Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Die SlideShare-Präsentation wird heruntergeladen. ×

24hchiase.com toadophang

Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 1
TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường t...
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 2
+ Với t a b b a
2 2 4 2
,
5 5 5 5
- -
= Þ - = Þ = = x y: 7 9 0Þ D - - =
Câu...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 3
Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đ...
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Wird geladen in …3
×

Hier ansehen

1 von 59 Anzeige

Weitere Verwandte Inhalte

Diashows für Sie (20)

Anzeige

Ähnlich wie 24hchiase.com toadophang (20)

Weitere von gadaubac2003 (20)

Anzeige

24hchiase.com toadophang

  1. 1. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 1 TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d x y1 : 7 17 0- + = , d x y2 : 5 0+ - = . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d d1 2, một tam giác cân tại giao điểm của d d1 2, . · Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là: x y x y x y ( ) x y ( ) 1 2 2 2 2 2 7 17 5 3 13 0 3 4 0 1 ( 7) 1 1 D D - + + - é + - = = Û ê - - =ë+ - + Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1D hoặc 2D . KL: x y3 3 0+ - = và x y3 1 0- + = Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d x y1 : 2 5 0- + = . d x y2 :3 6 –7 0+ = . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. · d1 VTCP a1 (2; 1)= - r ; d2 VTCP a2 (3;6)= r Ta có: a a1 2. 2.3 1.6 0= - = uur uur nên d d1 2^ và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: d A x B y Ax By A B: ( 2) ( 1) 0 2 0- + + = Û + - + = d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450 A B A B A AB B B A A B 0 2 2 2 2 2 2 2 3 cos45 3 8 3 0 3 2 ( 1) - é = Û = Û - - = Û ê = -ë+ + - * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d x y:3 5 0+ - = * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x y: 3 5 0- - = Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d x y:3 5 0+ - = ; d x y: 3 5 0- - = . Câu hỏi tương tự: a) d x y1 : 7 17 0- + = , d x y2 : 5 0+ - = , P(0;1). ĐS: x y3 3 0+ - = ; x y3 1 0- + = . Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d x y1 :3 5 0+ + = , d x y2 :3 1 0+ + = và điểm I(1; 2)- . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt d d1 2, lần lượt tại A và B sao cho AB 2 2= . · Giả sử A a a d B b b d1 2( ; 3 5) ; ( ; 3 1)- - Î - - Î ; IA a a IB b b( 1; 3 3); ( 1; 3 1)= - - - = - - + uur uur I, A, B thẳng hàng b k a IB kIA b k a 1 ( 1) 3 1 ( 3 3) ì - = - Þ = Û í- + = - -î uur uur · Nếu a 1= thì b 1= Þ AB = 4 (không thoả). · Nếu a 1¹ thì b b a a b a 1 3 1 ( 3 3) 3 2 1 - - + = - - Û = - - AB b a a b t t 22 2 2 ( ) 3( ) 4 2 2 (3 4) 8é ù= - + - + = Û + + =ë û (với t a b= - ). t t t t2 2 5 12 4 0 2; 5 Û + + = Û = - = - + Với t a b b a2 2 0, 2= - Þ - = - Þ = = - x y: 1 0Þ D + + =
  2. 2. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 2 + Với t a b b a 2 2 4 2 , 5 5 5 5 - - = Þ - = Þ = = x y: 7 9 0Þ D - - = Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1 : 1 0+ + = , d x y2 : 2 – –1 0= . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho MA MB2 0+ = uuur uuur r . · Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1). Từ điều kiện MA MB2 0+ = uuur uuur r tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0 Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d x y d x y1 2: 1 0, : –2 2 0+ + = + = lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA. · A d A a a MA a a B d B b b MB b b 1 2 ( ) ( ; 1 ) ( 1; 1 ) ( ) (2 2; ) (2 3; ) ìì Î ïì - - = - - - Û Þí í íÎ - = -î ïî î uuur uuur . Từ A, B, M thẳng hàng và MB MA3= Þ MB MA3= uuur uuur (1) hoặc MB MA3= - uuur uuur (2) (1) Þ A d x y B 2 1 ; ( ) : 5 1 03 3 ( 4; 1) ì æ ö - -ï ç ÷ Þ - - =í è ø ï - -î hoặc (2) Þ ( )A d x y B 0; 1 ( ): 1 0 (4;3) ì - Þ - - =í î Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d x y d x y1 2:3 5 0, : 4 0- - = + - = lần lượt tại A, B sao cho MA MB2 –3 0= . · Giả sử A a a d1( ;3 5)- Î , B b b d2( ;4 )- Î . Vì A, B, M thẳng hàng và MA MB2 3= nên MA MB MA MB 2 3 (1) 2 3 (2) é = ê = -ë uuur uuur uuur uuur + a b a A B a b b 5 5 52( 1) 3( 1) (1) ; , (2;2)22(3 6) 3(3 ) 2 22 ì æ öïì - = - =Û Û Þí í ç ÷- = -î è øï =î . Suy ra d x y: 0- = . + a b a A B a b b 2( 1) 3( 1) 1 (2) (1; 2), (1;3) 2(3 6) 3(3 ) ì 1 ì- = - - = Û Û Þ -í í- = - - =î î . Suy ra d x: 1 0- = . Vậy có d x y: 0- = hoặc d x: 1 0- = . Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho OA OB( 3 )+ nhỏ nhất. · PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): x y a b 1+ = (a,b>0) M(3; 1) Î d Cô si ab a b a b 3 1 3 1 1 2 . 12 - = + ³ Þ ³ . Mà OA OB a b ab3 3 2 3 12+ = + ³ = a b a OA OB b a b min 3 6 ( 3 ) 12 3 1 1 2 2 ì = ï ì = Þ + = Û Ûí í == = îïî Phương trình đường thẳng d là: x y x y1 3 6 0 6 2 + = Û + - = Download tài li u h c t p, xem bài gi ng t i : http://24hchiase.com
  3. 3. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 3 Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB+ nhỏ nhất. · x y2 6 0+ - = Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho OA OB2 2 9 4 + nhỏ nhất. · Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên A a B b( ;0); (0; ) với a b. 0¹ Þ Phương trình của (d) có dạng x y a b 1+ = . Vì (d) qua M nên a b 1 2 1+ = . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có : a b a b a b 2 2 2 2 1 2 1 3 2 1 9 4 1 . 1. 1 3 9 æ ö æ ö æ öæ ö = + = + £ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø è ø è øè ø Û a b2 2 9 4 9 10 + ³ Û OA OB2 2 9 4 9 10 + ³ . Dấu bằng xảy ra khi a b 1 3 2 : 1: 3 = và a b 1 2 1+ = Û a b 20 10, 9 = = Þ d x y: 2 9 20 0+ - = . Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(3;1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2). · x y x y3 6 0; 2 0+ - = - - = Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S 4= . · Gọi A a B b a b( ;0), (0; ) ( , 0)¹ là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: x y d a b : 1+ = . Theo giả thiết, ta có: a b ab 2 1 1 8 ì + =ï í ï =î Û b a ab ab 2 8 ì + = í =î . · Khi ab 8= thì b a2 8+ = . Nên: b a d x y12; 4 : 2 4 0= = Þ + - = . · Khi ab 8= - thì b a2 8+ = - . Ta có: b b b2 4 4 0 2 2 2+ - = Û = - ± . + Với ( ) ( )b d x y2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0= - + Þ - + + - = + Với ( ) ( )b d x y2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0= - - Þ + + - + = . Câu hỏi tương tự: a) M S(8;6), 12= . ĐS: d x y:3 2 12 0- - = ; d x y:3 8 24 0- + = Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình x y2 – 3 0+ = . Lập phương trình đường thẳng (D) qua A và tạo với d một góc α có cosα 1 10 = . · PT đường thẳng (D) có dạng: a x b y( –2) ( 1) 0+ + = Û ax by a b–2 0+ + = a b2 2 ( 0)+ ¹ Ta có: a b a b2 2 2 1 cos 105( ) a - = = + Û 7a2 – 8ab + b2 = 0. Chon a = 1 Þ b = 1; b = 7. Þ (D1): x + y – 1 = 0 và (D2): x + 7y + 5 = 0 Download tài li u h c t p, xem bài gi ng t i : http://24hchiase.com
  4. 4. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 4 Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d x y: 2 3 4 0+ + = . Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 0 45 . · PT đường thẳng (D) có dạng: a x b y( –2) ( 1) 0+ - = Û ax by a b–(2 ) 0+ + = a b2 2 ( 0)+ ¹ . Ta có: a b a b 0 2 2 2 3 cos45 13. + = + Û a ab b2 2 5 24 5 0- - = Û a b a b 5 5 é = ê = -ë + Với a b5= . Chọn a b5, 1= = Þ Phương trình x y: 5 11 0D + - = . + Với a b5 = - . Chọn a b1, 5= = - Þ Phương trình x y: 5 3 0D - + = . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d x y: 2 2 0- - = và điểm I(1;1) . Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng 0 45 . · Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax by c 0+ + = a b2 2 ( 0)+ ¹ . Vì ·d 0 ( , ) 45D = nên a b a b2 2 2 1 2. 5 - = + a b b a 3 3 é = Û ê = -ë · Với a b3= Þ D: x y c3 0+ + = . Mặt khác d I( ; ) 10D = c4 10 10 + Û = c c 6 14 é = Û ê = -ë · Với b a3= - Þ D: x y c3 0- + = . Mặt khác d I( ; ) 10D = c2 10 10 - + Û = c c 8 12 é = - Û ê =ë Vậy các đường thẳng cần tìm: x y3 6 0;+ + = x y3 14 0+ - = ; x y3 8 0;- - = x y3 12 0- + = . Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1, d2 có phương trình lần lượt là x y3 2 0+ + = và x y3 4 0- + = . Gọi A là giao điểm của d1và d2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1và d2 lần lượt tại B , C ( B vàC khác A ) sao cho AB AC2 2 1 1 + đạt giá trị nhỏ nhất. · A d d A1 2 ( 1;1)= Ç Þ - . Ta có d d1 2^ . Gọi D là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu vuông góc của A trên D . ta có: AB AC AH AM2 2 2 2 1 1 1 1 + = ³ (không đổi) Þ AB AC2 2 1 1 + đạt giá trị nhỏ nhất bằng AM2 1 khi H ºM, hay D là đường thẳng đi qua M và vuông góc với AM. Þ Phương trình D: x y 2 0+ - = . Câu hỏi tương tự: a) Với M(1; 2)- , d x y1 :3 5 0+ + = , d x y2 : 3 5 0- + = . ĐS: x y: 1 0D + + = . Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y( ): –3 –4 0= và đường tròn C x y y2 2 ( ): –4 0+ = . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1). · M Î (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b) N Î (C) Þ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 Þ b b 6 0; 5 = =
  5. 5. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 5 Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M N 38 6 8 4 ; , ; 5 5 5 5 æ ö æ ö -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng D: x y2 3 4 0+ + = . Tìm điểm B thuộc đường thẳng D sao cho đường thẳng AB và D hợp với nhau góc 0 45 . · D có PTTS: x t y t 1 3 2 2 ì = - í = - +î và VTCP u ( 3;2)= - r . Giả sử B t t(1 3 ; 2 2 ) D- - + Î . AB 0 ( , ) 45D = Þ AB u 1 cos( ; ) 2 = uuur r AB u AB u . 1 . 2 Û = uuur r r t t t t 2 15 13169 156 45 0 3 13 é =ê Û - - = Û ê ê = - ë . Vậy các điểm cần tìm là: B B1 2 32 4 22 32 ; , ; 13 13 13 13 æ ö æ ö - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y: 3 6 0- - = và điểm N(3;4). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích bằng 15 2 . · Ta có ON (3;4)= uuur , ON = 5, PT đường thẳng ON: x y4 3 0- = . Giả sử M m m d(3 6; )+ Î . Khi đó ta có ONM ONM S S d M ON ON d M ON ON 21 ( , ). ( , ) 3 2 D D = Û = = Û m m m m m 4.(3 6) 3 13 3 9 24 15 1; 5 3 + - - = Û + = Û = - = + Với m M1 (3; 1)= - Þ - + Với m M 13 13 7; 3 3 æ ö- - = Þ -ç ÷ è ø Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d x y: 2 2 0- + = . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC . · Giả sử B b b C c c d(2 2; ), (2 2; )- - Î . Vì DABC vuông ở B nên AB ^ d Û dAB u. 0= uuur r Û B 2 6 ; 5 5 æ ö ç ÷ è ø Þ AB 2 5 5 = Þ BC 5 5 = BC c c21 125 300 180 5 = - + = 5 5 Û c C c C 1 (0;1) 7 4 7 ; 5 5 5 é = Þ ê æ ö ê = Þ ç ÷ è øë Câu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1 : 3 0+ - = , d x y2 : 9 0+ - = và điểm A(1;4). Tìm điểm B d C d1 2,Î Î sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. · Gọi B b b d C c c d1 2( ;3 ) , ( ;9 )- Î - Î Þ AB b b( 1; 1 )= - - - uuur , AC c c( 1;5 )= - - uuur . DABC vuông cân tại A Û AB AC AB AC . 0ì = í =î uuur uuur Û b c b c b b c c2 2 2 2 ( 1)( 1) ( 1)(5 ) 0 ( 1) ( 1) ( 1) (5 ) ì - - - + - = í - + + = - + -î (*) Vì c 1= không là nghiệm của (*) nên
  6. 6. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 6 (*) Û b c b c c b b c c c 2 2 2 2 2 2 ( 1)(5 ) 1 (1) 1 (5 ) ( 1) ( 1) ( 1) (5 ) (2) ( 1) ì + - - =ï -ï í - ï + + + = - + - ï -î Từ (2) Û b c2 2 ( 1) ( 1)+ = - Û b c b c 2é = - ê = -ë . + Với b c 2= - , thay vào (1) ta được c b4, 2= = Þ B C(2;1), (4;5) . + Với b c= - , thay vào (1) ta được c b2, 2= = - Þ B C( 2;5), (2;7)- . Vậy: B C(2;1), (4;5) hoặc B C( 2;5), (2;7)- . Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có phương trình: d m x m y m1 :( –1) ( –2) 2 – 0+ + = ; d m x m y m2 :(2 – ) ( –1) 3 –5 0+ + = . Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 Ç d2. Tìm m sao cho PA PB+ lớn nhất. · Xét Hệ PT: m x m y m m x m y m ( 1) ( 2) 2 (2 ) ( 1) 3 5 ì - + - = - í - + - = - +î . Ta có m m D m m m m 2 3 11 2 2 0, 2 1 2 2 æ ö- - = = - + > "ç ÷- - è ø Þ d d1 2, luôn cắt nhau. Ta có: A d B d d d1 2 1 2(0;1) , (2; 1) ,Î - Î ^ Þ D APB vuông tại P Þ P nằm trên đường tròn đường kính AB. Ta có: PA PB PA PB AB2 2 2 2 ( ) 2( ) 2 16+ £ + = = Þ PA PB 4+ £ . Dấu "=" xảy ra Û PA = PB Û P là trung điểm của cung »AB Û P(2; 1) hoặc P(0; –1) Û m 1= hoặc m 2= . Vậy PA PB+ lớn nhất Û m 1= hoặc m 2= . Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D): x y–2 –2 0= và hai điểm A( 1;2)- , B(3;4). Tìm điểm MÎ(D) sao cho MA MB2 2 2 + có giá trị nhỏ nhất. · Giả sử M M t t AM t t BM t t(2 2; ) (2 3; 2), (2 1; 4)D+ Î Þ = + - = - - uuur uuur Ta có: AM BM t t f t2 2 2 2 15 4 43 ( )+ = + + = Þ f t f 2 min ( ) 15 æ ö = -ç ÷ è ø Þ M 26 2 ; 15 15 æ ö -ç ÷ è ø Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d x y: 2 3 0- + = và 2 điểm A B(1;0), (2;1) . Tìm điểm M trên d sao cho MA MB+ nhỏ nhất. · Ta có: A A B Bx y x y(2 3).(2 3) 30 0- + - + = > Þ A, B nằm cùng phía đối với d. Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua d Þ A ( 3;2)¢ - Þ Phương trình A B x y: 5 7 0¢ + - = . Với mọi điểm M Î d, ta có: MA MB MA MB A B¢ ¢+ = + ³ . Mà MA MB¢ + nhỏ nhất Û A¢, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của A¢B với d. Khi đó: M 8 17 ; 11 11 æ ö -ç ÷ è ø .
