Perpectiva em fisíca vol. 1 cap. 4 a 6

o..J
:Jt-
'5:
«u
Movimento retilíneo
uniformemente
variado [MUVl
Paraquedistas em queda, antes de os paraquedas abrirem.
Em Física, o movimento realizado por um paraquedista durante o salto pode ser considerado unifor-
memente variado?
1.INTRODUÇÃO
Grandes personagens da história da Física dedicaram-se ao estudo da queda dos corpos; um desses es-
tudos foi o da queda de um corpo, de dimensões pequenas e aproximadamente esféricas, de uma razoável
altitude.
Essa queda pode ser considerada um movimento uniformemente variado, pois a aceleração escalar em
uma queda desse tipo é praticamente constante.
A queda de corpos pesados (ou a queda de graves) foi estudada por Galileu.
Esse cientista percebeu que, na queda, em quaisquer intervalos de tempos iguais, esses corpos adquirem
aumentos iguais de velocidade, ou seja, a velocidade dos "graves" varia de maneira uniforme.
O fato de a velocidade do corpo variar uniformemente originou o nome desse movimento: movimento
uniformemente variado.
Graves: que têm peso, pesados, que tendem ao centro de gravidade da Terra.
e.FUNçÕES HORÁRIAS DO MUV
No estudo do movimento uniformemente variado (MUV), vamos trabalhar com duas funções horárias:
das velocidades e dos espaços.
Essas funções permitem descrever como essas grandezas variam em relação ao tempo.

cão horária das velocidades: v = f(t;)
"
- a aceleração escalar é constante, então
;:- calculada pela expressão da aceleração
iia:
v - Vob.V
a=--=>a=-
t - to M
~~ mos no capítulo anterior, com o exern-
-=;:"inhos, vamos zerar o cronômetro no ins-
- ar, fazendo to = O; assim:
:=0 t
•
I •
5 5 (m)
- v-v
= __ 0 =>a= __ O =>v-v =a.t =>
--O t o
=> v = V
o + a . t
- cos da função v = f(t)
-~ horária das velocidades é de primeiro
•.....•._<,....._•.•-....~_LO o gráfico da função que relaciona a ve-
o tempo é uma reta oblíqua aos eixos.
Aceleração positiva
v (mjs)
Aceleração negativa
v (mjs)
v --- -------
V
m
o ~-~-~---o t t (s) t (s)
Note que: entre os instantes to = O e t, a veloci-
dade escalar média vm pode ser calculada pela mé-
dia entre as velocidades ve vo'
u + Vov =--
m 2
Isso nos leva a concluir que:
A distância percorrida por um carro que acelera
de Oa 100 km/h em movimento uniformemente va-
riado é igual à distância percorrida por um móvel,
nesse mesmo intervalo de tempo, com velocidade
escalar constante de 50 km/h.
: o gráfico de velocidade x tempo, podemos encontrar o deslocamento realizado por um corpo, tal como
'IIr'C~_- -::: I guras abaixo.
Área
t
Área de um triângulo acima
do eixo dos tempos
Área ~ fls
(Acima do eixo: fls> O)
v
Área
O
t
v ----------------.--2
Área de um triânqulo-abaixo
do eixo dos tempos
Área ~ fls
(Abaixo do eixo: fls < O)

Exercícios resolvidos
1. Um veículo em movimento uniformemente variado inicia seu movimento com Vo = O e após um intervalo de
6 s atinge a velocidade de 30 rn/s. Para essa situação, a aceleração do veículo, em m/s-. é de:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 8
Resolução
São dados:
Vo = O m/s
t = 6 s
v = 30 rn/s
Empregando v = Vo + a . t, vem:
30 = O + a . 6 ~ 6 . a = 30 :. a = 5 m/s'
Alternativa d
2. Um corpo, partindo do repouso, desloca-se ao longo de uma trajetória retilínea, com aceleração constante e
igual a 4 rn/s'. Após 10 segundos de movimento do corpo, determine:
a) a função horária da velocidade dele;
b) a velocidade que ele ati nge.
Resolução
a) v = Vo + a . t ~ v = O + 4 . t:. v = 4 . t (SI)
b) v = 4 . 10:. v = 40 m/s
Exercícios propostos
1. Julgue (Vou F) as afirmações a seguir referentes
aos movimentos retilíneo uniforme e retilíneo uni-
formemente variado:
I. No MRU, a velocidade é constante. No mo-
vimento retilíneo uniformemente variado, a
aceleração é constante e diferente de zero.
11. No Sistema Internacional de Unidades, medi-
mos a velocidade em m/s e a aceleração em
m/s",
m. Na função horárias = 10 - 3 . t (SI), a posi-
ção inicial vale 10 m.
IV. Quando a velocidade é negativa, o móvel
está andando de marcha à ré.
V. No MRUV,a velocidade varia em razão de a
aceleração ser variável. v - v - v - F - F
2. Um carro que se deslocava com velocidade constan-
te e igual a 54 km/h freia uniformemente, levando
10 segundos até parar totalmente. Nessa situação,
determine:
a) a aceleração de freada do carro; a = -1,5 m/s-
b) O gráfico da velocidade do carro em função do
tempo; b) Professor, veja a resposta no manual.
c) a distância que ele percorre. c) ~s = 75 m
3. Em uma ultrapassagem, um motorista acelera seu
veículo. A variação de velocidade desse movimento
está representada no gráfico a seguir.
v (rn/s)
30
.10
O t (s)5
Dessa forma, determine:
a) a aceleração desse veículo; a) a = 4 m/s-
b) O deslocamento após 5 segundos; b) ~ = 100 m
c) a velocidade adquirida após 8 segundos.
c) v = 42 m/s
_ Exercícios complementares de 1 a 5.

çao horária dos espaços: s = f(C)
- ezomar a expressão da velocidade média:
t!,.5 = V + vo
t!.t 2
• Gráficos da função 5 = f(t)
A função horária dos espaços é de segundo grau,
portanto os gráficos cartesianos são representados
por parábolas.
O, vem:
~ v + vo v + vo--=--~t!,.5=---t
:-0 2 2
Aceleração positiva
(concavidade para cima)
5 (m)
= o + a· t, temos:
-c+v 2-v +a-t
____ --"-0 _ t ~ Ss = ° -t ~
2
2v . t + a- t2
~ Ss = --'0'-- _
2
o H.-~-_+----
t (s)
=
a 2 a 2
+ - - t ~ 5 = 50 + V
o - t + - - t
2 2 Aceleração negativa
(concavidade para baixo)
5 (m)
:::>..---:;:, ..:......Ll,e este exemplo: a função horária dos
móvel é dada por:
5=1O-3-t+S-t2
~===ç~ - a 2 d. _ araçao com 5 = 50 + V
o - t + "2 - t ,po e-
t (s)
o
= -3 m/s: t
-~ = -, ua aceleração escalar vale 10 m/s'.
equação 5 = 50 + Vo - t + % -t', que o coeficiente (%) é o coeficiente do termo em t'. portanto indica
a parábola: se a > O, a concavidade é para cima; se a < O, a concavidade é para baixo.
inal da aceleração determina a concavidade da parábola .
.: ãcos, note que, no instante t indicado (vértice da parábola), o movimento do móvel "muda de senti-
- __- eiro gráfico, o espaço decresce (retrógrado) até o instante t e cresce (progressivo) a partir desse ins-
_-- segundo, o espaço cresce (progressivo) até o instante t e decresce (retrógrado) a partir dali. Podemos
===::=::rr. rão, que o móvel inverte o sentido de seu movimento no instante t; logo, nesse instante: v = o.
--- Ia realiza um movimento retilíneo uniformemente variado e seu espaço varia com o tempo sequn-
" i.: ~ 5 = 10 - t - 5 . t2•
:: ::::....-ão inicial, a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar;
.=-----------------------------------------------~.

I----
b) a função horária das velocidades v =f(t);
c) o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento;
d) a posição da partícula no instante em que ela inverte o sentido do movimento;
e) a classificação do movimento nos instantes t = 0,5 s e t = 2,0 s.
ResoLução
a) Por comparação com 5 = 50 + V
o . t + ~ . t2
r temos:
2
5 = O+ 10 . t - 5 . t2.
Assim:
50 = O e V
o = 10 m/s
~=-5 .. a=-10mjs2
2
b) Como v= Vo + a . t, vem:
v = 10 - 10 . t.
c) Na inversão de sentido, v = O (Você pode imaginar essa situação quando se lança um corpo verticalmente
para cima. O corpo para (v = O) imediatamente antes de iniciar a queda.):
o = 10 - 10 . t ~ 10 . t = 10:. t = 1,0 s
d) A posição da partícula no instante t = 1,0 s é determinada por substituição.
5 = 10 . t - 5 . t2
~ 5 = 10 . 1 - 5 . 12
•• 5 = 5,0 m
e) Para t = 0,5 s:
v = 10 - 10 . t ~ v = 10 - 10 . 5 ~ v = 10 - 5 :. v = + 5,0 rn/s
A velocidade escalar é positiva, então o movimento é progressivo. A aceleração escalar é negativa
(a = -5,0 m/s") e a velocidade escalar, nesse instante, é positiva. Como a aceleração e a velocidade
têm sinais contrários, o movimento é retardado.
Para t = 2,0 s:
v=10-10· t~v=10-10· (2)~v=10-20:. v=-10m/s
A velocidade escalar é negativa, então o movimento é retrógrado. A velocidade escalar e a aceleração
escalar (a = -5,0 m/s") são negativas. Como a aceleração e a velocidade têm sinais iguais, o movimento
é acelerado.
4. O gráfico ao lado representa a posição em função do tempo de
um móvel, que possui aceleração escalar constante.
Determine:
a) a velocidade escalar inicial;
b) a aceleração escalar.
ResoLução
Analisando o gráfico, temos:
Posição inicial: 50 = 25 m
A aceleração escalar é negativa, pois a parábola tem concavi-
dade para baixo.
No instante t = 3 s, em que o móvel se encontra na posição
5 = 52 rn. encontramos o vértice da parábola, ou seja, esse
ponto representa-a inversão do movimento (v = O).
Assim:
5 (m)
52 - -
25
O 3 t (s)
a) /).s = Vo + v ~ _52_-_2_5= _vo_+_O~ 27 = Vo
M 2 3 2 3 2
Vo = 18 m/s

b) v = Vo + a . t ~ O= 18 + a . 3 ~ -3 . a = 18 .. a = -6,0 m/s"
5. A função 5 = 5 - 8 . t + 2· t2
mostra como variam as posições de um móvel com o tempo de movimento.
Determine:
a) a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração do móvel;
b) a função horária da velocidade;
c) o instante em que o móvel inverte o sentido de seu moviménto;
d) o esboço do gráfico das posições ocupadas em função do tempo.
ResoLução ()
a) Comparando a função horária das posições do MUV 5 = 50 + Vo . t + ~ . t2
com a função horária das
posições do móvel, temos:
5=5-8· t+2· t2
50 = 5 m
Vo = - 8 rn/s
!!.. = 2 ~ a = 4 rn/s"
2
b) v = Vo + a . t, portanto: v = -8 + 4 . t
c) No instante em que o móvel inverte o sentido de seu movimento, sua velocidade se anula, então:
o = -8 + 4 . t ~ 4 . t = 8:. t = 2 s
d) A função 5 = 5 - 8 . t + 2 . t2
é representada por meio de uma 5 (m)
parábola.
Vamos determinar alguns pontos para esboçá-la: 5
t (s)
t=0~5=5m
t = 1 s ~ 5 = 5 - 8 . 1 + 2 . 12
= 5 - 8 + 2 ~ S1 = -1 m
t = 2 s ~ 5 = 5 - 8 . 2 + 2 . 22
= 5 - 16 + 8 ~ S2 = -3 m
t = 3.s ~ 5 = 5 - 8 . 3 + 2 . 32
= 5 - 24 + 18 ~ S3 = -1 m
t = 4 s ~ 5 = 5 .• 8 . 4 + 2 . 42 = 5 - 32 + 32 ~ = 5 m
o r-~--~~~.-----
-1
-3
6. Um carro, partindo do repouso, entra em movimento uniformemente variado, atingindo a velocidade escalar
de 108 krn/h após 6 s. A seguir, o carro mantém movimento uniforme durante 44 s e, a partir daí, freia até
parar, desacelerando com aceleração escalar constante de módulo igual a 3 rn/s'.
Determine:
a) a aceleração escalar do carro nos dez primeiros segundos;
b) a distância total percorrida pelo carro;
c) a velocidade escalar média do carro em todo o percurso.
ResoLução
Em geral, quando o movimento varia entre MUVe MU, é interessante construirmos o gráfico da velocidade esca-
lar do móvel em fünção do tempo de acordo com a situação descrita no enunciado. Veja a seguir.
Transformando krn/h em m/s. vem:
108 : 3,6 = 30 m/s
.~------------------------------------------------~~

cz-
o deslocamento escalar é numericamente igual à área sob o diagrama, ou seja, a área do trapézio, assim:
& t:! Área:} ôs = (60 + 44) . 30 ..
2
a) A aceleração escalar é dada pela inclinação da
reta: a = tg 8
30
a =-:} a = 5 m/s'
6
b) Analogamente, durante a freada: a = -tg <p. É
dado que a = -3 m/s'. na freada, assim:
-3 = -30 :} M = 10 s
M
Portanto:
M = t - 50 :} 10 = t - 50:. t = 60 s
Ss = 1.560 m
& 1.560
v =-=-- ..
m M 60
c) vrn
= 26 rn/s
v (rn/s)
30
cp
6 t t (5)o 50
r
11
4. Um móvel realiza um movimento retilíneo unifor-
memente variado e seu espaço varia com o tempo
segundo a função 5 = 20 - 10 . t + 5 . t',
a) Determine a posição do móvel no instante em
que inverte o sentido do movimento.
b) Classifique o movimento nos instantes t= 0,5 s e
t = 2,0 s.
