1. Matrices Invertibles y Elementos de ´Algebra Matricial
Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM
12 de enero de 2011
´Indice
9.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
9.2. Transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
9.3. Propiedades de la transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
9.4. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
9.5. Motivaci´on del algoritmo de inversi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
9.6. Algoritmo para invertir una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
9.7. Comentario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
9.8. Propiedades de la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
9.9. Ecuaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
9.10. Complejidad computacional de la inversi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
9.1. Introducci´on
En esta lectura veremos la matriz transpuesta y la matriz inversa a una matriz dada (En caso de que la
matriz inversa a ella exista). Revisaremos las propiedades que tienen el tomar la inversa o la transpuesta de
una matriz as´ı como un m´etodo eficiente de inversi´on. Terminaremos con la aplicaci´on de estos conceptos a la
soluci´on de cierto tipo de ecuaciones matriciales.
9.2. Transpuesta
Definici´on 9.1
La matriz transpuesta de una matriz A n × m es una matriz con dimensiones m × n cuyo elemento (i, j) es
precisamente el elemento (j, i) de la matriz A. A esta matriz se le simboliza AT . Una forma f´acil de construir
AT es tomar los renglones de A y convertirlos en columnas.
Ejemplo 9.1
Determine AT si
A =
1 2 3
4 5 6
.
Soluci´on
Siguiendo la indicaci´on de tomar los renglones de A como columnas para AT tenemos:
AT
=


1 4
2 5
3 6



2. 9.3. Propiedades de la transpuesta
1. La transpuesta de la transpuesta de una matriz A es otra vez A: AT T
= A.
2. La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas: (A + B)T
= AT + BT .
3. (c A)T
= c AT .
4. (A B)T
= BT AT .
La transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas pero en orden contrario
9.4. Matrices invertibles
Definici´on 9.2
Se dice que una matriz A cuadrada n × n es una matriz invertible, o que es una matriz no singular, si existe
una matriz B n × n, que llamaremos la matriz inversa de A, que cumple:
A B = I y B A = I (1)
Una matriz invertible s´olo tiene una inversa, es decir, la inversa es ´unica. La ´unica inversa de una matriz
invertible A se representa por A−1. As´ı
A A−1
= I = A−1
A (2)
Como se puede ver 0 C = 0, para cualquier matriz C de dimensiones adecuadas, esto significa que existen
matrices cuadradas que no pueden ser invertibles (La matrix cuadrada 0 es una de ellas) este tipo de matrices
se llama matriz singular o matriz no invertible.
9.5. Motivaci´on del algoritmo de inversi´on
Veamos un ejemplo que motivar´a el algoritmo para obtener la inversa de una matriz.
Ejemplo 9.2
Determine la inversa de
A =
1 −2
3 −5
Suponga que buscamos una matriz B, 2 × 2 tal que A B = I2×2:
1 −2
3 −5
b11 b12
b21 b22
=
1 0
0 1
As´ı se debe cumplir:
Para elemento (1,1) del producto: 1 · b11 − 2 · b21 = 1
Para elemento (2,1) del producto: 3 · b11 − 5 · b21 = 0
Para elemento (1,2) del producto: 1 · b12 − 2 · b22 = 0
Para elemento (2,2) del producto: 3 · b12 − 5 · b22 = 1
Esto conduce a dos sistemas de ecuaciones: uno en b11 y b21 y otro b21 y b22 con matrices aumentadas que al
reducirse quedan:
1 −2 1
3 −5 0
→
1 0 −5
0 1 −3
2

