caduta dei gravi, esperimento piani inclinati,

1. La Rivoluzione scientifica
Parte 3
Galileo e la legge di caduta dei gravi
Confutazione della Fisica aristotelica

2. Verso la scienza
Aristotele riteneva che un oggetto pesante in caduta libera
arrivasse al suolo, per effetto del proprio peso, più
rapidamente di uno leggero lasciato cadere dalla stessa
altezza: la Velocità è proporzionale al peso.
Galileo era dell'opinione che tutti i corpi, pesanti o leggeri,
dovessero impiegare lo stesso tempo per arrivare al suolo,
e le piccole differenze riscontrate sui tempi di caduta si
possono spiegare con l'azione di disturbo esercitata sul
moto dell'oggetto da altri fattori esterni.
Queste idee gli erano state confermate dalle osservazioni
sull'isocronismo del pendolo.

3. Le prime osservazioni: Filopono
Egli cercò quindi, attraverso prove sperimentali e ragionamenti
speculativi, di dimostrare la fondatezza della sua teoria sulla
caduta dei gravi.
Tuttavia non fu il primo:
Già nel VI secolo d.C, il dotto bizantino Giovanni Filopono scrisse di
esperimenti che contraddicevano Aristotele: « Poiché se lasci
cadere dalla stessa altezza due pesi, di cui uno molte volte più
pesante dell'altro, vedrai che il rapporto dei tempi richiesti per il
moto non dipende dal rapporto dei pesi, ma che la differenza di
tempo è molto piccola». E così, se un corpo pesasse il doppio
dell'altro, « non ci sarà differenza, o solo una differenza
impercettibile, di tempo».

4. Le prime osservazioni : Stevin
Nel 1586 il fisico e ingegnere fiammingo
Simon Stevìn lasciò cadere due palle di
piombo, di peso x e 10x .
« Ci si accorgerà che la più leggera non
impiegherà un tempo dieci volte maggiore di
quello impiegato dalla più pesante, ma che
esse cadono insieme sull'asse, così
contemporaneamente che i loro suoni
sembrano essere uno solo e un solo colpo. »

5. Merito di Galileo
Ma se A. era stato già sbugiardato, qual è il
merito di G.?
- Dimostrò qual è la vera legge del moto
- Definì un metodo di lavoro che vale per tutta la
scienza
- Capì che se sulla relazione tra velocità e peso
Aristotele aveva torto, ne venivano
compromessi i concetti base di luogo naturale,
velocità naturale, finalismo etc, e che quindi
bisognava modificare l'idea stessa di scienza, il
suo paradigma.

6. Gli esperimenti
Un esperimento si trova descritto nell'opera
“Discorsi e Dimostrazioni matematiche attorno a due
nuove scienze attinenti alla Meccanica e i Movimenti
Locali":
". . Ma io , signor Simplicio, che n'ho fatto prova, vi assicuro
che una palla di artiglieria, che pesi cento, dugento e
anco più libbre, non anticiperà d'un palmo solamente
l'arrivo in terra della palla d'un moschetto, che ne pesi
una mezza, venendo anco dall'altezza di dugento
braccia... Ia maggiore anticipa due dita la minore, cioè
che quando la grande percuote la terra, I'altra ne è
lontana due dita."

7. Torre di Pisa
La leggenda vuole che Galileo
abbia fatto cadere dalla torre
pendente di Pisa due palle,
una di ferro e l'altra di legno,
ed abbia così convinto gli
increduli che le due palle
toccavano il suolo quasi
contemporaneamente.

8. Torre di Pisa
Quindi: V non dipende dal peso.
"la ve lo cità de i m o bili della stessa materia,
disegualmente gravi, movendosi per un
istesso mezzo, non conservano altrimenti
la proporzione della gravitàloro, assegnatali
daAristotele..." .

9. Esperimento ideale
Egli utilizzò anche un tipico ragionamento deduttivo:
"Ma se una pietra grande si muove, per esempio,
con otto gradi di velocità, ed una minore con
quattro, adunque congiungendole ambedue
insieme, il composto di loro si muoverà con
velocità minore di otto gradi: ma le due pietre,
congiunte insieme, fanno una pietra maggiore
che quella prima, che si muoveva con otto gradi
di velocità; adunque questa maggiore si muove
meno velocemente che la minore; che è contro
vostra supposizione."

10. Esperimento ideale
Come dire: la proporzionalità velocità/peso
conduce ad un assurdo, ad una contraddizione
interna.
In due corpi che cadono
Congiunti, il più leggero “frena”
Quello pesante ( vel. Media),→
O I pesi si sommano e
V totale = 8+4 ?