Professor, veja as respostas no manual.
5. Ao decolar, um avião acelera uniformemente a
partir do repouso, atingindo a velocidade escalar
de 288 km/h após percorrer 640 m em trajetória
retilínea.
Determine em seu caderno:
a) o intervalo de tempo gasto
percorrer os 640 m;
b) a aceleração escalar do avião.
pelo avião para
a) t = 16 s
b) a = 5 rn/s-
6. Um trem de comprimento 100 m entra em um túnel
de 75 m de comprimento com velocidade igual a
72 krn/h e desacelera uniformemente até sair com-
pletamente com velocidade igual a 54 krn/h. Nessa
situação, determine:
a) a duração da travessia; a) t = 10 s
b) O módulo da desaceleração do trem.
b) a = 0,5 m/s-
7. O gráfico a seguir representa a posição, em função
do tempo, de um móvel que possui aceleração es-
calar constante.
Determine a velocidade escalar do móvel no ins-
tante t = 5 s. v = 5 m/s
8. A função horária da velocidade de um carro que
se movimenta em uma autoestrada é dada por
v = -3 + 6 . t. Sabendo que, no início da con-
tagem dos tempos, o móvel se encontrava na
origem das posições, determine:
a) a função horária das posições;
b) a posição em que o móvel se encontra após
5 segundos de movimento;
c) o instante em que a velocidade do móvel
vale 9 m/s. a) s = - 3 . t + 3 . t' (SI)
b) s = 60 m
c) t = 2 s ~
5 (m)
25
t (s)
o
-15

9. Um motorista está viajando em linha reta com
velocidade escalar constante de 72 krn/h, quando
avista um congestionamento. Devido ao tempo de
reação, ele gasta O,7s ainda em movimento uni-
forme, antes de frear, desacelerando seu veículo
com aceleração escalar de módulo igual a 2,5 m/s",
até pará-lo completamente. Determine:
a) quanto tempo, desde que avistou o congestio-
namento, o motorista gastou até parar;
b) quaL a distância percorrida pelo veículo
durante o intervalo de tempo calculado no
item o. a) Gastou 8,7 s. b) 94 m
b) v = - 10 + 5 . t (SI)
b) a função horária da velocidade;
c) a velocidade adquirida após 10 segundos de
movimento. c) v = 40 m/s
5 (m)
8,0
o
• O diagrama horário a seguir representa o movi-
mento de uma partícula. Sabendo que o movi- -2,0 --------------
mento se mantém uniformemente variado até o
instante t = 10 s. pede-se:
a) a aceleração do corpo; a) a = 5 m/s- _ Exercícios complementares de 6 alO.
EGUAÇÃO DE TORRICELLI
- equação de Torricelli nos permite calcular a ve-
.:: de de um móvel, após percorrer certa distância,
ecessitarmos conhecer o intervalo de tempo
na viagem.
~- expressões:
- = v + vo
- 2
,ó.v A
e a = -, vem:
M
v-v
e M= __ o
a
Assim:
2 . Ss v - Vo ( ) ( )--=--=> v+v . v-v =2·a·'ó's
v+v a o oo
Desse modo:
i Cu~iosidadesfísicas
sters
americano Tony Schu-
er, pilotando uma dto-
, atingiu, em 2005, apro-
amente a velocidade de
/h (quase a metade da
. ade do som) em uma
- e 400 m.
. idade
- pregue o que você
::;deu até agora e deter-
~ a aceleração escalar
- a atingida pelo piloto,
do que a distância de
foi a final do processo
- leração.
-a
~~~~
.S
~
~o
S2.
~
;;;
o
.s
~ ~ -J
Dragsters são carros de corrida destinados a atingir altíssimas ve-
locidades em pequenas distâncias.

7. Um motorista conduz. seu veículo com velocidade constante e igual a 72 krn/h, quando avista um obstáculo
e freia uniformemente, à razão de 4 rn/s a cada segundo de movimento. Determine qual deve ser a distância
entre o veículo e o obstáculo para que o motorista consiga parar totalmente e evitar a colisão.
Resolução
Do enunciado, temos:
72 a = .-4 rn/s = -4 m/s2vo = - = 20 m/s e
3,6 1 s
A velocidade final é nula (v = O), pois o veículo para.
Como o tempo de duração da freada não foi fornecido, é interessante utilizarmos a equação de Torricelli.
Assim, temos: '
v2 = v~ + 2 . a . L1s => 02 = 202 + 2 . (-4) . L1s => O = 400 - 8 . L1s => 8 . L1s = 400 =>
400
=> L1s = - .. L1s = 50 m
8
11. Um trem, ínicialmente em repouso, parte de uma
estação e acelera por 200 m com aceleração igual
a 1 rn/s'. Para o referido trecho, determine:
a) a velocidade que o trem atinge; a) v = 20 m/s
b) a duração do movimento. b) t = 20 s
12. Ao avistar um semáforo que se encontrava a 140 m
de distância, um motorista que conduzia seu veí-
culo, com velocidade constante e igual a 72 krn/h,
Exercício resolvido
demora 2 s antes de começar a frear uniformemente,
conseguindo parar totalmente o veículo ao chegar
ao local. Considerando esses dados, determine:
a) a desaceleração imposta pelos freios;
b) o intervalo de tempo decorrido desde o instan-
te em que o motorista avistou o semáforo até
a completa parada do veículo. a) a = -2 rn/s-
b) ttot" = 12 s
EvangeLista TorriceLli
Evangelista Torricelli nasceu em 15 de outubro de 1608, em Faenza
(Itália). Em 1641, escreveu um tratado sobre Mecânica: Sobre o mo-
vimento dos corpos pesados naturalmente descendentes e projetados.
Ainda naquele ano, foi convidado para trabalhar como assistente de
Galileu Galilei, em Florença (Itália).
Após a morte de Galileu, Torricelli foi nomeado matemático do
grão-duque da Toscana e professor de Matemática da Academia
Florentina. Torricelli realizou experimentos com um tubo conten-
do mercúrio, concluindo que a variação da altura da coluna de
mercúrio era devida à variação da pressão externa. Esse experi-
mento forneceu as bases para o funcionamento do barômetro de
mercúrio. Além de outras contribuições no campo da Física e da
Matemática, raramente publicadas, ficou famoso pela equação que
recebeu seu nome.
Torricelli faleceu em 25 de outubro de 1647, na cidade de Florença.
Retrato de Evangelista Torricelli
(1608-1647).

UEDA LIVRE E
NÇAMENTO VERTICAL
iia a dia e nos esportes radicais, é comum
_ ararmos a queda livre com o movimento realiza-
; - um paraquedista antes da abertura do para-
~__ """-"-".por exemplo.
1:••.•.••""'-""""'-"'__
queda, a paraquedista está sob efeito da resis-
- do ar.
Em Física, usamos o termo queda livre para a situação
em que o corpo cai exclusivamente por causa da gravi-
dade. Desprezamos, assim, o efeito do ar, cuja resistên-
cia depende do local da queda, do formato do corpo etc.
Nas proximidades do nível do mar, a aceleração da
gravidade é praticamente constante e vale, aproxima-
damente, 9,8 m/s-. Essa aceleração depende da massa
da Terra, da distância até o centro dela, da rotação e de
outros movimentos de nosso planeta em torno do Sol.
•Normalmente se considera a simplificação g = 10 m/s-
para o módulo da aceleração da gravidade.
Ao analisarmos um corpo em movimento vertical,
podemos orientar a trajetória de duas maneiras:
a) para cima: o corpo é lançado para cima e
consideramos a aceleração contrária ao movimento;
b) para baixo: o corpo está em queda livre e
consideramos a aceleração a favor do movimento.
Assim, na subida, o movimento é retardado e, na
descida, acelerado.
Acompanhe os exemplos a seguir, de queda livre
e lançamento vertical para cima, que ilustram esses
movimentos.
Queda livre
- objeto de dimensões desprezíveis é abando-
co alto de um edifício de altura H. Desprezan-
=-'"eitodo ar e adotando g para a intensidade da
- acão da gravidade, vamos determinar:
-" po gasto pelo objeto para percorrer uma
- --- cia h (com h < H);
-~ po de queda do objeto (intervalo de tem-
ecorrido desde o instante em que o corpo é
-= donado até o instante em que ele atinge o
2..ocidade escalar do objeto após ele percorrer
-;: distância h (com h < H);
.: c ocidade escalar do objeto no instante em
_:O: ele atinge o solo.
H
Resolvendo:
a) Podemos trabalhar diretamente com as equa-
ções do movimento uniformemente variado e
fazer a = g, Ss = h e V
o = O; assim:
a 2 a 2
s = so + Vo . t + - . t => 6.s = V
o . t + - . t =>
2 2
g 2 (2.h
=> h = "2 . t => t = Vg
b) O tempo de queda é determinado fazendo-se h = H:
t =)2 ~H
c) Conhecendo o instante t e sabendo que V
o = O (o
objeto foi abandonado), podemos utilizar:
v = V
o + a . t => v = g . t
em que t corresponde ao determinado no item
(a) ou por meio da equação de Torricelli:
v2 =v~+2 . a . 6.s => v2
=2 . g . h => v=~2 . g . h
d) A velocidade escalar no instante em que o objeto
atinge o solo:
v = ~2. s H

• Lançamento vertical para cima
Um corpo é lançado, a partir do solo, vertical-
mente para cima, com velocidade escalar V
o em um
local em que a aceleração da gravidade vale g e a
resistência do ar pode ser desprezada. Vamos de-
terminar:
a) o tempo de subida;
b) o tempo de voo (intervalo de tempo que o corpo
permanece no ar);
c) a altura máxima atingida pelo corpo;
d) a velocidade escalar do corpo ao retomar ao
solo.
Resolvendo:
Aqui, é importante adotarmos um sentido como
positivo para a trajetória. Vamos adotar a trajetória
crescente para cima:
Assim: a = - g, pois a aceleração da gravidade
é sempre para baixo, so= O, s = n.: (altura máxi-
ma) e V
o > O.
a) À medida que o corpo sobe, sua velocidade esca-
lar vai diminuindo (em módulo) até se anular na
altura máxima. Assim, para o tempo de subida:
v
v = Vo + a . t ~ O = "o - g . tsubida ~ tsubida = ;
b) A aceleração da gravidade é constante em todo
o percurso. Portanto, o tempo gasto para o cor-
po ter sua velocidade variando de V
o até zero será
o mesmo que para variar de zero até vo' ou seja, o
tempo de subida é igual ao de descida (queda).
Logo, o tempo de voo é igual ao dobro do tempo
de subida:
_ Vo
tvoo - 2·-
g
c) Ao atingir a altura máxima, sua velocidade se
anula. Da equação de Torricelli, vem:
v2
= v~ + 2 . a . ~s ~ 02
= v~ + 2 . (-g . hmáx) ~
v2
~h =_0_
máx. 2. g
d) Como a distância percorrida é igual na subida e
na descida e a aceleração da gravidade é cons-
tante, temos: vfinal
= -vo
ou seja, o corpo retoma ao solo com velocidade
escalar de módulo igual à velocidade inicial. (O
sinal negativo refere-se ao sentido contrário ao
adotado como positivo.)
F.ísica, ética e cidadania
Segurança e cuidados em edifícios
Além de pensarmos
na segurança das crianças
que moram em edifícios,
devemos pensar que elas
podem visitar esses locais.
As redes de proteção são
fundamentais nesses casos,
mas é importante salientar
que essas redes possuem
prazo de validade e devem
ser inspecionadas, pois, além
dos desgastes naturais da própria rede, essas são presas às paredes por metais, geralmente oxidáveis,
que também são danificados com o tempo.
Não é raro que vasos, copos e garrafas caiam de um apartamento e atinjam uma pessoa ou um auto-
móvel que esteja passando embaixo do edifício. Na queda do sexto ou do sétimo andar de um prédio,
um corpo desses pode chegar ao solo com uma velocidade de, aproximadamente, 70 km/h. Nessas
condições, um vaso causaria estragos em um carro ou feriria gravemente uma pessoa.
Atividade
Após a leitura do texto, determine o tempo de queda de um objeto que cai do sexto andar de um
edifício.

-=,,_~"-'..;'o o que estudamos sobre o movimento uniformemente variado:
- _ ção horária:
~ = 5 + V . t + !!.. . t2
o 2
+ a· t
Aceleração desconhecida: Tempo desconhecido:
!:ls = v + vo
M 2
v2 = v~ + 2 . a . !:ls
é deixado cair de uma altura h = 20 m em um local em que a aceleração da gravidade vale g = 10 m/s'.
':c!;;::=::zandoa resistência do ar, determine:
-: ::empo de queda (o tempo gasto para o corpo atingir o solo);
_ locidade escalar do corpo ao atingir o solo.
~~çã-o
i. _~ expressão 5 = 50 + Vo . t +!!.- . t2
e fazendo ó.s = h, Vo = O (o corpo é abandonado, ou seja, deixado
2
. ) e a = g, vem:
02 g2 ~. ~r;
= Vo . t +"2' t ~ h = "2.tqueda ~ tqueda = Vg; assirn: tqueda = VlO = ,,4 .. tqueda = 2 s
- - v = v + a . t ~ v = g . t temos: v = 10 . 2:. v = 20 rn/so queda'
-::e que o item (b) poderia ser resolvido por meio da equação de Torricelli; assim:
.: = v~ + 2 . a . !:ls ~ v = ~2 . g . h = ~2 . 10 . 20 = ~400 v = 20 m/s
é lançado verticalmente para cima a partir do solo e retoma ao ponto de lançamento aos 6 s. Con-
o g = 10 m/s' para o módulo da aceleração da gravidade e desprezando o efeito do ar, determine:
_ locidade escalar de lançamento do corpo;
- o ra máxima atingida pelo corpo.
