1. Ángulos
Def i ni ción de ángul o
Un áng u l o es l a regi ón d el pl ano compren di da ent re dos s emi rr ectas
con or i gen común. A l as semi rrect as se l as l l ama lados y a l ori gen com ún
vért i ce.
M edi da de ángul os
Par a m edi r ángul os ut iliz am os el grado se xagesi mal ( °)
G r ado sexagesi mal es la ampl i tud del ángul o resul t ant e de di vi di r l a
ci r cunf er enci a en 360 part es i gual es.
1º = 60' = 3600' '
1' = 60''
Def i ni ción de radi án
Radi án ( rad) es l a medi da del án gul o ce nt ral de una ci r cunf er en ci a
cu ya l ongi t ud de arco coi nci de con l a l ongi t ud de su radi o.
1 rad= 57° 17' 44. 8' '
1

2. Clasificación de ángulos
Cl asi f i caci ón de ángul os según s u medi da
Agudo < 90° Rect o = 90° O bt uso>90°
Convex o < 180° Ll ano = 180° Cóncav o > 180°
Nul o = 0º Compl et o = 360°
Negat i vo < 0º M a yor d e 360°
Cl asi f i caci ón de ángul os según s u posi ci ón
Ángul os consecu t i vos
Ángul os consecu t i vos son
aquel los que t iene n el vér t ice
y un lado com ún
2

3. Ángul os ad yacen t es
Ángul os ad yace nt es son aquel l os que t i enen el
vért i ce y un l a do común, y l os ot ros l ados
si t uados uno en p r ol ongaci ón del ot ro.
For m an u n ángul o l l ano .
Ángul os opuest o s por el vért i ce
Son l os que t eni endo el vért i ce común, l os l ados
de uno son prol ongaci ón de l os l ados del ot r o.
Los ángu los 1 y 3 son i gual es .
Los ángu los 2 y 4 son i gual es .
Cl asi f i caci ón de ángul os según s u suma
Ángul os c ompl ement ari os
Dos án gul os son compl ement ari os si
sum an 90°.
Ángul os supl ement ari os
Dos áng ul os son supl ement ar i os si
suman 180°.
3

4. Ángul os r esul t ant es del cor t e ent re dos rect as paral el as y perpendi cul ar es
ent r e sí
Ángul os correspo ndi ent es
Los ángu los 1 y 2 son igu ales.
Ángul os al t ernos i nt ernos
Los ángulos 2 y 3 son igu ales.
Ángul os al t ernos ext ernos
Los ángulos 1 y 4 son igu ales.
4

5. Ti pos de ángul os de un pol í gono regul ar
������ = ����������������������������� ������������������������������������������ ������ = ����������������������������� ������������������������������������������������ ������ = ����������������������������� ������������������������������������������������
Ángul o cent ral de un pol í gono regul ar
Es el f orm ado por dos radi os consecut i vos.
Si n es el núm er o de lados de un pol í gono:
Ángul o cent ral = 360° : n
Ej em pl o: Ángul o cent ral del pent ágono regul ar= 36 0° : 5 = 72º
Ángul o i nt eri or de un pol ígono regul ar
Es el f orm ado por dos l ados cons ecut i vos.
Ángul o i nt eri or =180° − Ángul o cent ral
Ej em pl o: Ángul o i nt eri or del pent ágono regul ar = 180° − 72º = 108º
Ángul o ext eri or de un pol ígono regul ar
Es el f orm ado por un l ado y l a prol ongaci ón de un l ado consecut i vo.
5

6. Los áng ul os ext eri ores e i nt eri ores son supl ement ari os , es dec i r , que
sum an 180º.
Ángul o ext eri or = Ángul o cent ral
Ej em pl o: Ángul o ext eri or del pent ágono regul ar = 72º
Circunferencia y círculo
Es una l í nea curva cerrada cu yos punt os est án t odos a l a
mi sma di st anci a de un punt o f ij o ll amado cent ro.
Cent ro
Punt o d el que equi di st an ( est án a l a misma di st anci a) todos l os
punt os de l a ci rcunf erenc i a.
Radi o
Segm ent o que u ne el cent ro de l a ci rcunf erenc i a con u n punt o
cual qui er a de l a mi sma.
El ement os de l a ci rcunf erenci a
Cuer da
Segment o que une dos punt os de la ci rcunf erenci a.
Di ám et ro
Cuerda que pas a por el cent ro.
6