3. y
1 −2 0
3 −5 1
→
1 0 2
0 1 1
Y as´ı b11 = −5, b21 = −3, b21 = 2, y b22 = 1. Quedando la inversa como
A−1
= B =
−5 2
−3 1
Observemos que
Ambas matrices aumentadas tienen la misma matriz de coeficientes: exactamente A.
Teniendo la misma matriz de coeficientes, los sistemas deben reducirse con las mismas operaciones de
rengl´on.
En cada sistema, la columna de las constantes es una columna de I.
Como las matrices aumentadas tienen las mismas matrices de coeficientes y las operaciones de rengl´on
para la reducci´on son las mismas, entonces el proceso se puede llevar a cabo formando la matriz aumentada
[A|I] y reduciendo.
Despu´es del proceso de reducci´on, la inversa queda exactamente acamodada en la posici´on donde entr´o I.
9.6. Algoritmo para invertir una matriz
Para determinar A−1, si existe, haga los siguiente:
1. Construya la matriz aumentada [A|I].
Aqu´ı I representa la matriz identidad n × n.
2. Reduzca la matriz [A|I]. Digamos que se obtenga [B|C].
3. Si la matriz B es la matriz identidad, entonces A s´ı es invertible y A−1 = C.
4. Si la matriz B no es la identidad, entonces A no es invertible.
Ejemplo 9.3
Invierta las matrices:
A1 =
1 3
−2 −7
y A2 =
1 2
2 4
Soluci´on
Para A1:
[A1|I] =
1 3 1 0
−2 −7 0 1
R2←R2+2 R1
−−−−−−−−→
1 3 1 0
0 −1 2 1
R2←−1 R2
−−−−−−−→
1 3 1 0
0 1 −2 −1
R1←R1−3 R1
−−−−−−−−→
1 0 7 3
0 1 −2 −1
3

4. Como en el resultado final B es la matriz identidad, A1 es una matriz invertible y
A1
−1
=
7 3
−2 −1
.
Para A2:
[A2|I] =
1 2 1 0
2 4 0 1
R2←R2−2 R1
−−−−−−−−→
1 2 1 0
0 0 −2 1
R2←−1
2
R2
−−−−−−−→
1 2 1 0
0 0 1 −1/2
R1←R1−R2
−−−−−−−→
1 2 0 1/2
0 0 1 −1/2
= [B|C].
Como en el resultado final B no es la matriz identidad, A2 no es una matriz invertible. Observe con cuidado
que en c´alculo para A2 que no hace falta concluir por completo hasta la forma reducida: en el momento
que aparezca un rengl´on en ceros en la parte correspondiente a B la matriz ya no ser´a invertible
9.7. Comentario
Recuerde que para una matriz A n × n la matriz inversa de ella se defini´o como una matriz B n × n que
cumple
A B = In = B A
y en nuestra deducci´on del algoritmo s´olo buscamos que se cumpla A B = I. En los resultados te´oricos de
´algebra de matrices se tiene que
Si A es una matriz cuadrada y existe una matriz cuadrada C tal que A C = I, entonces A es invertible.
Es decir, que es suficiente tener inversa lateral derecha para tener inversa por ambos lados.
Si A es una matriz cuadrada invertible y si B es una matriz cuadrada que cumple A B = I, entonces
A−1 = B. Es decir, que la inversa lateral derecha de una matriz cuadrada invertible coincide con la
inversa de la matriz.
Estos resultados te´oricos justifican que s´olo busquemos la inversa derecha de una matriz para decir si la matriz
es invertible y que la matriz encontrada es precisamente su inversa.
9.8. Propiedades de la inversa
1 Si la matriz A, n×n, puede invertirse, entonces el sistema A x = b tiene soluci´on ´unica para cada vector
b. Esta soluci´on puede calcularse como
x = A−1
b
2 Sean A y B dos matrices cuadradas n × n invertibles cualquiera entonces AB es invertible y
(A B)−1
= B−1
A−1
.
3 La inversa de una matriz invertible tambi´en es una matriz invertible y
A−1 −1
= A.
4