  7. 7. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 7 TĐP 02: ĐƯỜNG TRÒN Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): x y2 – –5 0= và đường tròn (C’): x y x2 2 20 50 0+ - + = . Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1). · A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x y x y2 2 4 8 10 0+ - - + = Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 , A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của DABC nằm trên đường thẳng d x y:3 – –8 0= . Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C. · Tìm được C (1; 1) 1 - , C2( 2; 10)- - . + Với C1(1; 1)- Þ (C): 2 2 x y x y 11 11 16 0 3 3 3 + - + + = + Với C2( 2; 10)- - Þ (C): 2 2 x y x y 91 91 416 0 3 3 3 + - + + = Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d x y1 : 2 3 0+ - = , d x y2 :3 4 5 0+ + = , d x y3 : 4 3 2 0+ + = . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3. · Gọi tâm đường tròn là I t t( ;3 2 )- Î d1. Khi đó: d I dd I d2 3) ( , )( , = Û t t t t3 4(3 2 ) 5 5 4 3(3 2 ) 2 5 + - + = + - + Û t t 2 4 é ê ë = = Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: x y2 2 49 25 ( 2) ( 1) =- + + và x y2 2 9 ( 4) ( 5) 25 - + + = . Câu hỏi tương tự: a) Với d x y1 : –6 –10 0= , d x y2 :3 4 5 0+ + = , d x y3 : 4 3 5 0- - = . ĐS: x y2 2 ( 10) 49- + = hoặc x y 2 2 2 10 70 7 43 43 43 æ ö æ ö æ ö - + + =ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø . Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x y3 8 0+ + = , x y':3 4 10 0D - + = và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng D , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D¢. · Giả sử tâm I t t( 3 8; )- - Î D.. Ta có: d I IA( , )D¢ = Û t t t t2 2 2 2 3( 3 8) 4 10 ( 3 8 2) ( 1) 3 4 - - - + = - - + + - + Û t 3= - Þ I R(1; 3), 5- = PT đường tròn cần tìm: x y2 2 ( 1) ( 3) 25- + + = . Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng x y: 4 3 3 0D - + = và x y':3 4 31 0D - - = . Lập phương trình đường tròn C( ) tiếp xúc với đường thẳng D tại điểm có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với '.D Tìm tọa độ tiếp điểm của C( ) và 'D . · Gọi I a b( ; ) là tâm của đường tròn (C). C( ) tiếp xúc với D tại điểm M(6;9) và C( ) tiếp xúc với D¢ nên
  8. 8. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 8 aa b a bd I d I a a IM u a b a b 54 34 3 3 3 4 31( , ) ( , ') 4 3 3 6 85 45 5(3;4) 3( 6) 4( 9) 0 3 4 54D D D ìì -- + - -ì = ï ï - + = -=Û Ûí í í ^ =î ï ï- + - = + =î î uuur r a a a b a a bb 25 150 4 6 85 10; 6 54 3 190; 156 4 ì - = -ï é = = Û Û-í ê = - == ëïî Vậy: C x y2 2 ( ):( 10) ( 6) 25- + - = tiếp xúc với 'D tại N(13;2) hoặc C x y2 2 ( ):( 190) ( 156) 60025+ + - = tiếp xúc với 'D tại N( 43; 40)- - Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2; 1)- và tiếp xúc với các trục toạ độ. · Phương trình đường tròn có dạng: x a y a a a x a y a a b 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) é - + + = ê - + - =êë a) Þ a a1; 5= = b) Þ vô nghiệm. Kết luận: x y2 2 ( 1) ( 1) 1- + + = và x y2 2 ( 5) ( 5) 25- + + = . Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y( ): 2 4 0- - = . Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d). · Gọi I m m d( ;2 4) ( )- Î là tâm đường tròn cần tìm. Ta có: m m m m 4 2 4 4, 3 = - Û = = . · m 4 3 = thì phương trình đường tròn là: x y 2 2 4 4 16 3 3 9 æ ö æ ö - + + =ç ÷ ç ÷ è ø è ø . · m 4= thì phương trình đường tròn là: x y2 2 ( 4) ( 4) 16- + - = . Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (D): x y3 –4 8 0+ = . Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (D). · Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn AB d qua M(1; 2) có VTPT là AB (4;2)= uuur Þ d: 2x + y – 4 = 0 Þ Tâm I(a;4 – 2a) Ta có IA = d(I,D) a a a2 11 8 5 5 10 10Û - = - + Û 2a2 – 37a + 93 = 0 Û a a 3 31 2 é = ê =ê ë · Với a = 3 Þ I(3;–2), R = 5 Þ (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 · Với a = 31 2 Þ I 31 ; 27 2 æ ö -ç ÷ è ø , R = 65 2 Þ (C): x y 2 231 4225 ( 27) 2 4 æ ö - + + =ç ÷ è ø Câu 9. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d x y: 2 3 0+ - = và x y: 3 5 0D + - = . Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng 2 10 5 , có tâm thuộc d và tiếp xúc với D . · Tâm I Î d Þ I a a( 2 3; )- + . (C) tiếp xúc với D nên: d I R( , )D = a 2 2 10 510 - Û = a a 6 2 é = Û ê = -ë
  9. 9. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 9 Þ (C): x y2 2 8 ( 9) ( 6) 5 + + - = hoặc (C): x y2 2 8 ( 7) ( 2) 5 - + + = . Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x2 2 4 3 4 0+ + - = . Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C¢), bán kính R¢ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A. · (C) có tâm I( 2 3;0)- , bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I¢ là tâm của (C¢). PT đường thẳng IA : x t y t 2 3 2 2 ì = í = +î , I IA'Î Þ I t t(2 3 ;2 2)¢ + . AI I A t I 1 2 '( 3;3) 2 ¢= Û = Þ uur uur Þ (C¢): x y2 2 ( 3) ( 3) 4- + - = Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y y2 2 –4 –5 0+ = . Hãy viết phương trình đường tròn (C¢) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M 4 2 ; 5 5 æ ö ç ÷ è ø · (C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M Þ I¢ 8 6 ; 5 5 æ ö- ç ÷ è ø Þ (C¢): x y 2 2 8 6 9 5 5 æ ö æ ö - + + =ç ÷ ç ÷ è ø è ø Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 2 2 4 2 0+ - + + = . Viết phương trình đường tròn (C¢) tâm M(5; 1) biết (C¢) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB 3= . · (C) có tâm I(1; –2), bán kính R 3= . PT đường thẳng IM: x y3 4 11 0- - = . AB 3= . Gọi H x y( ; ) là trung điểm của AB. Ta có: H IM IH R AH2 2 3 2 ì Î ï í = - =ïî Û x y x y2 2 3 4 11 0 9 ( 1) ( 2) 4 ì - - = ï í - + + =ïî Û x y x y 1 29 ; 5 10 11 11 ; 5 10 é = - = -ê ê ê = = - ë Þ H 1 29 ; 5 10 æ ö - -ç ÷ è ø hoặc H 11 11 ; 5 10 æ ö -ç ÷ è ø . · Với H 1 29 ; 5 10 æ ö - -ç ÷ è ø . Ta có R MH AH2 2 2 43¢ = + = Þ PT (C¢): x y2 2 ( 5) ( 1) 43- + - = . · Với H 11 11 ; 5 10 æ ö -ç ÷ è ø . Ta có R MH AH2 2 2 13¢ = + = Þ PT (C¢): x y2 2 ( 5) ( 1) 13- + - = . Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2 ( 1) ( 2) 4- + - = và điểm K(3;4) . Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C). · (C) có tâm I(1;2) , bán kính R 2= . IABSD lớn nhất Û DIAB vuông tại I Û AB 2 2= . Mà IK 2 2= nên có hai đường tròn thoả YCBT. + T1( ) có bán kính R R1 2= = Þ T x y2 2 1( ):( 3) ( 4) 4- + - =
  10. 10. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 10 + T2( ) có bán kính R 2 2 2 (3 2) ( 2) 2 5= + = Þ T x y2 2 1( ):( 3) ( 4) 20- + - = . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(–2;3), B C 1 ;0 , (2;0) 4 æ ö ç ÷ è ø . · Điểm D(d;0) d 1 2 4 æ ö < <ç ÷ è ø thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A khi và chỉ khi ( ) ( ) dDB AB d d d DC AC d 2 2 22 91 3 44 4 1 6 3 1. 2 4 3 æ ö + -ç ÷- è ø = Û = Þ - = - Þ = - + - Phương trình AD: x y x y 2 3 1 0 3 3 + - = Û + - = - ; AC: x y x y 2 3 3 4 6 0 4 3 + - = Û + - = - Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là b1- và bán kính cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có: ( )b b b b b 2 2 3 1 4 6 3 5 3 4 - + - = Û - = + Þ b b b b b b 4 3 5 3 1 3 5 2 é - = Þ = -ê ê ê - = - Þ = ë Rõ ràng chỉ có giá trị b 1 2 = là hợp lý. Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp DABC là: x y 2 2 1 1 1 2 2 4 æ ö æ ö - + - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø Câu 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): x y4 3 12 0- - = và (d2): x y4 3 12 0+ - = . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2) và trục Oy. · Gọi A d d B d Oy C d Oy1 2 1 2, ,= Ç = Ç = Ç Þ A B C(3;0), (0; 4), (0;4)- Þ DABC cân đỉnh A và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp DABC Þ I R 4 4 ;0 , 3 3 æ ö =ç ÷ è ø . Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y 1 0- - = và hai đường tròn có phương trình: (C1): x y2 2 ( 3) ( 4) 8- + + = , (C2): x y2 2 ( 5) ( 4) 32+ + - = . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2). · Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I a a d( ; –1)Î . (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II R R II R R II R II R1 1 2 2 1 1 2 2, – –= + = + Þ = Û a a a a2 2 2 2 ( 3) ( 3) 2 2 ( 5) ( 5) 4 2- + + - = - + + - Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2 Þ Phương trình (C): x y2 2 ( 1) 2+ + = . Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp DABC.
