
và A(14; 12).
Ví d 4: Trong màût phàóng Oxy cho ba ñi m A(1; –2), B(0; 2) và C(–
1; – 3).
a) Vi t phương trình ñư ng cao h t A c a tam giác ABC.
b) Tìm to ñ ñi m A’ ñ i x ng v i A qua ñư ng th ng (BC).

Gi i:
a) ðư ng cao AH ñi qua ñi m A, có vectơ pháp tuy n n = BC =(–1; –5)
⇒⇒⇒⇒ (AH): –1(x – 1) – 5( y + 2) = 0
⇔ x + 5y + 9 = 0
b) + ðư ng th ng (BC) ñi qua ñi m B có vectơ pháp tuy n n = (5 ; –1)
⇒⇒⇒⇒ (BC) : 5x – (y – 2) = 0 ⇔ 5x – y + 2 = 0
+ To ñ hình chi u H c a A lên ñư ng th ng (BC) là :
19
5 9 0 26
5 2 0 43
26
x
x y
x y
y

= −+ + = 
⇔ 
− + =  = −

⇒⇒⇒⇒ H( 26
43
;
26
19
−− )
+ A’ ñ i x ng v i A Qua ñư ng th ng (BC) ⇔ H là trung ñi m AA’.
⇒⇒⇒⇒ A’( 13
17
;
13
32
−− )
Ví d 5: Trong màût phàóng Oxy cho âæåìng thàóng (d): x + y – 2 = 0, (d’) :
3x – y + 8 = 0. Vi t phương trình ñư ng th ng (∆ ) c t (d), (d’) l n lư t
M, N sao cho I(1 ; 2) là trung ñi m MN.
Gi i :
Ta có : (d) : y = 2 – x ⇒⇒⇒⇒ M(a ; 2–a) ∈ (d)
(d’) : y = 3x + 8 ⇒⇒⇒⇒ N(b ; 3b + 8) ∈(d’)
I là trung ñi m MN ⇔ 


−=
=
⇔



=+−
=+
⇔






+
=
+
=
1
3
4103
2
2
2
b
a
ab
ba
yy
y
xx
x
NM
I
NM
I
V y M(3; –1) và N(–1; 5) ⇒⇒⇒⇒ MN =(–4; 6) . Do ñó vectơ pháp tuy n
n =(6 ; 4).
⇒⇒⇒⇒ ∆ : 6(x – 3) + 4(y + 1) = 0 ⇔ 6x + 4y – 14 = 0 ⇔ 3x + 2y – 7 = 0
Ví d 6: Trong màût phàóng Oxy cho tam giaïc ABC cán taûi A, coï B nàòm
trãn âæåìng thàóng (d): x + y – 2 = 0, âènh A(2; –1) vaì troüng tám tam giaïc
ABC laì G(–1; – 2). Xaïc âënh toaû âäü caïc âènh B vaì C.
Gi i

Goüi M(x; y) laì trung âiãøm cuía BC ta coï:GM = (x + 1; y + 2), AG = (–3;
–1)
G laì troüng tám tam giaïc ABC nãn: AG = 2GM . Do âoï M(
5
2
−
;
5
2
−
)
Tam giaïc ABC cán nãn BC ⊥ AG. Do âoï phæång trçnh âæåìng thàóng
(BC) laì
(BC): 3x + y + 10 = 0
B laì giao âiãøm cuía (BC) vaì (d) nãn B(– 6; 8). Tæì âoï ta coï C(1; – 13)
Ví d 7: Trong màût phàóng Oxy cho âæåìng thàóng (d): 2x – 3y + 1 = 0 vaì
âiãøm M(3; –2). Tam giaïc ABC vuäng taûi B, coï trung âiãøm cuía âoaûn AC
laì I(3; 1), âènh A nàòm trãn truûc hoaình vaì caûnh AB nàòm trãn âæåìng thàóng
(d). Xaïc âënh toaû âäü A, B vaì C.
Gi i
Ta có : (AB): 2x – 3y + 1 = 0 vaì A ∈Ox nãn A(
1
2
− ; 0). Trung âiãøm I
cuía AC laì I(3 ; 1), suy ra C(
2
13
; 2). Âæåìng thàóng (BC) ⊥ (AB) nãn (BC):
6x + 4y – 47 = 0. Tæì âoï B 





13
50
;
26
137
.
Ví d 8 : Trong màût phàóng Oxy cho tam giaïc ABC coï âènh A nàòm trãn
âæåìng thàóng (d): x – 4y – 2 = 0, caûnh BC song song våïi (d), phæång
trçnh âæåìng cao BH: x + y + 3 = 0 vaì trung âiãøm caûnh AC laì M(1; 1).
Tçm toaû âäü âènh A, B vaì C.
Gi i
Vç AC ⊥ BH nãn coï VTPT laì n = (1; – 1).
Phæång trçnh caûnh AC: x – 1 – (y – 1) = 0 ⇔ x – y = 0
Toaû âäüü âènh A laì nghiãûm cuía hãû :



=−
=−−
0
024
yx
yx
⇔⇔⇔⇔






−=
−=
3
2
3
2
y
x
⇒⇒⇒⇒ A(–
2
3
; –
2
3
)

Vç M laì trung âiãøm cuía AC nãn C
8 8
;
3 3
 
 
 
Caûnh BC song song våïi (d) nãn (BC): x – 4y + m = 0 ( m ≠ – 2).
Vç C
8 8
;
3 3
 
 
 
∈ BC nãn 3
8
– 3
32
+ m = 0 ⇒⇒⇒⇒ m = 8
Phæång trçnh caûnh BC: x – 4y + 8 = 0
Toaû âäü B laì nghiãûm cuía hãû:



=++
=+−
03
084
yx
yx
⇔⇔⇔⇔



=
−=
1
4
y
x
⇒⇒⇒⇒ B( – 4; 1)
Ví d 9 : Trong mp Oxy cho ba ñi m A(2 ; 1), B(1 ; –1) và C(2 ; –1)
a) Vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua ñi m A và cách ñ u hai ñi m B
và C.
b) Vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua ñi m B và cách ñi m C m t
ño n b ng 1.
Gi i
a) + G i n =(a ; b) là vectơ pháp tuy n c a ñư ng th ng ∆ c n tìm.
⇒⇒⇒⇒ (∆ ) : a(x – 2) + b(y – 1) = 0 ⇔ ax + by – 2a – b = 0.
+ d(B; ∆ ) = d(C; ∆ ) ⇔ 2222
222
ba
baba
ba
baba
+
−−−
=
+
−−−
⇔ |–3a – 2b| = |–2b| ⇔ –3a – 2b = –2b ∨ –3a – 2b = 2b
⇔ a = 0 ∨ b = –
4
3
a.
• V i a = 0, ch n b = 1 ta có (∆ ) : y – 1 = 0
• V i b = –
4
3
a, ch n a = 4, b = – 3 ta có (∆ ): 4x – 3y = 5 = 0.
b) + G i n =(a ; b) là vectơ pháp tuy n c a ñư ng th ng ∆ ’ c n tìm.
⇒⇒⇒⇒ (∆ ) : a(x – 1) + b(y + 1) = 0 ⇔ ax + by – a + b = 0.
+ d(C; ∆ ’) = 1⇔
22
22
|2|1
22
bab
ba
baba
+=−⇔=
+
−−−
baba 33 22
±=⇔=⇔
• V i a = 3 b, ch n a = 3, b = 3 ta có
(∆ ’): 3x + 3 y – 3 + 3 = 0
• V i a = – 3 b, ch n a = 3, b = – 3 ta có

