Matemática e suas tecnologias gabarito

Simulado
enem
2011
3a sériE
.

MateMática
e suas

tecnologias
VOLUME 1
DISTRIBUIÇÃO GRATUITA

Simulado ENEM 2011

Competência de área 2: utilizar o conhecimento geo-
Questão 1
métrico para realizar a leitura e a representação da reali-
Alternativa: A dade e agir sobre ela.
Como a soma dos ângulos de um triangulo é 180º, Habilidade 6: interpretar a localização e a movimenta-
tem-se que α + β = 90º. ção de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua
representação no espaço bidimensional.
Então, sen (α + β) = sen 90º = 1
Competência de área 5: modelar e resolver proble-
mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-
co-científicas, usando representações algébricas. co-científicas, usando representações algébricas.

Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/ge- Habilidade 20: interpretar o gráfico cartesiano que
ométricos como recurso para a construção de argumen- represente relações entre grandezas.
tação. Questão 4
Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na
realidade, utilizando conhecimentos algébricos. Alternativa: C

Questão 2 C

Alternativa: D
β α
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, temos que
a2 = 32 + 42, então, a = 5. h

3 3
Sendo assim, sen α = ⇒ α = arcsen A
y x
B
5 5
32
Temos:
co-científicas, usando representações algébricas.
x 1 x h h
Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/ge- tgα = ⇒ = ⇒ h = 3x e tgβ = ⇒ 1= ⇒ h = y
ométricos como recurso para a construção de argumen- h 3 h y y
tação.
Como x + y = 32, h = 24 metros.
realidade, utilizando conhecimentos algébricos. Competência de área 5: modelar e resolver proble-
Questão 3 co-científicas, usando representações algébricas.

Alternativa: A Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/ge-
ométricos como recurso para a construção de argumen-
Como a < 0 e b ≤ 0, temos: tação.
1º) a < 0 e b < 0, → (+, −) ∈ 4º quadrante Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na
2º) a < 0 e b = 0, → (+, 0) ∈ eixo das abscissas realidade utilizando conhecimentos algébricos.

2 a
3. série – Volume 1

Simulado ENEM 2011

Questão 5 Questão 7

Alternativa: D Alternativa: B
A área do retângulo é A = AD . CD, logo:

CD
sen α = ⇒ CD = R . sen α
R
4
h
OD
cos α = ⇒ OD = R . cos α
R
75º
Assim,
A = 2 . OD . CD = 2 . R . cos α . R . sen α
h h
= R2 . 2 . sen α . cos α = R2 . sen 2α sen (75°) = ⇒ 0, 96 = = h = 3, 84 m
4 4
métrico para realizar a leitura e a representação da reali- Competência de área 5: modelar e resolver proble-
dade e agir sobre ela.
Habilidade 7: identificar características de figuras pla-
Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/ge-
nas ou espaciais.
Habilidade 8: resolver situação-problema que envolva tação.
conhecimentos geométricos de espaço e forma. Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na
Habilidade 9: utilizar conhecimentos geométricos de realidade, utilizando conhecimentos algébricos.
espaço e forma na seleção de argumentos propostos
Questão 8
como solução de problemas do cotidiano.

Questão 6 Alternativa: D
Analisando cada alternativa, concluímos que não pode
Alternativa: D ser a letra a, pois, se a = b = 0, a segunda equação não
sen (30º + 45º) = sen30º . cos45º + sen45º . cos30º existe. Se a = b = 1, a segunda equação é igual à primei-
ra. Se a = b = 2, a segunda equação é paralela à primeira,
1 2 2 3 pois possui coeficientes das incógnitas proporcionais e o
sen (75° ) = . + . ≅ 0,96
2 2 2 2 termo independente não é proporcional, nesse caso as
retas são paralelas. Se a = 3 e b = 2, a solução do sistema
Competência de área 5: modelar e resolver proble- é x = 1 e y = 0, ou seja, as retas concorrem em um único
mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni- ponto. A letra E é similar à letra C.
Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/geo- mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-
métricos como recurso para a construção de argumentação. co-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na Habilidade 19: identificar representações algébricas
realidade utilizando conhecimentos algébricos. que expressem a relação entre grandezas.