  11. 11. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 11 · y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0. Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C x y x2 2 : 2 0+ + = . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30o . · C x y I R2 2 ( ):( 1) 1 ( 1;0); 1+ + = Þ - = . Hệ số góc của tiếp tuyến (D) cần tìm là 3± . Þ PT (D) có dạng x y b1 : 3 0D - + = hoặc x y b2 : 3 0D + + = + x y b1 : 3 0D - + = tiếp xúc (C) d I R1( , )DÛ = b b 3 1 2 3 2 - Û = Û = ± + . Kết luận: x y1( ): 3 2 3 0D - ± + = + x y b2( ): 3 0D + + = tiếp xúc (C) d I R2( , )DÛ = b b 3 1 2 3 2 - Û = Û = ± + . Kết luận: x y2( ): 3 2 3 0D + ± + = . Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 2 6 2 5 0+ - - + = và đường thẳng (d): x y3 3 0+ - = . Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc 0 45 . · (C) có tâm I(3; 1), bán kính R = 5 . Giả sử (D): ax by c c0 ( 0)+ + = ¹ . Từ: d I d ( , ) 5 2 cos( , ) 2 D D ì = ï í =ï î Þ a b c a b c 2, 1, 10 1, 2, 10 é = = - = - ê = = = -ë Þ x y x y : 2 10 0 : 2 10 0 D D é - - = ê + - =ë . Câu 20. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn C x y2 2 ( ):( 1) ( 1) 10- + - = và đường thẳng d x y: 2 2 0- - = . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn C( ) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 0 45 . · (C) có tâm I(1;1) bán kính R 10= . Gọi n a b( ; )= r là VTPT của tiếp tuyến D a b2 2 ( 0)+ ¹ , Vì ·d 0 ( , ) 45D = nên a b a b2 2 2 1 2. 5 - = + a b b a 3 3 é = Û ê = -ë · Với a b3= Þ D: x y c3 0+ + = . Mặt khác d I R( ; )D = c4 10 10 + Û = c c 6 14 é = Û ê = -ë · Với b a3= - Þ D: x y c3 0- + = . Mặt khác d I R( ; )D = c2 10 10 - + Û = c c 8 12 é = - Û ê =ë Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: x y3 6 0;+ + = x y3 14 0+ - = ; x y3 8 0;- - = x y3 12 0- + = . Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1): x y x y2 2 –2 –2 –2 0+ = , (C2): x y x y2 2 –8 –2 16 0+ + = . · (C1) có tâm I1(1; 1), bán kính R1 = 2; (C2) có tâm I2(4; 1) , bán kính R2 = 1. Ta có: I I R R1 2 1 23= = + Þ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1) Þ (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy. * Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: y ax b ax y b( ): ( ): 0D D= + Û - + = ta có:
  12. 12. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 12 a b a ad I R a b hay d I R a b b b a b 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 22 ( ; ) 4 4 ( ; ) 4 1 4 7 2 4 7 2 1 4 4 D D ì + - ì ì=ï = = -ï ïì = ï ï ï+Û Ûí í í í = + - - +î ï ï ï= == ï ï ïî î+î Vậy, có 3 tiếp tuyến chung: x y x y x1 2 3 2 4 7 2 2 4 7 2 ( ): 3, ( ): , ( ) 4 4 4 4 D D D + - = = - + = + Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): x y2 2 ( 2) ( 3) 2- + - = và (C’): x y2 2 ( 1) ( 2) 8- + - = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’). · (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R 2= ; (C¢) có tâm I¢(1; 2) và bán kính R' 2 2= . Ta có: II R R' 2 ¢= = - Þ (C) và (C¢) tiếp xúc trong Þ Tọa độ tiếp điểm M(3; 4). Vì (C) và (C¢) tiếp xúc trong nên chúng có duy nhất một tiếp tuyến chung là đường thẳng qua điểm M(3; 4), có véc tơ pháp tuyến là II ( 1; 1)¢ = - - uur Þ PTTT: x y 7 0+ - = Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C x y y2 2 1( ): 2 3 0+ - - = và C x y x y2 2 2( ) : 8 8 28 0+ - - + = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của C1( ) và C2( ) . · C1( ) có tâm I1(0;1), bán kính R1 2= ; C2( ) có tâm I2(4;4) , bán kính R2 2= . Ta có: I I R R1 2 1 25 4= > = + Þ C C1 2( ),( ) ngoài nhau. Xét hai trường hợp: + Nếu d // Oy thì phương trình của d có dạng: x c 0+ = . Khi đó: d I d d I d c c1 2 ( , ) ( , ) 4= Û = + Û c 2= - Þ d x: 2 0- = . + Nếu d không song song với Oy thì phương trình của d có dạng: d y ax b: = + . Khi đó: d I d d I d d I d 1 1 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ì = í =î Û b a b a b a a 2 2 2 1 2 1 1 4 4 1 1 ì - + =ï ï + í - + - +ï = ï + +î Û a b a b a b 3 7 ; 4 2 3 3 ; 4 2 7 37 ; 24 12 é = =ê ê ê = = - ê ê = - =êë Þ d x y:3 4 14 0- + = hoặc d x y:3 4 6 0- - = hoặc d x y: 7 24 74 0+ - = . Vậy: d x: 2 0- = ; d x y:3 4 14 0- + = ; d x y:3 4 6 0- - = ; d x y: 7 24 74 0+ - = . Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C x y y2 2 1( ): 4 5 0+ - - = và C x y x y2 2 2( ) : 6 8 16 0+ - + + = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của C1( ) và C2( ) . · C1( ) có tâm I1(0;1), bán kính R1 3= ; C2( ) có tâm I2(3; 4)- , bán kính R2 3= . Giả sử tiếp tuyến chung D của C C1 2( ), ( ) có phương trình: ax by c a b2 2 0 ( 0)+ + = + ¹ . D là tiếp tuyến chung của C C1 2( ), ( )Û d I R d I R 1 1 2 2 ( , ) ( , ) D D ì = í =î Û b c a b a b c a b 2 2 2 2 2 3 (1) 3 4 3 (2) ìï + = + í - + = +ïî Từ (1) và (2) suy ra a b2= hoặc a b c 3 2 2 - + = . + TH1: Với a b2= . Chọn b 1= Þ a c2, 2 3 5= = - ± Þ x y: 2 2 3 5 0D + - ± =
  13. 13. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 13 + TH2: Với a b c 3 2 2 - + = . Thay vào (1) ta được: a a b a b a b 2 2 0 2 2 4 3 é = ê- = + Û = -ê ë . Þ y: 2 0D + = hoặc x y: 4 3 9 0D - - = . Câu 25. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x y x2 2 4 3 4 0+ + - = . Tia Oy cắt (C) tại điểm A. Lập phương trình đường tròn (T) có bán kính R¢ = 2 sao cho (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A. · (C) có tâm I( 2 3;0)- , bán kính R 4= . Tia Oy cắt (C) tại A(0;2). Gọi J là tâm của (T). Phương trình IA: x t y t 2 3 2 2 ì = í = +î . Giả sử J t t IA(2 3 ;2 2) ( )+ Î . (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A nên AI JA t J 1 2 ( 3;3) 2 = Þ = Þ uur uur . Vậy: T x y2 2 ( ):( 3) ( 3) 4- + - = . Câu 26. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2 1+ = và phương trình: x y m x my2 2 –2( 1) 4 –5 0+ + + = (1). Chứng minh rằng phương trình (1) là phương trình của đường tròn với mọi m. Gọi các đường tròn tương ứng là (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C). · (Cm) có tâm I m m( 1; 2 )+ - , bán kính R m m2 2 ' ( 1) 4 5= + + + , (C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 1, OI m m2 2 ( 1) 4= + + , ta có OI < R¢ Vậy (C) và (Cm) chỉ tiếp xúc trong. Þ R¢ – R = OI ( vì R’ > R) Þ m m 3 1; 5 = - = . Câu 27. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn có phương trình C x y2 2 1 1 ( ):( 1) 2 - + = và C x y2 2 2( ) :( 2) ( 2) 4- + - = . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với C1( ) và cắt C2( ) tại hai điểm M N, sao cho MN 2 2= . · C1( ) có tâm I1(1;0), bán kính R1 1 2 = ; C2( ) có tâm I1(2;2), bán kính R2 2= . Gọi H là trung điểm của MN Þ MN d I d I H R 2 2 2 2 2( , ) 2 2 æ ö = = - =ç ÷ è ø Phương trình đường thẳng d có dạng: ax by c a b2 2 0 ( 0)+ + = + ¹ . Ta có: d I d d I d 1 2 1 ( , ) 2 ( , ) 2 ì =ï í ï =î Û a c a b a b c a b 2 2 2 2 2 2 2 2 ìï + = + í + + = +ïî . Giải hệ tìm được a, b, c. Vậy: d x y d x y: 2 0; : 7 6 0+ - = + - = ; d x y: 2 0- - = ; d x y: 7 2 0- - = Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x2 2 –6 5 0+ + = . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 0 60 .
  14. 14. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 14 · (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m) Î Oy Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB Þ · · AMB AMB 0 0 60 (1) 120 (2) é = ê =êë Vì MI là phân giác của ·AMB nên: (1) Û ·AMI = 300 IA MI 0 sin30 Û = Û MI = 2R Û m m2 9 4 7+ = Û = ± (2) Û ·AMI = 600 IA MI 0 sin60 Û = Û MI = 2 3 3 R Û m2 4 3 9 3 + = Vô nghiệm Vậy có hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0; 7- ) Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng D định bởi: C x y x y x y2 2 ( ): 4 2 0; : 2 12 0D+ - - = + - = . Tìm điểm M trên D sao cho từ M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600 . · Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R 5= . Gọi A, B là hai tiếp điểm. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600 thì IAM là nửa tam giác đều suy ra IM R=2 52= . Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: x y2 2 ( 2) ( 1) 20- + - = . Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng D, nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ phương trình: x y x y 2 2 ( 2) ( 1) 20 (1) 2 12 0 (2) ì - + - = í + - =î Khử x giữa (1) và (2) ta được: ( ) ( ) y y y y y y 2 2 2 3 2 10 1 20 5 42 81 0 27 5 é = ê- + + - = Û - + = Û =ê ë Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: ( )M 6;3 hoặc M 6 27 ; 5 5 æ ö ç ÷ è ø Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2 ( 1) ( 2) 9- + + = và đường thẳng d x y m: 0+ + = . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. · (C) có tâm I(1; –2), R = 3. ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 IA 3 2Þ = Û m m m m 1 5 3 2 1 6 72 - é = - = Û - = Û ê =ë Câu hỏi tương tự: a) C x y d x y m2 2 ( ): 1, : 0+ = - + = ĐS: m 2= ± . Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2 ( 1) ( 2) 9- + + = và đường thẳng d x y m:3 4 0- + = . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (C) (A, B là hai tiếp điểm) sao cho PAB là tam giác đều. · (C) có tâm I(1; 2)- , bán kính R 3= . DPAB đều Þ PI AI R2 2 6= = = Þ P nằm trên đường tròn (T) có tâm I, bán kính r 6= . Do trên d có duy nhất một điểm P thoả YCBT nên d là tiếp
  15. 15. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 15 tuyến của (T) Þ m m d I d m 11 19 ( , ) 6 6 415 + é = = Û = Û ê = -ë . Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn C x y x y2 2 ( ): 18 6 65 0+ - - + = và C x y2 2 ( ): 9¢ + = . Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C¢), gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 4,8. · (C’) có tâm ( )O 0;0 , bán kính R OA 3= = . Gọi H AB OM= Ç Þ H là trung điểm của AB Þ AH 12 5 = . Suy ra: OH OA AH2 2 9 5 = - = và OA OM OH 2 5= = . Giả sử M x y( ; ). Ta có: M C x y x y OM x y 2 2 2 2 ( ) 18 6 65 0 5 25 ìïì Î + - - + = Ûí í= + =î ïî x x y y 4 5 3 0 ì ì= = Û Úí í= =î î Vậy M(4;3) hoặc M(5;0). Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2 ( 1) ( 2) 4- + + = . M là điểm di động trên đường thẳng d y x: 1= + . Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp tuyến MT1, MT2 tới (C) (T1, T2 là tiếp điểm) và tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng T T1 2 đi qua điểm A(1; 1)- . · (C) có tâm I(1; 2)- , bán kính R 2= . Giả sử M x x d0 0( ; 1)+ Î . IM x x x R2 2 2 0 0 0( 1) ( 3) 2( 1) 8 2= - + + = + + > = Þ M nằm ngoài (C) Þ qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C). Gọi J là trung điểm IM Þ x x J 0 01 1 ; 2 2 æ ö+ - ç ÷ è ø . Đường tròn (T) đường kính IM có tâm J bán kính IM R1 2 = có phương trình x x x x T x y 2 2 2 2 0 0 0 01 1 ( 1) ( 3) ( ): 2 2 4 æ ö æ ö+ - - + + - + - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MT1, MT2 đến (C) Þ · ·IT M IT M T T T0 1 2 1 290 , ( )= = Þ Î T T C T1 2{ , } ( ) ( )Þ = Ç Þ toạ độ T T1 2, thoả mãn hệ: x x x x x y x x x y x x y 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 ( 1) ( 3) ( ) ( ) (1 ) (3 ) 3 0 (1)2 2 4 ( 1) ( 2) 4 ì + - - + + ï - + - = Þ - - + - - =í ï - + + =î Toạ độ các điểm T T1 2, thoả mãn (1), mà qua 2 điểm phân biệt xác định duy nhất 1 đường thẳng nên phương trình T T1 2 là x x y x x0 0 0(1 ) (3 ) 3 0- - + - - = . A(1; 1)- nằm trên T T1 2 nên x x x0 0 01 (3 ) 3 0- + + - - = Û x0 1= Þ M(1;2). Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2 ( –1) ( 1) 25+ + = và điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB. · M CP /( ) 27 0= > Þ M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5. Mặt khác: M CP MA MB MB MB BH2 /( ) . 3 3 3= = Þ = Þ = uuur uuur IH R BH d M d2 2 4 [ ,( )]Þ = - = =