(∆ ’): 3x – 3 y – 3 – 3 = 0
Ví d 10: Trong m t ph ng v i h tr c t a ñ Oxy, cho tam giác ABC có
A(1; 2), ñư ng trung tr c c nh BC và ñư ng trung tuy n k t B l n
lư t n m trên hai ñư ng th ng (d1): 2x – 4y – 7 = 0 và (d2): x – y – 2 =
0. Tìm t a ñ hai ñ nh B và C.
Gi i
G i B(a; a – 2) ∈ (d2) và C(b; c). Khi ñó:
T a ñ trung ñi m c nh BC là
2
;
2 2
a b a c
M
+ + − 
 
 
.
T a ñ trung ñi m c nh AC là
1 2
;
2 2
b c
N
+ + 
 
 
.
Vec tơ ch phương c a ñư ng th ng (BC) là: ( ; 2)BC b a c a= − − + .
Vectơ ch phương c a ñư ng trung tr c c nh BC là (2;1)u = .
Ta có: Ta có:
1
2
1
( ) 2( 2) 7 0
( )
1 2
( ) 2 0
2 2
( )
2( ) 1( 2) 0
2 3 3
5 4
3 2 2 1
a b a c
M d
b c
N d
BC d
b a c a
a b c a
b c b
a b c c
+ − + − − =∈  + + 
∈ ⇔ − − = 
 ⊥ − + − + =
− + − = = 
 
⇔ − = ⇔ = 
 − + + = − = − 
V y B(3; 1) và C(4; –1).
Ví d 11: Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, hãy vi t phương trình các
c nh c a tam giác ABC bi t tr c tâm (1;0)H , chân ñư ng cao h t ñ nh
B là (0; 2)K , trung ñi m c nh AB là (3;1)M .
Gi i
+ ðư ng th ng AC qua K và nh n
( 1; 2)HK = − làm vec tơ pháp tuy n nên
( ): 2 4 0.AC x y− + =

+ Phương trình ñư ng th ng BK là:
( ):2 2 0BK x y+ − = .
+ Do ,A AC B BK∈ ∈ nên
(2 4; ), ( ; 2 2 ).A a a B b b− −
M t khác (3;1)M là trung ñi m c a AB
nên:
2 4 6 2 10 4
.
2 2 2 2 0 2
a b a b a
a b a b b
− + = + = =  
⇔ ⇔  
+ − = − = =  
Suy ra: (4; 4), (2; 2).A B −
+ ðư ng th ng AB qua A có vectơ ch phương là ( 2; 6)AB = − − , suy ra:
( ):3 8 0AB x y− − = .
+ ðư ng th ng BC qua B nh n (3; 4)HA = làm vectơ pháp tuy n nên:
( ):3 4 2 0.BC x y+ + =
V y phương trình các c nh c a tam giác ABC là:
( ): 2 4 0,AC x y− + = ( ):3 8 0AB x y− − = , ( ):3 4 2 0.BC x y+ + =
C. BÀI T P T LUY N:
Bài 1: Trong m t ph ng Oxy cho hình ch nh t ABCD có tâm I( 2
1
, 0),
phương trình ñư ng th ng AB là: x – 2y + 2 = 0 và BC = 2AB. Tìm to
ñ các ñ nh hình ch nh t bi t r ng A có hoành ñ âm.
HD:
+ G i M là trung ñi m AB thì M là hình chi u c a I lên (AB)
⇒ T a ñ M.
+ Do BC = 2AB nên AB = IM. Do ñó A, B là các giao ñi m c a ñư ng
tròn (C) tâm M ñư ng kính AB.
+ A, B là giao ñi m c a (C) và ñư ng th ng (AB).
Bài 2: Trong m t ph ng v i h tr c to ñ Oxy, cho hình vuông ABCD
có A(2; 1), c nh BD c a hình vuông n m trên ñư ng th ng (d): x – y + 3
= 0. Xác ñ nh t a ñ các ñ nh B, C và D.
HD:
+ Tâm I c a hình vuông là hình chi u c a A lên (BD).
+ Tính IA suy ra IB. Hai ñ nh B, D là giao ñi m c a ñư ng tròn tâm I
bán kính IB v i ñư ng th ng (d).

Bài 3: Trong m t ph ng v i h tr c to ñ Oxy, cho tam giác ABC
vuông t i A có phương trình ñư ng trung tuy n h t A là (d): x + y – 1
= 0, phương trình c nh BC là 2x – y + 3 = 0 và ñ nh C thu c tr c Oy.
Vi t phương trình c nh AB c a tam giác.
HD:
+ G i I là trung ñi m BC thì I là giao ñi m c a (d) và (BC).
+ C là giao ñi m c a Oy và (BC).
+ I là trung ñi m BC nên tìm ñư c B.
+ A ∈ (d) và 2AI = BC suy ra ñư c A.
Bài 4: Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho tam giác ABC bi t
phương trình các ñư ng th ng ch a các c nh AB, BC l n lư t là 4x + 3y
– 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong c a góc A n m trên ñư ng th ng
(d): x + 2y – 6 = 0. Tìm t a ñ các ñ nh c a tam giác ABC.
HD
+ ð nh B = AB ∩ BC.
+ ð nh A = AB ∩ (d).
+ G i B’ là ñi m ñ i x ng v i B qua ñư ng th ng (d) thì B’ ∈ (AC) (Vì
(d) là phân giác trong góc A)
+ ðư ng th ng AC qua A và M. T ñó tìm ñư c C.
Bài 5: Cho tam giác ABC có ñ nh A(2; 1), phương trình hai ñư ng cao
h t B và C l n lư t là (d1): x – y + 1 = 0 và (d2): 2x + y + 2 = 0. Xác
ñ nh t a ñ ñ nh B, C và vi t phương trình c nh BC.
HD:
+ ðư ng th ng AC qua A và vuông góc (d1). Suy ra t a ñ ñ nh C =
(AC) ∩ (d2).
+ ðư ng th ng AB qua A và vuông góc (d2). Suy ra t a ñ ñ nh C =
(AB) ∩ (d1).
Bài 6: Cho tam giác ABC có phương trình các c nh AB: 2x – y + 1 = 0,
AC: x + y + 2 = 0 và tr ng tâm G(1; –3). Xác ñ nh t a ñ tr c tâm tam
giác ABC.
HD:
+ B(b; 2b + 1) ∈ (AB) và C(c; –c – 2) ∈ (AC).
+ G là tr ng tâm ∆ABC ⇒ b và c. T ñó tìm ñư c B và C.

