CM - elaborato RADDI

FACOLTA’ DI INGEGNERIA

Laurea Magistrale in Ingegneria Civile
I semestre – II anno
A.A. 2012 – 2013
Corso di:

Costruzioni Metalliche

Appunti di Costruzioni Metalliche

Docente:
Prof. Franco Bontempi
Assistenti:
Ing. Francesco Petrini
Ing. Pierluigi Olmati

Roma, LUGLIO 2013

Studente:
Roberto Raddi 1504138

A.A. 2012/2013

Docente: Prof. Franco Bontempi
Assistenti: Ing. Francesco Petrini

INDICE
SEZIONE 0: INTRODUZIONE
SEZIONE 1: TEORIA DELLA PLASTICITÀ
1.1 Plasticità di materiale ........................................................................................................... 3
1.1.1 Limite di plasticità................................................................................................................................. 3
1.1.2 Stati di tensione non monoassiale ....................................................................................................... 3
1.1.2.1 Superficie di scorrimento ............................................................................................................. 3
1.1.2.2 Criteri di rottura ........................................................................................................................... 3
1.1.2.3 Inrudimento ................................................................................................................................. 5
1.1.3 Legame costitutivo dell'acciaio ............................................................................................................ 6
1.1.3.1 Legame costitutivo sperimentale ................................................................................................. 6
1.1.3.2 Legame costitutivo di calcolo ....................................................................................................... 6
1.1.3.3 Legame costitutivo ciclico ............................................................................................................ 7
1.1.3 Duttilità ................................................................................................................................................. 8

1.2 Plasticità di sezione/elemento .............................................................................................. 9
1.2.1 Flessione semplice (travi) ..................................................................................................................... 9
1.2.1.1 Definizione del legame momento-curvatura .............................................................................10
1.2.1.1.1 Analisi in campo elastico ....................................................................................................10
1.2.1.1.2 Analisi in campo plastico ....................................................................................................11
1.2.1.2 Cerniera plastica .........................................................................................................................13
1.2.2 Pressoflessione (colonne)...................................................................................................................15
1.2.2.1 Analisi in campo plastico ............................................................................................................15
1.2.2.2 Analisi in campo elastico ............................................................................................................16

1.3 Plasticità di sistema ............................................................................................................ 17
1.3.1 Aspetti caratterizzanti ........................................................................................................................17
1.3.1.1 Meccanismi di collasso locale/globale - Iperstaticità .................................................................17
1.3.1.2 Ridistribuzione energie immesse dopo la plasticizzazione ........................................................17
1.3.1.3 Distribuzione dei carichi .............................................................................................................18
1.3.2 Resistenza elastoplastica del sistema strutturale ..............................................................................19
1.3.2.1 Metodo semi-analitico ...............................................................................................................19
1.3.2.1.1 Analisi elastica ....................................................................................................................19
1.3.2.1.2 Analisi elastoplastica ..........................................................................................................20
1.3.2.1.2.1 Fase di carico ..............................................................................................................20
1.3.2.1.2.2 Fase di scarico ............................................................................................................21
1.3.2.2 Metodo incrementale (push-over) .............................................................................................21
1.3.2.3 Metodo dell'analisi limite...........................................................................................................23
1.3.2.3.1 Superfici limite ...................................................................................................................23
1.3.2.3.2 Teoremi dell'analisi limite ..................................................................................................24
1.3.2.3.2.1 Teorema statico .........................................................................................................24
1.3.2.3.2.2 Teorema cinematico ..................................................................................................26
1.3.2.3.2.2.1 Trave iperstatica ................................................................................................26
1.3.2.3.2.2.1 Telaio iperstatico ...............................................................................................27

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1.4 Aspetti particolari dell'analisi plastica ................................................................................. 28
1.4.1 Comportamento ciclico della sezione inflessa ...................................................................................28
1.4.2 Influenza del taglio sul comportamento elastoplastico a flessione ...................................................29
1.4.3 Interazione tra instabilità e plasticità .................................................................................................29