Matemática e suas tecnologias 3

Simulado ENEM 2011

Habilidade 20: interpretar gráfico cartesiano que
Questão 10
represente relações entre grandezas.
Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/geo- Alternativa: B
métricos como recurso para a construção de argumentação.
Pelo Teorema de Pitágoras, temos 132 = 52 + x2 , então, x
realidade utilizando conhecimentos algébricos. 12
= 12, logo, cosα = .
13
Questão 9 Competência de área 5: modelar e resolver proble-
Alternativa: B
O número complexo z1 pertence ao 1. quadrante, pois a
º
parte real e a parte imaginária são positivas. Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/ge-
O argumento é: ométricos como recurso para a construção de argumen-
2 3 tação.
tg θ = = 3 ∴ θ = 60º
2 Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na
O módulo é: realidade utilizando conhecimentos algébricos.

|z1| = (2 3 )2 + 22 = 4 Questão 11
O número complexo z2 pertence ao 3. quadrante, pois a
º Alternativa: E
parte real e a parte imaginária são negativas.
Pelo Teorema de Pitáoras temos: BC2 = 4B2 + 4C2 ⇒
O argumento é:
132 = 4B2 + 52 ⇒ AB = 12 m
1 3 3
tg θ = . = ∴ θ = 210º 12
3 3 3 Assim cosα = . Usando a relação sen2 α + cos2 α = 1,
13
O módulo é:
2
 12  = 1 ⇒ senα = 5 .
sen α +  
2
|z1| = ( 3) + 1 = 2
2 2
 13  13
Dessa forma, conclui-se que o ponteiro maior é repre-
sentado por z1 e o ponteiro menor por z2. Pelos argu- sen2α = 2 . senα. cosα ⇒ sen 2α = 2 . 5 . 12 ⇒
mentos, o afixo de z1 está próximo do algarismo 1 (que 13 13
corresponde a 5 minutos) do mostrador do relógio, e o 120
sen 2α = .
afixo de z2 está próximo ao algarismo 8. Assim, o horário 169
é 8h05. Competência de área 5: modelar e resolver proble-
Competência de área 5: modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-
mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni- co-científicas, usando representações algébricas.
represente relações entre grandezas.
tação.
ométricos como recurso para a construção de argumen- Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na
tação. realidade utilizando conhecimentos algébricos.

4 a

Simulado ENEM 2011

Alternativa: A
y
No triangulo retângulo OPA, temos OP = 1. Aplicando-se
o Teorema de Pitágoras, temos
sen2 α + cos2 α = 1
mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni- 30º x
co-científicas, usando representações algébricas. 30º
Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/geo-
métricos como recurso para a construção de argumentação.
realidade utilizando conhecimentos algébricos
Questão 13 Alternativa: C

Alternativa: A Como a tangente é positiva, o outro valor possível está
localizado no terceiro quadrante. Então, o arco é de 210º.
– 1 ≤ cos α ≤ 1 ⇒ – 1 ≤ m + 3 ≤ 1 ⇒ – 4 ≤ m ≤ – 2
mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni- mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-
Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/geo- Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/ge-
métricos como recurso para a construção de argumentação. ométricos como recurso para a construção de argumen-
Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na tação.
realidade utilizando conhecimentos algébricos. Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na
Questão 14 realidade utilizando conhecimentos algébricos.

Alternativa: E Questão 16
O alcance é máximo quando θ = 45º pois, com esse va-
Alternativa: C
lor, é obtido o valor máximo de sen 2θ, que é sen 90º = 1.
Competência de área 5: modelar e resolver proble- A equação |x| + |y| ≤ 1 pode ser expressa pelo sistema:
mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni- x+y≤1
Habilidade 19: identificar representações algébricas –x–y≤1
que expressem a relação entre grandezas.
x–y≤1
represente relações entre grandezas. –x+y≤1
ométricos como recurso para a construção de argumen- No plano cartesiano, essas equações representam um
tação. quadrado.


Simulado ENEM 2011

x+y≤1 mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-
–x+y≤1 x–y≤1

x Habilidade 20: interpretar gráfico cartesiano que re-
presente relações entre grandezas.

–x–y≤1 Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/ge-
tação.
Questão 18
Habilidade 19: identificar representações algébricas Alternativa: B
Habilidade 20: interpretar gráfico cartesiano que re-
Habilidade 21: resolver situação-problema cuja mode-
60º
lagem envolva conhecimentos algébricos.
tação.
Questão 17
Na 1.ª volta, os ângulos são 60º e 240º, porém a generali-
Alternativa: C
zação é x = 60º + 180º . k
A posição dos afixos no plano de Argand-Gauss é:
Im
Z2 = i Z1 = 1 + i co-científicas, usando representações algébricas.