+ H(x; y) là tr c tâm ∆ABC ⇔ AH ⊥ BC và BH ⊥ AC ⇒ H.
Bài 7: Cho tam giác ABC có phương trình các ñư ng phân giác trong h
t ñ nh B là (d): x – y + 1 = 0, ñư ng cao h t ñ nh C là (d’): x + 2y + 2
= 0 và ñ nh A(–2; –1). Xác ñ nh t a ñ ñ nh B và C c a tam giác ABC.
HD:
+ Vi t phương trình ñư ng th ng (AB) qua A và vuông góc v i (d’).
+ B = (AB) ∩ (d).
+ G i A’ là ñi m ñ i x ng v i A qua (d) thì A’ ∈ (BC). T ñó vi t ñư c
phương trình ñư ng th ng (BC).
+ C = (BC) ∩ (d’).
Bài 8: Cho hai ñi m A(2; 1), B(–4; 3) và ñư ng th ng dm : x + 2y – 3+
m = 0. Xác ñ nh m ñ trên ñư ng th ng dm có ñúng m t ñi m N sao cho
tam giác ABN vuông t i N.
HD:
+G i M(3 – m – 2a; a) ∈ (dm).
+ Tam giác ABN vuông t i N ⇔ AN ⊥ BN. Ta ñư c phương trình b c
hai n a, tham s m.
+ T n t i m t ñi m N th a ñ bài ⇔ Phương trình b c hai trên có ñúng 1
nghi m.
Bài 9: Cho hai ñư ng th ng (d): 2x – y + 3 = 0, (d’): x – y – 2 = 0 và
ñi m A(–3; 6). Vi t phương trình ñư ng th ng c t ñư ng th ng (d) và
(d’) l n lư t B, C sao cho ñi m G(–1; 2) là tr ng tâm c a tam giác ABC.
HD:
+ G i B(b; 2b + 3) và C(c; c – 2).
+ G là tr ng tâm ∆ABC suy ra b và c. Do ñó tìm ñư c B và C.
+ ðư ng th ng (d) ñi qua B và C.
Bài 10: Trong m t ph ng Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình hai
c nh AB, AD th t là: x + 2y – 2 = 0 và 2x + y + 1= 0. C nh BD ch a
ñi m M (1; 2) . Tìm to ñ các ñ nh c a hình thoi.
HD:
+ A = AB ∩ AD.
+ G i B(2b – 2; b) và D(d; –2d –1). Do ∆ABD cân t i A và M ∈ BD nên
AB = AD và M, B, D th ng hàng suy ra ñư c b và d. T ñó tìm ñư c B
và D.

+ G i I là trung ñi m BD ta tìm ñư c I. T ñó tìm ñư c C.
Bài 11: Trong m t ph ng Oxy, xác ñ nh to ñ các ñi m B và C c a tam
giác ñ u ABC bi t A (3;– 5)  và tr ng tâm G(1; 1).
HD:
+ G i M là trung ñi m BC. Suy ra t a ñ M và ñ dài ño n th ng AM,
MB.
+ ðư ng th ng BC qua M và ⊥ AM.
+ B, C thu c ñư ng tròn tâm M, bán kính MB.
Bài 12: Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, cho tam giác ABC v i
5AB = , C(–1; –1), ñư ng th ng AB có phương trình x + 2y – 3 = 0 và
tr ng tâm G c a tam giác ABC thu c ñư ng th ng x + y - 2 = 0. Hãy
tìm to ñ các ñi m A và B.
Bài 13: Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho hình ch nh t ABCD
có di n tích b ng 12, tâm I là giao ñi m c a hai ñư ng th ng (d1): x – y
– 3 = 0 và (d2): x + y – 6 = 0. Trung ñi m M c a c nh AD là giao ñi m
c a ñư ng th ng (d1) v i tr c Ox. Tìm to ñ các ñ nh c a hình ch
nh t.
HD:
+ Tìm ñư c I = (d1) ∩ (d2) và M = Ox ∩ (d1) ⇒
9 3
; , (3;0)
2 2
I M
 
 
 
+ AB = 2IM = 3 2
+ SABCD = AB.AD =12 ⇒ AD = 2 2
+ Vi t phương trình ñư ng th ng AD và ñư ng tròn ñư ng kính AD.
Suy ra hai ñi m A và D.
Bài 14: Trong m t ph ng Oxy, cho hình bình hành ABCD có di n tích
b ng 4. Bi t to ñ các ñ nh A(2; 0) , B (3;0) và I là giao ñi m c a hai
ñư ng chéo AC và BD, I n m trên ñư ng th ng x – y = 0. Xác ñ nh to
ñ các ñi m C, D.
HD:
+ SIAB =
1
4
SABCD = 1 và AB = 1.
+ Do SIAB = 1 nên d(I, AB) = 2.
+ G i I(a; a). Dùng d(I, AB) = 2 ⇒ a = 2, a = – 2.
⇒ I ⇒ C và D.
Bài 15: Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy cho tam giác ABC có ñ nh
A(2; 1), tr c tâm H(–1; 2) và tr ng tâm G(4; – 1). Tìm t a ñ các ñ nh B,
C.

ÂÆÅÌNG TROÌNÂÆÅÌNG TROÌNÂÆÅÌNG TROÌNÂÆÅÌNG TROÌN
A. TOÏM TÀÕT PHÆÅNGA. TOÏM TÀÕT PHÆÅNGA. TOÏM TÀÕT PHÆÅNGA. TOÏM TÀÕT PHÆÅNG PHAÏP:PHAÏP:PHAÏP:PHAÏP:
1. Phương trình ñư ng tròn :
(C): (x – a )2
+ ( y – b )2
= R2
là ñư ng tròn có tâm I(a,b) , bán kính R.
D ng khác c a ñư ng tròn:
x2
+ y2
+ 2Ax + 2By + C = 0 ( A2
+ B2
– C > 0 )
là phương trình ñư ng tròn tâm I(–A,– B) , bán kính R= 2 2
A B C+ −
2. Phương trình ti p tuy n c a ñư ng tròn
a) ði u ki n ti p xúc gi a ñư ng th ng và ñư ng tròn:
ðư ng th ng (∆) ti p xúc ñư ng tròn (C) ⇔ d(I, ∆) = R
b) Phương pháp vi t phương trình ti p tuy n c a ñư ng tròn:
Bài toán 1: Vi t phương trình ti p tuy n c a ñư ng tròn (C) t i ñi m
M(x0, y0) thu c (C):
Ti p tuy n c a (C) t i M là ñư ng th ng qua M nh n vectơ IM làm
vectơ pháp tuy n.
Bài toán 2: Vi t phương trình ti p tuy n c a ñư ng tròn(C) qua ñi m
M(x0 ;y0).
+ ðư ng th ng (∆) qua M(x0, y0) nh n ),( BAn = có phương trình:
A(x – x0) + B(y – y0) = 0
+ ði u ki n (∆) ti p xúc ñư ng tròn (C) ⇔ d(I, ∆) = R.
T ñó tìm A và B, suy ra phương trình ti p tuy n (∆) c a (C).
Bài toán 3: Vi t phương trình ti p tuy n c a ñư ng tròn (C) song song
( ho c vuông góc) v i ñư ng th ng (d) cho trư c.
+ Vi t d ng phương trình ñư ng th ng (∆) song song ( ho c vuông
góc) v i (d).
+ Dùng ñi u ki n ti p xúc ñ suy ra ñư ng th ng (∆).
3. ði u ki n ti p xúc c a hai ñư ng tròn:
Cho hai ñư ng tròn C(I, R) và C(I’, R’) ta có:
+ (C) ti p xúc ngoài (C’) ⇔ R + R’ = II’
+ (C) ti p xúc trong (C’) ⇔ R – R' = II’