SEZIONE 2: STABILITÀ DELL'EQUILIBRIO
2.1 Aspetti generali .................................................................................................................. 32
2.2 Studio del comportamento critico e post-critico di un'asta rigida ........................................ 32
2.2.1 Condizione di vincolo 1.......................................................................................................................32
2.2.1.1 Cinematica ed equilibrio ............................................................................................................33
2.2.1.1.1 Trattazione completa .........................................................................................................33
2.2.1.1.2 Linearizzazione degli spostamenti .....................................................................................33
2.2.1.1.3 Equilibrio nella configurazione indeformata......................................................................33
2.2.1.1.4 Conclusioni .........................................................................................................................33
2.2.1.2 Approccio energetico .................................................................................................................34
2.2.1.2.3 Equilibrio nella configurazione indeformata......................................................................34
2.2.1.2.4 Conclusioni .........................................................................................................................34
2.2.2.1 Cinematica ed equilibrio ............................................................................................................35
2.2.3.1 Approccio energetico .................................................................................................................36

2.3 Studio del comportamento critico e post-critico di un sistema di aste ................................. 37
2.3.1 Cinematica ed equilibrio.....................................................................................................................37
2.3.1.1 Trattazione completa .................................................................................................................37

2.4 Studio del comportamento critico e post-critico di un sistema di aste ................................. 38
2.4.1 Approccio energetico .........................................................................................................................38
2.4.1.1 Linearizzazione degli spostamenti .............................................................................................38

SEZIONE 3: CRITERI DI PROGETTAZIONE
3.1 Approccio alla progettazione .............................................................................................. 40
3.2 Conceptual design .............................................................................................................. 41
3.2.1 Performance strutturali richieste .......................................................................................................41
3.2.1.1 Rigidezza strutturale (SLE) ..........................................................................................................42
3.2.1.2 Instabilità (SLE/SLU) ...................................................................................................................42
3.2.1.3 Resistenza (SLU) .........................................................................................................................42
3.2.1.4 Duttilità (SLU) .............................................................................................................................42
3.2.2 Scelte progettuali ...............................................................................................................................42
3.2.2.1 Tipologie elementari ..................................................................................................................43
3.2.2.1.1 Concentric Braced Frames (CBF) ........................................................................................43
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3.2.2.1.2 Moment Reisting Frames (MRF) ........................................................................................43
3.2.2.1.1 ECcentric Braced Frames (EBF) ..........................................................................................44
3.2.2.2 Nodi ............................................................................................................................................44
3.2.2.2.1 Distinzione funzionale ........................................................................................................44
3.2.2.2.2 Rigidezze nodali..................................................................................................................45

3.3 Ottimizzazione.................................................................................................................... 48
3.3.1 Ottimizzazione per livelli ....................................................................................................................48
3.3.1.1 Sizing...........................................................................................................................................48
3.3.1.2 Morfologica ................................................................................................................................49
3.3.1.3 Topologica ..................................................................................................................................49
3.3.1.4 Introduzione della sottostruttura ..............................................................................................50
3.3.1.4.1 Uso dell'Outrigger ..............................................................................................................50
3.3.2 Ottimizzazione per risposta ................................................................................................................51
3.3.2.1 Assiale.........................................................................................................................................51
3.3.2.1.1 Principi cardine...................................................................................................................51
3.3.2.1.1.1 Trazione......................................................................................................................51
3.3.2.1.1.2 Compressione ............................................................................................................51
3.3.2.1.2 Aspetti tecnologici..............................................................................................................52
3.3.2.1.2.1 Buckling Restrained Braced Frame ............................................................................52
3.3.2.1.2.2 Trussed Tube ..............................................................................................................53
3.3.2.2 Flessionale ..................................................................................................................................54
3.3.2.2.1 Risposta strutturale ............................................................................................................54
3.3.2.2.2 Aspetti tecnologici..............................................................................................................55
3.3.2.2.2.1 Outrigger in sommità .................................................................................................55
3.3.2.2.2.2 Irrigidimenti strutturali ..............................................................................................55

