Ejercicios resueltos de Inecuaciones grado 2

1. Resuelve las siguientes inecuaciones:
2
a) 4x −2x< 2
2
b) 5x −6x+1≥0
Solución:
2
2
a) 4x −2x< 2 ⇒ 4x −2x−2<0 ⇒ Vamos a descomponer el polinomio
Utilizamos la ecuación
4x 2−2x−2
2± √ 4+4 · 4· 2 2±√ 4+ 32 2±6
4x −2x−2=0 ⇒ x=
=
=
=
2· 4
8
8
2
Con esto, podemos decir que la inecuación
( 1 )< 0
2
4 ( x−1) x +
{
8
x = =1
8
−4 −1
x=
=
8
2
4x 2−2x−2< 0 se puede sustituir por:
Así, para ver los casos en los que el producto es negativo (menor que cero)
utilizamos la tabla:
(−∞ ,− 1 )
2
(x−1)
(x+ 1)
2
1
4 ( x−1) ( x + )
2
(− 1 , 1)
2
( 1,+∞ )
-
-
+
-
+
+
+
-
+
Por tanto, los valores que hacen el resultado negativo están en el intervalo
b)
(− 1 , 1)
2
5x 2−6x+1≥0 Vamos a descomponer el polinomio 5x 2−6x+ 1 . Utilizamos la ecuación
10
x= =1
6±√ 36−4 · 5· 1 6±√ 36−20 6±4
2
10
5x −6x+ 1=0 ⇒ x=
=
=
=
2·5
10
10
2 1
x= =
10 5
{
Con esto, podemos decir que la inecuación
( 1 )≥0
5
5(x−1) x−
5x 2−6x+1≥0 se puede sustituir por:
Así, para ver los casos en los que el producto es mayor o igual a cero
utilizamos la tabla:
(−∞ , 1 )
5
( x− 1 )
5
( x−1 )
( 1)
5
5(x−1) x−
( 1 ,1)
5
( 1,+∞ )
-
+
+
-
-
+
+
-
+
Así, los valores que hacen el resultado mayor o igual a cero están en el intervalo
(−∞ , 1 ]∪[ 1,+ ∞)
5

2. Resuelve las siguientes inecuaciones:
2
a) 3x <−4x+ 4
b) ( 4x−8 ) ( x +3 ) <0
Solución:
2
2
a) 3x <−4x+ 4 ⇒3x + 4x−4< 0 Vamos a descomponer el polinomio
Utilizamos la ecuación
3x 2+ 4x−4
{
8
x= =1
−4±√ 16+4 · 4 · 3 2± √ 4+32 2±6
8
3x 2+ 4x−4=0⇒ x=
=
=
=
2 ·3
8
8
−4 −1
x=
=
8
2
Con esto, podemos decir que la inecuación
(
3( x + 2) x−
3x 2+ 4x−4<0 se puede sustituir por:
2
< 0 Así, para ver los casos en los que el producto es negativo (menor que cero)
3
)
utilizamos la tabla:
(−∞ ,−2 )
(−2 , 2 )
3
( 2 ,+∞)
3
-
+
+
-
-
+
+
-
+
(x +2)
( x− 32 )
2
3(x + 2) ( x− )
3
Por tanto, los valores que hacen el resultado negativo están en el intervalo
b)
(−2, 2 )
3
( 4x−8 ) ( x +3 ) <0
Vamos a descomponer el polinomio
( 4x−8 ) ( x +3 ) < 0⇒ 4 · ( x−2 ) ( x+ 3 ) <0
Así, para ver los casos en los que el producto es negativo (menor que cero) utilizamos la tabla:
(−∞ ,−3 )
(x−2)
( x +3 )
4 ( x−2) ( x +3 )
(−3 , 2 )
( 2 ,+∞ )
+
+
-
+
+
+
Por tanto, los valores que hacen el resultado negativo están en el intervalo
(−3,2 )