4. Lưu ý:
• ði m M n m ngoài ñư ng tròn (C) thì t M k ñư c ñ n (C) hai ti p tuy n.
G i MA, MB là các ti p tuy n thì ta có các tính ch t sau:
+ MA = MB
+ AB ⊥ IM
+ IA ⊥ MA và IB ⊥ MB.
+ IM là ñư ng phân giác c a góc AMB và
cũng là ñư ng phân giác c a góc AIB
• N u ñi m A thu c hai ñư ng tròn
(C1): x2
+ y2
+ 2A1x + 2B1y + C1 = 0
và (C2): x2
+ y2
+ 2A2x + 2B2y + C2 = 0
thì t a ñ A cũng th a
(x2
+ y2
+ 2A1x + 2B1y + C1) – (x2
+ y2
+ 2A2x + 2B2y + C2) = 0
⇔ 2(A1 – A2)x + 2(B1 – B2)y + (C1 – C2) = 0
nên A thu c ñư ng th ng (∆):2(A1 – A2)x + 2(B1 – B2)y + (C1 – C2) = 0
V n d ng: N u hai ñư ng tròn (C1): x2
+ y2
+ 2A1x + 2B1y + C1 = 0
và (C2): x2
+ y2
+ 2A2x + 2B2y + C2 = 0 c t nhau t i hai ñi m A, B thì l p lu n
như trên ta ñư c A, B ∈ (∆):2(A1 – A2)x + 2(B1 – B2)y + (C1 – C2) = 0 nên ñư ng
th ng (AB) chính là (∆).
Ví duï 1: Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC bieát
A(–1;2) , B(2;0) , C(–3;1). Vieát phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam
giaùc ABC.
Giaûi:
Phöông trình ñöôøng troøn coù daïng: 2 2
( ): 2 2 0C x y ax by c+ − − + =
5 2 4 0(1)
, , ( ) 4 4 0(2)
10 6 2 0(3)
a b c
A B C c a c
a b c
+ − + =

∈ ⇔ − + =
 + − + =
11
14
13
14
100
14
a
b
c

= −


⇒ = −


= −

Vaäy (C) : 0
14
100
7
13
7
1122
=−−−+ yxyx

Ví d 2: Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho tam giác ABC có ñ nh
A(2; –1), B(0; 1) và C(1; 3).
a) G i H là hình chi u vuông góc c a ñi m B lên ñư ng th ng AC. Tìm
t a ñ ñi m H và vi t phương trình ñư ng tròn ngo i ti p tam giác
HBC.
b) Vi t phương trình ñư ng tròn tâm thu c tr c hoành, ti p xúc ñư ng
th ng (∆): 3x + 4y + 10 = 0 và ñi qua ñi m C.
Gi i
a) ðư ng th ng (AC) ñi qua A và có vectơ ch phương la AC ( 1;4)= − nên
có phương trình là
x 2 t
y 1 4t
= −

= − +
4(x – 2) + (y + 1) = 0 ⇔ 4x + y – 7 = 0
ðư ng th ng (BH) qua B và vuông góc ñư ng th ng (AC) nên có
phương trình là
(x – 0) – 4(y – 1) = 0 ⇔ x – 4y + 4 = 0
T a ñ ñi m H th a h phương trình
24
x
4x y 7 0 24 2317
H ;
x 4y 4 0 23 17 17
y
17

=+ − =   
⇔ ⇒   − + =    =

G i I là trung ñi m BC thì
1
I ;2
2
 
 
 
. Do tam giác HBC vuông t i H nên
ñư ng tròn (C) ngo i ti p tam giác HBC có tâm là
1
I ;2
2
 
 
 
và bán kính
là
1 5
R BC
2 2
= = . V y phương trình ñư ng tròn (C) là
2
21 5
(C): x (y 2)
2 4
 
− + − = 
 
b) G i I(a; 0) ∈ (Ox) là tâm c a ñư ng tròn (C).
ðư ng tròn (C) qua C và ti p xúc (∆)

2 2
2
2
|3a 10|
d(I, ) IC (a 1) ( 3)
5
| 3a 10| 5 a 2a 10
a 5
16a 110a 150 0 15
a
8
+
⇔ ∆ = ⇔ = − + −
⇔ + = − +
=
⇔ − − = ⇔
 =

+ V i a = 5 thì (C) có tâm I(5; 0) và bán kính R = 5 nên
(C): (x – 5)2
+ y2
= 25
+ V i
15
a
8
= thì (C) có tâm
15
I ;0
8
 
 
 
và bán kính
5 2
R d(I, )
4
= ∆ = nên
2
215 25
(C): x y
8 8
 
− + = 
 
Ví d 3: Trong màût phàóng Oxy cho âæåìng troìn (C): x2
+ y2
– 4x + 2y – 4
= 0 vaì âæåìng thàóng (∆): 3x + 4y + 13 = 0
a) Viãút phæång trçnh tiãúp tuyãún cuía âæåìng troìn (C) song song våïi âæåìng
thàóng (∆ ).
b) Viãút phæång trçnh âæåìng thàóng âi qua âiãøm M(4; 0) càõt âæåìng troìn
(C) theo mäüt dáy cung coï âäü daìi bàòng 4 2
Gi i:
a) (C): x2
+ y2
– 4x + 2y – 4 = 0 coï tám I(2 ; –1), R = 3vaì âæåìng thàóng
(∆): 3x + 4y + 13 = 0.
Âæåìng thàóng (d) // (∆) ⇒ (d) : 3x + 4y + m = 0. (d) tiãúp xuïc våïi âæåìng
troìn (C) ⇔ d(I ; d) = R. Tæì âoï tçm âæåüc m = 13 hoàûc m = –17. Do âoï
hai tiãúp tuyãún cáön tçm laì : 3x + 4y – 17 = 0 ( Âthàóng 3x + 4y + 13 = 0 bë
loaûi)
b) Goüi A, B laì giao âiãøm cuía d våïi âæåìng troìn vaì K laì trung âiãøm
AB khi âoï IK = 1. Do âoï d laì âæåìng thàóng qua âiãøm M caïch tám I
âæåìng troìn mäüt khoaíng bàòng 1.
Goüi n = (A ; B) laì vectå phaïp tuyãún cuía (d).