~ ão
- .: é importante adotarmos um sentido como positivo para a trajetória. Vamos adotar a trajetória crescente
= - g, pois a aceleração da gravidade é sempre para baixo, 50
= O,5 = h (altura máxima) e vo> o.
o o corpo retoma ao ponto de lançamento, o tempo de subida é igual ao tempo de descida (ttotal = 6,0 s),
: tsubida = tdescida = 3,0 s
l ura máxima, temos v = O, logo:
= v + a . t ~ O = Vo - g . tsubida ~ Vo = g . tsubida ~ Vo = 10 . 3:. Vo = 30 m/s
equação de Torricelli, vem:
l 302
= v~ + 2 . o . !:ls ~ v2 = v~ + 2 . a . h ~ h = _0_ ~ h = --:. h = 45 m
2· g 2· 10

Note que o item (b) poderia ser resolvido por meio da função horária dos espaços, assim:
a 2 g 2 10 2
S = So + V
o
" t + - "t => h = O+ V
o
" t - - -t bid => h = 30 " 3 - - " 3 .', h = 45 m
2 "2 su 1 a 2
Atenção!
Este experimento deve ser feito em grupo e sob a supervisão de seu professor.
Objetivos:
Comparar o movimento uniforme com o movimento variado.
Determinar a intensidade da aceleração escalar média no movimento variado.
Introduzir o conceito de inércia.
Material necessário:
• borracha escolar
• calculadora
• caneta
• lápis preto
• papel sulfite
• régua de 30 cm
• água colorida
• carrinho de brinquedo
• cronômetro ou relógio
• eixo com as rodinhas de outrocarrinho. para ser usado como roldana
• frasco com gotejador
• fita adesiva
13. Um corpo é abandonado do alto de um edifício e
atinge o solo após 5,2 s. Desprezando o efeito do
ar e adotando g = 10 m/s' para a intensidade da
aceleração da gravidade, pede-se: a) h = 135,2 m
a) a altura do edifício em relação ao solo;
b) a velocidade escalar do corpo ao atingir o solo.
b) v = 52 rn/s
14. Um corpo é lançado, a partir do solo, verticalmente
para cima com velocidade escalar de 25 rn/s. Consi-
derando g = 10 m/s' para o módulo da aceleração da
gravidade e desprezando o efeito do ar, determine:
a) a altura máxima atingida; a) hmh. = 31,25 m
b) O intervalo de tempo que o corpo gastou até
atingir a altura máxima. b) t = 2,5 s
15. Um helicóptero está descendo verticalmente e, quan-
do está a 120 m de altura, um pequeno objeto se
solta dele e cai em direção ao solo, levando 4 s
para atingi-lo. Despreze o efeito do ar, considere
g = l0I11/s2 e determine a velocidade de descida
do helicóptero, no momento em que o objeto se
soltou. V
o = 10 rn/s :
16. Dois corpos, A e B, são lançados do alto de um
prédio, um para cima e outro para baixo, com
velocidades iguais a 72 krn/h, Se a altura do pré-
di ." l 2 d " - MA t10 e iqua a 5 m, eterrmne a razao - en re
MB
os intervalos de tempo necessários para que os
corpos atinjam o solo. Despreze o efeito do ar e
adote g = 10 m/s".
Professor, veja a resposta no manual.

=_:_ - o Galileu, um corpo, que cai a partir do repouso, percorre em tempos iguais espaços que mantêm
to si a mesma proporção que têm os números ímpares a partir da unidade. Essa afirmação é válida para
- =ovimento dado pela expressão s = t2
? (Sugestão: Calculem M entre instantes sucessivos, como O s e
_ :. : s e 2 s; até 5 s e 6 s.)
--------~------------------------------------------~
: - m de linha de costura resistente
-33 (que servirá de plano inclinado)
~;:a-gem:
-= levemente a mesa.
- -=_em a água colorida no recipiente com gote-
-- ~- enchê-lo completamente e tampem.
=--"::1 com a fita adesiva o recipiente com
_ -~=or no carrinho, com o gotejador voltado
- :::2. O.
com a fita adesiva o eixo do outro carrinho
- ::à de uma mesa.
= uma extremidade da linha no carrinho e a
emidade em uma borracha escolar.
::---=- ma pista para o carrinho fixando papel sulfite sobre a mesa.
- =;_'à ao lado ilustra a montagem da atividade.
90 cm
Eixo de .,---------
carrinho .~S~~~~===~~~Borracha
50 cm
Ii=-·••.•••dimento:
o carrinho e deixem a borracha suspensa.
toque no fundo do recipiente gotejador até que se inicie o gotejamento. Deixem algumas gotas
em o carrinho.
experimental e análise dos resultados:
. -:-'" o cronômetro no instante em que o carrinho for abandonado.
-- =- o cronômetro no instante em que a borracha atingir o solo.
- .- uem as distâncias entre as marcas sucessivas deixadas pela água no sulfite.
ai e respondam:
--:z5 de a borracha atingir o solo, as distâncias entre as marcas deixadas pelas gotas aumentam, diminuem
_ ::ermanecem constantes?
e o carrinho continua em movimento após a borracha tocar o solo?
___ ocorre com as distâncias entre as marcas após a borracha atingir o solo?
-2'1lllinem a aceleração escalar (suposta constante) do carrinho dure-ite a queda da borracha.
-== inem a velocidade escalar do carrinho no instante em que a borracha atinge o solo.
~-: andam às questões, justificando suas respostas.
r. veja as respostas no manuaL
_- : rpo pode, em um instante, possuir velocidade escalar igual a zero e aceleração escalar diferente
- ::E'O?
~---- L

3. Um corpo é deixado cair de certa altura, em relação ao solo, no mesmo instante e local em que um
corpo é lançado, a partir do solo, verticalmente para cima. Sabendo que esse último atinge uma
altura máxima igual à altura de que o primeiro foi abandonado, comentem e comparem:
a) o tempo de voo dos dois corpos;
b) as velocidades com que os corpos atingem o solo;
c) as velocidades dos corpos, quando eles se cruzam;
d) a altura, relativamente ao solo, em que os corpos se cruzam.
4. Em qualquer movimento, a velocidade escalar média pode ser determinada pela média entre a velo-
cidade inicial e a velocidade final?
5. Uma pessoa, no alto de um edifício, lança uma pedra para cima e outra para baixo com velocidades de
mesmo módulo. Desprezando o efeito do ar, comparem as velocidades das pedras ao atingirem o solo.
Cotidiano e tecnologia
Porta-aviões e guerra
Os meios de comunicação mostram diariamente conflitos
que ocorrem em várias regiões do mundo, como África, Oriente
Médio, região do Cáucaso, América Central etc. Esses conflitos
têm um impacto direto na economia mundial, como no aumen-
to do preço do barril de petróleo, por exemplo.
Asimagens da última Guerra do Golfo Pérsico entre os Esta-
dos Unidos e o Iraque, iniciada em 2003, mostraram a avançada
tecnologia utilizada pelas forças armadas estadunidenses e des-
tacaram a importância dos porta-aviões nesse conflito.
Para decolar, um avião necessita atingir certa velocidade
para conseguir sustentação. Mas como atingir essa veloci-
dade em distâncias como as de um porta-aviões, que são muito
menores que as de uma pista de aeroporto?
Para que os aviões levantem voo. o porta-aviões é provi-
do de catapultas que funcionam como um estilingue e lançam
a aeronave a uma velocidade de aproximadamente 270 krn/h
em apenas dois segundos. Essas catapultas são acionadas por
pistões que se movem bruscamente, por causa da alta pressão
proveniente de vapor gerado na embarcação.
Para o avião aterrissar, são apenas cerca de 150 m de pista
e, portanto, é necessário novamente um sistema adicional com
freios para conseguir parar a aeronave. O avião utiliza ganchos
em sua calda que se prendem em cabos de travamento. Esses
cabos também são ligados a cilindros e funcionam como elás-
ticos presos ao avião, de modo que o pouso não seja extrema-
mente brusco.
Um avião a aproximadamente 240 krn/h necessita de
mais ou menos 100 m para conseguir parar. Não é por
acaso que essas acelerações são muitas vezes medidas em
termos de g.
Nos porta-aviões, existe pouco espaço para
pousos e decolagens e a aceleração é intensa.
Esse tipo de avião possui cabos que se prendem
a ganchos existentes na pista do porta-aviões.
Adaptado de http://ciencia.hsw.uol.com.br/porta-avioesl.htm (acesso em novo2009)
Atividade
Considerando g = 9,8 rn/s'. no nível do mar, qual seria o valor da aceleração escalar média em termos de
g na decolagem desse avião? ~

de um carro, ao entrar em um túnel com
-=.c_e escalar de 108 krn/h. freia uniforme-
- zindo 10 s depois com velocidade escalar
-=~r--.fh. Determine o comprimento do túnel.
/).5 ~ 200 m
função da velocidade em relação ao
m ponto material em trajetória retilínea,
= 5,0 - 2,0 . t. Por meio dela, pode-se afir-
o instante t = 4,0 s. a velocidade desse
erial tem módulo:
• /s e o mesmo sentido da velocidade ini-
/s e o mesmo sentido da velocidade ini-
- , ais o ponto material já parou e não se
--.; enta mais.
• /s e sentido oposto ao da velocidade ini-
_ /s e sentido oposto ao da velocidade ini-
- Alternativa d
- -=5 randes promessas da indústria automo-
__ ~_._-"'"-são os carros elétricos. Em função da
=.=:=""; ica elétrica, a resposta do motor é
~ =:=e eração repentina e mais rápida, fazendo
- __r o veículo atinja 108 krn/h. partindo do
__ -- em apenas 3 s. Nesse caso, a aceleração
- _';"=2 será de aproximadamente:
Alternativa d
- corrida de arrancada, um automóvel apre-
a eLeração constante de 2 m/s' durante 5 se-
pondo que o automóvel tenha partido do
- calcule a velocidade que ele atingiu após
:::- undos. v ~ 10 rn/s
) Um carro se desloca com movimento
niformemente variado em uma estrada
- zassando em um determinado ponto com
- - =e de 15 m/s, Sabendo-se que ele gasta
__ os para percorrer os próximos 50 metros,
. ade no final do trecho, em m/s. é de:
Alternativa a
com as informações da figura e da tabela,
---- às questões que seguem.
2 4
3 6
4 8
5 10
a) O que representa o aumento das distâncias mar-
cadas com as motos representadas (tipo de movi-
mento)? a) Professor, veja a resposta no manual.
b) Em que instante a velocidade da moto será de
20 m/s? b) t = 10 s
c) Determine o deslocamento de O selO s.
c) /).5 ~ 50 m
7. (Cefet-CE) A figura a seguir representa, fora de es-
cala, as marcas das patas traseiras de um guepardo
que, partindo do repouso no ponto A, faz uma in-
vestida predatória, a fim de garantir sua refei-
ção. O intervalo entre as marcas é de 1 segundo.
~:') .-: ~: .-:
•.~.) •.~ •.~ •.~
5m 15 m 25 m 35 m
I I I
A B C
Determine:
a) a aceleração escalar do guepardo;
b) a velocidade do guepardo, ao passar pelo pon-
to B da trajetória. a) a = 10 m/s-
b) v = 3 m/s
8. Uma das provas mais tradicionais do atletismo é a
prova dos 100 m rasos. Nela, a aceleração de um
competidor que percorre os 100 m em aproximada-
mente 10 s. atingindo a velocidade máxima ao final
dos 100 m, é de:
a) 1,0
b) 2,0
c) 3,0
d) 4,0
e) 5,0 Alternativa b

9. Um veículo move-se com velocidade constante de
54 krn/h por uma avenida onde existe um semáfo-
ro com fiscalização eletrônica. Estando o veículo
a 60 metros do semáforo, o sinal muda de verde
para amarelo, permanecendo nele por um tempo
de 2,0 segundos. Sendo assim, qual deve ser a
menor aceleração constante que o carro deve ter
para passar pelo semáforo e não ser multado?
a = 15 m/s-
10. (Cefet-SC) Um móvel efetua um movimento retilí-
neo uniformemente variado, obedecendo à função
horária 5 = t2
+ 5, em que o espaço 5 é medido em
metros e o instante i, em segundos. A velocidade
do móvel no instante t = 10 s vale:
a) 15 m/s
b) 10 m/s
c) 5 rn/s
d) 2 m/s
e) 20 m/s Alternativa e
11. (UFPE) Um gato, que deseja agradar sua dona,
tocaia um rato que tem o costume de se escon-
der em um buraco na parede. O rato encontra-se
a uma distância de 2,40 m do buraco e, obser-
vando a situação perigosa da presença do gato,
desloca-se no sentido do buraco, desenvolvendo
uma velocidade constante de 3,00 m/s. Inicial-
mente o gato está em repouso, a uma distância
de 1,76 m do rato.
,~
-------_. _.---3,10 m 1,76 m
A aceleração mínima do gato, para que ele alcance
o rato, antes que este se esconda no buraco, vale,
em rn/s":
a) 13,00
b) 10,00
c) 8,00
d) 15,00
e) 7,00 Alternativa a
12. Sempre antes de uma viagem mais longa, é importan-
te que seja feita uma revisão no veículo. Dirigindo em
uma estrada, completamente horizontal e reta, a uma
velocidade constante de 30 m/s. subitamente você
vê um cachorro parado no meio da pista, a 50 m do
ponto em que você se encontra. Ao acionar os freios
do veículo, desacelerando constantemente, à razão de
36 km/h a cada segundo, será possível você passar a
tempo de não atingir o cachorro? Além disso, calcule
o tempo, em segundos, entre o instante em que o
freio foi acionado até a parada do veículo.
Sim, será possível. ils = 45 m
13. (Unicamp-SP) Uma possível solução para a crise
do tráfego aéreo no Brasil envolve o emprego de
um sistema de trens de alta velocidade conec-
tando grandes cidades. Há um projeto de uma
ferrovia de 400 km de extensão que interligará as
cidades de São Paulo e Rio de Janeiro por trens
que podem atingir até 300 km/h.