IRe Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/
Z3 = –2i Z6 = 1 geométricos como recurso para a construção de argu-
Z5 = 1 – i
mentação.
Z4 = –i

O polígono é um pentágono. realidade utilizando conhecimentos algébricos.

6 a

Simulado ENEM 2011


Alternativa: D Alternativa: D

A coordenada
origem, logo:
x 2 + y 2 é a distância d do ponto A à
A A
3 . tg2x + tg x = 0 ⇒ tgx. ( )
3 .tgx + 1 = 0 ⇒

3
temos que tg x = 0 ou tg x = – .
3
Então, x = 180º. k ou x = 150º + 180º. k, com k inteiro.
d ométricos como recurso para a construção de argumen-
tação.
d
Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na re-
alidade utilizando conhecimentos algébricos.
Assim, observa-se que, pela abscissa, o ponto B está na Questão 21
região 1 ou 4. Considerando 0 < xA < 1, ao multiplicar xA
Alternativa: D
por yA (0 < yA < 1), o produto xA . yA é sempre menor que ^
Considerando α o ângulo CDB, do triângulo BCD, temos:
xA e yA, separadamente. Logo, a ordenada é menor que 4
yA. Assim, B pertence à região 4. sen α = = 0,4
10
9
Competência de área 5: modelar e resolver proble- cos α = = 0,9
10
mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni- Logo, sen 2α = 2 . sen α . cos α = 2 . 0,4 . 0.9 = 0,72
co-científicas, usando representações algébricas. Competência de área 2: utilizar o conhecimento geo-
Habilidade 19: identificar representações algébricas dade e agir sobre ela.
que expressem a relação entre grandezas. Habilidade 6: interpretar a localização e a movimenta-
ção de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua
Habilidade 21: resolver situação-problema cuja mode- nas ou espaciais.
lagem envolva conhecimentos algébricos. Habilidade 8: resolver situação-problema que envolva
conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/
Habilidade 9: utilizar conhecimentos geométricos de
geométricos como recurso para a construção de argu- espaço e forma na seleção de argumentos propostos
mentação. como solução de problemas do cotidiano.


Simulado ENEM 2011


Alternativa: B Alternativa: D
sen 2α = 0,72
48 48
AC AC α = arc cos ⇒ cos α = ⇒ cos α = 0,96 ⇒
= 0,72 ⇒ = 0,72 ⇒ AC ≅ 9,65 50 50
AD 13, 4 α = 15º ou α = 16º
Logo, AB = 9,65 − 4 = 5,65 m
13 13
A distância que mais se aproxima é 2,5 m. α = arc sen ⇒ sen α = ⇒ cos α = 0,26 ⇒
50 50
Competência de área 2: utilizar o conhecimento geo- α = 15º
dade e agir sobre ela. Competência de área 2: utilizar o conhecimento geo-
Habilidade 6: interpretar a localização e a movimenta- métrico para realizar a leitura e a representação da reali-
ção de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua dade e agir sobre ela.
Habilidade 7: identificar características de figuras pla- nas ou espaciais.
nas ou espaciais.
Habilidade 8: resolver situação-problema que envolva
Habilidade 8: resolver situação-problema que envolva
Habilidade 9: utilizar conhecimentos geométricos de Habilidade 9: utilizar conhecimentos geométricos de
espaço e forma na seleção de argumentos propostos espaço e forma na seleção de argumentos propostos
como solução de problemas do cotidiano. como solução de problemas do cotidiano

Questão 23
Questão 25
Alternativa: C
Alternativa: B
1
S = . a . b . sen α
2 6 2 12 1 2
⇒8=
1
. 8 . 4 . sen α ⇒ sen α =
1 = ⇒ sen α . 6 2 = 12. ⇒ sen α =
sen30° senα 2 2
2 2
Sendo assim, α = 30º ou α = 150º. Somando-se os
Como α é um ângulo agudo, então α mede 45º.
possíveis valores temo 180º.
mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni- mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-

Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/ Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/
geométricos como recurso para a construção de argu- geométricos como recurso para a construção de argu-
mentação. mentação.
Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na re-
realidade utilizando conhecimentos algébricos. alidade utilizando conhecimentos algébricos.