7. Ar co
Cada un a de l as part es en que una cue rda di vi de a l a
ci rcunf erenci a. Se suele asociar a cada cuer da el m eno r
ar co que delim it a.
Semi ci rcunf erenc i a
Cada un o de l os arcos i gual es que ab arca un
di ámet ro.
Cí r cul o
Es l a f i gura pl ana com prendi da en el i nt eri or de un a
ci rcunf erenci a.
El ement os de un cí rcul o
Segment o ci rcul ar
Por ci ón de cí rcul o l i mi t ada por un a cuerda y el ar c o
correspo ndi ent e.
Semi cí rcul o
Porci ón del cí rcul o l i m i t ada por u n di ámet ro y el a r co
correspo ndi ent e . Equiva le a la m it ad del cí r culo.
7

8. Sect or ci rcul ar
Porci ón de cí rcul o l i mi t ada por dos radi os.
Corona ci rcul ar
Porci ón de cí rcul o l imi t ada por dos cí r cul o s
concént r i cos.
Trapeci o ci rcul ar
Porci ón de cí rcul o l i mi tada por dos ra di os y una
corona c i rcul ar.
Ángul os de l a ci rcunf eren ci a
Ángul o cent ral
Ángul o q ue t iene su vér t ice en el cen t r o de la
cir cunf er encia y sus lados son dos r adios.
La m edi da de un arco es l a de su ángul o cent ral correspon di ent e.
8

9. Ángul o i nscri t o
Su vér t ic e est á e n la c ir cunf er enci a y sus lados
son secant es a ella.
M i de l a mi t ad del arco que abarca .
Ángul o semi i nscri t o
Su vér t ice est á en la cir cunf er encia, u n lad o
secant e y el ot r o t angent e a ella.
M i de l a mi t ad del arco que abarca .
Ángul o i nt erior
Su vér t ice es int er ior a la cir cunf er encia y sus
lados se cant es a ella.
M i de l a mi t ad de l a suma de l as medi das de
l os arc os que abarca n sus l ados y l as
prol ongaci ones de sus l ados .
Ángul o ext eri or
Su vér t ice es un punt o e xt er ior a la
cir cunf er encia y los l ado s de su s ángu lo s
son: o s ecant es a el la, o uno t an gent e ot r o
secant e, o t angent es a ella:
9

10. M i de l a mi t ad de l a di f erenci a ent re l as medi das de l os arcos q ue
abar can sus l ados sobre l a ci rcunf erenci a.
Triángulos
Un t r i ángul o es un polí go no con t res l ados .
Pr opi eda des de l os t ri ángul os
1 Un l ad o de un t ri ángulo es me nor qu e l a suma de l os o t ros dos y
m a yor q ue su di ferenci a.
2 La suma de l os ángul os i nt eri ores de un t ri ángul o es i gual a 180°.
3 El val or de u n ángul o ext eri or es i g ual a l a suma de l os dos
i nt er i or es no ad yacent es.
Ti pos de t ri ángulos
Según s us l ados
Tr i ángu l o equi l átero
Tr es l ados i gual es.
Tr iángul o i sóscel es
Dos l ados i gual es.
10

11. Tr i ángul o escal eno
Tr es l ados desi gual es
Según s us ángul os
Tr i ángul o acut ángul o
Tr es áng ul os agudos
Tr i ángul o rect ángul o
Un ángul o r ect o
El l ado m a yor e s l a h i pot enusa. Los l ados menores son l os cat et os.
Tr i ángul o obt usángul o
Un ángul o obt uso.
11

12. Elementos notables en un triángulo.
Al t ur as, m edi anas, medi at ri ces y bi sect ri ces de un t ri ángulo
Al t ur as de un t riángul o
Al t ur a es cada u na de l a s rect as perpen di cul ar es t razad as des d e un
vért i ce al l ado opuest o ( o su prol ongaci ón) .
O rt ocentro
Es el punt o de cort e de l as t res al t uras.
M edi anas de un tri ángul o
M edi ana es cada una de l as rect as que u ne el pu nt o medi o de un
l ado con el vérti ce opuest o.
Bar i cent ro
Es el punt o de cort e de las t res medi anas.
El b ar ic ent r o di vide a cada m edian a en dos
segm ent os, el segm ent o que une el bar icen t r o con
el vér t ic e m ide e l dob le q ue el se gm ent o que un e
bar icent r o con el punt o m edio del l a do opues t o.
BG = 2GA
12

