1. Interpretación Geométrica de la Derivada Muchos problemas importantes en cálculo dependen de la determinación de la recta tangente a una curva dada, en un punto específico de la misma. Si consideramos la gráfica de una circunferencia, la recta tangente en punto P de está curva se define como la recta que corta la circunferencia únicamente en el punto P ver la figura 1. Para cualquier otra curva la recta que debería ser la recta tangente en el punto P, corta la curva en otro punto Q; ver figura 2 Veamos esas figuras
2. Figura 1 Figura 2 Q Recta secante P P Punto de tangencia Recta tangente
3. Recta Tangente y la Derivada Consideremos una función f continua en “a” .Para definir la pendiente de la tangente a la gráfica de f en el punto . Consideremos a I un intervalo abierto que contiene al número “a” en el cual f está definida . Sea otro punto sobre la gráfica de f tal que también está en I y sea S la recta que pasa por los puntos P y Q es decir, S es una recta secante. Veamos la gráfica
5. Podemos observar en la gráfica que h denota una variación en el valor de “a” cuando x cambia de “a” a a+h y puede ser positiva o negativa, esa variación se llama incremento de x . La recta secante que pasa por los puntos P y Q de la gráfica su pendiente está dada por: Acuérdate de la definición de pendiente Siempre que la recta no sea vertical
6. Pendiente de una Recta Para dos puntos cualesquiera en una recta R digamos La pendiente está dada por : Observación : Si entonces no existe pendiente (Rectas Verticales) Si entonces la pendiente es cero (Rectas Horizontales)
7. Ahora si imaginamos el punto P como un punto fijo y el punto Q moviéndose a lo largo de la curva en dirección hacia P ( Q se aproxima a P ). Lo que estamos diciendo es que el valor de h se aproxima a cero . Mientras esto sucede, la recta secante gira sobre el punto fijo P y el ángulo tiende a ser . La posición límite de la recta secante es la que deseamos sea la recta tangente a la curva en el punto P. Este análisis nos lleva a la definición de recta tangente. Veamos entonces la definición de Recta tangente
8. Definición de Recta Tangente Supongamos que la función f es continua en “a”; entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto es: si este límite existe 1.- La recta si 2.- y
9. La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