  16. 16. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 16 Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0). aa b d M d a ba b2 2 06 4 [ ,( )] 4 4 12 5 é =- - ê= Û = Û = -ê+ ë . Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0. Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình x y2 2 ( 2) ( 1) 25- + + = theo một dây cung có độ dài bằng l 8= . · d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 Û ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0) Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài l 8= nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d bằng 3. ( ) a b a b d I d a b a b a b 2 2 2 2 2 2 , 3 3 3 - - - = = Û - = + + a a ab a b 2 0 8 6 0 3 4 é = êÛ + = Û = -ê ë · a = 0: chọn b = 1 Þ d: y – 2 = 0 · a = b 3 4 - : chọn a = 3, b = – 4 Þ d: 3x – 4 y + 5 = 0. Câu hỏi tương tự: a) d đi qua O, C x y x y2 2 ( ): 2 6 15 0+ - + - = , l 8= . ĐS: d x y:3 4 0- = ; d y: 0= . b) d đi qua Q(5;2) , C x y x y2 2 ( ): 4 8 5 0+ - - - = , l 5 2= . ĐS: d x y: 3 0- - = ; d x y:17 7 71 0- - = . c) d đi qua A(9;6) , C x y x y2 2 ( ): 8 2 0+ - - = , l 4 3= . ĐS: d y x: 2 12= - ; d y x 1 21 : 2 2 = - + Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x y x y2 2 2 8 8 0+ + - - = . Viết phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng d x y:3 2 0+ - = và cắt đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài l 6= . · (C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng D có dạng: x y c c3 0, 2+ + = ¹ . Vì D cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên: ( ) c c d I c2 3 4 4 10 1 , 4 4 10 13 1 D - + + é = - Þ = = Û ê = - -ë+ . Vậy phương trình D cần tìm là: x y3 4 10 1 0+ + - = hoặc x y3 4 10 1 0+ - - = . Câu hỏi tương tự: a) C x y2 2 ( ):( 3) ( 1) 3- + - = , d x y:3 4 2012 0- + = , l 2 5= . ĐS: x y:3 4 5 0D - + = ; x y:3 4 15 0D - - = . Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn C x y2 2 ( ):( 4) ( 3) 25+ + - = và đường thẳng x y:3 4 10 0D - + = . Lập phương trình đường thẳng d biết d ( )D^ và d cắt (C) tại A, B sao cho AB = 6. · (C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do d D^ nên PT của d có dạng: x y m4 3 0+ + = . Ta có: d I 1( ,( ))D = IH = AI AH2 2 2 2 5 3 4- = - = Û mm m2 2 2716 9 4 134 3 é =- + + = Û ê = -ë+
  17. 17. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 17 Vậy PT các đường thẳng cần tìm là: x y4 3 27 0+ + = và x y4 3 13 0+ - = . Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 2 2 2 3 0+ - - - = và điểm M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất. · (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 5 . IM = 2 5< Þ M nằm trong đường tròn (C). Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d. Ta có: AB = 2AH = IA IH IH IM2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 3- = - ³ - = . Dấu "=" xảy ra Û H º M hay d ^ IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI (1; 1)= - uuur Þ Phương trình d: x y 2 0- + = . Câu hỏi tương tự: a) Với (C): x y x y2 2 8 4 16 0+ - - - = , M(–1; 0). ĐS: d x y: 5 2 5 0+ + = Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có diện tích lớn nhất. · Tam giác OAB có diện tích lớn nhất Û DOAB vuông cân tại O. Khi đó d O d 5 2 ( , ) 2 = . Giả sử phương trình đường thẳng d: A x B y A B2 2 ( 2) ( 6) 0 ( 0)- + - = + ¹ d O d 5 2 ( , ) 2 = Û A B A B2 2 2 6 5 2 2 - - = + Û B AB A2 2 47 48 17 0+ - = Û B A B A 24 5 55 47 24 5 55 47 é - - =ê ê - +ê =êë + Với B A 24 5 55 47 - - = : chọn A = 47 Þ B = 24 5 55- - Þ d: ( )x y47( 2) 24 5 55 ( 6) 0- - + - = + Với B A 24 5 55 47 - + = : chọn A = 47 Þ B = 24 5 55- + Þ d: ( )x y47( 2) 24 5 55 ( 6) 0- + - + - = Câu hỏi tương tự: a) C x y x y2 2 ( ): 4 6 9 0+ + - + = , M(1; 8)- . ĐS: x y x y7 1 0; 17 7 39 0+ + = + + = . Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 2 6 2 6 0+ - + - = và điểm A(3;3) . Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C). · (C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3) Î (C). PT đường thẳng d có dạng: a x b y a b2 2 ( 3) ( 3) 0, 0- + - = + ¹ Û ax by a b3 3 0+ - - = . Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B Þ AB = 4 2 . Gọi I là tâm hình vuông. Ta có: d I d AD AB 1 1 ( , ) 2 2 ( ) 2 2 = = = a b a b a b2 2 3 3 3 2 2 - - - Û = +
  18. 18. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 18 b a b a b a b2 2 2 2 4 2 2Û = + Û = Û = ± . Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1. Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là: x y 6 0+ - = hoặc x y 0- = . Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x y2 2 13+ = và (C2): x y2 2 ( 6) 25- + = . Gọi A là một giao điểm của (C1) và (C2) với yA > 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. · (C1) có tâm O(0; 0), bán kính R1 = 13 . (C2) có tâm I2(6; 0), bán kính R2 = 5. Giao điểm A(2; 3). Giả sử d: a x b y a b2 2 ( 2) ( 3) 0 ( 0)- + - = + ¹ . Gọi d d O d d d I d1 2 2( , ), ( , )= = . Từ giả thiết Þ R d R d2 2 2 2 1 1 2 2- = - Û d d2 2 2 1 12- = Û a a b a b a b a b 2 2 2 2 2 2 (6 2 3 ) ( 2 3 ) 12 - - - - - = + + Û b ab2 3 0+ = Û b b a 0 3 é = ê = -ë . · Với b = 0: Chọn a = 1 Þ Phương trình d: x 2 0- = . · Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 Þ Phương trình d: x y3 7 0- + = . Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: mx y4 0+ = , đường tròn (C): x y x my m2 2 2 2 2 24 0+ - - + - = có tâm I. Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12. · (C) có tâm I m(1; ) , bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB. m m m IH d I m m2 2 4 5 ( , ) 16 16 + = D = = + + ; m AH IA IH m m 2 2 2 2 2 (5 ) 20 25 16 16 = - = - = + + IABS 12D = Û m d I AH m m m 2 3 ( , ). 12 3 25 48 0 16 3 é = ± êD = Û - + = Û = ±ê ë Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C x y2 2 ( ): 1+ = , đường thẳng d x y m( ): 0+ + = . Tìm m để C( ) cắt d( ) tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất. · (C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B d O d( ; ) 1Û < Khi đó: · · OABS OA OB AOB AOB 1 1 1 . .sin .sin 2 2 2 = = £ . Dấu "=" xảy ra Û ·AOB 0 90= . Vậy AOBS lón nhất Û ·AOB 0 90= . Khi đó d I d 1 ( ; ) 2 = m 1Û = ± . Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d( ) : x my2 1 2 0+ + - = và đường tròn có phương trình C x y x y2 2 ( ): 2 4 4 0+ - + - = . Gọi I là tâm đường tròn C( ) . Tìm m sao cho d( ) cắt C( ) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó. · C( ) có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3. (d) cắt C( ) tại 2 điểm phân biệt A, B d I d R( , )Û < m m22 2 1 2 3 2Û - + - < +
  19. 19. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 19 m m m m m m R2 2 21 4 4 18 9 5 4 17 0Û - + < + Û + + > Û Î Ta có: ·S IA IB AIB IA IB IAB 1 1 9 . sin . 2 2 2 = £ = Vậy: S IAB lớn nhất là 9 2 khi ·AIB 0 90= Û AB = R 2 3 2= Û d I d 3 2 ( , ) 2 = Û m m 3 2 21 2 2 2 - = + m m22 16 32 0Û + + = m 4Û = - Câu hỏi tương tự: a) Với d x my m: –2 3 0+ + = , C x y x y2 2 ( ): 4 4 6 0+ + + + = . ĐS: m m 8 0 15 = Ú = Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn C x y x y2 2 ( ): 4 6 9 0+ + - + = và điểm M(1; 8)- . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C). · (C) có tâm I( 2;3)- , bán kính R 2= . PT đường thẳng d qua M(1; 8)- có dạng: d ax by a b: 8 0+ - + = (a b2 2 0+ ¹ ). · · IABS IA IB AIB AIB 1 . .sin 2sin 2D = = . Do đó: IABSD lớn nhất Û ·AIB 0 90= Û d I d IA 2 ( , ) 2 2 = = Û b a a b2 2 11 3 2 - = + Û a ab b2 2 7 66 118 0- + = Û a b a b 7 7 17 é = ê =ë . + Với b a1 7= Þ = Þ d x y: 7 1 0+ + = + Với b a7 17= Þ = Þ d x y:17 7 39 0+ + = Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 2 4 4 6 0+ + + + = và đường thẳng D: x my m–2 3 0+ + = với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DIAB lớn nhất. · (C) có tâm là I (–2; –2); R = 2 . Giả sử D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Kẻ đường cao IH của DIAB, ta có: SDABC = · IABS IA IB AIB 1 . .sin 2 = = ·AIBsin Do đó IABS lớn nhất Û sin·AIB = 1 Û DAIB vuông tại I Û IH = IA 1 2 = (thỏa IH < R) Û m m2 1 4 1 1 - = + Û 15m2 – 8m = 0 Û m = 0 hay m = 8 15 Câu hỏi tương tự: a) Với C x y x y2 2 ( ): 2 4 4 0+ - + - = , x my: 2 1 2 0D + + - = . ĐS: m 4= - . b) Với C x y x y2 2 ( ): 2 4 5 0+ - - - = , x my: 2 0D + - = . ĐS: m 2= - Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x y–5 –2 0= và đường tròn (C): x y x y2 2 2 4 8 0+ + - - = . Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho
  20. 20. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 20 tam giác ABC vuông ở B. · Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình y xx y x y y xx y 2 2 0; 22 4 8 0 1; 35 2 0 ì ì = =+ + - - = Ûí í = - = -- - = îî . Vì Ax 0> nên ta được A(2;0), B(–3;–1). Vì ·ABC 0 90= nên AC là đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I của đường tròn. Tâm I(–1;2), suy ra C(–4;4). Câu 48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ): x y x y2 2 2 4 8 0+ + - - = và đường thẳng ( D ): x y2 3 1 0- - = . Chứng minh rằng ( D ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn (C ) sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất. · (C) có tâm I(–1; 2), bán kính R = 13 . d I R 9 ( , ) 13 D = < Þ đường thẳng (D ) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có ABMS AB d M 1 . ( , ) 2D D= . Trong đó AB không đổi nên ABMSD lớn nhất Û d M( , )D lớn nhất. Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với (D ). PT đường thẳng d là x y3 2 1 0+ - = . Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C). Toạ độ P, Q là nghiệm của hệ phương trình: x y x y x y 2 2 2 4 8 0 3 2 1 0 ì + + - - = í + - =î Û x y x y 1, 1 3, 5 é = = - ê = - =ë Þ P(1; –1); Q(–3; 5) Ta có d P 4 ( , ) 13 D = ; d Q 22 ( , ) 13 D = . Như vậy d M( , )D lớn nhất Û M trùng với Q. Vậy tọa độ điểm M(–3; 5). Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 2 2 4 5 0+ - - - = và A(0; –1) Î (C). Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho DABC đều. · (C) có tâm I(1;2) và R= 10 . Gọi H là trung điểm BC. Suy ra AI IH2.= uur uur H 3 7 ; 2 2 æ ö Û ç ÷ è ø ABCD đều Þ I là trọng tâm. Phương trình (BC): x y3 12 0+ - = Vì B, C Î (C) nên tọa độ của B, C là các nghiệm của hệ phương trình: x y x y x y x y x y x y 2 2 2 2 2 4 5 0 2 4 5 0 3 12 0 12 3 ì ì+ - - - = + - - - =Ûí í + - = = -î î Giải hệ PT trên ta được: B C 7 3 3 3 3 7 3 3 3 3 ; ; ; 2 2 2 2 æ ö æ ö+ - - + ç ÷ ç ÷ è ø è ø hoặc ngược lại. Câu 50. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2 ( 3) ( 4) 35- + - = và điểm A(5; 5). Tìm trên (C) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. · (C) có tâm I(3; 4). Ta có: AB AC IB IC ì = í =î Þ AI là đường trung trực của BC. DABC vuông cân tại A nên AI cũng là phân giác của ·BAC . Do đó AB và AC hợp với AI một góc 0 45 . Gọi d là đường thẳng qua A và hợp với AI một góc 0 45 . Khi đó B, C là giao điểm của d với (C) và AB = AC. Vì IA (2;1)= uur ¹ (1; 1), (1; –1) nên d không cùng phương với các trục toạ độ Þ VTCP của d có hai thành phần đều khác 0. Gọi u a(1; )= r là VTCP của d. Ta có:
  21. 21. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 21 ( ) a a IA u a a2 2 2 2 2 2 cos , 21 2 1 5 1 + + = = = + + + uur r Û a a2 2 2 5 1+ = + Û a a 3 1 3 é = ê = -ê ë + Với a = 3, thì u (1;3)= r Þ Phương trình đường thẳng d: x t y t 5 5 3 ì = + í = +î . Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là: 9 13 7 3 13 9 13 7 3 13 ; , ; 2 2 2 2 æ ö æ ö+ + - - ç ÷ ç ÷ è ø è ø + Với a = 1 3 - , thì u 1 1; 3 æ ö = -ç ÷ è ø r Þ Phương trình đường thẳng d: x t y t 5 1 5 3 ì = + ï í = -ïî . Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là: 7 3 13 11 13 7 3 13 11 13 ; , ; 2 2 2 2 æ ö æ ö+ - - + ç ÷ ç ÷ è ø è ø +Vì AB = AC nên ta có hai cặp điểm cần tìm là: 7 3 13 11 13 9 13 7 3 13 ; , ; 2 2 2 2 æ ö æ ö+ - + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø và 7 3 13 11 13 9 13 7 3 13 ; , ; 2 2 2 2 æ ö æ ö- + - - ç ÷ ç ÷ è ø è ø Câu 51. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2 4+ = và các điểm A 8 1; 3 æ ö -ç ÷ è ø , B(3;0). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 20 3 . · AB AB x y 64 10 4 ; : 4 3 12 0 9 3 = + = - - = . Gọi M(x;y) và h d M AB( , )= . Ta có: x y x y h AB h x y 4 3 121 20 4 3 8 0 . 4 4 4 3 32 02 3 5 - - é - + = = Û = Û = Û ê - - =ë + x y M M x y2 2 4 3 8 0 14 48 ( 2;0); ; 25 754 ì æ ö- + = Þ - -ç ÷í + = è øî + x y x y2 2 4 3 32 0 4 ì - - = í + =î (vô nghiệm) Câu 52. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn C x y x y2 2 ( ): 2 6 9 0+ + - + = và đường thẳng d x y:3 4 5 0- + = . Tìm những điểm M Î (C) và N Î d sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. · (C) có tâm I( 1;3)- , bán kính R 1= Þ d I d R( , ) 2= > Þ d C( )Ç = Æ . Gọi D là đường thẳng qua I và vuông góc với d Þ x y( ): 4 3 5 0D + - = . Gọi N d N0 0 1 7 ; 5 5 D æ ö = Ç Þ ç ÷ è ø . Gọi M M1 2, là các giao điểm của D và (C) Þ M M1 2 2 11 8 19 ; , ; 5 5 5 5 æ ö æ ö - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Þ MN ngắn nhất khi M M N N1 0,º º . Vậy các điểm cần tìm: M C 2 11 ; ( ) 5 5 æ ö - Îç ÷ è ø , N d 1 7 ; 5 5 æ ö Îç ÷ è ø .