5. 4 Si c es una constante cualquiera, pero diferente de cero, entonces la matriz c A tambi´en es invertible y
(c A)−1
=
1
c
A−1
.
5 Si k es un n´umero entero postivo, entonces Ak tambi´en es una matriz invertible y
Ak
−1
= A−1 k
.
6 La matriz AT tambi´en es invertible y
AT −1
= A−1 T
.
9.9. Ecuaciones con matrices
Ahora pondremos en pr´actica nuestra ´algebra con matrices para resolver ecuaciones donde se involucran
inc´ognitas que representan matrices.
Ejemplo 9.4
Resuelva para X
c X + A = B
Soluci´on
Los pasos que se siguen son muy similares al ´algebra b´asica sumamos en ambos miembros la matriz −A:
(c X + A) − A = B − A
Como la suma / resta de matrices es asociativa se pueden agrupar los sumando para dejar juntos A y −A:
c X = c X + 0 = c X + (A − A) = B − A
Siendo estos c´alculos para suma y resta de matrices tan similares a los del ´algebra b´asica usaremos la misma
regla:
Si en una igualdad entre expresiones con matrices aparece sumando o restando una matriz en un
miembro la podemos pasar al otro miembro restando o sumando:
Z + C = D → Z = D − C (3)
Ahoara debemos despejar X de la expresi´on
c X = B − A
procedemos a multiplicar por el escalar 1/c:
X = 1 X =
1
c
c X =
1
c
(cX) =
1
c
(B − A)
Siendo estos c´alculos para la multiplicaci´on o divisi´on con escalares tan similares a los del ´algebra b´asica
usaremos la misma regla:
Si en una igualdad entre expresiones con matrices aparece multiplicando (resp. dividiendo) un
escalar lo podemos pasar al otro miembro dividiendo (resp. multiplicando).
5

6. c Z = D → Z =
1
c
D (4)
Por tanto, el valor de la inc´ognita X es
X =
1
c
(B − A)
Ejemplo 9.5
Asumiendo que la matriz A sea invertible, despeje la matriz X de la ecuaci´on:
A X = B
Soluci´on
Este tipo de problemas presenta a los alumnos cierta dificultad en los primeros despejes de ecuaciones matricia-
les. Se debe tener bien en claro que la matriz A a eliminar est´a a la izquierda de la inc´ognita est´a multiplicando
a la izquierda y que por consiguiente debe de multiplicarse por la izquierda por la matriz inversa de A:
X = I X = A−1
A X = A−1
(A X) = A−1
B
Es equivocado hacer cancelar A pretendiendo multiplicar por la derecha:
X = AXA−1
= BA−1
Y representa un error a´un m´as grave dividir entre A pretendiendo cancelar A:
X =
AX
A
=
B
A
La regla v´alida para cancelar matrices cuando ´estas poseen inversas que multiplican es la siguiente:
A X = B → X = A−1
B (5)
X A = B → X = B A−1
(6)
Ejemplo 9.6
Suponiendo que A y B son matrices invertibles, despeje X de:
ABX = C
Soluci´on
Otro problema que los alumnos enfrentan en los primeros despejes aparece en este tipo de problemas. Hay
dos formas correctas de pensar el problema. En la primera la ecuaci´on original se debe pensar agrupada de la
siguiente manera:
(A B) X = C
En cuyo caso el despeje de X es directo por las reglas vistas:
X = (A B)−1
C
Otra manera correcta de plantear el problema es:
A (B X) = C
6

7. De donde el despeje en dos pasos es haciendo primero:
B X = A−1
C
Para despu´es obtener:
X = B−1
A−1
C
Note que ambos resultados sin id´enticos en vista de la igualdad:
(A B)−1
= B−1
A−1
Ejemplo 9.7
Despeje x de la ecuaci´on:
XT
= A
Soluci´on
En este caso se debe tener presente la propiedad XT T
= X. Por consiguiente, tomando la transpuesta en
cada miembro:
X = XT T
= AT
Ejemplo 9.8
Despeje x de la ecuaci´on:
X−1
= A
Soluci´on
En este caso se debe tener presente la propiedad X−1 −1
= X. Por consiguiente, tomando matriz inversa
en cada miembro:
X = X−1 −1
= A−1
Ejemplo 9.9
Suponiendo que A es invertible y c = 0 , despeje X de:
A (c X + B) + C = D
Soluci´on
Procediendo como anteriormente:
A (c X + B) = D − C
c X + B = A−1 (D − C)
c X = A−1 (D − C) − B
X = 1
c A−1 (D − C) − B
Ejemplo 9.10
Suponiendo matrices invertibles donde se requiera despeje X de:
A (BX)−1
+ C
T
+ D = E
Soluci´on
Este tipo de despejes requiere ser riguroso en el orden: Pasando al segundo miembro D:
A (BX)−1
+ C
T
= E − D
7