•a) Para ser competitiva com o transporte aéreo,
estima-se que a viagem de trem entre essas duas
cidades deve durar, no máximo, 1 hora e 40 mi-
nutos. Qual é a velocidade média de um trem
que faz o percurso de 400 km nesse tempo?
b) Considere um trem viajando em linha reta
com velocidade constante. A uma distância
de 30 km do final do percurso, o trem inicia
uma desaceleração uniforme de 0,06 m/s".
para chegar com velocidade nula a seu desti-
no. Calcule a velocidade do trem no início da
desaceleração. a) v = 239,5 km/h
b)v, = 60 m/s ou Vo = 216 krn/h
14. Considerando a equação horária h = 180 - 5 . t2
(SI) da altura, em relação ao tempo t, para o movi-
mento de um vaso que se desprendeu de um apar-
tamento, encontre, para essa queda livre:
a) a altura do prédio; a) ho = 180 m
b) tempo que o vaso leva para atingir o solo.
b) t = 6 s
15. (Vunesp adap.) Segundo se divulga, há um brin-
quedo em um parque de diversôes na região Sul do
país que possui uma torre radical com 100 m de altura.
Caso o elevador esteja em queda livre por todo esse
trecho, e considerando o valor da aceleração da
gravidade como sendo 10,0 m/s'. e que o elevador
parte do repouso, conclui-se que sua velocidade ao
final dos 100 m será de:
a) 33,2 rn/s
b) 37,4 m/s
c) 44,7 rn/s
d) 49,1 m/s
e) 64,0 rn/s Alternati a c
16. Em um parque de diversões, uma das atrações é o
elevador que despenca de uma altura aproximada de
60 m. No movimento de queda livre, cuidados são
necessários para a máxima segurança da pessoa.
Considerando g = 10 rn/s'. encontre a altura má-
xima a partir do momento que se inicia o procedi-
mento de frenagem, com desaceleração constante
3 g, até o repouso no solo. 15 m

17. Uma pessoa descuidada está lendo um livro em uma
janela de um prédio; de repente, o livro escapa de
suas mãos. Ao tentar pegá-lo, o leitor acaba lan-
çando-o com velocidade de 10 m/s vertical e para
baixo. Sabe-se que o livro tem massa aproximada
de 200 g e que atinge o solo com a velocidade de
15 rn/s. Baseando-se nessa situação, encontre:
a) o tempo que o livro leva para atingir o solo;
b) a altura da janela em relação ao solo.
a) t = 0,5 s b) h = 6,25 m
18. Em uma apresentação circense, uma das bolinhas
arremessadas verticalmente para cima por um ma-
labarista atinge a altura de 20 m. Nessas condi-
ções, podemos dizer que a velocidade inicial do
lançamento e o tempo para se atingir os 20 m,
respectivamente, é: (Adote: g = 10 m/s')
a) 10 m/s e 1 s
b) 20 rn/s e 2 s
c) 30 rn/s e 3 s
d) 40 m/s e 4 s
e) 50 m/s e 5 S Alternativa b
o texto seguinte se refere às questões 19 e 20:
Em um jogo de voleibol, denomina-se tempo de
voo o intervalo de tempo durante o qual um atleta
que salta para cortar uma bola está com ambos os
pés fora do chão, como ilustra a fotografia.
i!-
a;
'2.
[;:
~:;:
I<Jl
-"
"~ '---------------------------
Atletas de voleibol bloqueando o corte
da adversária.
Considere um atleta que consegue elevar seu cen-
tro de gravidade a 0,45 m do chão e a aceleração
da gravidade igual a 10 m/s'.
19. (UERJ) A velocidade inicial do centro de gravidade
desse atleta ao saltar, em metros por segundo, foi
da ordem de:
a) 1
b) 3
c) 6
d) 9 Alternativa b
20. (UERJ) O tempo de voo desse atleta, em segundos,
corresponde aproximadamente a:
a) 0,1
b) 0,3
c) 0,6
d) 0,9 Alternativa c
21. (UFAM) A figura representa o gráfico da veloci-
dade em função do tempo do movimento de um
corpo lançado verticalmente para cima com ve-
locidade inicial Vo = 12 m/s, na superfície de um
planeta.
v (rn/s)
12
12
° 6 t (s)
-12 --- ------------ -------- - ---
A altura máxima atingida pelo corpo vale:
a) 72 m
b) 36 m
c) 144 m
d) 64 m
e) 24 m Alternativa b
22. (Unimontes-MG) Um objeto é lançado a partir do
solo, verticalmente para cima, com velocidade ini-
cial de 10 rn/s. O tempo decorrido desde o lança-
mento até o retorno do objeto ao solo e a altura
máxima atingida por ele valem, respectivamente:
(Adote: g = 10 m/s")
a) 2,Ose5m
b) 3,Ose15m
c) 2,0 selO m
d) 1,0 s e 5 m Alternativa a

1. Uma pessoa em sua caminhada matinal percor-
re os primeiros 20 minutos com velocidade de
2,0 m/s. A seguir, inicia uma corrida, aceleran-
do 1 m/s2
durante 8,0 segundos. Sendo 'assim.
determine:
a) a distância percorrida nos 20,0 min iniciais;
b) a distância percorrida nos 28,0 s finais;
c) a velocidade final do caminhante.
a) Dos= 2.400 m b) M = 48 m c) v = 10 m/s
2. (PUC-RJ) Dois objetos saem no mesmo instante de
dois pontos, A e B, situados a 100 m de distância
um do outro. Os objetos vão se encontrar em algum
ponto entre A e B. O primeiro objeto sai de A em di-
reção a B, a partir do repouso, com uma aceleração
constante igual a 2,0 m/s'. O segundo objeto sai
de B em direção a A com uma velocidade constante
de v = 15 m/s.
a) Determine o tempo que levam os objetos para
se encontrar; a) t = 5 s
b) Determine a posição onde ocorre o encontro
dos dois objetos, medido a partir do ponto A;
c) Esboce o gráfico da posição versus tempo para
cada um dos objetos. b) SA = 25 m
c) Professor, veja resposta no manual.
3. Dois gráficos apresentam informações sobre a ve-
locidade e a posição de um veículo em função do
tempo.
v (rn/s)
20
10
o t (s)5
5 (m)
5 --------------c--
o 6 t (s)
De acordo com as informações disponibilizadas nos
gráficos, determine a posição correspondente ao
instantet=6s. s=96m
4. (U. F. Santa Maria-RS) Ao preparar um corredor para
uma prova rápida, o treinador observa que o de-
sempenho dele pode ser descrito, de forma aproxi-
mada, pelo seguinte gráfico:
v (m/s)
12,5 ----- - ----".......------
o 4 10 t (s)
A velocidade média desse corredor, em m/s. é de:
a) 8,5
b) 10,0
c) 12,5
d) 15,0
e) 17,5 Alternativa b
5. Dois ciclistas, A e B, iniciam uma corrida de um mes-
mo ponto e percorrem a mesma trajetória. O gráfico
mostra como as velocidades variam com o tempo.
v (rn/s)
A
16+---------~--B
o t (s)10
Sobre o movimento de ambos, julgue verdadeiro ou
falso as seguintes afirmações:
I. Ambos descrevem movimento uniforme.
11. Eles se encontram no instante t = 10 s.
III.No instante do encontro, a velocidade de A
será 32 rn/s.
Deve-se afirmar que apenas:
a) I é correta.
b) II é correta.
c) III é correta.
d) I e II são corretas.
e) II e III são corretas. Alternativa c

6. (UEP1) Um carro A inicia seu movimento retilíneo a
partir do repouso, no instante t = O, com uma ace-
leração constante igual a 0,5 m/s'. Nesse mesmo
instante, passa por ele um carro B, que- se desloca
na mesma direção e no mesmo sentido do carro A, po-
rém com velocidade escalar constante igual a 3,0 m/s.
Considerando tal situação, qual é o tempo necessá-
rio para que o carro A alcance o carro B?
a) 6 s d) 15 s
b) 10s e) 20s
c) 12 S Alternativa c
7. (U. Fortaleza-CE) O gráfico velocidade versus tempo
refere-se ao movimento retilíneo de um corpo que, no
instante t = O, encontra-se na origem dos espaços.
v (m/s)
6 -----------:r-;-----.
4
2
O 8 t (s)4 6
Analise as afirmações:
I. No intervalo de tempo de 1 s a 5 s. a acelera-
ção média é 1 m/s'.
II. No intervalo de tempo de 2 s a 4 s, o movi-
mento não é uniformemente variado.
III. No instante t = 8 s, o móvel encontra-se no-
vamente na origem dos espaços.
Está correto o que se afirma somente em:
a) 1 e III. d) 11.
b) 1 e II. e) I.
c) lII. Alternativa b
8. O gráfico a seguir apresenta a evolução das posições
de dois veículos em função do tempo:
s (cm) A
B
10
8
O t (s)5
Qual a velocidade de A ao alcançar B? VA = 2 rn/s
9. Próximo a uma estação de embarque, um trem (A)
viaja em alta velocidade. Seu maquinista, muito
atento, percebe outro trem (B) parado à sua fren-
te, nos mesmos trilhos. Com muita rapidez, aplica
os freios para tentar evitar a colisão. Após 2 s. o
sinal abre e o trem B parte em movimento unifor-
memente acelerado. O gráfico apresenta a evolução
do movimento dos dois trens.
v (m/s)
30
20 B
10
A
O 1 2 3 4 5 6 7 t (s)
Ao iniciar o processo de frenagem em t = O s, a
traseira do trem B posicionava-se 100 m à frente
da dianteira do trem A. A colisão foi evitada por
pouco. A partir dos gráficos, qual a distância mais
próxima que os trens estiveram um do outro? 15 m
10. Observando o gráfico a seguir, vemos o desenvolvi-
mento da velocidade em função do tempo de uma
patinadora em um supermercado. De acordo com as
observações que ele nos apresenta, determine que
deslocamento foi realizado de O a 4 s.
v (rn/s)
1,0 -1----'"
O 1 2 3 4 t (s)
~s = 3 m
11. (UFPE) Em t = O, um objeto parte do repouso a partir
da posição x = 1,0 m, executando um movimento
retilíneo, com aceleração em função do tempo mos-
trada no gráfico a seguir. Dos gráficos apresentados
em seguida, indique qual representa corretamente a
dependência da velocidade com o tempo.
a (rn/s')
2,0 .-- ---, -----..,------r - - - --,
I I I I
1,5 ------+-----~------~-----~I I I I
1,0 ------~-----~------r -----~
I I I I
0,5 +---'--~I------~-----~
, , ,, ,
O 1,0 2,0 3,0 4,0

a)
v (m/s)
2,0 -- --- --, -- -
1,5
1,0
0,5 -
° 1,0 2,0 3,0 4,0 t (s)
b)
v (rn/s)
2,0 -
1,5 .r=:':1,0
0,5
/'
° 1,0 2,0 3,0 4,0 t (s)
c)
v (rn/s)
2,0
1,5
1,0
/0,5 -
°
1,0 2,0 3,0 4,0 t (s)
d)
v (mjs)
2,0
1,5
1,0 -
0,5
°
e)
v (rn/s)
2,0
1,5
1,0
0,5
°
12. O engavetamento é um tipo comum de acidente que
ocorre quando motoristas deliberadamente mantêm
seus carros a pouca distância do carro que se en-
contra à sua frente e que repentinamente diminui a
velocidade. Em um trecho retilíneo de uma estrada,
um automóvel e o caminhão que o segue trafegam
no mesmo sentido e na mesma faixa de trânsito,
desenvolvendo, ambos, velocidade de 108 krn/h.
Em dado momento, os motoristas veem um cava-
lo entrando na pista. Assustados, os motoristas
do carro e do caminhão pisam simultaneamente
os freios de seus veículos aplicando, respectivamen-
te, desàcelerações de intensidades 3 m/s' e 2 m/s",
Supondo desacelerações constantes, a distância ini.
cial mínima de separação entre o parachoque do
carro (traseiro) e o do caminhão (dianteiro), sufi-
ciente para que os veículos parem, sem que ocorra
uma colisão, é de:
a) 50 m
b) 75 m
c) 100 m
d) 125 m
e) 150 m Alternativa b
13. (Cefet-CE) Um esquiador, partindo do repouso do
ponto A da rampa, passa pelo ponto B com veloci-
dade de módulo 5 rn/s. Considerando constante a
aceleração do esquiador, sua velocidade, no ponto C,
será:
..•
c
IA
1,5 m 1
4,5 m
- - - - - ~ 1
, a) fi5 rn/s
, ,
b) 10 mjs.. - J
c) 15 m/s
1,0 2,0 3,0 4,0 t (s) d) 20 mjs
e) 25 mjs Alternativa b
14. (UFGO adap.) A pista principal do aeroporto de
Congonhas, em São Paulo, media 1.940 m de com-
primento no dia em que ocorreu um acidente com
um avião de grande porte, cuja velocidade tanto
para pouso quanto para decolagem é 259,2 krn/h.
Após percorrer 1.240 m da pista, o piloto verificou
que a velocidade da aeronave era de 187,2 kmjh.
Mantida essa desaceleração, a que distância do
1,0 2,0 3,0 fim da pista a aeronave deveria ser arremetida,

-- aceleração máxima de 4 m/s". para se tentar
_ ~,. o acidente?
_ _2 m
30m
388 m
48m
OOm Alternativa c
- --- . ere que o tempo de queda de um objeto,
=-=~-onado do alto de um prédio de altura H, é t
- egar ao solo. Se esse objeto for abandona-
= _~uma altura 4 vezes menor, chegará ao solo
_ intervalo (t - 3) s. (Adote: g = 10 m/s")
lcule o valor de t. Sugestão: compare as
e ações para o objeto cair de uma altura H e
ra cair de uma altura li.