  22. 22. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 22 TĐP 03: CÁC ĐƯỜNG CÔNIC Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y2 2 1 25 16 + = . A, B là các điểm trên (E) sao cho: AF BF1 2 8+ = , với F F1 2, là các tiêu điểm. Tính AF BF2 1+ . · 1AF AF a2 2+ = và BF BF a1 2 2+ = Þ 1 2AF AF BF BF a1 2 4 20+ + + = = Mà 1AF BF2 8+ = Þ 2AF BF1 12+ = Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình elip với các tiêu điểm F F1 2( 1;1), (5;1)- và tâm sai e 0,6= . · Giả sử M x y( ; ) là điểm thuộc elip. Vì nửa trục lớn của elip là c a e 3 5 0,6 = = = nên ta có: MF MF x y x y2 2 2 2 1 2 10 ( 1) ( 1) ( 5) ( 1) 10+ = Û + + - + - + - = Û x y2 2 ( 2) ( 1) 1 25 16 - - + = Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E): x y2 2 1 4 1 + = . Tìm toạ độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều. · A B 2 4 3 2 4 3 ; , ; 7 7 7 7 æ ö æ ö -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y2 2 1 100 25 + = . Tìm các điểm M Î (E) sao cho ·F MF 0 1 2 120= (F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)). · Ta có: a b10, 5= = Þ c 5 3= . Gọi M(x; y) Î (E) Þ MF x MF x1 2 3 3 10 , 10 2 2 = - = + . ·F F MF MF MF MF F MF2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 . .cos= + - Û ( ) x x x x 2 2 2 3 3 3 3 1 10 3 10 10 2 10 10 2 2 2 2 2 æ ö æ ö æ öæ öæ ö = - + + - - + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ è ø è ø è øè øè ø Û x = 0 (y= ± 5). Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M1(0; 5), M2(0; –5). Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm F F1 2( 3;0); ( 3;0)- và đi qua điểm A 1 3; 2 æ ö ç ÷ è ø . Lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M trên elip, hãy tính biểu thức: P F M F M OM F M F M2 2 2 1 2 1 2–3 – .= + . · (E): x y a b a b 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 4 + = Þ + = , a b2 2 3= + Þ x y2 2 1 4 1 + = Þ M M M M MP a ex a ex x y a e x2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( – ) –2( ) –( ) 1= + + + - =
  23. 23. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 23 Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E): x y2 2 4 16 64+ = . Gọi F2 là tiêu điểm bên phải của (E). M là điểm bất kì trên (E). Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F2 và tới đường thẳng x 8 : 3 D = có giá trị không đổi. · Ta có: F2( 12;0) . Gọi M x y E0 0( ; ) ( )Î Þ x MF a ex 0 2 0 8 3 2 - = - = , x d M x 0 0 8 38 ( , ) 3 3 D - = - = (vì x04 4- £ £ ) Þ MF d M 2 3 ( , ) 2D = (không đổi). Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y2 2 5 16 80+ = và hai điểm A(–5; –1), B(–1; 1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích DMAB. · Phương trình đường thẳng (AB): x y2 3 0- + = và AB 2 5= Gọi M x y E x y2 2 0 0 0 0( ; ) ( ) 5 16 80.Î Þ + = Ta có: x y x y d M AB 0 0 0 02 3 2 3 ( ; ) 1 4 5 - + - + = = + Diện tích DMAB: S AB d M AB x y0 0 1 . . ( ; ) 2 3 2 = = - - Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 2 cặp số x y0 0 1 1 ; , ( 5 ; 4 ) 25 æ ö -ç ÷ è ø có: ( )x y x y 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 9 . 5 .4 5 16 .80 36 2 5 4 205 æ ö æ ö - £ + + = =ç ÷ ç ÷ è øè ø x y x y x y x y0 0 0 0 0 0 0 02 6 6 2 6 3 2 3 9 2 3 9Û - £ Û - £ - £ Û - £ - + £ Þ - + £ x y x y x y x y x y 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4 5 81 1 max 2 3 9 2 625 2 3 9 ì =ï ì = -ï Þ - + = Û Û-í í - =îï ï - + =î x y 0 0 8 3 5 3 ì =ï Û í ï = - î Vậy, MABS khi M 8 5 max 9 ; 3 3 æ ö = -ç ÷ è ø . Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp x y E 2 2 ( ): 1 9 4 + = và hai điểm A(3;–2), B(–3; 2) . Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. · PT đường thẳng AB: x y2 3 0+ = . Gọi C(x; y) Î (E), với x y0, 0> > Þ x y2 2 1 9 4 + = . ABC x y S AB d C AB x y 1 85 85 . ( , ) 2 3 3. 2 13 3 22 13 = = + = + x y2 2 85 170 3 2 3 13 9 4 13 æ ö £ + =ç ÷ ç ÷ è ø Dấu "=" xảy ra Û x y x x y y 2 2 21 39 4 2 2 3 2 ì ì+ =ïï ï =Ûí í ï ï= =îïî . Vậy C 3 2 ; 2 2 æ ö ç ÷ è ø .
  24. 24. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 24 Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip x y E 2 2 ( ): 1 25 9 + = và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt elip tại hai điểm A B, sao cho M là trung điểm của AB . · Nhận xét rằng M OxÏ nên đường thẳng x 1= không cắt elip tại hai điểm thỏa YCBT. Xét đường thẳng D qua M(1; 1) có PT: y k x( 1) 1= - + . Toạ độ các giao điểm A B, của D và E( ) là nghiệm của hệ: x y y k x 2 2 1 (1) 25 9 ( 1) 1 (2) ì ï + = í ï = - +î Þ k x k k x k k2 2 2 (25 9) 50 ( 1) 25( 2 9) 0+ - - + - - = (3) PT (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, với mọi k . Theo Viet: k k x x k 1 2 2 50 ( 1) 25 9 - + = + . Do đó M là trung điểm của AB M k k x x x k k 1 2 2 50 ( 1) 9 2 2 2525 9 - Û + = Û = Û = - + . Vậy PT đường thẳng D: x y9 25 34 0+ - = . Câu hỏi tương tự: a) Với x y E 2 2 ( ): 1 9 4 + = , M(1;1) ĐS: x y: 4 9 13 0D + - = Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y2 2 1 8 2 + = . Tìm điểm M Î (E) sao cho M có toạ độ nguyên. · Trước hết ta có nhận xét: Nếu điểm x y E( ; ) ( )Î thì các điểm x y x y x y( ; ),( ; ),( ; )- - - - cũng thuộc (E). Do đó ta chỉ cần xét điểm M x y E0 0( ; ) ( )Î với x y x y Z0 0 0 0, 0; ,³ Î . Ta có: x y2 2 0 0 1 8 2 + = Þ y2 0 2£ Þ y00 2£ £ Þ y x loaïi y x 0 0 0 0 0 2 2 ( ) 1 2 é = Þ = ê = Þ =êë Þ M(2;1). Vậy các điểm thoả YCBT là: (2;1),( 2;1),(2; 1),( 2; 1)- - - - . Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y2 2 1 8 2 + = . Tìm điểm M Î (E) sao cho tổng hai toạ độ của M có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). · Giả sử M x y E( ; ) ( )Î Þ x y2 2 1 8 2 + = . Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki, ta có: x y x y 2 2 2 ( ) (8 2) 10 8 2 æ ö + £ + + =ç ÷ è ø Þ x y10 10- £ + £ . + x y 10+ £ . Dấu "=" xảy ra Û x y x y 8 2 10 ì =ï í ï + =î Û M 4 10 10 ; 5 5 æ ö ç ÷ è ø . + x y 10+ ³ - . Dấu "=" xảy ra Û x y x y 8 2 10 ì =ï í ï + = -î Û M 4 10 10 ; 5 5 æ ö - -ç ÷ è ø
  25. 25. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 25 Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y2 2 1 9 3 + = và điểm A(3;0) . Tìm trên (E) các điểm B, C sao cho B, C đối xứng qua trục Ox và DABC là tam giác đều. · Không mất tính tổng quát, giả sử B x y C x y0 0 0 0( ; ), ( ; )- với y0 0> . Ta có: x y x y 2 2 2 20 0 0 01 3 9 9 3 + = Û + = . BC y02= và BC x x0( ): = Þ d A BC x0( ,( )) 3= - Do A OxÎ , B và C đối xứng qua Ox nên DABC cân tâị A Suy ra: DABC đều Û d A BC BC 3 ( ,( )) 2 = Û x y0 03 3- = Û y x2 2 0 03 ( 3)= - Þ x x x x 2 2 0 0 0 0 0 ( 3) 9 3 é = + - = Û ê =ë . + Với x0 0= Þ y0 3= Þ B C(0; 3), (0; 3)- . + Với x0 3= Þ y0 0= (loại). Vậy: B C(0; 3), (0; 3)- . Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y2 2 1 9 4 + = và các đường thẳng d mx ny1 : 0- = , d nx+my2 : 0= , với m n2 2 0+ ¹ . Gọi M, N là các giao điểm của d1 với (E), P, Q là các giao điểm của d2 với (E). Tìm điều kiện đối với m n, để diện tích tứ giác MPNQ đạt giá trị nhỏ nhất. · PTTS của d d1 2, là: x nt d y mt 1 1 1 : ì = í =î , x mt d y nt 2 2 2 : ì = - í =î . + M, N là các giao điểm của d1 và (E) Þ n m n m M N m n m n m n m n2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 ; , ; 9 4 9 4 9 4 9 4 æ ö æ ö- - ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ + + + +è ø è ø + P, Q là các giao điểm của d2 và (E) Þ m n m n P Q m n m n m n m n2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 ; , ; 4 9 4 9 4 9 4 9 æ ö æ ö- - ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ + + + +è ø è ø + Ta có: MN ^ PQ tại trung điểm O của mỗi đường nên MPNQ là hình thoi. MPNQS S MN PQ OM OP 1 . 2 . 2 = = = = M M P P m n x y x y m n m n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 72( ) 2 . (9 4 )(4 9 ) + + + = + + Áp dụng BĐT Cô-si: m n m n m n m n m n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(9 4 ) (4 9 ) 13 (9 4 )(4 9 ) ( ) 2 2 + + + + + £ = + Þ m n S m n 2 2 2 2 72( ) 144 13 13 ( ) 2 + ³ = + . Dấu "=" xảy ra Û m n m n m n2 2 2 2 9 4 4 9+ = + Û = ± Vậy: S 144 min 13 = khi m n= ± . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình: x y2 2 1 16 9 - = .