13. M edi at rices d e un t ri ángul o
M ediat r iz es cada una de l as r ect as per pend icular es t r azadas a un lad o por su
punt o m edio.
Ci r cunce nt ro
Es el punt o de cort e de las t res medi at rices.
Es el cent r o de una cir cunf er enci a
cir cunscr it a al t r iángulo.
Bi sect ri ces de un t ri ángul o
Bisect r iz es ca da una de las r ect as que divid e a un án gul o en do s ángu lo s
igua les.
I ncent ro
Es el punt o de cort e de las t res bi set ri ces.
Es el ce nt r o de una cir cu nf er encia inscr it a
en el t r iángulo.
Rect a de Eul er
Es la r ect a que pasa por el cir cuncent r o,
bar icent r o y or t ocent r o.
13

14. Polígonos
Un pol í gono es la regi ón de l pl ano l i mit ada por t res o m ás
segm ent os.
El ement os de un pol í gono
Lados
Son l os segment os que l o l i mi t an.
Vér t i ce s
Son l os punt os donde co ncurren dos l ados.
Ángul os i nt eri ores de un pol í gono
Son l os det ermi nados por dos l ados cons ecut i vos.
Sum a de ángul os i nt eri ores de un pol í gono
Si n es el número de l ados de un pol í gono:
Sum a de ángul os de un pol í gono = (n − 2) · 180°
Di agonal
Son l os segment os que det ermi nan dos vért i ces no consec ut i vos
14

15. Núm er o de di agonal es de un pol í gono
Si n es el número de l ados de un pol í gono:
Núm er o de di agonal es = n · ( n − 3) : 2
4 · (4 − 3) : 2 = 2 5 · ( 5 − 3) : 2 = 5 6 · ( 6 − 3) : 2 = 9
Pol í gonos regul ares
Un pol í gono regul ar es el que t iene sus ángul os i gual es y sus l a dos
i gual es.
El ement os de un pol í gono regul ar
Cent r o
Punt o int er ior que equidist a de cada vér t ice
Radi o
Es el seg m ent o que va del cent r o a cada vér t ice.
Apot em a
Dist anci a del cent r o al punt o m edio de un lad o.
15

16. Pol í gono i nscr i t o
Un pol í g ono est á i nscri t o en un a ci rcunf erenci a si t odos s us vér t i ces
est án cont eni dos en el l a.
Ci r cunf erenci a ci rcunscri t a
Es la que t oca a cada vér t ice del po lí gono
Su cent r o equid is t a de t odos los vér t ices.
Su radi o es el radi o del pol í gono.
Ci r cunf erenci a i nscri t a
Es la qu e t oca al polí gono en el pu nt o m edio de cad a
lado.
Su cent r o equid is t a d e t odos los la dos.
Su radi o es l a apot ema del pol í gono.
16

17. Teorema de Thales
Si dos r ect as cu al esqui era se co rt an por vari as r ect as pa ral el as, l os
segm ent os det ermi nados en una de l as r ect as son proporci onal es a l o s
segm ent os cor respondi e nt es en la ot ra.
Ej e m pl o:
1. Las r ect as a, b y c son par alelas. Hal la la l ongit ud d e x.
2. Las r ect as a, b son par al elas. ¿P odem os af ir m ar que c es par alela a
las r ect as a y b?
17

18. Sí , por que se cumple el t eorema de Thal es .
El t eor em a de Thal es en un t ri ángul o
Dado un t ri ángul o AB C , si se t r a za un se gment o paral el o, B' C' , a
uno de l os l ados del t r iangulo, s e obt ien e ot r o t ri ángul o AB' C' , cuyos
l ados son proporci onal es a los del t ri ángulo AB C.
Ej em plo : Hal lar la s m edidas de los segm ent os a y b.
18