SEZIONE 4: PROGETTAZIONE IN ZONA SISMICA
4.1 Introduzione ....................................................................................................................... 57
4.2 Metodo dissipativo semplificato ......................................................................................... 57
4.2.1 Duttilità locale ....................................................................................................................................58
4.2.1.1 Materiale ....................................................................................................................................58
4.2.1.2 Sezione .......................................................................................................................................58
4.2.2 Fattore di struttura (q) .......................................................................................................................59
4.2.2.1 Indice di duttilità (q0)..................................................................................................................60
4.2.2.2 Fattore di regolarità strutturale (KR) ..........................................................................................61
4.2.2.3 Fattore di duttilità locale (KD) .....................................................................................................62
4.2.3 Gerarchia delle resistenze ..................................................................................................................63

APPENDICE A: COLLASSO PROGRESSIVO ................................................................................... 66
APPENDICE B: FATICA ............................................................................................................... 68
APPENDICE C: MODELLAZIONE DI DETTAGLIO........................................................................... 70

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SEZIONE 0


INTRODUZIONE
1) Nell'ambito delle costruzioni civili, le strutture portanti di un qualsiasi organismo
sono prevalentemente realizzate, oltre che in cemento armato, impiegando
materiali metallici:si tratta soprattutto di acciai da carpenteria e solo di recente
sono state introdotte leghe leggere, tradizionalmente in uso nell'industria
aeronautica.
2) Il comportamento meccanico delle strutture metalliche è fortemeente
condizionato dalle proprietà del materiale acciaio, che presenta buona resistenza a
trazione quanto a compressione, oltre ad elevata resistenza, tenacità ed
adattabilità plastica.
3) Tra i principali vantaggi connessi all'impiego di strutture metalliche si possono
annoverare:
• Semplicità e maggiore affidabilità di modellazione: in fase di calcolo
strutturale, il comportamento statico delle membrature in acciaio non
risente delle incertezze di esecuzione. Le schematizzazioni teoriche
possono sufficientemente adattarsi alla struttura reale sia per le
caratteristiche fisico meccaniche sia per le modalità di esecuzione delle
unioni, dei collegamenti e dei vincoli. Questi aspetti si riflettono
nell'impiego di coefficienti di sicurezza più bassi e quindi meno
penalizzanti rispetto a quelli relativi, per esempio, al cemento armato.
• Rapidità di esecuzione: il procedimento costruttivo prevede una prima
fase di produzione degli elementi strutturali, che si volge in officina sotto il
diretto controllo delle maestranze specializzate mentre in cantiere si
realizza il montaggio mediante il collegamento tra gli elementi già
prodotti. In questo modo la costruzione non risente delle condizioni
stagionali che bloccano i procedimenti "a umido" come nel caso delle
costruzioni murarie e di c.a. e risulta conseguentemente più rapida.
• Re-impiego: accanto alla riduzione dei tempi descritta, si rileva la
possibilità di trasformazione delle strutture, intesa sia come ampliamento
della stessa per variazioni funzionali dell'opera, sia come intervento di
rinforzo richiesto da deficienze statiche conseguenti ad una modifica dello
schema statico originario e/o dei carichi di esercizio.
• Elevato grado di efficienza: il rapporto tra la resistenza meccanica
(espressa in termini di massima tensione di calcolo) ed il peso specificoè,
per i materiali metallici, molto elevato e sempre superiore a quello degli
altri materiali da costruzione tradizionali. Questo aspetto si traduce nella
possibilità di impiegare elementi strutturali di dimensione ridotte e quindi
di peso minore. A questo si accompagna dunque un più razionale uso degli
spazi per il minore ingombro degli elementi portanti ed un minore
impegno per le strutture di fondazione, soggette a carichi più bassi.
• Ottima risposta alle azioni dinamiche: questo giustifica l'ampio utilizzo di
acciaio nelle costruzioni industriali e nei ponti in zona sisimica