4
a) t = 6 s
lcule a altura H. b) h = 180 fi
ndo o movimento dos pingos de água de uma
_ eira mal fechada, observamos que eles caem em
tos de tempo iguais. De acordo com o apre-
. _ A
-"= o na imaqern. encontre a razao -.
B
v/
A
, ~=4
B
_=-RJ adap.) Um bloco cai, a partir do repou-
Entro de um recipiente cheio de gelatina.
---c o-se que a altura do bloco em relação
cerficie da gelatina é de h = 0,2 m e que
: :: (O para completamente após atingir uma
idade de y = 0,4 m dentro da gelatina,
- - ine o modulo da aceleração total sofrida
:=- - loco durante a frenagem, em m/s", toman-
o aceleração da gravidade g = 10 m/s",
e) 5,0 Alternativa e
18. Um objeto é abandonado e cai de uma altura H a
partir do instante t = o. Outro objeto é arremes-
sado, também de uma altura H, com velocidade
de 80 m/s após 4 s do primeiro ser abandonado.
Verifica-se que os dois atingem o solo no mesmo
instante. Determine a altura H, da qual ambos ini-
ciaram seus movimentos. 180 fi
19. (Furg-RS) Uma pedra é solta de um penhasco e leva
Mj segundos para chegar ao solo. Se M2
é o tempo
necessário para a pedra percorrer a primeira metade
do percurso, então podemos afirmar que a razão
entre htj
e t..t2
vale:
a) 1 d)
1
-
2
b)
1
e) .fi
.fi
c) 2 Alternativa e
20. Considerando duas possibilidades de queda para um
mesmo corpo, temos a seguinte sequência:
I. Intervalo de tempo M, abandonado de uma
altura H.
Il. Intervalo de tempo 1 segundo menor que M,
abandonado de uma altura 4 vezes menor
que H.
Nessas condições, qual foi a altura da queda? (Ado-
te: g = 10 rn/s") H = 20 fi
21. Há aproximadamente 28 anos, o jogador da sele-
ção brasileira de nome Nelinho, dono de um chute
muito potente, fez com que uma bola atingisse a
altura máxima do estádio do Mineirão, em Belo
Horizonte. Seu chute colocou a bola para fora do
estádio, com uma velocidade inicial de 114 km/h,
Encontre o tempo de voo da bola até retornar ao
solo. (Adote: g = 10 rn/s") tiO'" == 6.4 s
22. Da janela do 5Q
andar de um prédio de aparta-
mentos, uma pessoa arremessa, verticalmente
para cima, uma bolinha de gude com velocidade
de 20 m/s, Sabe-se que a razão entre o tempo de
subida e o de descida é 2 Determine a altura
3
dessa janela. h = 2S fi
23. (U. F. São Carlos-SP) Um pequeno objeto, quando
lançado verticalmente para cima, retorna ao lo-
cal de partida após ter decorrido o tempo 2t. Dos
conjuntos de gráficos apresentados, aquele que se
pode adequar perfeitamente à situação descrita,
supondo desprezível a ação resistiva do ar, é:

a)
Velocidade AceleraçãoPosição
Ol------r~---,----- o 1---,--,---- 01---.>,.,----,-----
2t Tempo t 2t Tempo2t Tempot t
b)
Posição Velocidade
t 2t Tempo
Aceleração
O~ o ~-,----,------ 01-----,----,-----
2t Tempo2t Tempot
c)
Olo'---,--->v----- Ol"---,------T---- o I---+--~---
2t Tempo 2t Tempo t 2t Tempott
d)
O~-...,-.--,.L;----- 01------,,(---+---- o 1---+---+----
Tempo 2t Tempo t 2t Tempo
e)
Velocidade Aceleração
tiI
2t TempoI
Posição
01-------""'";-"""'--+---- o 1-----,--,---- o 1---,----,------
2t Tempo 2t Tempot
Alternativa d

Cinemática
vetorial
o...J
::JI-
'a.
«o
Atleta em prova de lan nto de dardo, uma das modalidades olímpicas.
Em uma prova olímpícáfde lançamento de peso, de martelo, de disco ou de dardo, como vemos na fi-
gura, o corpo (projétil) lançado irá descrever uma trajetória parabólica e o objetivo do atleta é alcançar a
maior distância.
Neste capítulo, entre outros assuntos, estudaremos os fatores que influenciam na obtenção do alcance
máximo de um projétil lançado.
1.INTRODUÇÃO
Os cruzeiros marítimos sempre foram vistos
como viagens maravilhosas, cercadas de luxo, com
muita pompa, festas e diversão. As rotas seguidas
por esses navios de cruzeiro são determinadas de
forma que proporcionem uma viagem mais rápi-
da e com segurança. Contudo, imprevistos acon-
ecem.
Um dos navios mais famosos da história da nave-
gação foi o RMS Titanic. Passados muitos anos, pes-
cuísadores e exploradores promoveram buscas aos
destroços desse navio.
Para encontrarem o local exato, no fundo do
eano Atlântico, esses exploradores usaram equí-
;amentos de última geração que têm como base a
__resentação vetorial, que considera três informa-
- s básicas, a partir de um ou mais pontos de refe-
•~ cia (atualmente obtidos por satélite):
medida de comprimento;
direção;
entido.
o Titanic apresentava dimensões muito grandes
para a época. O acidente ocorrido com ele em 14 de
abril de 1912, quando o transatlântico afundou após
se chocar com um iceberg, ficou conhecido como a
maior tragédia marítima.

Essas informações são representadas na Físi-
ca por meio de um segmento de reta orientado
denominado vetor. Essa linguagem representa-
tiva é muito útil na determinação da posição de
qualquer objeto em qualquer referencial adotado.
A evolução dessa representação deu origem ao GPS
(global positioning system), que nos possibilita car-
regar um desses dispositivos no bolso e nos orien-
tarmos para ir de determinado local a outro, com a
mínima possibilidade de errarmos o caminho, como
o que Marina deveria fazer.
Para chegar a uma festa, Marina não possuía um
GPS, mas apenas um convite e um mapa, sem o en-
dereço, mas com alguns pontos de referência. Um
desses pontos (A, B, C, D ou E) representava o local
da festa.
Para indicar o local da festa, ela dispunha de um
mapa e do convite, em cujo verso havia um roteiro.
Roteiro
Partindo do ponto P, siga:
• 1.000 m para o leste;
• 800 m para o norte;
• 400 m para oeste;
• 200 m para o sul;
• E, finalmente, 200 m para o leste.
Colocando-se no lugar de Marina, que conhece
o local representado pelo ponto P, você seria capaz
de encontrar o local da festa com as indicações do
mapa e do roteiro?
Se você seguiu as orientações corretamente, en-
controu o local procurado no ponto D, após percor-
rer 2.400 m.
A distância em linha reta entre esse ponto e o pon-
to P pode ser determinada pelo teorema de Pitágoras:
d2
= 8002
+ 6002
~ d2
= 1.000.000
E
A c
-- D
-- :. d = 1.000 m
que representa a distância que você percorreria se
pudesse ir diretamente ao ponto D.
Para chegar ao local correto, você precisou co-
nhecer, além das distâncias percorridas, as dire-
ções e os sentidos do movimento.
Hoje, podemos encontrar sites da internet com
mapas de localização que trazem as mãos de di-
reção das ruas e mostram os melhores caminhos
entre dois locais e a distância percorrida.
200 m
p 200 m
PedraAv. Dom
,'"<=...- Il- _
~ Belo
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- r-00
-
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0.0
1
;....~
I .! I..~c:::L._ .._._
R. Santos
A rota indica o melhor caminho a ser seguido.

2. GRANDEZAS ESCALARES
E GRANDEZAS VETORIAIS
Existem dois tipos de grandezas físicas:
Uma grandeza escalar fica definida se conhecer-
mos sua intensidade (valor numérico e unidade).
Por exemplo, a medida da temperatura de João
indicou 39°C, e a de Pedra indicou 36,5 OCoPodemos
concluir que João está com febre, mas Pedra não.
Termômetro clínico.
Para definirmos uma grandeza vetorial, além do
módulo ou intensidade, é necessário conhecermos a
direção e o sentido.
Por exemplo, Ana e Paula partem, simultaneamen-
-<2 de um edifício C, para irem sem interrupções até a
e ma padaria P. Ana caminha mais rapidamente que
?aula. Quem chegará primeira à padaria?
c
flil~j'-i-·-iil-------:I I
: ..... :
I •• r
r • • I
I •• :
: ..... :
: ~T~'
:! +
... ----~.p.
Se elas seguissem a mesma trajetória, Ana certa-
mente chegaria antes, mas ela pode ter seguido um
caminho mais longo e chegar junto ou depois de
Paula, ou seja, não podemos concluir quem chegará
primeira à padaria.
Na cinemática escalar, já comentamos que deslo-
camento, velocidade e aceleração admitem valores
positivos ou negativos, conforme a orientação da
trajetória.
Quando o movimento não é unidimensional, es-
sas grandezas devem necessariamente ser tratadas
como vetoriais.
Concluindo, há dois tipos de grandezas físicas:
Grandezas escalares, que ficam definidas simplesmente por meio da medida da grandeza. Exemplo:
~empo, temperatura, massa, comprimento, volume, energia etc.
Grandezas vetoriais, que, além do módulo ou da intensidade, necessitam da direção e do sentido em que
:> am, para serem bem definidas. Exemplo: deslocamento, velocidade, aceleração, força etc.
~ língua inglesa, para evitar ambiguidade, usam-se termos diferentes para velocidade: speed (rapidez),
para a velocidade escalar, e velocity (velocidade), para a velocidade veto ria!.
VETOR
--ma grandeza vetorial é representada por meio
vetor (segmento de reta orientado).
.etor representado na figura tem direção per-
":'cular à reta r e sentido para a direita de r.
comprimento do vetar é proporcional a seu módulo.
- zrandeza vetorial é representada por uma
- := :obre a letra correspondente à grandeza (ou,
;: auns casos, em negrito). Por exemplo, Li, ã
e F representam os vetores velocidade, acelera-
ção e força, respectivamente.
r
Origem--------------_o Extremidade
-,
Módulo
------ IL

o vetar resultante tem módulo igual à diferença
entre os módulos dos vetares v2 e VI' ou seja:
v2
•• •.,
I
I -- ....• __
: v = V1 + V2
: .•
Vetor nulo:
Õ é o resultado da adição de um vetar V e seu
oposto -v .
.•
v + (-v) = Õ
-v •.
• Regra do paralelogramo
Representamos os vetares colocando suas ori-
zens em um mesmo ponto P.
8
p
Traçamos, então, uma reta paralela a cada ve-
- r pela extremidade do outro.
,,
---------------------------------~----,,,,,,,,,,,
,,
,,
,,
,
p
o vetar resultante (soma) tem origem no ponto P
= extremidade no cruzamento das linhas traçadas.
,,,,
---------------------------------- ~-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
p
o módulo do vetar resultante v depende, além dos
módulos dos vetares VI e v2' do ângulo e entre eles.
Assim:
Para e = 0°: Os vetares têm a mesma direção e
o mesmo sentido.
•
•.
O vetar resultante tem módulo igual à soma dos
módulos'dos vetares VI e v2' ou seja:
Para e = 180°: Os vetares têm a mesma direção
e sentidos opostos.
.• •
O vetar resultante tem módulo igual à diferença
entre módulos dos vetares VI e v2' ou seja:
Para e = 90°: Os vetares são perpendiculares en-
tre si.
O módulo do vetar resultante pode ser determi-
nado pelo tearema de Pitágoras: v2
= v; + vi.
I

Para outros valores de 8:
v,
P v,
• Subtração de vetares
Queremos, agora, representar o vetor !lv = V2 - VI'
Como já vimos, o vetar L1v é o resultado da
adição do vetar v2 e oposto de VI'
• Regra do polígono
Representamos os vetares colocando suas ori-
gens em um mesmo ponto P. Traçamos, então,
uma seta, que tem início na extremidade de VI e
fim na extremidade de v2
•
M=v,-v,
v,
p
o módulo do vetar resultante pode ser
determinado por esta expressão:
o vetor v2 - VI aponta para a extremidade do
vetar, que é o primeiro termo da subtração. No caso
de nosso exemplo: v2
•
o módulo do vetar diferença pode ser determi-
nado por esta expressão:
v
2
= v
2
+ v
2
- 2 . v . v2
. COS 81 2 1
• Regra do paralelogramo
Representamos o vetar v2
e o oposto de VI co-
locando suas origens em um mesmo ponto P, e usa-
mos o mesmo procedimento da adição de vetares.
I'1v= V, - v,
v,
-v, p
1. Dados os vetares X, y e z, determine graficamen-
te:
a)
b)
s = x + Y
~ = y + z
c)
~-----r-----,-----,------r-----r-----r-----,---I I I I I I I
I I I I I I I
: : : : : : : :
r-- ---] -----1-----r----T-----r -----r-----r-----I _ I I , I I I
L __ -X- -----+-----~------------~-----~-----~------I I I I I I
I I I I I I
: :: :: I
~-----, -----t-----t------------~-----!'-~---t------I I I I _ I I
~-----~-----~-----~-------~---~----- -~---~------I I I I I I I
I I I I I I I
I I I I I I I
L ~ ~ ~------------~-----~-----~ _I I I I I I I I
, I I I I I I I
: : : : : : : :~----_-.! I I_- _! -'- -' , -
Resolução
Utilizaremos, em todos os casos, a regra do polígo-
no. Então, temos:
a) b) c)
-----r-----,,,,_____ 1. _
,
,,I ,
L- L _
, ,, ,, ,, I
, I
~----- -r---'
I '
_J +~::z ~ ,I '
-L--
r----- -
I
I
I
IL. _
I
I
i Yt------
I
I
I
I
~-----
I
I
I
I
r----- -----1
~----- -----1
i J
·------r----- ..