Khi âoï
(d) : Ax + By – 4A = 0.
d(I ; d) = 1 ⇔ | –2A – B| = 22
BA + ⇔ 3A2
+ 4B = 0
⇔ A = 0 hoàûc 3A = – 4B.
Tæì âoï ta âæåüc hai âæåìng thàóng laì: y = 0 vaì 4x – 3y – 16 = 0
Ví d 4: Trong maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä Oxy cho hoï ñöôøng troøn
2 2 2
( ): 2 4 5 1 0mC x y mx my m+ − + + − =
a) Chöùng minh raèng hoï ( )mC luoân luoân tieáp xuùc vôùi hai ñöôøng thaúng coá
ñònh.
b) Tìm m ñeå ( )mC caét ñöôøng troøn 2 2
( ): 1C x y+ = taïi hai ñieåm phaân
bieät A vaø B.
Gi i:
a) Caùch 1:
Phöông trình (Cm) laø ( ) ( )2 22 1x m y m− + + =
Taâm I(m, –2m) vaø R = 1.
Goïi ñöôøng thaúng luoân tieáp xuùc (Cm) laø: Ax + By + C = 0 ( )∆
Ta coù:
d(I, ( )∆ ) = R, ∀ m
2 2( 2 ) ,m A B C A B m⇔ − + = + ∀
2 0 2
2 2 5.
A B A B
C BC A B
− = = 
⇔ ⇔ 
= ±= + 
Vaäy (Cm) tieáp xuùc vôùi 2 ñöôøng thaúng coá ñònh laø: 2 5 0x y+ ± =
Caùch 2:
Vì hoï (Cm) coù baùn kính R = 1 baènh nhau vaø taäp hôïp taâm I laø
ñöôøng thaúng d:2x + y = 0 neân luoân toàn taïi 2 ñöôøng thaúng ( )∆ coá ñònh
tieáp xuùc vôùi (Cm). Ñöôøng thaúng ( )∆ ôû treân song song vôùi d vaø caùch d
moät ñoaïn baèng 1.
( )∆ // d ⇒ ( )∆ : 2x +y + C = 0
d(( )∆ / d)=1 1
4 1
C
⇔ =
+
5C⇔ = ±

Vaäy (∆): 2 5 0x y+ + ± =
b) (Cm) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. (C) coù taâm O vaø baùn kính
R'=1
Ta coù OI=
2 24 5m m m+ =
(Cm) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät ' 'R R OI R R⇔ − < < +
0 5 2 0m m⇔ < < ⇔ ≠ vaø
2
5
m <
Ví d 5: Trong maët phaúng Oxy cho hai ñöôøng troøn:
2 2
1( ) : 2 4 4 0C x y x y+ − + − = ,
2 2
2( ) : 4 4 56 0C x y x y+ + − − = .
Chöùng minh 1( )C tieáp xuùc vôùi 2( )C .Vieát phöông trình toång quaùt cuûa taát
caû caùc tieáp tuyeán chung cuûa(C1 ) vaø 2( )C .
Gi i :
Ta coù ( )
1
C coù taâm I (1;–2) vaø baùn kính R1 =3, ( )
2
C coù taâm J(–2,2) vaø
baùn kính 2
R = 8. Ta coù: IJ= 9 16+ = 5 = 2 1
R R−
Vaäy ( )
1
C vaø ( )
2
C tieáp xuùc trong taïi ñieåm coù toïa ñoä thoûa
14
2 2 2 4 4 0 5
2 2 224 4 56 0
5
x
x y x y
x y x y x

= + − + − = 
⇔ 
 + + − − = = −

Ti p tuy n chung ñi qua ñi m M( )
5
22
;
5
14
− và vuông góc IM nên phöông
trình tieáp tuyeán chung laø: 3x – 4y – 26 = 0.
Ví d 6: Cho hai ñư ng tròn
(C) : x2
+ y2
– 8x + 4x – 4 = 0 và (C’) : x2
+ (y – 1)2
= 1
Ch ng minh r ng (C) và (C’) ti p xúc ngoài nhau. Vi t phương trình ti p
tuy n chung c a chúng t i ti p ñi m.
Gi i
ðư ng tròn (C) có tâm I(4 ; –2) và bán kính R = 4. ðư ng tròn (C’) có
tâm I’(0; 1) bán kính R’ = 1.

2 2
II' ( 4) 3 5= − + = và R + R’ = 5
⇒ II’ = R + R’
Do ñó (C) và (C’) ti p xúc ngoài.
T a ñ ti p ñi m M mãn h phương trình
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
x y 8x 4y 4 0 x y 8x 4y 4 0
x (y 1) 1 x y 2y 0
4x 2
8x 6y 4 0 y
3
x y 2y 0
x y 2y 0
(laáy (1) - (2))
 + − + + = + − + + = 
⇔ 
+ − = + − =  
−
− + + = = 
⇔ ⇔ 
+ − =  + − =
2
2
2
4x 2
y
3
44x 2 xy4x 2 4x 2 53x 2 0
23 3
y25x 40x 16 0
5
−
=

 −⇔ = =− −      + − = ⇔ ⇔           =− + =  
⇒
4 2
M ;
5 5
 
 
 
Ti p tuy n chung c a (C) và (C’) t i M ñi qua M và có vectơ pháp tuy n
là n II' ( 4;3)= = − nên có phương trình là
4 2
4 x 3 y 0 4x 3y 2 0
5 5
   
− − + − = ⇔ − + + =   
   
Ví d 2: Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy , cho ñư ng tròn (C): (x –
4)2
+ y2
= 4 và ñi m E(4 ; 1). Tìm t a ñ ñi m M trên tr c tung sao cho
t M k ñư c 2 ti p tuy n MA , MB c a ñư ng tròn (C) v i A, B là các
ti p ñi m sao cho ñư ng th ng AB qua ñi m E.