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4) Per contro si annoverano alcuni svantaggi che penalizzano l'uso generalizzato del
materiale acciaio:
• Instabilità, sia locale che globale , conseguente proprio all'aumentata
snellezza delle membrature, che diventa uno degli aspetti più significativi
in fase di verifica dell'elemento e dell'insieme della struttura metallica.
• Elevata deformabilità: che non consente di sfruttare appieno le capacità
resistenti e pone problemi sia di instabilità che di funzionalità dell'opera.
Proprio per questa ragione si impongono delle limitazioni, oltre che sulle
tensioni, anche sulle deformazioni.
• Degrado per corrosione: il materiale acciaio è particolarmente sensibile
all'attacco di agenti atmosferici che lo ossidano; pertanto è necessaria una
costante manutenzione.
• Vulnerabilità considerevole nei confronti del fuoco: per le strutture
metalliche si registra una rapida diminuzione delle caratteristiche di
resistenza al crescere della temperatura e questo comporta particolare
cura nei confronti degli accorgimenti da adottare ai fini della protezione
degli elementi portanti.
5) Emerge, sin da queste considerazioni iniziali, che la corretta progettazione di
strutture metalliche, le quali abbracciano tutti i settori delle costruzioni (edilizia
civile e industriale, ponti e grandi coperture, torri e pali di sostegno per
elettrodotti,serbatoi e costruzioni marittime) non può prescindere dalla
conoscenza di queste problematiche. La costruzione metallica, inoltre si adatta
particolarmente alle tecniche di produzione in serie dalle quali viene condotto ad
una prefabbricazione industrializzata sempre più spinta.
6) Infine le moderne tecnologie danno la possibilità di introdurre nelle strutture dei
materiali con caratteristiche di resistenza differenziate, con la creazione della
cosiddetta quarta dimensione, che si accompagna alle tre geometriche, che
fornisce alla progettazione un ulteriore elemento di scelta. Quindi per il continuo
miglioramento dei materiali ed il graduale incremento dell'industrializzazione le
strutture metalliche presentano notevoli prospettive di sviluppo.

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SEZIONE 1

TEORIA DELLA PLASTICITA'
A

1.1
1.1.1

Docente Prof. Franco Bontempi
e:

Plasticità di ma
ateriale
Limite di plasti
icità
1) I materiali po
ossono essere a limite di plasticità definito(acciai o non ben definito
aio)
(calcestruzzo
o): nel secondo caso si necessita una semplificazione del
a
comportame
amento con conseguente linearizzazione.

Figura 1.1

1.1.2
1.1.2.1

Stati di tension non monoassiali
ne
Superficie di sc
corrimento
1) Negli stati di tensione non monoassiale, il limite di elasticit si definisce con una
tà
superfice di scorrimento che separa gli stati elastici (interni) da quelli plasticizzati o
s
non ammissi
ibili. Il contorno è dunque il luogo dei punti limite
e.

Figura 1.2

1.1.2.2.

Criteri di rottur
ra
1) La definizione delle superfici di rottura avviene attraverso due criteri possibili:
• Crite di Tresca: si ha rottura quando la tensione tan
erio
angenziale raggiunge il
valor massimo in uno stato monoassiale:
re

Figura 1.3

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dove:

•

1
∗ max ሼሾߪଵ − ߪଶ ሿ; ሾߪଶ − ߪଷ ሿ; ሾߪଷ − ߪଵ ሿሽ
2
1
߬௦ = ∗ max (ߪଵ , ߪଶ , ߪଷ )
2
Criterio di Von Mises: si ha rottura quando ߬̅ = ߬௦ dove la ߬̅ è per
ഥ
definizione la media delle tensioni tangenziali agenti su una sfera di raggio
piccolo tendente a zero con il centro coincidente con il punto in esame.
߬௠௔௫ =

Figura 1.4

dove:

߬̅ =

Figura 1.5

߬̅ = ඨ

√15
1

∗ ඥ[ሺߪଵ − ߪଶ ሻଶ + ሺߪଶ − ߪଷ ሻଶ + ሺߪଷ − ߪଵ ሻଶ ]

2) Confrontando i due criteri:

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ଶగ
గ
1
ଶ
න ݀ߙ ∗ න ߬௡ ∗ sin ߚ ∗ ݀ߚ
4∗ߨ ଴
଴

߬௦ =

1
∗ max (ߪଵ , ߪଶ , ߪଷ )
2

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1.1.2.3

Incrudimento
1) Si riporta uno schema riassuntivo e i relativi diagrammi delle possibile situazioni:

Figura 1.6
Incrudimento

Isotropia

Staticità

Incrudimento
isotropo

Incrudimento
non isotropo

(la superficie
cambia le
dimensioni, non la
forma)

(la superficie
cambia le
dimensioni e la
forma)

(1)

(2)

Incrudimento
statico

Incrudimento
cinematico

(la superficie
non si sposta)

(la superficie si
sposta)

(3)

(4)

Figura 1.7

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1.1.3
1.1.3.1


Legame costitutivo dell'acciaio
Legame costitutivo sperimentale
1) Da una prova di trazione monoassiale, viene derivato il legame costitutivo
dell'acciaio riportando la tensione di trazione in funzione della deformazione
registrata fino alla rottura del provino:

Figura 1.8

Figura 1.9

1.1.3.2

Legame costitutivo di calcolo
1) E' possibile modellare il comportamento dell'acciaio secondo differenti legami più
o meno semplificati, associando ad ognuno un modello reologico esplicativo:
• Rigido perfettamente plastico: il modello reologico è quello di un blocco a
cui è applicata una forza F. Il comportamento è descritto da 1 parametro
indipendente.

Figura 1.10

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•

Elastoplastico perfetto: Il modello reologico è quello di un blocco cui è
applicata una forza F attraverso una molla di rigidezza E. Il comportamento
è descritto da 3 parametri indipendenti.

•

Elastoplastico incrudente: il modello reologico è quello di un blocco
vincolato mediante una molla di rigidezza E1 e sollecitato da una forza F
attraverso un'altra molla di rigidezza E0. Il comportamento è descritto da 4
parametri indipendenti, dei quali la pendenza del ramo incrudente si
valuta con il criterio energetico.

•

Elastoplastico incrudente con tratto a deformazioni libere: il modello
reologico è quello di un blocco sollecitato da una forza F attraverso una
molla di rigidezza E0 e vincolato da un'altra molla di rigidezza E1 che si
attiva solo una volta raggiunto un certo livello di spostamento.

Figura 1.11

Figura 1.12

Figura 1.13

1.1.3.3

Legame costitutivo ciclico
1) Dai legami costituivi di calcoli definiti nel paragrafo precedente, è possibile
derivare i corrispondenti descrittivi, però, di un comportamento ciclico. Tale
aspetto è di particolare rilevanza per effettuare con efficacia le analisi dinamiche
che sono necessarie per l'analisi sismica:

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Figura 1.14

2) Un'altro legame costitutivo per comportamento ciclico è quello di Menegotto
Pinto, descritto dalla relazione:
ߪ
ߝ
ߝ
ߝ
ߝ ௡ ଵ/௡
ሺ1 − ܾሻ ∗ ൬ ൰ / ൤1 + ൬ ൰ ൨
= ܾ∗൬ ൰+݀ = ݀∗൬ ൰+
ߝ଴
ߝ଴
ߝ଴
ߝ଴
ߪ଴

Figura 1.15

1.1.4

Duttilità
1) La duttilità è una proprietà fisica della materia che indica la capacità di un corpo o
di un materiale di deformarsi plasticamente sotto carico prima di giungere
arottura, cioè la capacità di sopportare deformazioni plastiche. Un corpo è tanto
più duttile quanto maggiore è la deformazione raggiunta prima della rottura.