,,
,
I
,,,-----------
,,,,
I
-----------

2. Considere os vetores i., V2
e v3
da figura 1, que representam a
velocidade de uma partícula em três instantes diferentes. (Adote:
J2 = 1,4)
Determine:
a) o módulo, a direção e o sentido do vetor
5 = v1 + v2;
b) o módulo, a direção e o sentido do vetor
r = v1
- v2 + v3
•
Resolução
a) Para determinarmos a direção e o sentido de 5 = v1 + v2' uti-
lizaremos a regra do paralelogramo:
o módulo do veto r 5 é determinado pela expressão
S2 = vi + v~ + 2 . v1
. v2
. cos 90° . Ocorre, porém, que o ân-
gulo entre os vetores v1 e v2 vale 90°. Veja figura 2.
Como cos 90° = 0, temos S2 = vi + v~, que equivale ao teo-
rema de Pitágoras. Finalmente:
S2 = 42
+ 32
= 16 + 9 = 25 ~ S = .fi5
Figura 1
----,, ,
I ,
, ' ,
~~~~;~~~~:-~l-----t---j- -~--~----
I I I I
r- --~----t--- 1__ -. --
: : : : V2
. .. -~----
- , ,
V1 ! :
1 m/s {~_- ---~----l---T-- 1 ---
___ L J .&. ••
~
1 m/s
.. T----r-
Figura 2
,-- ~---;---'-
, , I
~---~--- ~ .;I I I I
I I I I
I : : :
..----r---~, ,, ,
, ",.. __ ~ L '_
: v I 5 :
2 '
:----- ---- ..,
--T- r
, ,
, I
, ,__ J. L
,,
+-- ..
,,,
--+---- •..
S = 5 m/s
,,1 -
I
,,
, -
,
1 m/s {~--~~ _
~
1 m/s
i7,],
b) A direção e o sentido do vetor r serão determinados pela regra do polígono. Observe a figura 3.
Observe que o vetor r é a hipotenusa de um triângulo com catetos cujos módulos valem 4 e 5 m/s (cada
quadradinho, tal como indicado, vale 1 m/s). Veja figura 4.
Figura 3
.---.,----r- '----r- ..
,, ,,_1- __ J_
I I
, ,
I
I
-t
Figura 4
..---r----'-----,-----~I I I I
, ,I
, ,I
, ,I
L__ __~-----~-_~
: ::I I [I
I I I I I
t-----. j.... •• --' ..1 •• -'
I I I I
: r I : :
, ", ,I
-----:--- ~ --~-- :
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" 'I I I I
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L L L ,. ~:
.--- ---r---'----T----r---'--- r----
I I' I I I I
I I I I I
~ I I I I
i--- ~- __w --- I _ : •••. ~
I I I I: d2 : I~- ----r --~-- -T----r--- 1--- ~---~
- I' I I I I
I d1: : 1 :
~ •• _L J L ~ ~___ ~
1 1 I I I I I
I I I I I I
I' :::: I
i--' :8- -r---r--r --r-r--~ :,}1m
1 __L ~ ! _~ ~__
~
1m
3. Considere agora os vetores 131
e 132
, cujos módulos são iguais
a 5 m e 3 m, respectivamente, e que representam os deslo-
camentos exercidos por uma partícula em dois instantes dis-
tintos. Determine o módulo, a direção e o sentido: (Adote:
sen 8 = cos (180° - 8) = 0,8 ecos 8 = sen (180° - 8) = 0,6)
a) do vetor soma: 5 = 131
+ 132
b) do vetor subtração: 13 = 131 - 132
--------------------------------------------------~~
: / V3
:---
,
_J
,
I
I
--..•I
I
I
.j
------ ~L
,
--/----,.----r
I
,,
~- - - -!--, --;-~-;-, --'---
: v1:
---t"----I---
,,,__ L I _
,I ,
, ,, I
--_&.._-_ ....•_--
1 rn/s {: -
~
1 m/s
- -! - - -
Assim:
r2
= 42 + 52 = 16 + 25 ~ r =.J41 m/s ~ 6,4 rn/s

Figura 1Resolução
a) Utilizaremos, nesse caso, a regra do paralelogramo
para determinarmos a direção e o sentido do vetor
s. Assim, temos a representação da figura 1:
o módulo de 5 será determinado pela expressão:
S2 = d; + di + 2 . di . d2
. COS 8
que resulta:
S = 52+ 32+ 2 . 5 . 3 . 0,6 = 25 + 9 + 18 ~ S = 52 ~
~ S = .J52 ~ S = .J2 . 2. 13 = 2.JU m
S == 7,2 m
b) Procedendo de um módulo análogo, vamos obter o
vetor a, representado na figura 2.
Note que o módulo do veto r a vale 4 rn, pois está
projetado sobre o eixo vertical, em que cada quadrí-
cula, tal como indicado, vale 1 m.
d2
= d; + d; + 2 . di . d2
. cos (180° - 8)
= 52 + 32 + 2 . 5 . 3 . (-0,6) ~
~ d2 = 25 + 9 - 18 = 16 ~ d = .J16
d= 4 m
.----,-----'-----r-----r----'-----T-----r-----,
, I I I I 1 I I I
I I I I I I I I I
I I I , I , I t I
I I I I I I I I I
~ J l L J L I
I I I I I I I
1 I I I I ~ I I I
I I I I I, I I I
I I 1 I ~" I
I I I I , I,' I I I
~----~-----~- ---~-----~- -~-r---~-----~-----II I I I _ I I1 I I I
::a I 5 ,,,r : : :
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r----...,-- --,-----. -----1""'--1--;-----.,.-----1""-----,
I I I I I~' I , I I
I I I I 'I I I I I
I I I I I, I I I I
I I I <4 I I I I
~--- --~-----~---7~~----~-----{-----~----~I I I I I I I I I
I I I" I I I I I
I I I,' I I 1 I I
I I '" I I I I I~ __ ~ -L __ ~~. ~ L J ~ I
~
1m
Figura 2
r----'-----'-----r-----r----'-----T-----'
I I I I I I I I
1 I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I , I
~----~-----i-----~----, ----~-----~-----II I I I, 1
I I I I / 1
I : : :,/ : 1 I
~----~-----~-----~~---- ----~-----.- I
I I I" I I I
I : : I'; : :I I I , I 1 I
I I I (I _ I _, 1
i----~-----~-?I.--i----- ü=v : -a~-----:
I I I, I 1 1 1
I , ,,, I I I 1
I I .f I I I
}------:---iL"~-----r-C1..-- i-----f-----: } 1mI I' I I I I 1
: :,,/:: 8:::I 1/ I I I I
, ..t.:' .1 1. 1
'----,--'
1m
1. Considere dois vetores, â e li, cujos módulos se-
jam iguais a 6 u e 8 u, respectivamente. Determi-
ne os valores mínimo e máximo que o módulo do
vetor soma 5 = õ + li pode assumir, nesse caso.
s. = 14 u e S. = 2 u
2. D~adosos vetores irli e t, determine em seu caderno
os vetores 51' 52 e 53 (módulo, direção e sentido), sa-
bendo que cada quadrícula tem módulo igual a 1 cm.
a) 51 = ã + li c) 53 = ã + ê
b) 52 = li + ê
Professor, veja a resposta no manual.
:----~-----1-----r-----~----~-----1---- ~----~
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3. Os vetores a seguir representam a aceleração de
um corpo em três instantes distintos. Determine
em seu caderno o módulo, a direção e o sentido:
a) do vetor soma: 5 = ãl + ã2
b) do vetor subtração: a = 2 . ã3
- ã2
a) S = 10 m/s- b) D = 10 m/s-
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4. Considereos vetores di e d2, cujos módulos são iguais
a 10 m e 8 rn, respectivamente, e que representam os
deslocamentos exercidos por uma partícula em dois
instantes distintos. Determine o módulo, a direção e o
sentido: (Adote: sen 8 = 0,6 ecos 8 = 0,8)
a) do vetor soma s = di + d2
b) do veto r subtração d = di - d2
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5. Para os vetores ã1, ã2 e ã3 a seguir, cujos módu-
los são iguais a 5 rn/s'. 3 m/s' e 4 rn/s'. respecti-
vamente, determine:
a) o môdulo, a direção e o sentido do veto r
ã1 + ã2
b) o modulo, a direção e o sentido do veto r
ã2 - ã1 + o,
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1 m/s
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2m
.VELOCIDADE VETORIAL E
ACELERAÇÃO VETORIAL
Quando falamos em velocidade, estamos nos
-=--erindo à rapidez com que se realiza um movi-
zzento. Na Cinemática, não nos preocupamos com
-- características vetoriais dessa velocidade, pelo
-- o de analisarmos movimentos unidimensionais.
_- entanto, com a representação vetorial, podemos
- alisar um movimento de forma mais ampla.
o deslocamento vetorial resultante é a distân-
cia em linha reta orientada desde o ponto de partida
do movimento até seu ponto de chegada.
Assim, em uma pista de automobilismo como no
circuito oval, representado a seguir, o deslocamento
vetorial em cada volta completa é nulo, apesar de a
distância percorrida ser diferente de zero.
---'-.;;
Vista aérea do circuito de automobilismo da Ca-
rolina do Norte (EUA).
~
~ Em um circuito fechado, em que o ponto de partida coincide com o de chegada, °deslocamento
c ~ vetorial é nulo.
~~

• Veíocidade escalar
Em uma corrida, geralmente é informada a veloci-
dade média do carro mais veloz em certa volta. Essa
velocidade média é determinada pelo quociente entre a
distância percorrida (comprimento do circuito) e o.in-
tervalo de tempo gasto naquela volta. Esse valor mede
a rapidez do movimento, assim como a velocidade es-
calar média.
A velocidade vetorial média é, por definição, o
quociente entre o deslocamento vetorial e o intervalo
de tempo gasto.
d
!'lt
Concluindo: em um circuito fechado, a velocidade
vetorial média é, em cada volta, nula.
Analogamente à velocidade escalar, quando o in-
tervalo de tempo tende a zero, temos um instante de
tempo (um momento) e a velocidade vetorial é cha-
mada de velocidade vetorial instantânea .
• Aceleração vetorial
Para determinar da aceleração vetorial média,
vamos usar uma aplicação da diferença entre ve-
tares. Por exemplo, considere um carro que entra em
uma rotatória e a percorre com velocidade escalar cons-
tante, confarme representa a figura:
A velocidade vetorial instantânea tem, em cada
ponto, a direção tangente à trajetória e o sentido
coincidente com o deslocamento do carpa nessa tra-
jetória.
Assim, se um corpo se desloca com velocidade es-
calar constante por meio da trajetória indicada de A
para B, podemos representar suas velocidades, como
segue:
A
B
A velocidade vetarial em três instantes.
Podemos, por meio da regra do polígono, represen-
tar a velocidade inicial (entrada) e a final (saída), que
são perpendiculares entre si.
v
A aceleração vetorial média é dada pelo quociente
entre o vetar variação da velocidade e o intervalo de
tempo, e tem direção e sentido iguais ao do vetor éü •
!
4. Um móvel se desloca 12 m para o norte, e em seguida 5 m para o leste, gastando 10 s nesse percurso.
Determine:
a) a distância total percorrida;
b) a velocidade escalar média;
c) o módulo do deslocamento vetorial;
d) o módulo da velocidade vetorial média.

Resolução
Representamos a situação na figura ao lado:
a) A distância percorrida é dada pela soma de todas as distâncias,
assim:
A5 = 12 + 5:. A5 = 17 m
A5 17
b) v = - = - .. vm = 1,7 rn/s
m M 10
c) O deslocamento vetorial tem módulo que pode ser determinado
pelo teorema de Pitágoras:
d2
= 122+ 52=> d2
= 144 + 25 = 169
5m
3
Cl..,
d = 13 m
d) O módulo da velocidade vetorial média é dado por:
IVm1= ~ = ~:. IVm1= 1,3 m/s
M 10
Um corpo, em movimento uniforme, percorre três quartos de uma circunferência de raio 10 metros em 5 se-
gundos. Para esse intervalo de tempo,calcule os módulos:
a) do deslocamento escalar; d) da velocidade vetorial média;
b) do deslocamento vetorial; e) da aceleração escalar média;
c) da velocidade escalar média; f) da aceleração vetorial média.
Resolução
a) O comprimento de uma circunferência é dado por C= 2 . 1t . r, então temos:
A5 = i .2 . 1t. r=> A5 = i .2 . 1t. 10 = ~ . 1t. 10
442
:. A5 = 151t m
,,,,,,,,
: 10 m,,,,,,,,,
-------------------~-------------------
b) O módulo do deslocamento vetorial corresponde ao módulo
do vetor que une o ponto de partida ao ponto de chegada,
como representado na figura ao lado.
Nesse caso, aplicando o teorema de Pitágoras, vem:
Id 21= 102 + 102 = 2 . 102:. Id I = 10/2 m
c) Da definição de velocidade escalar média, temos:
10 m
v = Lls = 15· 1t = 31t m/s
m M 5
d) Da definição de velocidade vetorial média, temos:
_ Idl 10· /2
IVm 1= M = -5- = 2/2 m/s
e) Da definição de aceleração escalar média, temos:
M
a =-
m M
Como o módulo da velocidade não varia, então temos: ilv = O, que resulta:
f) Da definição de aceleração vetorial média, temos:
lã 1= IMI
m M
Sabemos que a velocidade é um vetor cuja direção é tangente à trajetória do movimento do corpo, tal
como representamos na figura 1, adiante.
--------------------------------------------------~~
a = Om

Figura 2
Portanto, Av = v - Vo é o vetor representado na figura 2, cujo módulo é determinado por meio do teorema
de Pitágoras (as direções de v e Vo são, nesse caso, perpendiculares).