19. Apl i caci ones del t eorema de Thal es
El t eore ma de T hal es se ut iliza p ar a di vi di r un segment o en var i a s
par t es i gual es .
Ej em pl o
Divi dir el segm ent o AB en 3 par t es iguales
1. Se dibuj a u na
sem ir r ecta de or igen el
ext r em o A del seg m ent o.
2. Tom ando com o
unida d cualqu ier m edida, se
señala n en la se m ir r ect a 3
unida des de m ed i da a par t ir
de A.
3. Por cada una de las
divis ione s de l a sem ir r ect a
se t r azan r ect as par alelas al
segm ent o que u n e B co n l a
últ im a divis ión sobr e la
sem ir r ecta. Los punt o s
obt enido s en el s egm ent o A B
det er m inan las 3 par t es
igua les e n que se divid e.
19

20. Figuras semejantes.
De manera intuitiva, diremos que dos figuras son semejantes cuando tienen "igual forma",
aunque puedan tener distinto tamaño:
20

21. Semejanza de triángulos
Dados lo s t ri ángul os AB C y A'B' C', los l ados a y a' , b y b ' , c y c' se
llam an l ados homól ogos .
Los ángu l os homól ogos son :
Dos t riángul os son semej ant es cuando t ienen sus ángul os
hom ól ogos i gual es y sus l ados homól ogos proporci onal es .
La r azón de l a proporci ón ent r e los l ados de los t riángul os se llam a
razón de semej anza .
La r azón de l os perí met ros de lo s t ri ángul os se mej ant es es ig u al a
su r azón de semej anza .
La r azó n de l as áreas de los t ri ángulos seme j ant es es igual al
cuadr ad o de su razón de semej anza .
21

22. Ej em pl os práct i cos
1. Det er m inar la alt ur a de un ed if i cio qu e pr oyect a una som br a de 6. 5
m a la m ism a hor a que un post e de 4. 5 m de alt ur a da una som br a de 0. 90
m.
2. Los cat e t os de un t r iángulo r ect ángul o que m ide n 24 m y 10 m.
¿Cuánt o m edir án los cat et os de un t r iángulo sem e j ant e al pr im er o cuya
hipot enu sa m ide 52 m ?
22

23. Cr i t er i os de semej anza
1Dos t ri ángul os son sem ej ant es si t ienen dos áng ul os i gual es .
2 Dos t r iángul os son semej ant es si t ienen los l ados proporci onal es .
3 Dos t riángul os son semej ant es si t ienen dos l ados proporci onal es
y el ángul o comprendi do ent r e ellos i gual .
23

24. Ej em pl os
Det er m inar si son semej ant es los siguient es t ri ángulos :
Son sem ej ant es por que t ienen los l ados proporci onal es .
180º − 100º − 60º = 20º
Son sem ej ant es por que t ienen dos ángul os i gual es .
24

25. Son se mej ant es por qu e t ienen dos l ados pro porci onal es y un
ángul o i gual .
Mapas y Planos
Los mapas, planos, fotografías, etc... son representaciones de la realidad por medio de
figuras semejantes, la escala de un mapa o plano es la razón de semejanza entre una medida de la
representación y su correspondiente en la realidad.
Así por ejemplo si en un mapa leemos “ESCALA 1:200.000” significa que los objetos en la realidad
son 200.000 veces más grandes que en el mapa o lo que es lo mismo que los objetos en el mapa
son 200.000 veces más pequeños que en la realidad.
Para transformar medidas de la realidad a su representación o viceversa nos fijaremos en el
siguiente cuadro:
X ESCALA
REPRESENTACION REALIDAD
: ESCALA
Para encontrar la escala de la representación nos fijaremos en la siguiente relación:
������������������������������������ ������������ ������������ ������������������������������������������������
������������������������������������ =
������������������������������������ ������������ ������������ ������������������������������������������������������������������������������
Ejemplo 1:
En un mapa la distancia entre dos ciudades es de 20 cm, si la escala del mapa es 1:25.000
¿Cuál es la distancia real en Km. entre las dos ciudades?
20 x 25000 = 500000 cm, 500000 : 100000 = 5 Km.
25