8 a

Simulado ENEM 2011


Alternativa: B Alternativa: E
Uma curva cuja soma das distâncias dos pontos aos (1+i)8 = ((1 + i)2)4 = ((1 + 2i + i2))4 = (2i)4 = 16i4 = 16
focos é constante, é denominada de elipse. Competência de área 5: modelar e resolver proble-
Competência de área 2: utilizar o conhecimento geo- mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-
métrico para realizar a leitura e a representação da reali- co-científicas, usando representações algébricas.
dade e agir sobre ela. Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/
Habilidade 6: interpretar a localização e a movimenta- geométricos como recurso para a construção de argu-
ção de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua mentação.
representação no espaço bidimensional. Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na
Habilidade 7: identificar características de figuras pla- realidade utilizando conhecimentos algébricos.
nas ou espaciais.
Habilidade 9: utilizar conhecimentos geométricos de Questão 30
espaço e forma na seleção de argumentos propostos Alternativa: A
como solução de problemas do cotidiano
A ordem correta é hipérbole, elipse e parábola.
Questão 27 Competência de área 2: utilizar o conhecimento geo-
Alternativa: B métrico para realizar a leitura e a representação da reali-
x2 + 9 = 0 ⇒ x2 = –9 ⇒ x = 3i ou x = –3i
Habilidade 6: interpretar a localização e a movimenta-
ção de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua
nas ou espaciais.
tação. Habilidade 9: utilizar conhecimentos geométricos de
como solução de problemas do cotidiano.
Questão 31
Questão 28
Alternativa: D
Alternativa: D
Para t = 0, o móvel encontra-se na posição inicial que é
Temos i4 = 1 e i17 = (i16) . i ⇒ ((i4)4) . i = i
(0, 2), ou seja, no eixo das ordenadas.
Para t = 4, o móvel encontra-se na posição que é (4, 0),
ou seja, no eixo das abscissas.
Para t = 6, o móvel encontra-se na posição que é (6, −1),
ou seja, no 4º quadrante.
geométricos como recurso para a construção de argu-
mentação. Para t ≥ 0, os pontos estão alinhados, ou podemos subs-
t x
Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na re- tituir t por x na equação y = 2 − , ou seja, y = 2 − ,
alidade utilizando conhecimentos algébricos. que é a equação de uma reta. 2 2


Simulado ENEM 2011

Não existe instante que o móvel esteja no ponto (−2, −2) Competência de área 5: modelar e resolver proble-
pois x = −2 = t, e t ≥ 0. mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-
Competência de área 5: modelar e resolver proble- co-científicas, usando representações algébricas.
mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni- Habilidade 19: identificar representações algébricas
co-científicas, usando representações algébricas. que expressem a relação entre grandezas.
Habilidade 19: identificar representações algébricas Habilidade 20: interpretar gráfico cartesiano que re-
que expressem a relação entre grandezas. presente relações entre grandezas.
lagem envolva conhecimentos algébricos.
lagem envolva conhecimentos algébricos. Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na
realidade utilizando conhecimentos algébricos.
ométricos como recurso para a construção de argumen- Questão 34
tação.
Alternativa: C
alidade utilizando conhecimentos algébricos. A variação no eixo y é o cateto oposto a α e a variação no
eixo x é o cateto adjacente a α, logo o quociente entre
Questão 32
a variação no eixo y e a variação no eixo x é a tangente
Alternativa: A do ângulo α.

 4i   1 − i  4i − 4i2 4i + 4 Competência de área 5: modelar e resolver proble-
 1+ i  . = = = 2 + 2i
   1 − i  12 − i2
 2 mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-
mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni- Habilidade 19: identificar representações algébricas
co-científicas, usando representações algébricas. que expressem a relação entre grandezas.
Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/ Habilidade 20: interpretar gráfico cartesiano que re-
geométricos como recurso para a construção de argu- presente relações entre grandezas.
mentação.
Questão 33
Alternativa: D nas ou espaciais.
A reta que não possui coeficiente angular é x = 5, pois Habilidade 9: utilizar conhecimentos geométricos de
não há variação em x. Essa reta é perpendicular ao eixo espaço e forma na seleção de argumentos propostos
das abscissas. como solução de problemas do cotidiano.