IM12=1V12 + I-vo 1
2
=>IMf= (3· rt)2 + (3· rt)2 => IAvI2
= 2· (3· rt)2 => IMI= 3rt·.J2 rn/s
Assim, o módulo da aceleração vetorial média vale:
lã 1= IMI = 3·rt·.J2 :. lãml= 0,6·rt·.J2 m/s2
m M 5
6. Um carro realiza os sucessivos deslocamentos indi-
cados na figura a seguir, sendo 100 km entre A e B,
40 km entre B e Ce 70 km entre Ce D, totalizando
2,5 h de movimento.
Dessa maneira, determine:
a) o módulo do vetor deslocamento entre os pon-
tos A e D; Ia I= 50 krn
b) o módulo da velocidade escalar média entre
esses pontos; Um = 84 krri/h
C) O módulo da velocidade vetorial média entre
esses pontos. ID 1= 2 krn/h
7. Um caminhão, orientado por meio de um GP5, des-
loca-se 30,0 km, de sul para norte, e 40,0 km de
leste para oeste. Podemos dizer que o módulo do
veto r deslocamento é igual, em unidades do 51, a:
a) 50.000 d) 80.000
b) 60.000 e) 90.000
c) 70.000 Alternativa a
••
8. Um corpo realiza um movimento circular com velo- .
cidade de módulo constante, percorrendo um quar-
to de uma circunferência de raio 2 m em 2 segun-
dos. Determine, para esse intervalo de tempo, os
módulos:
a) do deslocamento vetorial;
b) da velocidade vetorial média.
a) d = i-I: m b) Ivl =.fi m/s
9. Uma partícula em movimento uniforme percorre
metade de uma circunferência de raio 50 metros
em 10 segundos. Para esse intervalo de tempo, cal-
cule os módulos:
a) do deslocamento escalar;
b) do deslocamento vetorial;
c) da velocidade escalar média;
d) da velocidade vetorial média;
e) da aceleração escalar média;
f) da aceleração vetorial média.
ss = 50rr m
I a 1= 100 m
Um = 5rr m/s
ID I = 10 rn/s
am
= O m/s-
I li 1= 2rr rn/s!
I
•D
•

- ~~~ - ~~~- -- -~-- ~- - -
Cotidiano e tecnologia
Sistema global de posicionamento (GPS)
O GPS (sigla em inglês para
global posiiioninq system) é
um sistema de posicionamento
feito por meio de satélites, de-
senvolvido pelo depa rta mento
de defesa dos Estados Unidos,
no início na década de 1960,
originalmente para fins milita-
res. Trata-se de um sistema que
permite determinar a posição
de alguém em qualquer lugar na
superfície da Terra, que esteja
portando um aparelho receptor
de sinais.
O receptor portátil de sinais
é capaz de identificar os sinais
emitidos por 4 satélites, dos 24
que orbitam em torno da Terra,
12 deles em cada hemisfério.
Cada um desses satélites, posi-
cio nado a 20.200 km da super-
fície terrestre, completa uma
volta em torno da Terra a cada
12 horas, com uma velocidade de
7.000 milhas por hora, o que dá,
aproximadamente, 11.625 quilô-
metros por hora.
Os satélites GPS transmitem sinais digi-
tais com ondas de rádio para os aparelhos
receptores na Terra, com informaçôes sobre
a localização e hora exata. Como o relógio
do receptor está em sintonia com o relógio
do satélite, é possível determinar o intervalo
de tempo entre a emissão e a recepção do si-
nal. Ao multiplicar-se esse valor pela veloci-
dade da onda emitida (o valor da velocidade
da luz no vácuo, 3 . 108
m/s). obtém-se a
distância entre o receptor e o satélite. Des-
sa forma, utilizando um processo chamado
de triangulação, é possível determinar com
astante precisão a posição da pessoa. Veja
como funciona:
Ao emitir o sinal para o satélite, o re-
ceptor pode estar em qualquer posição na
circunferência que possui como centro o
róprio satélite. O sinal enviado para o se-
gundo satélite faz com que a circunferência
centrada no segundo satélite intercepte a
circunferência do primeiro, caracterizando
agora uma região onde a pessoa que enviou os sinais pode estar posicionada, e a intersecção das duas primeiras
com a circunferência centrada no terceiro satélite caracteriza os dois únicos pontos em que a pessoa pode estar.
~--------------------------------------------------~
Veículo equipado com receptor portátil de sinais (GPS).
Representação sem escala, cores-fantasia.
11

~----------------------------------------------------
Satélite no centro
da esfera
20.000 km
Com duas medidas, -t:-=-~====----tl5'?1
você estaria aqui ~~=====-==~~=~==:;
5. COMPOSiÇÃO E DECOMPOSiÇÃO
DE MOVIMENTOS
Com três medidas, -:::::===;;::2~~~::;====~
um destes dois pontos
é o local preciso
Há, porém, um problema na determinação da posição de onde os sinais foram emitidos - é a diferença entre
os relógios atômicos dos satélites, munidos com precisão de bilionésimos de segundos, e os relógios de quartzo
dos receptores, bem menos precisos. Essa diferença de precisão ocasiona erros na determinação de distâncias.
Para se ter uma ideia, enquanto os erros de posicionamento variam entre 7 e 15 metros nos navegadores GPS, nas
estações-base, responsáveis pelo monitoramento dos satélites, a margem de erro é de apenas 30 centímetros, pois
os equipamentos disponíveis nessas estações são muito mais sofisticados. A utilização do quarto satélite elimina
as diferenças entre os relógios, minimizando o problema.
Atualmente, há diversas aplicações do GPS, e a cada dia se descobrem mais utilidades, como navegação
de vários tipos (marítima, fluvial. espacial, aérea, terrestre), detecção de movimentos de placas tectônicas,
aumento da produtividade em áreas de cultivo, localização de incêndios, levantamentos topográficos, es-
portes etc.
O acesso ao sistema GPS por civis acontece desde 1980. Nessa época, os militares estadunidenses estavam
receosos com a possibilidade de as pessoas usarem o sistema inadequadamente e, então, criaram duas possibi-
lidades de precisão: uma para os civis, com precisão de 200 metros, e outra para os militares, com precisão de
1 metro. Em 2000, o uso desse sistema foi liberado sem limitações para qualquer pessoa.
~
Estapessoa está em repouso ou em movimento?
N
C
.0;
:>:
o
A figura mostra pessoas correndo em esteiras de aca-
demia de ginástica.
Em relação ao solo, ela está em repouso, porque não
há variação de posição, mas podemos identificar alguns
movimentos relativos nessa situação. Apesar de não sair
do lugar, ela se movimenta em relação à esteira (movi-
mento relativo) e a esteira também se move em relação
à Terra (movimento de arrastamento).
O efeito global desses dois movimentos é chamado de
movimento resultante, que é o movimento da pessoa em
relação à Terra.
Analisando sob o aspecto das velocidades relativas,
podemos generalizar:

A velocidade resultante é dada pela soma
vetorial entre a velocidade relativa e a velocidade
de arrastamento.
• Descendo o rio
Em 1953, o poeta pernambucano João Cabral de
Melo Neto escreveu o poema "O rio", em que relata
uma viagem que fez da nascente do Capibaribe, na
erra de Jacarará, até a cidade do Recife (Pernam-
buco).
o rio Capibaribe é um rio totalmente pernambuca-
o. Nasce no sertão desse estado e, após percorrer
_-!O km, deságua no oceano Atlântico. Esse rio é in-
termítente, ou seja, alguns de seus trechos secam
em determinados períodos do ano.
A passagem a seguir mostra um trecho da viagem
cescrita por João Cabral de Melo Neto:
De Apolinário a Poço Fundo
Para o mar vou descendo
por essa estrada da ribeira.
A terra vou deixando
de minha infância primeira.
'ou deixando uma terra
reduzida à sua areia,
terra onde as coisas vivem
a natureza da pedra.
Descer o rio: deslocar-se no sentido da correnteza.
ir o rio: deslocar-se no sentido oposto ao da
::::.:-enteza.
Suponha que, em um dia, a correnteza do Capiba-
- po sua uma velocidade em relação às margens
-- :.3 mjs e você quer atravessá-lo com um barco mo-
torizado, percorrendo a menor distância possível entre
suas margens, como mostra a seta vermelha tracejada
na figura a seguir. A seta azul mostra o sentido da cor-
renteza.
Rio
acima
Rio
abaixo
•.
Ao tentar atravessar o rio perpendicularmente à
correnteza, você acabará chegando a um lugar (P2
)
do outro lado do rio, porém mais distante da posi-
ção desejada e, quanto menor for a velocidade do
barco, mais longe de Pj você chegará (P3
).
Então, para conseguir seu objetivo, você preci-
sará conhecer, além da velocidade da correnteza, a
velocidade do barco e a inclinação dessa velocidade
em relação à linha tracejada.
No caso do barco, sua velocidade deveria ter
uma direção oblíqua, voltada para o rio acima e com
sentido que apontasse para a outra margem do rio,
conforme indica a seta verde.
Vres.
Rio
abaixo
Varr,
Suponha que a velocidade relativa do barco seja
de 5,0 m/s e que a distância entre as margens seja de
60 m. Quanto tempo duraria a travessia e qual deve-
ria ser a inclinação da velocidade relativa em relação
à velocidade resultante para que o barco percorresse
a menor distância entre as margens?
Aplicando a regra do polígono, teríamos a se-
guinte configuração:
Varr.
V;eL Vres.
e

o módulo da velocidade resultante pode ser de-
terminado por meio do teorema de Pitágoras, logo:
v2
= v2
+ v2
"* v2
= v2
_ v2
"*reI. res. arr res reI. arr.
"* v:es. = 52 - 3
2
"* v:es. = 25 - 9 = 16
:. Vres. = 4,0 m/s
Ainda:
As 60
f..t=~"*M=-
Vres. 4
:. M = 15 s
Esse intervalo de tempo é o mesmo para o movi-
mento relativo e para o movimento de arrastamento
e poderia ser utilizado para calcular o deslocamento ••
do barco em relação às águas do rio, assim como o
deslocamento das águas do rio em relação às mar-
gens do rio Capibaribe.
Na análise do movimento composto, cada um
dos movimentos relativos pode ser avaliado inde-
pendentemente do outro sem prejuízo do resultado
global.
A inclinação da velocidade relativa pode ser de-
terminada por uma função trigonométrica (seno,
cosseno ou tangente) do ângulo 8.
Assim:
Principio de Galileu da
independência dos movimentos
Os movimentos relativos, de arrastamento
e resultante, têm a mesma duração e podem ser
estudados separadamente.
v 3
tg 8 = --ª!L. "* tg 8 = - :. tg 8 = 0,75
vres. 4
o ângulo 8 é tal que sua tangente vale 0,75. Em
uma linguagem comumente aceita na matemática,
8 = arctg 0,75 (lemos "arcotangente", que significa
"8 é o arco cuja tangente vale 0,75").
Por meio de uma tabela trigo no métrica, determi-
namos, ainda, que 8 == 37°.
Resolução
a) Nesta situação, o barco será deslocado pela correnteza para
um ponto B rio a seguir em relação ao local de partida, tal
como representado na figura ao lado.
Assim, o módulo da velocidade em questão pode ser calcu-
lado por meio do teorema de Pitágoras:
6. Um barco desenvolve, em relação às águas de um rio, velocidade constante e igual a 4 krn/h. Se a correnteza
se move, em relação às margens do rio, com velocidade constante e igual a 3 krn/h, determine a velocidade
do barco em relação às margens do rio, quando ele:
a) se desloca mantendo seu eixo perpendicular às margens;
b) se desloca atingindo um ponto em frente ao local de partida, na margem oposta;
c) se desloca na direção paralela à correnteza e no mesmo sentido dela;
d) se desloca na direção paralela à correnteza e no sentido contrário ao dela.
b) Para que o barco consiga atravessar o rio em uma direção perpendicular às margens, deverá posicionar-se
de modo oblíquo em relação à correnteza, tal como representado na figura a seguir.
2 2 2 2 2
Vres. = Vrel. + Varro = 4 + 3 =
= 16 + 9 = 25 "*
"* V
res. = .J25
:. vres. = 5 km/h
A B
I "
: v ": res. "
, ...._-_ ..._---,
liarr.

li h
arr. => Vres. = ,,7:. Vres. == 2,64 km/h
li
res.
lires.
--
,li
re.s.
,,,,,,,,,,
,
,
Novamente, utilizaremos o teorema de Pitágoras para calcular o mó-
dulo da ires .• Assim:
2 z: 2 + 2 => 42 _ 2 + 32 =>
Vrel: - Vres. Varro - Vres.
2 2 2
=> 16 = Vres. + 9 => 16 - 9 = Vres. => Vres. = 7 =>
M= 3 min
) O deslocamento do barco ao longo das margens
(deslocamento "rio abaixo") é simultâneo à tra-
vessia.
Portanto: x = Varro • M = 3 . 0,05 = 0,15 km
:. x = 150 m
c) Se agora o barco se movimenta "a favor" (mesma direção e'sentido) da
correnteza, o módulo da ires. é dado por: vres. = vrel. + varro
.•
0=,,--) ---_:
Se agora o barco se movimenta "contra" (mesma direção e sentido oposto) à
correnteza, o módulo da ires. é dado por: vres. = vrel. - varro
De onde concluímos que:
liarr.
liarr.
L = 200 m = 0,2.km
,
:-
x ,
.'
liarr.
L= 200 m = 0,2 km
v = 4 - 3 => v = 1 krn/hres. res.
etome o exercicio resolvido 6 e considere a distância entre as margens do rio igual
a 200 metros. Determine:
a) o tempo necessário para que o barco atravesse o rio;
b) o deslocamento "rio abaixo".
Resolução
a) O tempo de travessia do rio independe da velo-
cidade da correnteza, pois os movimentos são
independentes (de acordo com o princípio de Ga-
lileu).