Figura 1.16

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1.2
1.2.1


Plasticità di sezione/elemento
Flessione semplice (travi)
1) Per trave si intende un elemento strutturale con una dimensione predominante,
atto a trasferire una sollecitazione tendenzialmente trasversale al proprio asse
geometrico lungo tale asse, dalle sezioni investite dal carico fino ai vincoli, che
garantiscono l'equilibrio esterno della trave assicurandola al contesto circostante.
E' valida la teoria di De Saint-Venant.
2) Le ipotesi di calcolo preliminari sono:
• Conservazione delle sezioni piane
• Piccoli spostamenti (si prescinde dalla stabilità)
• Legame elastoplastico perfetto
3) Si rappresenta l'andamento delle tensioni nella sezione all'aumentare del
momento flettente agente, in modo da evidenziare il passaggio al campo plastico:

Figura 1.17

4) E' possibile definire il fattore di forma β come rapporto tra il momento di
plasticizzazione Mp è quello di snervamento My. Tale grandezza è un indice delle
risorse plastiche dell'elemento e distingue due possibili comportamenti:
• β=1 Comportamento elastoplastico perfetto

Figura 1.18

•

β>1 Comportamento elastoplastico incrudente

Figura 1.19

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1.2.1.1

Definizione del legame Momento-Curvatura
1) Si consideri un concio di trave di lunghezza l unitaria inflesso secondo un raggio R:

Figura 1.20

2) L'obiettivo è valutare lo stato tensionale dell'elemento al variare del
comportamento. Si prende in esame la fibra tesa a-b:
‫ݎ‬
‫ ݕ + ݎ‬
‫ݕ+ݎ‬
‫ݕ+ݎ‬
=
→ ‫= ݎ‬
→ ‫= ݎ‬
෢
෢
1 + ߝ(‫)ݕ‬
1 + ߝ(‫)ݕ‬
ܾܽ
ܿ݀
1
ߝሺ‫ݕ‬ሻ = ‫ܽݎݑݐܽݒݎݑܿ = ߯ ߯ ∗ ݕ‬
‫ݎ‬

1.2.1.1.1

Analisi in campo elastico
1) Esiste una diretta proporzionalità tra tensione e deformazione secondo le
relazioni:
ߪሺ‫ݕ‬ሻ = ‫ߝ ∗ ܧ‬ሺ‫ݕ‬ሻ = ‫߯ ∗ ݕ ∗ ܧ‬
ெ
→ ߯=
ቊ
ெ
ாூ
ߪሺ‫ݕ‬ሻ = ∗ ‫ݕ‬
ூ

2) Alla linearità tensione-deformazione, corrisponde dunque una linearità tra
momento e curvatura:
‫ ݕܯ‬ℎ
ߪሺ‫ݕ‬ሻ =
∗ → ‫ܯ‬௬ = ߪ௬ ∗ ܹ
‫2 ܫ‬
߯௬ =

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‫ܯ‬௬ ߪ௬ ∗ ܹ ‫ߝ ∗ ܧ‬௬ ∗ ܹ 2 ∗ ߝ௬
=
=
=
‫ܫܧ‬
‫ܫܧ‬
‫ܫܧ‬
ℎ

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1.2.1.1.2

Analisi in campo plastico
1) Considerando il limite di snervamento, superato il limite elastico, non c'è più
diretta proporzionalità tra tensione e deformazione e lo stato tensionale rimane
costante all'aumentare della deformazione:

Figura 1.21

La plasticizzazione si diffonde dalle fibre esterne a massima deformazione verso l'asse
neutro con un nucleo elastico che si riduce di ampiezza all'aumentare del momento
esterno e per il quale vale il legame elastico trovato precedentemente.
2) Il diagramma tensionale elastoplastico della sezione può essere scomposto come
segue in modo da poter ricavare l'andamento del diagramma momento-curvatura
in campo plastico:

Figura 1.22

߯௬
2 ∗ ‫ݕ‬௘
=
; ‫ܯ‬௣ = ߪ௬ ∗ ܼ ; ‫ߪ ∗ ܹ = ܯ‬௬ + ܼ ∗ ߪ௬ − ܼ௘ ∗ ߪ௬
௘
߯௘௣
ℎ

4) Considerando:

Dove Z è il modulo plastico, We è il modulo elastico del nucleo elastico e Ze è il
modulo plastico del nucleo elastico.
ߪ௬ ∗ ܹ ‫ܯ‬௣ ߪ௬ ∗ ܼ݁ ‫ܯ‬௣ ߪ௬ ∗ ܹ
ߪ௬ ∗ ܼ݁
‫ܯ‬
=
+
−
=
∗ቈ
+1−
቉
‫ܯ‬௬
‫ܯ‬௬
‫ܯ‬௬
‫ܯ‬௬
‫ܯ‬௬
‫ܯ‬௣
‫ܯ‬௣

Sapendo che ߚ =

ெ೛
ெ೤

e ܼ=

ெ೛
ఙ೤

:

ܼ݁ − ܹ
‫ܯ‬
ܼ݁
ܹ
௘
௘
= ߚ ∗ ൤ + 1 − ൨ = ߚ ∗ ൤1 −
൨
‫ܯ‬௬
ܼ
ܼ
ܼ

Sia We che Ze dipendono dalla forma del nucleo elastico; essendo ‫ݕ‬௘ = ‫ݕ‬௘ ൫߯௬ , ߯௘௣ ൯
si ha

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ெ
ெ೤

೤
= ߚ ∗ ߶ ቀ ఞ ቁ quindi:

ఞ

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‫ܯ‬
‫߯∗ܫ∗ܧ‬
߯
‫߯∗ܫ∗ܧ= ܯ‬
=
=
൜‫ → ߯ ∗ ܫ ∗ ܧ = ܯ‬
௬
௬
‫ܯ‬௬ ‫߯ ∗ ܫ ∗ ܧ‬௬ ߯௬

Si studiano questi comportamenti su un elemento di sezione rettangolare.
Noto che:
1 ܾ ∗ ℎଷ 1
= ∗ ܾ ∗ ℎଶ
ܹ=
6
12 ℎ
2
1 ܾ ∗ (2 ∗ ‫ݕ‬௘ )ଶ 2
ܹ =
= ∗ ܾ ∗ ‫ݕ‬௘ ଶ
௘
‫ݕ‬௘
12
3
ܹ =ܾ∗
௘

ܼ௘ =
Si può scrivere:

ℎ ℎ
ℎଶ
∗ =ܾ∗
2 2
4

ܾ ∗ (2 ∗ ‫ݕ‬௘ )ଶ
= ܾ ∗ ‫ݕ‬௘ ଶ
4

‫ܯ‬௣
‫ܯ‬
ܼ݁ − ܹ
௘
=
∗ ൤1 −
൨
ܼ
‫ܯ‬௬ ‫ܯ‬௬

Dato che per sezioni rettangolari ߚ =

ெ೛
ெ೤

௓

ଷ

= ௐ = ଶ , sostituendo alla precedente,

abbiamo:

2
ଶ
ܾ ∗ ‫ݕ‬௘ ଶ − ∗ ܾ ∗ ‫ݕ‬௘ ଶ
3
3
1
‫ݕ‬௘ ଶ
3
1
߯
‫ܯ‬
3
= ∗ ቎1 −
቏ = ∗ ൤1 − ∗ ቀ2 ∗ ቁ ൨ = ∗ ൥1 − ∗ ቆ ቇ ൩
ℎଶ
2
3
2
3
߯௬
‫ܯ‬௬ 2
ℎ
ܾ∗
4

5) Si è giunti dunque a scrivere la relazione nella forma:

߯௬
‫ܯ‬
= ߚ∗߶൬ ൰
‫ܯ‬௬
߯
da questa relazione si ottiene il diagramma del legame costitutivo tra il momento
e la curvatura, il quale presenta un andamento di tipo lineare nel campo elastico e
non lineare nel campo plastico.