ðư ng tròn (C) có tâm I(4 ; 0) bán kính R = 2
G i M(0 ,m ) thu c tr c tung . 2
16IM m R= + >
V y qua M có 2 ti p tuy n ñ n (C)
Do A và B cùng nhìn ño n IM dư i m t góc vuông nên A, B thu c
ñư ng tròn (C’) ñư ng kính IM.
ðư ng tròn (C’) có tâm là 2;
2
m
J
 
 
 
và bán kính 21 1
16
2 2
R IM m= = +
(J là trung ñi m IM) nên có phương trình:
( )
2 2
2 2 216
( '): 2 4 0
2 4
m m
C x y x y x my
+ 
− + − = ⇔ + − − = 
 
T a ñ A và B th a mãn h phương trình:
2 2
2 2
4 0 1)
8 12 0 (2)
(x y x my
x y x
 + − − =

+ − + =
L y (1) tr (2) ta ñư c: 4x – my – 12 = 0 (*)
T a ñ các ti p ñi m A, B ñ u th a (*) nên ñư ng th ng AB là:
4x – my – 12 = 0
Do E thu c AB nên: 16 –m – 12 = 0 ⇔ m = 4
V y M(0 ; 4 ).
C.C.C.C. BAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN:BAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN:BAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN:BAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN:
Bài 1: Cho ñư ng tròn (C): 25)2()1( 22
=−+− yx và ñi m
A(–3, –2). Vi t phương trình ñư ng th ng (d) qua ñi m A c t (C) t i hai
ñi m M và N sao cho MN = 8.
Bài 2: Cho ñư ng tròn (C): 066222
=+−−+ yxyx và ñi m M(2, 4).
a) Vi t phương trình ñư ng th ng (d) c t (C) t i hai ñi m A và B sao
cho M là trung ñi m AB.
b) G i I là tâm ñư ng tròn (C), tính di n tích tam giác IAB.
c) Vi t phương trình ñư ng tròn (C’) ñ i x ng v i (C) qua ñư ng
th ng (d) 2x – y – 1 = 0.
Bài 3: Cho ñư ng tròn (C) : x2
+ y2
+ 2x – 4y – 4 = 0 và ñi m A(3 ; 5).
Hai ti p tuy n qua A c a (C) ti p xúc v i (C) t i M, N. Vi t phương
trình ñư ng th ng MN.
Bài 4: L p phương trình ñư ng tròn ñi qua các ñi m A(–1, 1) và
B(1, –3) có tâm n m trên ñư ng th ng ∆: 2x – y + 1 = 0

Bài 5: Trong m t ph ng Oxy cho ñư ng tròn (C) : x2
+ y2
= 1. ðư ng
tròn (C') tâm I (2,2) c t (C) t i các ñi m A, B sao cho AB 2= . Vi t
phương trình ñư ng th ng AB.
. Baìi 6: Cho ñư ng tròn (C): 03422
=+−+ xyx .
a) Vi t phương trình ñư ng th ng (d) ñi qua ñi m M(1, 1) và c t
ñư ng tròn (C) t i A, B sao cho tam giác IAB vuông, v i I là tâm
c a (C).
b) Tìm ñi m N trên ñư ng th ng (d): x – y + 2 = 0 sao cho t N k
ñư c ñ n (C) hai ti p tuy n vuông góc v i nhau.
Bài 7: Cho hai ñư ng tròn
(C): (x – 1)2
+ (y – 2)2
= 9 và (C’) : (x + 2) + y2
= 1.
Vi t phương trình ti p tuy n chung c a (C) và (C’).

BA ðƯ NG CÔNIC
A. TOÏM TÀÕT
I.I.I.I. ÂÆÅÌNG ELIPÂÆÅÌNG ELIPÂÆÅÌNG ELIPÂÆÅÌNG ELIP
1. ð nh nghĩa: (E) = {M(x; y)/ MF1 + MF2 = 2a}
2. Phương trình chính t c: 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
(b2
= a2
– c2
, a > b > 0)
3. Các y u t c a Elíp:
• Tiêu ñi m: F1(–c; 0), F2(c; 0)
• Tiêu c : F1F2 = 2c
• ð nh: A1(–a; 0), A2(a; 0),
B1(0; –b), B2(0; b).
• ð dài tr c l n: A1A2 = 2a
ð dài tr c bé: B1B2 = 2b
• Tr c ñ i x ng: Ox, Oy
• Tâm ñ i x ng: O
• Hình ch nh t ñư c gi i h n b i các ñư ng th ng x = ± a, y = ± b
g i là hình ch nh t cơ s c a (E).
• Tâm sai: e = a
c
(e < 1)
• Bán kính qua tiêu: MF1 = a + exM , MF2 = a – exM
• Phương trình các ñư ng chu n: x = c
a
e
a 2
±=±
4. Phương pháp v (E):
+ Xác ñ nh các ñ nh và v hình ch nh t cơ s (v b ng bút chì)
+ V (E) ñi qua các ñ nh và n i ti p trong hình ch nh t cơ s theo
hình d ng ñã h c.
5. Phương pháp tìm các y u t c a (E): Tìm các h s a, b, c.
6. Phương pháp l p phương trình chính t c c a (E): Tìm a2
, b2
.
II.II.II.II. ÂÆÅÌNG HYPEBOLÂÆÅÌNG HYPEBOLÂÆÅÌNG HYPEBOLÂÆÅÌNG HYPEBOL
1. ð nh nghĩa:
(H) = { M | |MF1 – MF2| = 2a } ( 0 < a < c )
2. Phương trình chính t c: 12
2
2
2
=−
b
y
a
x

• c2
= a2
+ b2
• Tiêu ñi m: F1 ( – c, 0) , F2 (c, 0)
• Tiêu c : F1F2 = 2c .
• Tâm sai: e = a
c
> 1.
• ð dài tr c th c: A1A2 = 2a
• ð dài tr c o: B1B2 = 2b
• ð nh: A1 ( – a, 0) , A2 ( a, 0)
• Ti m c n : x
a
b
y ±=
3. Bán kính qua tiêu: N u M(x; y) ∈ (H) thì MF1 và MF2 g i là bán
kính qua tiêu c a (H):
x
a
c
aMFr +== 11
x
a
c
aMFr −== 22
5. Phương trình ñư ng chu n:
∗ ∆1 : c
a
e
a
x
2
−=−= ( ng v i F1 )
∆2 : c
a
e
a
x
2
== ( ng v i F2)
∗ Kho ng cách gi a hai ñư ng chu n e
a
2
∗ Kho ng cách t g c O ñ n ñư ng chu n e
a
III. ÂÆÅÌNG PARABOLPARABOLPARABOLPARABOL
1.Âënh nghéa:
(P) = { M / MF = d(M, ∆) }
∗ F: Tiãu âiãøm.
∗ (∆) : âæåìng chuáøn.
∗ Tám sai: e = 1.
2. Phæång trçnh chênh tàõc
y2
= 2px (p > 0)

p : goüi laì tham säú tiãu
∗ Tiãu âiãøm : F( 2
p
, 0)
∗ Âæåìng chuáøn : 2
p
x −=
∗ Baïn kênh qua tiãu cuía âiãøm M thuäüc (P) : 2
p
xMFr +==
Ví d 1 : Cho elip (E) :
2 2
1
4 1
x y
+ = và ñư ng th ng (d) : 2x - y + m = 0
a) Xác ñ nh to ñ tiêu ñi m, tiêu c , tâm sai và phương trình ñư ng
chu n c a (E).
b) Xác ñ nh m ñ (d) c t (E) t i hai ñi m phân bi t.
Gi i:
a) a = 2, b = 1 và c = 3 nên :
+ Tiêu ñi m F1( - 3 ; 0), F2( 3 ; 0)
+ Tiêu c F1F2 = 2 3
+ Tâm sai: e = a
c
= 2
3
+ Phương trình các ñư ng chu n: x = e
a
± =
3
4
.
b) Ta có: (d): y = 2x + m. Phương trình hoành ñ giao ñi m:
04416174)2(41
1
)2(
4
2222
22
=−++⇔=++⇔=
+
+ mmxxmxx
mxx
(*)
(d) c t (E) t i hai ñi m phân bi t ⇔ pt (*) có hai nghi m phân bi t
⇔ ∆ ’ > 0 ⇔ 16m2
- 17(4m2
- 4) > 0
⇔ - 52m2
+ 68 > 0 ⇔ 13
17
13
17
<<− x
Ví d 2: Cho elip (E) :
2 2
1
4 1
x y
+ = . G i F1, F2 là hai tiêu ñi m c a (E)
và M, N là hai ñi m thu c (E) tho mãn MF1 + 2NF2 = 3, tính MF2 +
2NF1.
a) Vì M, N ∈ (E) nên: MF1 + MF2 = 2a = 4 (1)