  26. 26. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 26 Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). · (H) có các tiêu điểm F F1 2( 5;0); (5;0)- . HCN cơ sở của (H) có một đỉnh là M( 4; 3), Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng: x y a b 2 2 2 2 1+ = ( với a > b) (E) cũng có hai tiêu điểm F F a b2 2 2 1 2( 5;0); (5;0) 5 (1)- Þ - = M E a b a b2 2 2 2 (4;3) ( ) 9 16 (2)Î Û + = Từ (1) và (2) ta có hệ: a b a a b a b b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 40 9 16 15 ì ìï ï= + = Ûí í + = =ï ïî î . Vậy (E): x y2 2 1 40 15 + = Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol (H) có phương trình x y2 2 1 9 4 - = . Giả sử (d) là một tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm của (H), kẻ FM ^(d). Chứng minh rằng M luôn nằm trên một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó · (H) có một tiêu điểm F( 13;0) . Giả sử pttt (d): ax + by + c = 0 . Khi đó: 9a2 – 4b2 = c2 (*) Phương trình đường thẳng qua F vuông góc với (d) là (D): b( x 13)- – a y = 0 Toạ độ của M là nghiệm của hệ: ax by c bx ay b13 ì + = - í - =î Bình phương hai vế của từng phương trình rồi cộng lại và kết hợp với (*), ta được x2 + y2 = 9 Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y x2 = và điểm I(0; 2). Tìm toạ độ hai điểm M, N Î (P) sao cho IM IN4= uuur uur . · Gọi M x y N x y0 0 1 1( ; ), ( ; ) là hai điểm thuộc (P), khi đó ta có: x y x y2 2 0 0 1 1;= = IM x y y y2 0 0 0 0( ; 2) ( ; 2)= - = - uuur ; IN y y y y IN y y2 2 1 1 1 1 1 1( ; 2) ( ; 2); 4 (4 ; 4 8)= - = - = - uur uur Theo giả thiết: IM IN4= uuur uur , suy ra: y y y y 2 2 0 1 0 1 4 2 4 8 ìï = í - = -ïî y x y x y x y x 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1; 2; 4 3 9; 6; 36 é = Þ = = - = Û ê = Þ = = =ë Vậy, có 2 cặp điểm cần tìm: M N(4;–2), (1;1) hay M N(36;6), (9;3) . Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y x2 8= . Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x x1 2, . Chứng minh: AB = x x1 2 4+ + . · Theo công thức tính bk qua tiêu: FA x1 2= + , FB x2 2= + Þ AB FA FB x x1 2 4= + = + + . Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E): x y2 2 5 5+ = , Parabol P x y2 ( ): 10= . Hãy viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng x y( ): 3 6 0D + - = , đồng thời tiếp xúc với trục hoành Ox và cát tuyến chung của Elip (E) với Parabol (P). · Đường thẳng đi qua các giao điểm của (E) và (P): x = 2 Tâm I Î D nên: I b b(6 3 ; )- . Ta có: b b b b b b b b 4 3 1 6 3 2 4 3 2 é é- = = - - = Û Ûê ê - = - =ë ë Þ (C): x y2 2 ( 3) ( 1) 1- + - = hoặc (C): x y2 2 ( 2) 4+ - =
  27. 27. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 27 TĐP 04: TAM GIÁC Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho DABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương trình d1: x y3 –4 27 0+ = , phân giác trong góc C có phương trình d2: x y2 –5 0+ = . Tìm toạ độ điểm A. · Phương trình BC: x y2 1 3 4 - + = - Þ Toạ độ điểm C( 1;3)- + Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d2, I là giao điểm của BB’ và d2. Þ phương trình BB’: x y2 1 1 2 - + = x y2 5 0Û - - = + Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: x y x I x y y 2 5 0 3 (3;1) 2 5 0 1 ì ì- - = = Û Þí í+ - = =î î + Vì I là trung điểm BB’ nên: B I B B I B x x x B y y y ' ' 2 4 (4;3) 2 3 ì = - = ¢Þí = - =î + Đường AC qua C và B’ nên có phương trình: y –3 =0. + Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: y x A x y y 3 0 5 ( 5;3) 3 4 27 0 3 ì ì- = = - Û Þ -í í- + = =î î Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM và phân giác trong BD. Biết H M 17 ( 4;1), ;12 5 æ ö - ç ÷ è ø và BD có phương trình x y 5 0+ - = . Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC. · Đường thẳng D qua H và vuông góc với BD có PT: x y 5 0- + = . BD I I(0;5)D Ç = Þ Giả sử AB H 'D Ç = . D BHH ' cân tại B Þ I là trung điểm của HH H' '(4;9)Þ . Phương trình AB: x y5 29 0+ - = . B = AB Ç BD Þ B(6; 1)- Þ A 4 ;25 5 æ ö ç ÷ è ø Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3). Biết phương trình đường phân giác trong (AD): x y2 5 0+ - = , đường trung tuyến (AM): x y4 13 10 0+ - = . Tìm toạ độ đỉnh B. · Ta có A = AD Ç AM Þ A(9; –2). Gọi C¢ là điểm đối xứng của C qua AD Þ C¢ Î AB. Ta tìm được: C¢(2; –1). Suy ra phương trình (AB): x y9 2 2 9 1 2 - + = - - + Û x y7 5 0+ + = . Viết phương trình đường thẳng Cx // AB Þ (Cx): x y7 25 0+ - = Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 , A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): x y3 – –4 0= . · PTTS của d: x t y t4 3 ì = í = - +î . Giả sử C(t; –4 + 3t) Î d. ( )S AB AC A AB AC AB AC 2 2 21 1 . .sin . . 2 2 = = - uuur uuur = 3 2 Û t t2 4 4 1 3+ + = Û t t 2 1 é = - ê =ë Þ C(–2; –10) hoặc C(1;–1).
  28. 28. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 28 Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(2; –3), B(3; –2), có diện tích bằng 3 2 và trọng tâm G thuộc đường thẳng D : x y3 – –8 0= . Tìm tọa độ đỉnh C. · Ta có: AB = 2 , trung điểm M 5 5 ; 2 2 æ ö -ç ÷ è ø . Phương trình AB: x y 5 0- - = . ABCS AB d C AB d C AB 1 3 3 . ( , ) ( , ) 2 2 2 = = Þ = . Gọi G t t( ;3 8) D- Î Þ d G AB 1 ( , ) 2 = Þ t t(3 8) 5 1 2 2 - - - = Û t t 1 2 é = ê =ë · Với t 1= Þ G(1; –5) Þ C(–2; –10) · Với t 2= Þ G(2; –2) Þ C(1; –1) Câu hỏi tương tự: a) Với A B(2; 1), (1; 2)- - , ABCS 27 2 = , G x y: 2 0DÎ + - = . ĐS: C(18; 12)- hoặc C( 9;15)- Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d x y: 2 3 0+ - = và hai điểm A( 1;2)- , B(2;1) . Tìm toạ độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2. · AB 10= , C a a( 2 3; )- + Î d. Phương trình đường thẳng AB x y: 3 5 0+ - = . ABCS 2D = AB d C AB 1 . ( , ) 2 2 Û = a 21 10. 2 2 10 - Û = a a 6 2 é = Û ê = -ë · Với a 6= ta có C( 9;6)- · Với a 2= - ta có C(7; 2)- . Câu hỏi tương tự: a) Với d x y: 2 1 0- - = , A(1; 0), B(3; -1) , ABCS 6= . ĐS: C(7;3) hoặc C( 5; 3)- - . Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –3), B(3; –2), diện tích tam giác bằng 1,5 và trọng tâm I nằm trên đường thẳng d: x y3 8 0- - = . Tìm toạ độ điểm C. · Vẽ CH ^ AB, IK ^ AB. AB = 2 Þ CH = ABCS AB 2 3 2 D = Þ IK = CH 1 1 3 2 = . Giả sử I(a; 3a – 8) Î d. Phương trình AB: x y 5 0- - = . d I AB IK( , ) = Û a3 2 1- = Û a a 2 1 é = ê =ë Þ I(2; –2) hoặc I(1; –5). + Với I(2; –2) Þ C(1; –1) + Với I(1; –5) Þ C(–2; –10). Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A B(1;0), (0;2) , diện tích tam giác bằng 2 và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng d: y x= . Tìm toạ độ điểm C. · Phương trình AB x y: 2 2 0+ - = . Giả sử I t t d( ; )Î Þ C t t(2 1;2 )- . Theo giả thiết: ABCS AB d C AB 1 . ( , ) 2 2D = = Û t6 4 4- = Û t t 4 0; 3 = = . + Với t 0= Þ C( 1;0)- + Với t 4 3 = Þ C 5 8 ; 3 3 æ ö ç ÷ è ø . Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 5); B(4; –3), đường phân giác trong vẽ từ C là d x y: 2 8 0+ - = . Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
  29. 29. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 29 · Gọi E là điểm đối xứng của A qua d Þ E Î BC. Tìm được E(1;1) Þ PT đường thẳng BC: x y4 3 1 0+ + = . C d BC= Ç Þ C( 2;5)- . Phương trình đường tròn (ABC) có dạng: x y ax by c a b c2 2 2 2 2 2 0; 0+ - - + = + - > Ta có A, B, C Î (ABC) Þ a b c a b c a b c a b c 4 10 29 1 5 99 6 10 34 ; ; 2 8 4 8 6 25 ì - + = - ì -ï - - + = - Û = = =íí îï - + + = -î Vậy phương trình đường tròn là: x y x y2 2 5 99 0 4 4 + - - - = . Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là M( 1;2)- , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(2; 1)- . Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình x y2 1 0+ + = . Tìm toạ độ đỉnh C. · PT đường thẳng AB qua M và nhận MI (3; 3)= - uuur làm VTPT: AB x y( ): 3 0- + = . Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y x y 3 0 2 1 0 ì - + = í + + =î Þ A 4 5 ; 3 3 æ ö -ç ÷ è ø . M( 1;2)- là trung điểm của AB nên B 2 7 ; 3 3 æ ö -ç ÷ è ø . Đường thẳng BC qua B và nhận n (2;1)= r làm VTCP nên có PT: x t y t 2 2 3 7 3 ì = - +ï í ï = + î Giả sử C t t BC 2 7 2 ; ( ) 3 3 æ ö - + + Îç ÷ è ø . Ta có: IB IC t t 2 2 2 2 8 10 8 10 2 3 3 3 3 æ ö æ ö æ ö æ ö = Û - + + = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø Û t loaïi vì C B t 0 ( ) 4 5 é = º ê =ê ë Vậy: C 14 47 ; 15 15 æ ö ç ÷ è ø . Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với AB 5= , đỉnh C( 1; 1)- - , đường thẳng AB có phương trình x y2 3 0+ - = , trọng tâm của DABC thuộc đường thẳng d x y: 2 0+ - = . Xác định toạ độ các đỉnh A, B của tam giác ABC. · Gọi I a b( ; ) là trung điểm của AB, G là trọng tâm DABC Þ CG CI 2 3 = uuur uur Þ G G a x b y 2 1 3 2 1 3 ì - =ï í -ï = î Do G dÎ nên a b2 1 2 1 2 0 3 3 - - + - = Þ Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: a b a b 2 3 0 2 1 2 1 2 0 3 3 ì + - = ï - -í + - =ïî Þ a b 5 1 ì = í = -î Þ I(5; 1)- . Ta có A B AB IA IB , ( ) 5 2 ì Î ï í = =ïî Þ Toạ độ các điểm A, B là các nghiệm của hệ: x y x y2 2 2 3 0 5 ( 5) ( 1) 4 ì + - = ï í - + + =ïî
  30. 30. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 30 Û x y x y 1 4; 2 3 6; 2 é = = -ê ê ê = = - ë Þ A B 1 3 4; , 6; 2 2 æ ö æ ö - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø hoặc A B 3 1 6; , 4; 2 2 æ ö æ ö - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm G(2;1) và hai đường thẳng d x y1 : 2 7 0+ - = , d x y2 : 5 8 0+ - = . Tìm toạ độ điểm B d C d1 2,Î Î sao cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm, biết A là giao điểm của d d1 2, . · Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y x y 2 7 0 5 8 0 ì + - = í + - =î Û x y 1 3 ì = í =î Þ A(1;3). Giả sử B b b d C c c d1 2(7 2 ; ) ; ( ;8 5 )- Î - Î . Vì G là trọng tâm của DABC nên: A B C G A B C G x x x x y y y y 3 3 ì + + =ïï í + +ï = ïî Þ b c b c 2 2 5 8 ì - = í - = -î Þ b c 2 2 ì = í =î . Vậy: B C(3;2), (2; 2)- . Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;1). Đường cao BH có phương trình x y3 7 0- - = . Đường trung tuyến CM có phương trình x y 1 0+ + = . Xác định toạ độ các đỉnh B, C. Tính diện tích tam giác ABC. · AC qua A và vuông góc với đường cao BH Þ AC x y( ): 3 7 0- - = . Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: x y x y 3 7 0 1 0 ì - - = í + + =î Þ C(4; 5)- . Trung điểm M của AB có: B B M M x y x y 2 1 ; 2 2 + + = = . M CM( )Î Þ B Bx y2 1 1 0 2 2 + + + + = . Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: B B x y x y 3 7 0 2 1 1 0 2 2 ì - - = ï + +í + + =ïî Þ B( 2; 3)- - . Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ: x y x y 3 7 0 3 7 0 ì - - = í + - =î Þ H 14 7 ; 5 5 æ ö -ç ÷ è ø . BH AC 8 10 ; 2 10 5 = = Þ ABCS AC BH 1 1 8 10 . .2 10. 16 2 2 5D = = = (đvdt). Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 2)- , phương trình đường cao kẻ từ C và đường trung trực của BC lần lượt là: x y 2 0- + = , x y3 4 2 0+ - = . Tìm toạ độ các đỉnh B và C. · Đường thẳng AB qua A và vuông góc với đường cao CH Þ AB x y( ): 2 0- + = . Gọi B b b AB( ;2 ) ( )- Î , C c c CH( ; 2) ( )+ Î Þ Trung điểm M của BC: b c b c M 4 ; 2 2 æ ö+ - + ç ÷ è ø . Vì M thuộc trung trực của BC nên: b c b c3( ) 4(4 ) 4 0+ + - + - = Û b c7 12 0- + + = (1) BC c b c b( ; )= - + uuur là 1 VTPT của trung trực BC nên c b c b4( ) 3( )- = + Û c b7= (2) Từ (1) và (2) Þ c b 7 1 , 4 4 = - = - . Vậy B C 1 9 7 1 ; , ; 4 4 4 4 æ ö æ ö - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø .
  31. 31. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 31 Câu 15. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A( 1;4)- và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng x y: 4 0D - - = . Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. · Gọi H là trung điểm của BC Þ H là hình chiếu của A trên D Þ H 7 1 ; 2 2 æ ö -ç ÷ è ø Þ AH 9 2 = Theo giả thiết: ABCS BC AH BC 1 18 . 18 4 2 2D = Þ = Þ = Þ HB HC 2 2= = . Toạ độ các điểm B, C là các nghiệm của hệ: x y x y 2 2 4 0 7 1 8 2 2 ì - - = ï íæ ö æ ö - + + =ç ÷ ç ÷ï è ø è øî Û x y x y 11 3 ; 2 2 3 5 ; 2 2 é = =ê ê ê = = - ë Vậy B C 11 3 3 5 ; , ; 2 2 2 2 æ ö æ ö -ç ÷ ç ÷ è ø è ø hoặc B C 3 5 11 3 ; , ; 2 2 2 2 æ ö æ ö -ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x y 5 0+ + = , d2: x y2 –7 0+ = và tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 và điểm C thuộc d2 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. · Do B Î d1 nên B(m; – m – 5), C Î d2 nên C(7 – 2n; n) Do G là trọng tâm DABC nên m n m n 2 7 2 3.2 3 5 3.0 ì + + - = í - - + =î m n 1 1 ì = - Û í =î Þ B(–1; –4), C(5; 1) Þ PT đường tròn ngoại tiếp DABC: x y x y2 2 83 17 338 0 27 9 27 + - + - = Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;6), phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là d x y1 : 2 13 0- + = và d x y2 : 6 13 29 0- + = . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . · Đường cao CH : x y2 13 0- + = , trung tuyến CM : x y6 13 29 0- + = C( 7; 1)Þ - - PT đường thẳng AB: x y2 16 0+ - = . M CM AB= Ç Þ M(6;5) Þ B(8;4). Giả sử phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp ABC x y mx ny p2 2 : 0.D + + + + = Vì A, B, C Î (C) nên m n p m n p m n p 52 4 6 0 80 8 4 0 50 7 0 ì + + + = ï + + + =í ï - - + =î m n p 4 6 72 ì = - ï Û =í ï = -î . Suy ra PT đường tròn: x y x y2 2 4 6 72 0+ - + - = . Câu 18. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d x y1 : 5 0+ + = và d x y2 : 2 –7 0+ = . Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG. · Giả sử B b b d C c c d1 2( 5 ; ) ; (7 2 ; )- - Î - Î . Vì G là trọng tâm DABC nên ta có hệ: B C B C x x y y 2 6 3 0 ì + + = í + + =î Þ B(–1;–4) , C(5; 1). Phương trình BG: x y4 –3 –8 0= . Bán kính R d C BG 9 ( , ) 5 = = Þ Phương trình đường tròn: x y2 2 81 ( –5) ( –1) 25 + =
  32. 32. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 32 Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 3;6)- , trực tâm H(2;1), trọng tâm G 4 7 ; 3 3 æ ö ç ÷ è ø . Xác định toạ độ các đỉnh B và C. · Gọi I là trung điểm của BC. Ta có AG AI I 2 7 1 ; 3 2 2 æ ö = Þ ç ÷ è ø uuur uur Đường thẳng BC qua I vuông góc với AH có phương trình: x y 3 0- - = Vì I là trung điểm của BC nên giả sử B BB x y( ; ) thì B BC x y(7 ;1 )- - và B Bx y 3 0- - = . H là trực tâm của tam giác ABC nên CH AB^ ; B B B BCH x y AB x y( 5 ; ), ( 3; 6)= - + = + - uuur uuur B B B B B B B B B x y x x CH AB x x y y y 3 1 6 . 0 ( 5)( 3) ( 6) 0 2 3 ì ì ì- = = = = Û Û Úí í í - + + - = = - =î î î uuur uuur Vậy ( ) ( )B C1; 2 , 6;3- hoặc ( ) ( )B C6;3 , 1; 2- Câu 20. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao CH x y: 1 0- + = , phân giác trong BN x y: 2 5 0+ + = . Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC. · Do AB CH^ nên phương trình AB: x y 1 0+ + = . + B = AB BNÇ Þ Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: x y x y 2 5 0 1 0 ì + + = í + + =î Û x y 4 3 ì = - í =î Þ B( 4;3)- . + Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì A BC'Î . Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): x y2 5 0- - = . Gọi I d BN( )= Ç . Giải hệ: x y x y 2 5 0 2 5 0 ì + + = í - - =î . Suy ra: I(–1; 3) A'( 3; 4)Þ - - + Phương trình BC: x y7 25 0+ + = . Giải hệ: BC x y CH x y : 7 25 0 : 1 0 ì + + = í - + =î Þ C 13 9 ; 4 4 æ ö - -ç ÷ è ø . + BC 2 2 13 9 450 4 3 4 4 4 æ ö æ ö = - + + + =ç ÷ ç ÷ è ø è ø , d A BC 2 2 7.1 1( 2) 25 ( ; ) 3 2 7 1 + - + = = + . Suy ra: ABCS d A BC BC 1 1 450 45 ( ; ). .3 2. . 2 2 4 4 = = = Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABCD , với đỉnh A(1; –3) phương trình đường phân giác trong BD: x y 2 0+ - = và phương trình đường trung tuyến CE: x y8 7 0+ - = . Tìm toạ độ các đỉnh B, C. · Gọi E là trung điểm của AB. Giả sử B b b BD( ;2 )- Î b b E CE 1 1 ; 2 2 æ ö+ + Þ - Îç ÷ è ø Þ b 3= - Þ B( 3;5)- . Gọi A¢ là điểm đối xứng của A qua BD Þ A¢ Î BC. Tìm được A¢(5; 1) Þ Phương trình BC: x y2 7 0+ - = ; x y C CE BC C x y 8 7 0 : (7;0) 2 7 0 ì + - = = Ç Þí + - =î . Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; –4). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là d x y1 : 1 0+ - = và d x y2 :3 9 0- - = . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC.
  33. 33. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 33 · Gọi C c c d2( ;3 9)- Î và M là trung điểm của BC Þ M m m d1( ;1 )- Î . Þ B m c m c(2 ;11 2 3 )- - - . Gọi I là trung điểm của AB, ta có m c m c I 2 3 7 2 3 ; 2 2 æ ö- + - - ç ÷ è ø . Vì I Î d2( ) nên m c m c2 3 7 2 3 3. 9 0 2 2 - + - - - - = Û m 2= Þ M(2; 1)- Þ Phương trình BC: x y 3 0- - = . C BC d C B2 (3;0) (1; 2)= Ç Þ Þ - . Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng d đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y - 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; -3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. · Gọi H là chân đường cao xuất phát từ A Þ H đối xứng với A qua d Þ H( 2; 2)- - Þ PT đường thẳng BC: x y 4 0+ + = . Giả sử B m m BC( ; 4 )- - Î Þ C m m( 4 ; )- - Þ CE m m , AB m m(5 ; 3 ) ( 6; 10 )= + - - = - - - uuur uuur . Vì CE AB^ nên AB CE m m m m. 0 ( 6)( 5) ( 3)( 10) 0= Û - + + + + = uuur uuur Û m m0; 6= = - . Vậy: B C(0; 4), ( 4;0)- - hoặc B C( 6;2), (2; 6)- - . Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2;4). Đường thẳng D qua trung điểm của cạnh AB và AC có phương trình x y4 6 9 0- + = ; trung điểm của cạnh BC nằm trên đường thẳng d có phương trình: x y2 2 1 0- - = . Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng 7 2 và đỉnh C có hoành độ lớn hơn 1. · Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua D, ta tính được A 40 31 ' ; 13 13 æ ö ç ÷ è ø Þ BC x y: 2 3 1 0- + = Ta gọi M là trung điểm của BC, thì M là giao của đường thẳng d và BC nên M 5 ;2 2 æ ö ç ÷ è ø . Giả sử t C t BC 3 1 ; ( ) 2 æ ö- Îç ÷ è ø . Ta có ABCS d A BC BC BC BC 1 7 1 7 ( ; ). . 13 2 2 2 13 D = Û = Û = CM 13 2 Û = t t C t t C loaïi 2 23 6 13 3 (4;3) ( 2) 1 (1;1) ( )2 2 æ ö- é é= Û + - = Û Ûç ÷ ê ê=è ø ë ë Þ B(1;1). Vậy: B(1;1), C(4;3) . Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho DABC có tọa độ đỉnh B(3; 5) , phương trình đường cao hạ từ đỉnh A và đường trung tuyến hạ từ đỉnh C lần lượt là d1: 2x – 5y + 3 = 0 và d2 : x + y – 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C của tam giác ABC. · Gọi M là trung điểm AB thì M Î d2 nên M a a( ;5 )- . Đỉnh A Î d1 nên b A b 5 3 ; 2 æ ö- ç ÷ è ø . M là trung điểm AB: A B M A B M x x x y y y 2 2 ì + = í + =î a b a a b b 4 5 3 2 2 5 1 ì ì- = = Û Ûí í+ = =î î Þ A(1; 1). Phương trình BC: x y5 2 25 0+ - = ; C d BC2= Ç Þ C(5; 0). Câu 26. Trong mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ Oxy, cho ABCD với AB 5,= đỉnh C( 1; 1)- - , phương trình cạnh AB x y: 2 3 0+ - = và trọng tâm G của ABCD thuộc đường thẳng
  34. 34. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 34 d x y: 2 0+ - = . Xác định tọa độ các đỉnh A B, của tam giác. · Gọi I x y( ; ) là trung điểm AB , G GG x y( ; ) là trọng tâm của DABC Þ G G x x CG CI y y 2 1 2 3 2 13 3 ì - =ï = Û í -ï = î uuur uur G d x y: 2 0Î + - = nên có: G Gx y 2 0+ - = Û x y2 1 2 1 2 0 3 3 - - + - = Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ: x y Ix y 2 3 0 (5; 1)2 1 2 1 2 0 3 3 ì + - = ï Þ -- -í + - =ïî Gọi A A A A AB A x y IA x y 2 2 2 2 5 ( ; ) ( 5) ( 1) 2 4 æ ö Þ = - + + = =ç ÷ è ø . Hơn nữa A AB x y: 2 3 0Î + - = suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: ( ) ( ) A A A A A A A A x y x x x y y y 2 2 2 3 0 4 6 5 1 3 5 1 4 2 2 ì ì ì+ - = = = ï ï ï Û Úí í í - + + = = - = -ï ï ïî î î Vậy: A B 1 3 4, , 6; 2 2 æ ö æ ö - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø hoặc B A 1 3 4, , 6; 2 2 æ ö æ ö - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Câu 27. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm toạ độ các đỉnh của một tam giác vuông cân, biết đỉnh C(3; 1)- và phương trình của cạnh huyền là d x y:3 2 0- + = . · Toạ độ điểm C không thoả mãn phương trình cạnh huyền nên DABC vuông cân tại C. Gọi I là trung điểm của AB . Phương trình đường thẳng CI: x y3 0+ = . I CI AB= Ç Þ I 3 1 ; 5 5 æ ö -ç ÷ è ø Þ AI BI CI 72 5 = = = Ta có: A B d AI BI , 72 5 ì Î ï í = =ï î Û x y x y 2 2 3 2 0 3 1 72 5 5 5 ì - + = ï æ ö æ öí + + - =ç ÷ ç ÷ï è ø è øî Û x y x y 3 19 ; 5 5 9 17 ; 5 5 é = =ê ê ê = - = - ë Vậy toạ độ 2 đỉnh cần tìm là: 3 19 9 17 ; , ; 5 5 5 5 æ ö æ ö - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; –5) và đường thẳng D có phương trình: x y3 4 4 0- + = . Tìm trên D hai điểm A và B đối xứng nhau qua I 5 2; 2 æ ö ç ÷ è ø sao cho diện tích tam giác ABC bằng 15. · Gọi a a A a B a 3 4 16 3 ; 4 ; 4 4 D æ ö æ ö+ - Î Þ -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Þ ABCS AB d C AB 1 . ( , ) 3 2 D= = Þ AB = 5. a a AB a a 2 2 6 3 4 5 (4 2 ) 25 02 æ ö- é = = Û - + = Ûç ÷ ê =ëè ø . Vậy hai điểm cần tìm là A(0; 1) và B(4; 4). Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với B(1; 2)- đường cao
  35. 35. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 35 AH x y: 3 0- + = . Tìm tọa độ các đỉnh A, C của tam giác ABC biết C thuộc đường thẳng d x y:2 1 0+ - = và diện tích tam giác ABC bằng 1. · Phương trình BC x y: 1 0+ + = . C = BC Ç d Þ C(2; 3)- . Gọi A x y AH x y0 0 0 0( ; ) 3 0Î Þ - + = (1); x y BC AH d A BC 0 0 1 2, ( , ) 2 + + = = = ABC x y x y S AH BC x y 0 0 0 0 0 0 1 1 2 (2)1 1 . 1 . . 2 1 1 2 (3)2 2 2 D + + é + + = = = Û = Û ê + + = -ë Từ (1) và (2) x A y 0 0 1 ( 1;2) 2 ì = - Þ Þ -í =î . Từ (1) và (3) x A y 0 0 3 ( 3;0) 0 ì = - Þ Þ -í =î Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A(2;1), điểm B nằm trên trục hoành, điểm C nằm trên trục tung sao cho các điểm B, C có toạ độ không âm. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. · Giả sử B b C c b c( ;0), (0; ), ( , 0)³ . DABC vuông tại A Û AB AC. 0= uuur uuur Û c b2 5 0= - + ³ Û b 5 0 2 £ £ . ABCS AB AC 1 . 2D = = b c b b b2 2 2 2 21 ( 2) 1. 2 ( 1) ( 2) 1 4 5 2 - + + - = - + = - + Do b 5 0 2 £ £ nên ABCSD đạt GTLN Û b 0= Þ B C(0;0), (0;5) . Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A( 1; 3)- - , trọng tâm G(4; 2)- , trung trực của AB là d x y:3 2 4 0+ - = . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. · Gọi M là trung điểm của BC Þ AM AG 3 2 = uuur uuur Þ M 13 3 ; 2 2 æ ö -ç ÷ è ø . AB d^ Þ AB nhận du (2; 3)= - r làm VTPT Þ Phương trình AB x y: 2 3 7 0- - = . Gọi N là trung điểm của AB Þ N = AB Ç d Þ N(2; 1)- Þ B(5;1) Þ C(8; 4)- . PT đường tròn (C) ngoại tiếp DABC có dạng: x y ax by c2 2 2 2 0+ + + + = (a b c2 2 0+ - > ). Khi đó ta có hệ: a b c a b c a b c 2 6 10 10 2 26 16 8 80 ì + - = ï + + = -í ï - + = -î Û a b c 74 21 23 7 8 3 ì =ï ïï = -í ï ï = ïî . Vậy: C x y x y2 2 148 46 8 ( ): 0 21 7 3 + - + + = Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2, 0) và phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: x y4 14 0+ + = ; x y2 5 2 0+ - = . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. · A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H( 1;6)- , các điểm M N(2;2) (1;1) lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. · Đường thẳng CH qua H và vuông góc với MN Þ CH x y: 5 0+ + = .