Assim, a duraçâo da travessia só dependerá
da velocidade do barco em relação às águas
(Vrel). Entâo:
L 0,2 h .f..t = - = - = 0,05 => f..t = 0,05·60 mm
vrel. 4
Vres. = 4 + 3 => vres. = 7 krn/h
,,.
- I
V ,-
res. I
I
I

8. Uma pessoa se desloca com velocidade de 3 krn/h em relação ao solo em uma rua horizontal, em um dia
chuvoso, onde a chuva cai verticalmente (despreze a ação do vento) em relação ao solo com velocidade igual
a 4 krri/h. Determine o módulo velocidade da chuva em relação à pessoa.
Resolução
A velocidade da chuva em relação ao solo representa a vres.' a velocidade da pessoa
em relação ao solo representa a varr.' e a velocidade da chuva em relação à pessoa
é a vrel.' conforme figura ao lado:
Aplicando o teorema de Pitá goras, temos:
2 2 2 2 2
Vrel. = Vres. + Varr. = 4 + 3 = 16 + 9 = 25
Varr.
Vres.
:. Vrel. = 5 krn/h
9. Um pneu rola sobre uma pista horizontal, mantendo-se sempre no'
mesmo plano vertical, tal como representado na figura a seguir. Seu
centro possui velocidade v constante e igual a 5 krn/h em relação à
Terra. Despreze quaisquer atritos e determine a velocidade, em rela-
ção à Terra, dos pontos A, B, C e D.
Resolução
A velocidade v do centro do pneu representa a varr.. Como o pneu
está girando em relação a seu centro 0, a velocidade dos pontos que
estão em sua periferia, cujo módulo é o mesmo de V, representa
a vrel.. As velocidades dos pontos A, B, C e D representam as vres.'
como mostra a figura ao lado:
Os pontos A e C possuem velocidades vA e v( de mesmo módulo, e
iguais a vA
= v( = v·..fi = 5..fi krn/h,
No ponto B, a velocidade va tem módulo igual a 2 . v, que dá
va = 2 . 5 = 10 krn/h.
No ponto D, o módulo da velocidade Vo é igual a zero, pois é jus-
tamente isso que garante que o pneu não escorregue em relação
ao solo.
A
D
B ,- vB
V
A
v
vc
D
Sabendo que a velocidade da correnteza em relação
às margens do rio é igual a 5 km/h, determine a
velocidade do barco em relação às margens do rio
quando ele:
a) se desloca mantendo seu eixo perpendicular às
margens; a) vb/r = 13 km/h
b) se desloca na direção paralela à correnteza, e
no sentido contrário ao dela.
10. Um barco se desloca com velocidade constante e
igual a 12 km/h em relação às águas de um rio.
b) V
b1r
= 7 km/h
11. Retome o item a do exercício proposto 10. Se a
distância entre as margens do rio é igual a 240
metros, determine:
a) o tempo necessário para que o barco atravesse
o rio; a) 0,02 h ou 1,2 min
b) O deslocamento "rio abaixo".
b) 0,1 km ou 100 m
Passeio pelo rio Amazonas.

alileu Galilei
Galileu Galilei nasceu em Pisa, na Itália, no ano de 1564. Ainda jovem, interessou-se por estudar o mo-
vimento. Em 1604, elaborou a lei da queda dos corpos, tendo concluído que, independentemente da massa,
soltos de uma mesma altura, corpos semelhantes, mas de massas diferentes, gastam o mesmo tempo para
ztinqir o solo. Realizou diversas "experiências de pensamento", nas quais idealizava situações, e propôs um
sistema de fazer ciência, que ficou conhecido como
étodo científico. Já professor na Universidade
ae Pádua, aperfeiçoou a luneta astronômica e ob-
servou as crateras da Lua, os satélites de Júpiter e
as fases de Vênus. Essas descobertas foram divul-
adas em seu livro Sidereus Nuntius (Mensageiro
as Estrelas), em 1610. Foi por meio da observação
as fases de Vênus que Galileu confirmou a visão
eliocêntrica de Copérnico em detri mento da con-
epção geocêntrica de Ptolomeu.
Em 1632, foi convocado a comparecer ao tribu-
al do Santo Ofício, acusado de heresia. Foi con-
::enado pelo Tribunal da Inquisição e obrigado a
se retratar, sob pena de morrer queimado. Ele se
retratou e continuou vivo, mas manteve-se em pri-
são domiciliar.
Faleceu em 1642. No fim do século XX, o papa
oão Paulo II, em nome da Igreja católica, o ab-
solveu.
Leia um trecho da obra Ópera do malandro, de
Chico Buarque de Holanda:
12. Caminhando horizontalmente com velocidade igual
a 1,5 m/s em relação ao solo, uma pessoa inclina
seu guarda-chuva a 37° em relação à vertical para
se proteger da chuva que cai verticalmente em re-
lação ao solo. Considere tg 37° = 2 e determine:
4
a) o módulo da velocidade da chuva em relação
ao solo;
b) o módulo da velocidade da chuva em relação à
pessoa.
a) vres. = 2 rn/s b) vrel. = 2,5 m/s
13. Um antigo disco de vinil, mais conhecido como LP,
foi posto a girar no solo horizontal, sempre no mes-
mo plano vertical. Seu furo central translada-se com
velocidade constante e igual a 2 rn/s. Determine
a velocidade, em relação a um ponto fixo na Terra,
"O cadáver do indigente
É evidente que morreu
E no entanto ele se move
Como prova o Galileu."
dos pontos A, B e Crepresentados na figura a seguir.
B
A
"Furo" central
-- __ L
C
V
A
= 2.fi m/s vB
= 4 m/s V
c = O m/s
Galileu Galilei (1564-1642).

• Decomposição de vetares
Em algumas situações, é necessário decompor
um vetor e identificar suas componentes, que repre-
sentam os movimentos relativos separadamente. Em
geral, essas componentes têm direções ortogonais
entre si.
Observe a decomposição do v nas componentes
Vx (na mesma direção do eixo Ox)e vy (na mesma
direção do eixo Oy).
y
Para determinarmos os módulos das componen-
tes ortogonais de V, empregaremos conceitos de tri-
gonometria:
v vcos e = .2... e sen e = ....l...
v v
Assim:
v =v· sen ey
8
Conhecendo os módulos das componentes orto-
gonais, podemos determinar o módulo do veto r v,
por meio do teorema de Pitágoras:
o li
x
x
• Lançamento de projéteis
Nos esportes, muitas vezes, o corpo humano desempenha o papel de projétil. Observe estas duas mo-
dalidades esportivas: no salto em distância, o atleta lança seu corpo para chegar o mais distante possível
e, no salto em altura, o atleta se lança para atingir
a maior altura possível e ultrapassar a barra hori- Projétil: objeto que se pode arremessar.
zontal.
o
õ
ftu
o
~
(a) No salto a distância, podemos medir o alcance horizontal máximo obtido pela atleta; (b) e, no salto em
altura, podemos medir a altura máxima obtida pelo atleta. Na foto da esquerda, a atleta brasileira Maurren
Higa Maggi alcançou 7,04 m e conquistou a medalha de ouro na prova final feminina do salto a distância na
Olimpíada de Pequim, em 2008.

• Lánçamento horizontal
Uma análise interessante de composição de mo-
vimentos é a queda de objetos abandonados de ele-
mentos em movimento.
Por exemplo, considere um avião que, voando
paralelamente à superfície da Terra, deixa cair um
pacote contendo alimentos. Se a resistência do ar for
desprezível, a trajetória do pacote será um arco de
parábola, conforme a figura:
H
""'~ -"ü-~
I I
----.•..---------J _
~ ~I I
I I
I I
I I
I I
I I
.•• I :
....,""", i
" I
-, I
'~
,,
.~ ..-------------------------------~'
Mx
o movimento do pacote pode ser decomposto em
um movimento horizontal, no qual o pacote mantém a
velocidade escalar com que saiu do avião (movimento
aniforme), e em um movimento vertical de queda livre,
com velocidade escalar inicial igual a zero (VOy
= O).
Dessa maneira, se o avião está a uma altitude H,
em relação ao solo, com velocidade escalar v, pode-
::::lOS determinar o tempo de queda (intervalo de tem-
.?O decorrido desde que o pacote é abandonado até
instante em que ele toca o solo) e o alcance hori-
zontal (distância entre a vertical que passa pelo ponto
em que o pacote é solto e o local em que ele atinge o
= 10).
Lançamento oblíquo
Outra análise interessante de composição de
ovimentos refere-se aos lançamentos de objetos
ando uma inclinação em relação à horizontal.
Por exemplo, considere que um pequeno ca-
ão dispara um projétil com velocidade escalar
icial vo' formando um ângulo e com a horizcn-
- . Desprezando o efeito do ar e chamando de g
~ intensidade da aceleração da gravidade, vamos
ce erminar:
_ as componentes horizontal e vertical da veloci-
dade vo;
~. a altura máxima Hmáx atingida;
- a velocidade escalar na altura máxima v;
::1 o tempo de voo t;
z: o alcance horizontal Llsx
;
o ângulo e de tiro, para que o alcance horizon-
tal seja máximo (mantendo-se o valor da velo-
cidade vo).
Pela componente vertical do movimento, pode-
mos determinar o tempo de queda (t d):que a
a 2 a 2
S=S +V ·t+-·t =*Lls=v ·t+-·t
o o 2 o 2
Como Ss = H, V
Oy
= O e a
gravidade), vem:
g (aceleração da
g 2 2' 2·H
H=-·t =*t =----=*
2 g
= ~2 g' Htqueda
Pela componente horizontal, determinamos o al-
cance horizontal (LlsJ:
A velocidade do pacote ao tocar o solo tem uma
componente horizontal, que é igual à velocidade do
avião, Vx = v, e uma componente vertical, que pode
ser determinada pela expressão: v = Vo + a . tqUeda
ou, simplesmente: vy
= g . tqueda
Assim, a velocidade escalar do pacote pode ser
determinada pelo teorema de Pitágoras. Em qual-
quer ponto da trajetória:
vy
--- ~._-
~t~1v o I max.
Oy I
8 I
x
I
-,

Resolvendo:
a) Os módulos das componentes ortogonais de
Vo são assim determinados:
v = v· cos 8 e v = v· sen 8x y
b) Na altura máxima, temos vy
meio da equação de Torricelli:
O; logo, por
2 2
V =v +2·g·H~y Oy
~ 02
= v2
+ 2 . (- g . H . ) ~ H .Oy max. max.
2
V
oy
2·g
Ou, ainda:
v2
. sen ' 8_0 _
2·g
(Altura máxima)
c)
y lix
li
• x
li lix x
H.max.
I
O li'
x
No ponto em que a altura é máxima, existe ape-
nas a componente horizontal da velocidade, que é
constante; logo, v = vx
' ou seja:
u = V
o
. cos 8 (Velocidade escalar na altura
máxima)
d) O tempo gasto para o corpo atingir a altura
máxima é também chamado de tempo de subida:
vy = VOy + a . t ~ O = V
o . sen 8 - g . tsubida ~
Vo . sen 8
g
(Tempo de subida)
Como o intervalo de tempo gasto na subida é
igual ao da descida, vem:
Vo . sen 8
tvoo = 2· (Tempo de voo)
g
e) O alcance horizontal é determinado pelo
movimento uniforme. Lembrando que o tempo é
o mesmo nos movimentos horizontal e vertical,
vem:
v2
. 2 . sen 8 . cos 8
~ I:!.s = ---"-o -------
x g
Na trigonometria, estuda-se que sen (a + b) =
sen a . cos b + sen b . cos a; logo: sen (2 . 8) =
2 . sen 8 . cos 8, portanto o alcance horizontal
pode ser determinado pela expressão:
v~ . sen (2 . 8)
g
(Alcance horizontal)
f) Para determinado vo' o alcance será máximo
para o maior valor de sen (2 . 8), ou seja, para 1,
pois este é o maior valor que o seno de um ângulo
pode assumir.
Assim, o alcance máximo vale:
v2
_0_ (Alcance horizontal máximo)
2·g
x
Sabemos que sen 90° = 1; portanto, o alcance ho-
rizontal será máximo (para dada velocidade inicial) se
2·8 = 90°, então: 8 = 45°
o atleta lança o dardo em ângulo de aproximada-
mente 45° para obter mais alcance horizontal.

Por exemplo, se um mesmo projétil for lançado
com ângulo de tiro de 30° e com ângulo de tiro de
60°, atingirá o mesmo alcance horizontal. Ou seja,
I = 30° e 82
= 60° são ângulos complementares,
pois 81
+ 82
= 90°; logo, o sen (2 . 8) é o mesmo
=-ara esses ângulos.
y
Para uma mesma velocidade inicial,
o alcance horizontal será o mesmo para
ângulos de tiro complementares (ângulos
cuja soma vale 90°).
o x
De fato: sen {2 . 30°) = sen (2 . 60°) porque
J3
2
sen 60° sen 120° =
Como na composição de movimentos, aqui também é válido o princípio de Galileu da independêncía dos
movimentos; assim, o tempo de duração do movimento em relação ao eixo x é o mesmo em relação ao eixo y.
Cur.iosidades físicas
Balística
Atirador em baia de treino para competição esportiva. O tiro é uma das modalidades
dos Jogos Olímpicos.
Balística é a ciência que estuda o lançamento de projéteis por armas de fogo. Esse estudo é normal-
mente feito em três partes distintas: as balísticas interior, exterior e terminal.
A balística interior analisa as variáveis de estado (pressão, volume e temperatura) dos gases
emitidos pela explosão da pólvora durante o disparo; a balística exterior estuda a relação entre o
projétil e a resistência que o ar oferece à sua passagem, mais conhecida como aerodinâmica; a ba-
lística terminal analisa as consequências do impacto do projétil com o alvo, tais como seu poder
de penetração e sua eventual fragmentação.
Adaptado de www.algosobre.com.br (acesso em novo2009)
-- L

Perpectiva em fisíca vol. 1 cap. 4 a 6

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