8. Multiplicando por A−1 por la derecha:
(BX)−1
+ C
T
= A−1
(E − D)
Tomando la transpuesta en ambos miembros:
(BX)−1
+ C = A−1
(E − D)
T
Pasando al segundo miembro C:
(BX)−1
= A−1
(E − D)
T
− C
Tomando inversa en ambos miembros:
BX = A−1
(E − D)
T
− C
−1
Finalmente, eliminando la matriz B:
X = B−1
A−1
(E − D)
T
− C
−1
9.10. Complejidad computacional de la inversi´on
Supongamos entonces que aplicamos el algoritmo de eliminaci´on gaussiana para invertir una matriz n por
n. Consideraremos primero el trabajo realizado por los pasos 1 al 4 y posteriormente el trabajo realizado en el
paso 5. Es importante notar que el proceso de Gauss avanza dejando la matriz escalonada hasta la columna
de trabajo: 























a1,1 a1,2 · · · a1,m−1 a1,m · · · b1,1 . . . b1,n
0 a2,2 · · · a2,m−1 a2,m · · ·
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · am−1,m−1 am−1,m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · 0 am,m · · · bm,1 . . . bm,n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · 0 an,m · · ·
.
.
.
.
.
.
.
.
.
























1 Ciclo del paso 1 al 4
Al asumir que am,m es diferente de cero, pasamos al paso 3. En el paso 3 hay que hacer cero debajo del
elemento (m, m), para cada uno de los m − n renglones inferiores Ri; para ello habr´a que
calcular el factor f = ai,m/am,m por el cual debe multiplicarse el rengl´on Rm, lo cual implica
realizar una divisi´on, y posteriormente
realizar la operaci´on:
Ri ← Ri − f Rm.
En este caso, en el rengl´on i hay ceros hasta antes de la columna m, en el elemento (i, m) quedar´a un
1 (el factor f fue calculado para ello), as´ı que los ´unicos elementos que deber´an calcularse son los
elementos del rengl´on i desde la columna (m + 1) y hasta terminar, es decir, hasta la columna
n + n, es decir, un total de 2 n − m elementos, y para cada uno de ellos habr´a que hacer am+1,j ←
am+1,j − f × am,j, es decir para cada uno de ellos habr´a que hacer 2 FLOPs, siendo un total de
2 (2 n − m) elementos, el n´umero total de FLOPs que habr´a que realizar para hacer la operaci´on
Ri ← Ri − f Rm es, incluyendo la divisi´on para calcular f, 2(2 n − m) + 1 = 4 n − 2 m + 1.
8