10 a

Simulado ENEM 2011


Alternativa: A Alternativa: C
det (A) = sen a . cos b – sen b . cos a = sen (a – b)
Temos a = 3 e b = 3. Aplicando-se a tangente: Competência de área 5: modelar e resolver proble-
3 co-científicas, usando representações algébricas.
tg α = ⇒ tg α = 3
3 Habilidade 19: identificar representações algébricas
Logo, α = 60 ⇒ α = π Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/
3
mentação.
mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni- Questão 38
Alternativa: B
Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/ge- m = tg 45º ⇒ m = 1
tação.
Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na co-científicas, usando representações algébricas.
realidade utilizando conhecimentos algébricos. Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/
Questão 36
mentação.
Alternativa: C alidade utilizando conhecimentos algébricos.
Questão 39
Eixo maior igual a 10, então a = 5. Eixo menor igual a 8,
então, b = 4. Alternativa: C
2 2
x y Dado ponto P ( 6 ; 0) e utilizando a equação fundamen-
Sendo assim, a equação reduzida é + = 1.
25 16 tal, temos:
y – 0 = 1. (x – 6) ⇒ y = x – 6
Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/ Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/
geométricos como recurso para a construção de argu- geométricos como recurso para a construção de argu-
mentação. mentação.
Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na re-
realidade utilizando conhecimentos algébricos. alidade utilizando conhecimentos algébricos.


Simulado ENEM 2011


Alternativa: A Alternativa: E
a = arc tg ( 3 ) ⇒ tg a = 3 ⇒ a = 60º
Coeficiente angular m = tg 150º ⇒ tg 150º = tg 30º
3
m=– .
b = arc cos (0) ⇒ cos b = 0 ⇒ b = 90º 3
1 Competência de área 5: modelar e resolver proble-
c = arc sen  1 ⇒ sen c = ⇒ c = 30º
 2
  2 mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-
mentação.
nas ou espaciais.
realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Habilidade 9: utilizar conhecimentos geométricos de
como solução de problemas do cotidiano. Questão 43

Competência de área 1: construir significados para os Alternativa: B
números naturais, inteiros, racionais e reais. 2 4
tg BÂC = = 2 e tg BÂD = = 4
Habilidade 2: identificar padrões numéricos ou princí- 1 1
pios de contagem.
α = BÂD – BÂC
Questão 41

Alternativa: D tg α = tg (BÂD – BÂC) =
Em um triângulo qualquer, a soma dos ângulos internos tg BÂD − tg BÂC 4−2 2
é 180º. Sendo assim, o outro ângulo interno será de 30º. = =
1 − tg BÂD . tg BÂC 1 − 4 . 2 7
Assim, o ângulo externo mede 150º.
Competência de área 5: modelar e resolver proble- Competência de área 2: utilizar o conhecimento geo-
mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni- métrico para realizar a leitura e a representação da reali-
co-científicas, usando representações algébricas. dade e agir sobre ela.
Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/geo- Habilidade 7: identificar características de figuras pla-
métricos como recurso para a construção de argumentação. nas ou espaciais.
Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na Habilidade 8: resolver situação-problema que envolva
realidade utilizando conhecimentos algébricos. conhecimentos geométricos de espaço e forma.

12 a

Simulado ENEM 2011


Alternativa: C Alternativa: B
Como o raio mede 3 e a circunferência é tangente aos A função correta está na alternativa b, pois a < 0, então,
dois eixos, o centro é (3; 3). Substituindo na equação a concavidade é voltada para baixo e ∆ < 0, por isso não
reduzida, temos (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9. intersecta o eixo das abscissas
Competência de área 5: modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-
mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni- co-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade 19: identificar representações algébricas
Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/ge- que expressem a relação entre grandezas.
ométricos como recurso para a construção de argumen- Habilidade 20: interpretar gráfico cartesiano que
tação. represente relações entre grandezas.
Habilidade 23: avaliar propostas de intervenção na Habilidade 22: utilizar conhecimentos algébricos/geo-
realidade utilizando conhecimentos algébricos. métricos como recurso para a construção de argumentação.

Anotações


Simulado ENEM 2011

Anotações

14 a

CARTÃO-RESPOSTA

SIMULADO ENEM 2011 – 3a SÉRIE – VOLUME 1
.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

GABARITO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C
D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D
E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B
C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C
D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D
E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

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