11. Attrito
Ma perché, allora, nella maggior parte dei casi osservati i
corpi pesanti cadono più in fretta, anche se solo di poco,
di quelli più leggeri?
→ la ragione è nella resistenza dell'aria:
"... e perché solo uno spazio del tutto voto d'aria e di ogni
altro corpo, ancorché tenue e cedente, sarebbe atto a
sensatamente mostrarci quello che cerchiamo, già che
manchiamo di cotale spazio, andremo osservando ciò che
accaggia ne i mezzi più sottili e meno resistenti, in
comparazione di quello che si vede accadere negli altri
meno sottili e più resistenti. Se noi troviamo, in fatto, i
mobili differenti di gravità meno e meno differir di
velocità secondo che i mezzi più e più cedenti si
troveranno, ..., parmi che potremo con molto probabil
conietture credere che nel vacuo sarebbero le velocità
loro del tutto eguali."
.

12. Natura non facit saltus
La natura non fa salti: se noi troviamo che il Δ
nel tempo di caduta [di corpi di peso
differente] tende a diminuire in mezzi di
densità minore (nell'aria il Δ è < che
nell'aria), è ragionevole pensare che esso si
spieghi con la resistenza che il mezzo
frappone, e che nel vuoto il Δ sia 0.
[Si noti un abbozzo di situazione che prelude al calcolo
infinitesimale: per r che tende a 0, Δ=0]

13. Idea geniale: una moviola naturale
.
Dunque, se la natura non fa salti, è c'è una
Continuità di fondo, come studiare il moto
di un corpo in caduta libera?
Il moto di caduta libera era però troppo
veloce per poterne osservare i particolari
senza l'aiuto distrumenti non disponibili
a quel tempo.
Colpo di genio: Rallentiamolo!

14. Il piano inclinato
Come rallentarlo, per studiarlo meglio?
Con un piano inclinato.
L'angolo di
inclinazione θ=90°
sarà il caso limite
di un corpo in
caduta libera.

15. “ Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due
nuove scienze ”
G. ci descrive l'esperimento dei
Piani inclinati in quest'opera,
Una lunga discussione scientifica
articolata in quattro giornate;
l'opera fu pubblicata per la prima
volta a Leida, in Olanda, nel 1638.

16. Dialogo, e in italiano!
Galileo si esprime in lingua italiana, per poter
essere compreso anche dai non «addetti ai
lavori», mentre la lingua ufficiale delle
pubblicazioni scientifiche era ancora il latino.
Il libro è un dialogo (e questo ci dà l'idea della
concezione antiautoritaria, aperta al
confronto, della scienza galileiana,
contrapposto al genere monodico del
Tractatus).

17. I “Discorsi e Dimostrazioni” e il
“Dialogo”
3 personaggi: Simplicio, che sostiene il punto di
vista aristotelico, Salviati quello di Galileo, e
Sagredo, I'uomo che vuole sapere, aperto
alle nuove conoscenze.

18. Dialogo sopra i due massimi
sistemi del mondo
Anche l'altra grande opera di Galileo,
certamente più famosa, perchè più
divulgativa, ma meno scientificamente
significativa, il Dialogo sopra i due
massimi sistemi del mondo, ha questi tre
personaggi :
Simplicio (il sempliciotto aristotelico),
Salviati (Galileo) e
Sagredo (il pubblico aperto e critico).

19. Gli step dell'esperimento
1° step: Si prende in esame il fenomeno cercando di cogliere le
relazioni matematiche tra le grandezze implicate e si
formula un'ipotesi (procedimento induttivo);
Nella terza giornata del dialogo, Galileo considera il moto di
un oggetto in caduta libera e osserva che la velocità
aumenta durante la caduta.

20. 1° step : Ipotesi
Dice Salviati, "alter ego" di Galileo:
«A studiare il moto naturalmente accelerato siamo stati
condotti quasi per mano dall'osservazione della
consuetudine e della regola seguite dalla natura medesima
in tutte le altre sue opere, nella cui attuazione suole far uso
dei mezzi più immediati, più semplici, più facili. Quando,
dunque, osservo che una pietra, discendendo dall'alto a
partire dalla quiete, acquista via via nuovi incrementi di
velocità, perché non dovrei credere che tali aumenti
avvengano secondo la più semplice e più ovvia delle
proporzioni? Ora, se consideriamo attentamente la cosa, non
troveremo nessun aumento o incremento più semplice
di quello che aumenta sempre nel medesimo modo».

21. Moto uniformemente accelerato
Sagredo stabilisce allora la definizione :
«Mo to e q uabilm e nte , o ssia unifo rm e m e nte accelerato,
diciamo quel moto che, a partire dalla quiete, in tempi
uguali acq uista e g uali m o m e nti di ve lo cità ».
V = at
Il momento di velocità è l'incremento di velocità, determinato
dall'accelerazione. Ad ogni istante t, ad es., il momento di
velocità è di 2 m/sec, ogni secondo dunque v aumenta di 2 m/sec.

22. 2 step: derivazione matematica
Come sarà invece il rapporto tra gli spazi
percorsi ed i tempi impiegati?
E' possibile dedurlo dall'ipotesi, mediante una
“manipolazione” matematica, cioè usando
semplicemente le regole dell'algebra.