NF1 + NF2 = 2a = 4 ⇒⇒⇒⇒ 2NF1 + 2NF2 = 8 (2)
C ng (1) và (2) ta có:
MF1 + MF2 + 2NF1 + 2NF2 = 12
⇔ MF2 + 2NF1 + MF1 + 2NF2 = 12
⇔ MF2 + 2NF1 = 9.
Ví d 3: Cho (H) coï phæång trçnh
2 2
1
9 4
x y
− =
a) Xaïc âënh tiãu âiãøm, tiãu cæû, phæång trçnh caïc âæåìng tiãûm cáûn cuía
(H).
b) Tìm hai ñi m M, N ∈(H) ñ i x ng nhau qua tr c hoành sao cho
tam giác OMN vuông cân t i O.
Gi i:
a) a = 3, b = 2 ⇒ c = 10
+ Tiêu ñi m F1( – 10 ; 0), F2( 10 ; 0)
+ Tiêu c F1F2 = 2 10 .
+ Tâm sai:
2
3
b
y x x
a
= ± = ±
b) G i M(a; b) thì N(a; – b) và ta có :
2 2
1
9 4
a b
− = (1)
Tam giác OMN vuông cân t i O
⇔ OM ⊥ ON ⇔ a2
– b2
= 0 ⇔ a2
= b2
(2)
Thay (2) vào (1) ta có: a2
= 5 ⇔ a = 5±
V y các c p ñi m c n tìm là:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5; 5 , 5; 5 5; 5 , 5; 5
5; 5 , 5; 5 5; 5 , 5; 5
hoaëc
hoaëc hoaëc
M N M N
M N M N
− −
− − − − − −
Ví d 4: Cho parabol (P): y2
= 4x và ñư ng th ng (d): x + y + m = 0.
a) Xác ñ nh tiêu ñi m, phương trình ñư ng chu n c a (P).
b) Xác ñ nh m ñ (d) c t (P) t i hai ñi m A, B sao cho OA ⊥ OB.
Gi i :
a) p = 2 ⇒⇒⇒⇒ tiêu ñi m F(1 ; 0) và phương trình ñư ng chu n: x = –1
b) Phương trình hoành ñ giao ñi m c a (P) và (d):
(– x – m)2
= 4x ⇔ x2
+ 2(m – 4)x + m2
= 0 (1)
(d) c t (P) t i hai ñi m A, B ⇔ pt(1) có hai nghi m phân bi t

⇔ (m – 4)2
– m2
> 0 ⇔ – 8m + 16 > 0 ⇔ m < 2.
Khi ñó ta có : xA+ xB = – 2(m – 4)
xAxB = m2
và A(xA ; –xA – m), B(xB ; – xB – m).
Do ñó : OA =(xA ; –xA – m), OB =(xB ; –xB – m)
V y, OA ⊥ OB ⇔ OA OB = 0 ⇔ xAxB + (– xA – m)(– xB – m) = 0
⇔ 2xAxB + (xA + xB)m + m2
= 0
⇔ 2m2
- 2(m - 4)m + m2
= 0
⇔ m2
+ 8m = 0 ⇔ m = 0 ∨ m = -8 (tho mãn ñi u ki n có nghi m)
Ví d 5: Cho ñi m A(0; 3), parabol (P): y2
= x và ñi m M ∈ (P) sao
cho yM = a. Xác ñ nh M ñ AM ng n nh t.
Gi i:
M ∈(P) nên M(a2
; a). Do ñó ñ dài AM là:
AM = 4 2 4 2
( 3) 6 9a a a a a+ − = + − +
Xét 4 2
( ) 6 9f a a a a= + − + , ta có:
3
4 2
4 2 6
'( )
2 6 9
a a
f a
a a a
+ −
=
+ − +
f’(a) = 0 ⇔ a = 1
B ng bi n thiên :
x – ∞ 1 +∞
y’ – 0 +
y
5
⇒ min(AM) = 5 khi a = 1.
V y ñi m M(1 ; 1).

C.C.C.C. BAÌI TÁÛPBAÌI TÁÛPBAÌI TÁÛPBAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN:TÆÛ LUYÃÛN:TÆÛ LUYÃÛN:TÆÛ LUYÃÛN:
Bài 1: Trong m t ph ng Oxy, vi t phương trình chính t c c a Elip có ñ
dài tr c l n b ng 24 , các ñ nh tr c nh và các tiêu ñi m cùng n m trên
m t ñư ng tròn.
Bài 2: Cho (E) 1
916
22
=+
yx
và ñi m I(1; 2) .
a) Tìm ñ dài các tr c, tiêu ñi m và tâm sai.
b) Tìm ñi m M thu c (E) sao cho MF1 = 2MF2.
c) Vi t phương trình ñư ng th ng (d) qua I c t (E) t i A và B sao cho
I là trung ñi m c a AB.
Bài 3: Trong mp Oxy cho C(2; 0) và (E): 1
14
22
=+
yx
. Tìm to ñ các
ñi m A, B thu c (E), bi t r ng hai ñi m A và B ñ i x ng v i nhau qua
tr c hoành và tam giác ABC là tam giác ñ u.
Bài 4: Cho hybebol (H) có phương trình 1
4
2
2
=− y
x
a) Xác ñ nh tiêu ñi m, tiêu c , phương trình các ñư ng ti m c n c a
(H).
b) G i M(x0, y0) thu c (H). Ch ng minh tích các kho ng cách t M
ñ n hai ti m c n c a (H) không ph thu c v trí M.
Bài 5: Cho hybebol (H): 1
54
22
=−
yx
và ñư ng th ng ∆ : x – y + m = 0
a) Ch ng minh r ng ∆ luôn c t (H) t i hai ñi m N, M thu c hai nhánh
c a (H).
b) Gi s xM < xN và F1, F2 là hai tiêu ñi m c a (H). Tìm m ñ
F2N = 2F1M
c) Vi t phương trình chính t c c a elip nh n hai ñ nh c a (H) làm tiêu
ñi m và hai tiêu ñi m c a (H) làm hai ñ nh.