9. Como esto habr´a que aplicarlo a todos los renglones por debajo del rengl´on m y hasta el n, entonces
para realizar un ciclo desde el paso 1 hasta el paso 4 deben hacerse (n − m) (4 n − 2m + 1) FLOPS. El
ciclo del paso 1 al paso 4 y su repetici´on ir´a avanzando m desde 1 hasta n − 1. Por consiguiente el total
de FLOPs ser´a:
n−1
m=1
(n − m) (4 n − 2 m + 1) =
5
3
n3
−
3
2
n2
−
1
6
n.
2 Ciclo del paso 5.
Las operaciones implicadas en el paso 5 ser´an
Rm ← 1
am,m
Rm : n divisiones
Para esto se requiere n divisiones; la del pivote entre si mismo ya sabemos que dar´a 1 y no se
realizar´a, simplemente en la posici´on (m, m) pondremos un 1
Rj ← Rj − aj,mRm: n multiplcaciones y n restas
Esta operaci´on s´olo requiere n multiplicaciones y n restas; estas operaciones s´olo tienen que ver
con los t´erminos en la parte aumentada. Los nuevos elementos aj,m ser´an cero. Como hay m − 1
renglones superiores, el total de operaciones en un ciclo del paso 5 ser´a:
(m − 1) · (2 n) + n
Por consiguiente el total de FLOPs en el paso 5 ser´a:
1
m=n
(2 n (m − 1) + n) = n3
− 2 n2
+ n
Por consiguiente y en general: cuando se aplica en algoritmo de inversi´on de una matriz cuadrada n×n anterior
utilizando eliminaci´on gaussiana para la reducci´on el n´umero de m´aximo de FLOPs ser´a:
8
3
n3
−
7
2
n2
+
5
6
n (7)
Ejemplo 9.11
Sea A una matriz cuadrada. Ser´a cierto que:
Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces A es invertible.
Soluci´on
Que el sistema A x = 0 tenga infinitas soluciones indica que cuando se reduce [A|0] queda una columna a la
izquierda sin pivote. Por tanto, cuando se reduzca [A|I] quedar´a una columna a la izquierda sin pivote. Por
tanto, en la reducida no se podr´a obtener [I|B]. Por tanto, la matriz A no tendr´a inversa; ser´a singular. Por
tanto, es falso que sea invertible. La afirmaci´on es falsa.
Ejemplo 9.12
Sea A una matriz cuadrada. Ser´a cierto que:
Si para un vector b el sistema A x = b no tiene soluci´on, entonces A es invertible.
Soluci´on
Si para un vector b el sistema A x = b no tiene soluci´on eso significar´a que cuando se reduce [A|b] queda
pivote en la columna de las constantes. Por tanto, en la reducida de A quedar´a un rengl´on de ceros. Por tanto,
cuando se reduzca [A|I] a la izquierda quedar´a un rengl´on de ceros. Por tanto, en la reducida no podremos
obtener [I|B]. As´ı A no tiene inversa. Es falso que A es invertible.
Ejemplo 9.13
Sea A una matriz cuadrada. Ser´a cierto que:
9

10. Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tiene infinitas soluciones.
Soluci´on
Si suponemos que la matriz A no es invertible, entonces cuando se reduce [A|I] no queda la identidad en el
lado izquierdo. Por consiguiente, debe quedar un rengl´on sin pivote a la izquierda. Por tanto, cuando se reduce
[A|0] debe quedar a la izquierda un rengl´on de ceros. Por tanto y debido a que la matriz es cuadrada debe
queda una columna sin pivote a la izquierda en tal reducida. Como a la derecha no quedan pivotes pues a la
derecha entr´o el vector de ceros, concluimos que tal sistema es consistente y que en su reducida queda una
columna sin pivote. Por tanto, [A|0] tendr´a infinitas soluciones. La afirmaci´on es cierta.
Ejemplo 9.14
Sea A una matriz cuadrada. Ser´a cierto que:
Si la matriz A · A no es invertible, entonces A x = 0 tiene soluci´on ´unica.
Soluci´on
Si A · A no es invertible, tampoco lo es A (pues en caso contrario A · A ser´ıa invertible, que no es el caso).
Por tanto, en el lado izquierdo de la reducida de [A|I] no puede quedar la matriz identidad. Por tanto, a la
izquierda de la reducida de [A|0] no queda la identidad. Por tanto, debe quedar un rengl´on sin pivote y por
consiguiente (siendo cuadrada A) debe quedar una columna sin pivote. Por tanto [A|0] debe tener infinitas
soluciones. As´ı, es falso que [A|0] tiene soluci´on ´unica.
10