23. Derivazione matematica

24. Velocità media
Supponiamo che in ogni secondo la velocità di una
pallina, che scende lungo un piano inclinato
partendo da ferma, aumenti di 2 metri al secondo
(accelerazione = 2m/s2).
Dopo 6 secondi la velocità sarà di 12 metri al
secondo, ma, poiché la velocità aumenta di
quantità uguali in tempi uguali, il suo valore medio
è la metà del valore finale.

25. Deduzione

26. Deduzione
E lo spazio percorso di moto uniformemente accelerato dopo
6 secondi, sarà lo stesso che la pallina avrebbe percorso con velocità
costante uguale a (0+12)/2 = 6 metri al secondo. Infatti, osservando la
figura, è evidente che lo spazio percorso in 6 secondi con
velocità costante uguale a 6 m/s è uguale all'area del rettangolo ABCD
(s= vt), che risulta uguale alI'area del triangolo AED.
Generalizzando la formula, poiché v= at, la velocità media tra O e t è v=
at/ 2. Lo spazio percorso dopo t secondi sarà allora

27. 3° step: La prova dei fatti:
l'esperimento.
A questo punto Simplicio chiede la prova sperimentale:
«lo ve ram e nte ho pre so più g usto in questo semplice e
chiaro discorso del signor Sagredo. Ma se tale sia poi
l'accelerazione della quale si serve la natura nel moto
dei suoi gravi descendenti, io per ancora ne resto
dubbioso; e perciò, per intelligenza mia e di altri simili
a me, parmi che sarebbe stato opportuno in questo
luogo arrecar qualche esperienza di quelle che si è
detto esservene molte, che in diversi casi s'accordano
con le conclusioni dimostrate».

28. L'esperimento dei piani inclinati
Galileo, per voce di Salviati, descrive l'esperimento, più
volte ripetuto in presenza di allievi ed amici, a
conferma che il moto di caduta di una pallina su un piano
inclinato è uniformemente accelerato.
.

29. a. Preparazione dell'esperimento
"In un re g o lo , o vo g liam dir co rre nte , di le g no , lung o circa 1 2
braccia, e larg o pe r un ve rso m e z z o braccio e pe r l'altro 3
dita, si e ra in q ue sta m ino r larg he z z a incavato un canale tto ,
po co più larg o di un dito ; tiratilo drittissim o , e , pe r ave rlo
be n pulito e liscio , inco llato vi de ntro una carta pe co ra
z annata e lustrata alpo ssibile , si face va in e sso sce nde re
una palla di bro nz o durissim o , be n ro to ndata e pulita;
co stituito che si e ra ilde tto re g o lo pe nde nte , e le vando
so pra ilpiano o riz z o ntale una de lle sue e stre m ità un
braccio o due ad arbitrio , si lasciava sce nde re pe r ilde tto
canale la palla, no tando ilte m po che co nsum ava ne llo
sco rre rlo tutto , re plicando ilm e de sim o atto m o lte vo lte . . . ,
ne lq uale no n si tro vava m ai diffe re nz a né anco de lla
de cim a parte d'una battuta di po lso

30. Inizio dell'esperimento
“Co stituito che si e ra ilde tto re g o lo pe nde nte , e le vando so pra
ilpiano o riz z o ntale una de lle sue e stre m ità un braccio o
due ad arbitrio , si lasciava (co m e dico ) sce nde re pe r ilde tto
canale la palla, no tando , ne lm o do che appre sso dirò , il
te m po che co nsum ava ne llo sco rre rlo tutto , re plicando il
m e de sim o atto m o lte vo lte pe r assicurarsi be ne de lla
q uantità de lte m po , ne lq uale no n si tro vava m ai diffe re nz a
né anco de lla de cim a parte d'una battuta di po lso . ”

31. Protocollo e verifica
“Fatta e stabilita precisamente tale operazione, facemmo
scenderla medesima palla solamente per la quarta
parte della lunghezza di esso canale, e misurato il
tempo della sua discesa, si trovava sempre
puntualissimamente esser la metà dell'altro; e facendo
poi l'esperienza di altre parti, esaminando ora il tempo
di tutta la lunghezza col tempo della metà, o con quello
delli due terzi o dei 3/4, o in conclusione con
qualunque altra divisione, per esperienze ben cento
volte replicate sempre s'incontrava, gli spazii passati
esser tra loro come i quadrati de i tempi, e questo in
tutte le inclinazioni del piano, cioè del canale nel quale
si faceva scender la palla.”

32. Conclusione
Dunque, il MUA è tale per cui
- v= at
- a = costante di accelerazione, che
per θ = 90° è di 9,8 m/sec*sec
- Nel piano inclinato a è funzione del sin θ
(l'altezza h del dislivello)
- Infine, la legge oraria del moto (partenza da
fermo) è