26. Ejemplo 2: En un plano realizado a escala la longitud de una habitación que en la realidad es de 6
metros está representada por una línea de 3 cm. ¿Cuál es la escala del plano?
600
6 x 100 = 6 cm, Escala = = 200 Escala 1 : 200
3
ACTIVIDADES:
1) El plano de una finca está dibujado a escala 1 : 250 ¿Cuál es en la realidad expresada en metros
una distancia que en el plano es de 3 cm?
2) En un mapa la distancia entre dos ciudades es de 7’5 cm, sabiendo que en la realidad hay 37’5
Km. entre las dos ciudades ¿Cuál es la escala del mapa?
3) Una pista polideportiva mide 80 m. de largo y 50 m. de ancho ¿Qué largo y ancho tendrá la pista
en un plano hecho a escala 1 : 200? Expresa el resultado en centímetros.
4) Dos ciudades en un mapa están a una distancia de 85 cm. si la distancia real entre las dos
ciudades es de 127’5 Km. ¿Cuál es la escala del mapa?
SOLUCIONES
1) 7,5 m
2) 1 : 500000
3) 40 cm y 25 cm
4) 1 : 150000
Teorema de Pitágoras
El t eorema de Pit ágoras est abl ece que en un
t ri ángulo rect ángul o, el c uadrado de la
hi pot enusa es i gual a l a suma de l os cuadra dos de l os
cat et os.
Ej em pl os de apl icaci ones del t eorema de Pi t ágoras
Conoci e ndo l os lados de un t ri ángul o, averi guar si es rect ángul o
Par a qu e un t ri ángul o sea rect ángul o el
cuadr ado de lado m ayor ha de ser igual a la sum a d e
los cuadr ados de l os dos menor es.
Det er m inar si el t r iángul o es r ect ángulo.
26

27. Conoci e ndo l os dos cat et os cal cul ar l a hipot enus a
Los cat et o s de un t ri ángul o rectángul o m iden e n
3 m y 4 m r espect ivam ent e. ¿Cuá nt o m ide la
hi pot enusa ?
Conoci e ndo l a hipot enus a y un c at et o, cal cul ar el ot ro catet o
La hi pot enusa d e un t ri ángul o rect ángul o m ide 5
m y uno de sus cat et os 3 m . ¿Cuánt o m ide ot r o cat et o ?
Ej er ci ci os
Una esc aler a de 10 m de l ongit ud est á apoyada
sobr e la par ed. El pie d e la esc aler a d is t a 6 m d e l a
par ed. ¿Q ué alt ur a alcanz a la escaler a sobr e la par ed?
Hal lar el ár ea del t r iángulo equi lát er o:
27

28. Hal lar la diago nal del cuadr ado:
Hal lar la diago nal del r ect ángulo:
Hal lar el per í m et r o y el ár ea del t r apeci o
r ect ángul o:
P = 8 + 6 + 12 + 6. 32 = 32. 32 cm
El per í m et r o de un t r apecio isóscel es es de 110 m ,
las base s m iden 40 y 30 m r espect ivam ent e. Calcul ar
los lados no par alelos y el ár ea.
Hallar el ár ea del pent ág ono r egul ar :
28

29. Calcu lar el ár ea del cuadr ado ins cr it o en un a
cir cunf er encia de long it ud 18. 84 m .
En una cir cunf er encia una cuer da de 48 cm y dist a 7 cm del
cent r o. Calcul ar el ár ea del cí r culo.
Figuras planas
Cuadr ad o, r ect ángul o, rombo y romboi de
Per í m et ro de un pol í gono
Es l a suma de l as l ongi t udes de l os l ados de un pol í go no
Ár ea de un pol í gono
Es l a m edi da de la regi ón o superf i ci e encerrada por una f igura pl ana
Ár ea de un cuadrado
29

30. Ár ea de un r ect ángul o
Ár ea de un r ombo
Ej em pl o:
Ár ea de un romboi de
P = 2 · (a + b)
A = b · h
30

31. Ej em pl o:
P = 2 · (4. 5 + 4) = 17 cm
A = 4 · 4 = 16 cm 2
Tr apeci o , t ri ángul o y p ol í gono regul ar
Ár ea de un t rapeci o
Ej em plo:
Ár ea de un t ri ángul o
31