  36. 36. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 36 Giả sử C a a CH( ;5 )- Î Þ CN a a(1 ; 4)= - - uuur Vì M là trung điểm của AC nên A a a(4 ; 1)- - Þ AH a a( 5;7 )= - - uuur Vì N là trung điểm của BC nên B a a(2 ; 3)- - Vì H là trực tâm DABC nên: AH CN. 0= uuur uuur Û a a a a( 5)(1 ) (7 )( 4) 0- - + - - = Û a a 3 11 2 é = ê =ê ë . + Với a 3= Þ C A B(3;2), (1;2), ( 1;0)- + Với a 11 2 = Þ C A B 11 1 3 9 7 5 ; , ; , ; 2 2 2 2 2 2 æ ö æ ö æ ö - - -ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phân giác trong AD và đường cao CH lần lượt có phương trình x y 2 0+ - = , x y2 5 0- + = . Điểm M(3;0) thuộc đoạn AC thoả mãn AB AM2= . Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. · Gọi E là điểm đối xứng của M qua AD Þ E(2; 1)- . Đường thẳng AB qua E và vuông góc với CH Þ AB x y( ): 2 3 0+ - = . Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y x y 2 3 0 2 0 ì + - = í + - =î Þ A(1;1) Þ PT AM x y( ): 2 3 0+ - = Do AB AM2= nên E là trung điểm của AB Þ B(3; 3)- . Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: x y x y 2 3 0 2 5 0 ì + - = í - + =î Þ C( 1;2)- Vậy: A(1;1), B(3; 3)- , C( 1;2)- . Câu hỏi tương tự: a) AD x y( ): 0- = , CH x y( ): 2 3 0+ + = , M(0; 1)- . ĐS: A(1;1); B( 3; 1)- - ;C 1 ; 2 2 æ ö - -ç ÷ è ø Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC có phương trình x y2 2 0+ - = . Đường cao kẻ từ B có phương trình x y 4 0- + = , điểm M( 1;0)- thuộc đường cao kẻ từ C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC. · Toạ độ đỉnh B là nghiệm của hệ: x y x y 2 2 0 4 0 ì + - = í - + =î Þ B( 2;2)- . Gọi d là đường thẳng qua M và song song với BC Þ d x y: 2 1 0+ + = . Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B Þ Toạ độ của N là nghiệm của hệ: x y x y 4 0 2 1 0 ì - + = í + + =î Þ N( 3;1)- . Gọi I là trung điểm của MN Þ I 1 2; 2 æ ö -ç ÷ è ø . Gọi E là trung điểm của BC Þ IE là đường trung trực của BC Þ IE x y: 4 2 9 0- + = . Toạ độ điểm E là nghiệm của hệ: x y x y 2 2 0 4 2 9 0 ì + - = í - + =î Þ E 7 17 ; 5 10 æ ö -ç ÷ è ø Þ C 4 7 ; 5 5 æ ö -ç ÷ è ø . Đường thẳng CA qua C và vuông góc với BN Þ CA x y 3 : 0 5 + - = . Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ: x y x y 4 2 9 0 3 0 5 ì - + = ï í + - =ïî Þ A 13 19 ; 10 10 æ ö -ç ÷ è ø .
  37. 37. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 37 Vậy: A 13 19 ; 10 10 æ ö -ç ÷ è ø , B( 2;2)- , C 4 7 ; 5 5 æ ö -ç ÷ è ø . Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x y–4 –2 0= , cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x y 3 0+ + = và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. · Ta có AC vuông góc với BH và đi qua M(1; 1) nên có phương trình: y x= . Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ : x x y A y x y 2 2 24 2 0 3 ; 2 3 3 3 ì = -ï æ öì - - = Û Þ - -í í ç ÷=î è øï = - î Vì M là trung điểm của AC nên C 8 8 ; 3 3 æ ö ç ÷ è ø Vì BC đi qua C và song song với d nên BC có phương trình: x y 2 4 = + x y x BH BC B Bx yy 3 0 4 : ( 4;1) 12 4 ì + + = ï ì = - Ç = Û Þ -í í == + îïî Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao BH x y:3 4 10 0+ + = , đường phân giác trong góc A là AD có phương trình là x y 1 0- + = , điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng bằng 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. · Gọi N đối xứng với M qua AD . Ta có N ACÎ và N (1;1) Þ PT cạnh AC x y: 4 3 1 0- - = A AC AD A(4;5)= Ç Þ . AB đi qua M, A Þ PT cạnh AB x y:3 4 8 0- + = Þ B 1 3; 4 æ ö - -ç ÷ è ø Gọi C a b AC a b( ; ) 4 3 1 0Î Þ - - = , ta có MC 2= Þ C(1;1) hoặc C 31 33 ; 25 25 æ ö ç ÷ è ø . Kiểm tra điều kiện B, C khác phía với AD, ta có cả hai điểm trên đều thỏa mãn. Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung điểm của cạnh BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x y 2 0+ - = và d2: x y2 6 3 0+ + = . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. · Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y x y 2 0 2 6 3 0 ì + - = í + + =î Þ A 15 7 ; 4 4 æ ö -ç ÷ è ø . Giả sử: B b b( ;2 )- Î d1, c C c 3 2 ; 6 æ ö- - ç ÷ è ø Î d2. M(–1; 1) là trung điểm của BC Û b c c b 1 2 3 2 2 6 1 2 ì + = -ï ï - -í - +ï =ï î Û b c 1 4 9 4 ì =ï í ï = - î Þ B 1 7 ; 4 4 æ ö ç ÷ è ø , C 9 1 ; 4 4 æ ö -ç ÷ è ø . Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABCD cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa độ là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB y x: 3 7( 1)= - . Biết chu
  38. 38. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 38 vi của ABCD bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. · B AB Ox B(1;0)= Ç Þ , ( )A AB A a a a;3 7( 1) 1Î Þ - Þ > (do A Ax y0, 0> > ). Gọi AH là đường cao ABC H a C a BC a AB AC a( ;0) (2 1;0) 2( 1), 8( 1)D Þ Þ - Þ = - = = - . ( )Chu vi ABC a C A18 2 (3;0), 2;3 7D = Û = Þ . Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là x y4 3 –4 0+ = ; x y– –1 0= . Phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng x y2 –6 0+ = . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. · Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình: x y x A x y y 4 3 4 0 2 ( 2;4) 2 6 0 4 ì ì+ - = = - Û Þ -í í+ - = =î î Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương trình ( )x y x B x y y 4 3 4 0 1 1;0 1 0 0 ì ì+ - = = Û Þí í- - = =î î Phương trình AC qua điểm A(–2;4) có dạng: a x b y ax by a b( 2) ( 4) 0 2 4 0+ + - = Û + + - = Gọi x y x y ax by a b1 2 3: 4 3 4 0; : 2 6 0; : 2 4 0D D D+ - = + - = + + - = Từ giả thiết suy ra ( )· ( )· 2 3 1 2; ;D D D D= . Do đó · · a b a b 2 3 1 2 2 2 1. 2. 4.1 2.3 cos( ; ) cos( ; ) 25. 55. D D D D + + = Û = + a a b a b a a b a b 2 2 0 2 2 (3 4 ) 0 3 4 0 é = Û + = + Û - = Û ê - =ë · a = 0 b 0Þ ¹ . Do đó y3 : 4 0D - = · 3a – 4b = 0: Chọn a = 4 thì b = 3. Suy ra x y3 : 4 3 4 0D + - = (trùng với 1D ). Do vậy, phương trình của đường thẳng AC là y – 4 = 0. Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình: y x C x y y 4 0 5 (5;4) 1 0 4 ì ì- = = Û Þí í- - = =î î Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. · Gọi C c c( ; 2 3)+ và I m m( ;6 )- là trung điểm của BC. Suy ra: B m c m c(2 ; 9 2 2 )- - - . Vì C’ là trung điểm của AB nên: m c m c C CC 2 5 11 2 2 ' ; ' 2 2 æ ö- + - - Îç ÷ è ø nên m c m c m 2 5 11 2 2 5 2 3 0 2 2 6 æ ö- + - - - + = Þ = -ç ÷ è ø I 5 41 ; 6 6 æ ö Þ -ç ÷ è ø . Phương trình BC: x y3 3 23 0- + = Þ C 14 37 ; 3 3 æ ö ç ÷ è ø Þ B 19 4 ; 3 3 æ ö -ç ÷ è ø . Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, biết toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là H(2;2), I(1;2) và trung điểm M 5 5 ; 2 2 æ ö ç ÷ è ø của cạnh BC. Hãy tìm toạ độ các đỉnh A B C, , biết B Cx x> ( Bx , Cx lần lượt hoành độ điểm B và C). · Gọi G là trọng tâm DABC ta có : GH GI2= - uuur uur Þ G 4 ;2 3 æ ö ç ÷ è ø
  39. 39. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 39 Mặt khác vì GA GM2= - uuur uuur nên A( 1;1)- . Phương trình BC: x y3 10 0+ - = . Đường tròn (C) ngoại tiếp D có tâm I(1; 2) và bán kính R 4 1 5= + = . Do đó (C) : x y2 2 ( 1) ( 2) 5- + - = . Khi đó toạ độ B ;C là nghiệm hệ : x xx y y yx y 2 2 2 3( 1) ( 2) 5 4 13 10 0 ì ì ì= =- + - = Û Úí í í = =+ - = î îî Vì B Cx x> nên B(3;1) ; C(2;4). Vậy : A(–1; 1); B(3; 1) ; C(2; 4). Câu 43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại C có diện tích bằng 10, phương trình cạnh AB là x y2 0- = , điểm I(4; 2) là trung điểm của AB, điểm M 9 4; 2 æ ö ç ÷ è ø thuộc cạnh BC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết tung độ điểm B lớn hơn hoặc bằng 3. · Giả sử B BB y y AB(2 ; )Î Þ B BA y y(8 2 ;4 )- - . Phương trình CI: x y2 10 0+ - = . Gọi C CC x x( ;10 2 )- Þ CCI x5 4= - uur ; BAB y20 2= - uuur . ABC B C C BS CI AB y x x y 1 . 10 4 2 8 2 2 = = Û + - - = C B B C C B B C x y y x x y y x 4 2 6 (1) 4 2 10 (2) é - - = - Û ê - - = -ë Vì ( )C B C B x k y M BC CM kMB x k y 4 2 4 11 9 2 2 2 ì - = - ï Î Þ = Û æ öí - + = -ç ÷ï è øî uuur uuur C B B Cx y y x2 6 5 16 0Þ - - + = (3) · Từ (1) và (3): C B B C B C B B C B x y y x y x y y x y 4 2 6 1 2 2 6 5 16 0 1 2 ìì - - = - = - -ï Þí í - - + = = - +î ïî (loại, vì By 3³ ) · Từ (2) và (3): C B B C B CC B B C x y y x y xx y y x 4 2 10 3 22 6 5 16 0 ì ì- - = - = Ûí í =- - + = îî (thoả) Vậy A(2; 1), B(6; 3), C(2; 6). Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, các đỉnh A, B thuộc đường thẳng d: y = 2, phương trình cạnh BC: x y3 2 0- + = . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3 . · B d BC= Ç Þ B(0; 2). Giả sử A a d a( ;2) ,( 2)Î ¹ , C c c BC c( ;2 3) ,( 0)+ Î ¹ . AB a AC c a c BC c c( ;0), ( ; 3), ( ; 3)= - = - = uuur uuur uuur Þ AB a AC c a c BC c2 2 , ( ) 3 , 2= = - + = DABC vuông ở A và r 3= Þ AB AC S pr . 0ì = í =î uuur uuur Û AB AC AB BC AC AB AC . 0 1 . . 3 2 2 ì =ï í + + =ïî uuur uuur Û ( ) a c a a c a c a c c a c2 2 2 2 ( ) 0 ( ) 3 2 ( ) 3 3 ì- - =ï í - + = + + - +ïî Û c a a 0 3 3 ì = ¹ í = +î Þ c a A C c a A C 3 3 (3 3;2), (3 3;5 3 3) 3 3 ( 3 3;2), ( 3 3; 1 3 3) é = = + Þ + + + ê = = - - Þ - - - - - -ë Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm toạ độ các đỉnh của tam giác vuông cân ABC, có phương trình hai cạnh AB x y: 2 1 0- + = , AC x y: 2 3 0+ - = và cạnh BC chứa điểm I 8 ;1 3 æ ö ç ÷ è ø .

×