ð THI TUY N SINH ð I H C
(T NĂM 2003 ð N NĂM 2009)
Kh i B– 2003:
Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC có AB = AC, BAC = 900
. Bi t
M(1,–1) là trung ñi m c a c nh BC và G(
3
2
, 0) là tr ng tâm tam giác.
Tìm to ñ các ñ nh A, B và C.
Kh i D– 2003:
Trong mp Oxy cho ñư ng tròn (C): 4)2()1( 22
=−+− yx và ñư ng
th ng (d): 01 =−− yx .
a. Vi t phương trình ñư ng tròn (C’) ñ i x ng v i (C) qua (d).
b. Tìm to ñ giao ñi m c a (C) và (C’).
Kh i A – 2004:
Trong mp Oxy cho A (0, 2) và B (– )1,3 − . Tìm t a ñ tr c tâm và tâm
ñư ng tròn ngo i ti p tam giác OAB.
Kh i B – 2004:
Trong m t ph ng v i h tr c t a ñ Oxy cho cho hai ñi m A(1, 1), B(4,
–3). Tìm ñi m C thu c ñư ng th ng 012 =−− yx sao cho kho ng cách
t C ñ n ñư ng th ng AB b ng 6.
Kh i D – 2004:
Trong m t ph ng Oxy cho cho tam giác ABC có A(–1, 0), B(4, 0) và
C(0, m). v i m≠ 0. Tìm ñi m to ñ tr ng tâm G c a tam giác ABC theo
m. Xác ñ nh m ñ tam giác GBC vuông t i G.
Kh i A – 2005:
Trong mp Oxy cho hai ñư ng th ng
(d1): x – y = 0 và (d2): 2x + y – 1 + 0
Tìm to ñ các ñ nh hình vuông ABCD bi t r ng A thu c (d1), C thu c
(d2) và các ñ nh B, D thu c tr c hoành.
Kh i B – 2005:
Trong mp Oxy cho A (2, 0) và B(6, 4). Vi t phương trình ñư ng tròn (C)
ti p xúc tr c hoành t i ñi m A và kho ng cách t tâm c a (C) ñ n ñi m
B b ng 5.

Kh i D – 2005:
Trong mp Oxy cho C(2; 0) và (E): 1
14
22
=+
yx
. Tìm to ñ các ñi m A,
B thu c (E), bi t r ng hai ñi m A và B ñ i x ng v i nhau qua tr c hoành
và tam giác ABC là tam giác ñ u.
Khäúi A – 2006:
Trong mp Oxy cho ba ñư ng th ng:
d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0, d3: x – 2y = 0.
Tìm to ñ ñi m M trên ñư ng th ng d3 sao cho kho ng cách t M
ñ n ñư ng th ng d1 b ng hai l n kho ng cách t M ñ n ñư ng th ng d2.
Khäúi B – 2006:
Trong m t ph ng Oxy cho ñư ng tròn (C): x2
+ y2
– 2x – 6y + 6 = 0
và ñi m M(–3; 1). G i T1, T2 là các ti p ñi m c a các ti p tuy n k t M.
Vi t phương trình ñư ng th ng T1T2.
Khäúi D – 2006:
Trong m t ph ng Oxy cho ñư ng tròn (C): x2
+ y2
– 2x – 2y + 1 = 0 và
ñư ng th ng d: x – y + 3 = 0. Tìm M trên d sao cho ñư ng tròn tâm M
bán kính g p ñôi bán kính ñư ng tròn (C) ti p xúc ngoài v i (C).
Khäúi A – 2007:
Trong m t ph ng Oxy cho ta m giác ABC coa A(0; 2), B(–2; –2) và C(4;
2). G i H là chân ñư ng cao k t B; M, N l n lư t là trung ñi m c a
các c nh AB và BC. Vi t phương trình ñư ng tròn ñi qua các ñi m H, M
và N.
Khäúi B – 2007:
Trong m t ph ng Oxy cho ñi m A(2; 2) và các ñư ng th ng
d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y – 8 = 0
Tìm to ñ ñi m B và C l n lư t thu c d1, d2 sao cho tam giác ABC
vuôn cân t i A.
Khäúi D – 2007:
rong m t ph ng Oxy cho ñư ng tròn (C): (x – 1)2
+ (y + 2)2
= 9 và
ñư ng th ng d: 3x – 4y + m = 0. Tìm m ñ trên d ñ có duy nh t m t

ñi m P mà t ñó k ñư c hai ti p tuy n PA, PB t i (C) (A, B là ti p
ñi m) sao cho tam giác PAB ñ u.
Khäúi A – 2008:
Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, hãy vi t phương trình chính t c c a
elíp (E) bi t r ng (E) có tâm sai b ng 3
5
và hình ch nh t cơ s c a (E)
có chu vi b ng 20.
Khäúi B – 2008:
Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, hãy xác ñ nh t a ñ ñ nh C c a tam
giác ABC bi t r ng hình chi u vuông góc c a C trên ñư ng th ng AB là
ñi m H(−1;−1), ñư ng phân giác trong c a góc A có phương trình x
− y + 2=0 và ñư ng cao k t B có phương trình 4x + 3y −1=0.
Khäúi D – 2008:
Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho parabol (P) : y2
=16x và ñi m
A(1; 4). Hai ñi m phân bi t B, C (B và C khác A) di ñ ng trên (P) sao
cho góc BAC = 900
. Ch ng minh r ng ñư ng th ng BC luôn ñi qua m t
ñi m c ñ nh.
Khäúi A – 2009
Trong m t ph ng v i h to ñ cho hình ch nh t ,Oxy cho hình
ch nh t ABCD có ñi m là giao ñi m c a hai ñư ng chéo là I(6;2) .
ði m M(1; 5) thu c ñư ng th ng AB và trung ñi m E c a c nh CD
thu c ñư ng th ng x + y – 5 = 0 . Vi t phương trình ñư ng th ng
AB.
Khäúi B – 2009
Trong m t ph ng v i h to ñ cho ñư ng tròn ,Oxy ñư ng tròn
(C): (x – 2)2
+ y2
= 4/5 và hai ñư ng th ng d1: x – y = 0, d2: x – 7y
= 0. Xác ñ nh t a ñ tâm K và bán kính c a ñư ng tròn (C1), bi t r ng
(C1) ti p xúc d1, d2 và tâm K thu c ñư ng tròn (C).
Khäúi D – 2009

Trong m t ph ng v i h to ñ ,Ox cho tam giác ABC có M(2; 0) là
trung ñi m c a c nh AB. ðư ng trung tuy n và ñư ng cao qua ñ nh A
l n lư t có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0, 6x – y – 4 = 0. Vi t phương
trình ñư ng th ng AC.

Toa do-trong-mat-phang

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (16)

Ähnlich wie Toa do-trong-mat-phang

Ähnlich wie Toa do-trong-mat-phang (20)

Mehr von gadaubac2003

Mehr von gadaubac2003 (20)

Toa do-trong-mat-phang