32. Ej em plo:
Ár ea de un pol í gono
El ár ea se obt iene t r iangul ando el p olí gono y sum ando
el ár ea de dichos t r iángulo s.
A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4
Ej em plo:
AD = BC; AB = DC Rom boid e
P = 13 + 11 + 12 + 5 + 11= 52 cm
A = A R + A T
A = 11 · 12 + ( 12 · 5 ) : 2 = 162 cm 2
Ár ea de un pol í gono regul ar
32

33. Ej em plo:
Circulo
Longi t ud de una ci rcunf erenci a
Longi t ud de un arco de ci rcunf eren ci a
Ár ea de un cí r culo
Ár ea de un sect or ci rcul ar
33

34. Ár ea de una corona ci rcul ar
Es ig ual al ár e a del cí r c ulo m ayo r m enos el ár e a del cí r c ulo
m enor .
Ár ea de un t r apeci o ci rcul ar
Es igual al ár ea del sect or cir cular m ayor men os el á r ea
del sect or cir cular m enor .
Ár ea de un segment o ci rcul ar
Ár ea del segm ent o cir cular AB = Ár ea del sect or
cir cular AO B − Área del t r iángul o A O B
Ár ea de una l únul a
Const r u cci ón
Par t im os de un t r iángul o is ósceles r ect ángul o.
34

35. Con cent r o en O se t r aza el ar co AB.
Con cent r o en M , que es el punt o m edio de la
hipot enu sa, se tr aza el ot r o ar co.
La par t e enm ar cada por el color verde se lla m a l únula de Hi pócrat es .
Lugares geométricos
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos tales que satisfacen una propiedad y que solo
estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Ejemplo:
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de otro
punto que es el que llamamos centro (C en el dibujo) de la circunferencia. Esa distancia que es
siempre igual es lo que llamamos el radio de la circunferencia.
35

36. Cónicas
Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono.
Círculo Elipse (h)Parábola (h)Hipérbola (h)
Circunferencia
Cambiando el ángulo y el lugar de la intersección, podemos crear un círculo, un elipse, una parábola
o una hipérbola.
Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos
llamados focos (F1 y F2) es siempre la misma. En el dibujo se puede ver que la suma de los dos
segmentos verdes (las distancias del punto a cada uno de los focos) es igual que la de los
segmentos marrones y que la suma de los segmentos rojos. Esa suma de distancias que es siempre
la misma, es igual a la longitud del eje mayor de la elipse.
36

37. El em ent os de l a el i pse
Focos: son los pu nt os f ij os F y F' .
Ej e f ocal : es la r ect a que pasa por los f ocos.
Ej e secu ndari o : es la m ediat r iz del segm ent o FF'.
Cent r o : es el pun t o de int er sección de los ej es.
Radi os vect ores : s on los segm ent os que van desd e un pun t o de la
elips e a los f ocos: PF y PF'.
Di st anci a f ocal : es el seg m ent o de longit ud 2c, c es el valor de la
sem i di stanci a f ocal .
Vér t i ces : s on los punt os d e int er sección de la el ips e con lo s ej es: A,
A', B y B'.
Ej e ma yor : es e l segm e nt o de l ongit ud 2a , a es el v alor del
sem i ej e m a yor .
Ej e menor : es el segm ent o de longit ud 2b , b es el val or del
sem i ej e m enor .
37

38. Excent ri ci dad de l a eli pse : Es un núm er o que m ide el m ayor o m enor
achat am ient o de l a elips e. Y es igu al al coc i ent e ent r e su sem idist anc i a f ocal y su
sem iej e m ayor .
Hipérbola
La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma diferencia de distancias a dos
puntos llamados focos (F1 y F2) es siempre la misma. En el dibujo se puede ver que la diferencia
de las líneas amarillas es igual que la diferencia entre las líneas rojas e igual que la diferencia entre
las líneas verdes.
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39. Parábola
En este caso se parte de un solo punto, que es el foco, y de una recta que se llama directriz.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al foco es igual que la distancia a
la recta directriz. Aquí se puede ver como los dos segmentos naranjas miden lo mismo, siendo una
la distancia de un punto de la parábola al foco (F), y el otro la distancia a la recta directriz (d). Lo
mismo ocurre con los segmentos amarillos y los segmentos verdes, que representan lo mismo pero
para otros puntos de la parábola.
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