Figura 1.23

Roma, LUGLIO 2013

Pagina 12

A.A. 2012/2013


5) Applicando la stessa analisi per sezioni a geometrie diverse si ottiene una
variazione del coefficiente ߚ, in particolare questo diminuisce al aumentare del
valore di W della sezione.

Figura 1.24

1.2.1.2

Cerniera plastica
1) L'ingresso in campo plastico dell'elemento corrisponde al raggiungimento del
momento massimo pari a quello di plasticizzazione in un tratto di lunghezza Δl, di
entità stimabile:
‫ܯ‬௬
‫ܯ‬௣
‫ܯ‬௣
‫ܮ‬
‫)1 − ߚ( ∗ ܮ‬
=
→ ߚ =
=
→ ∆‫= ܮ‬
‫ܮ‬
‫ ܮ‬Δ‫ܮ‬
ߚ
‫ܯ‬௬ ‫ܮ∆ − ܮ‬
2
2− 2
2) Per una sezione IPE, β è pari circa a 1,14 quindi la zona di plasticizzazione ha una
lunghezza pari al 10% della lunghezza totale della trave e può essere quindi
assimilata ad un punto.
3) In tale punto, la sezione è sollecitata dal momento di plasticizzazione quindi non
reagisce più e diventa una cerniera plastica.

Figura 1.25

4) E' possibile dunque realizzare un diagramma momento-curvatura che rappresenta
l'equivalente a livello di sezione del diagramma tensione-deformazione definito a
livello di materiale. Tale parallelismo è riassunto nella tabella seguente:

Roma, LUGLIO 2013

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ߪ௬

Parametri

Materiale

Elemento

Tensionali

ߝ௬ , ߝ௨
ߝ௨
ߤ଴ =
ߝ௬

M
߯௬ , ߯௨
߯௨
ߤଵ =
߯௬

Deformativi
Duttilità

2 ∗ ߝ௬
ℎ
ߝ௬ = ߯௬ ∗ → ߯௬ =
ℎ
2

ℎ
2 ∗ ߝ௨
ߝ௨ = ߯௨ ∗ → ߯௨ =
ℎ
2
6) Si riporta, infine, la procedura per il tracciamento del diagramma momento
curvatura:

Fisso valore χ'

Figura 1.26

Ricavo diagramma
ε'=χ'*y
Legame costitutivo

Ricavo diagramma σ'

Ricavo la corrispondente M'

NO

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Numero di punti
sufficiente?

SI

Tracciamento
(M',χ')

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1.2.2
1.2.2.1

Pressoflessione (colonne)
Analisi in campo plastico
1) Il concetto di cerniera plastica può essere esteso alle sollecitazioni composte
studiando l'interazione tra sforzo normale e momento flettente in ipotesi di
validità della teoria di De Saint-Venant.
2) L'obiettivo è individuare nel piano M-N la superficie limite a plasticizzazione
ovvero il luogo dei punti che genera la prima plasticizzazione della sezione.
3) Si analizza come di consueto la risposta tensionale della sezione all'aumentare del
momento flettente:

Figura 1.27

Si può scomporre tale diagramma:

Figura 1.28

4) Mediante le consuete relazioni si giunge all'espressione del dominio plastico:
ܰ = 2ܾ ߪ଴ ݀
ܾ
‫݅ݐ݊݁݃ܽ ݅݊݋݅ݖܽݐ݈݈݅ܿ݁݋ݏ‬
൝
‫ߪ = ܯ‬௬ (ℎଶ − 4݀ ଶ )
4

‫ۓ‬
ۖ

ܰ௣ = ܾ ߪ଴ ݀
ቐ
ܾ ℎଶ ‫݁݊݋݅ݖܽݖݖ݅ܿ݅ݐݏ݈ܽ݌ ݅݀ ݅݊݋݅ݖܽݐ݈݈݅ܿ݁݋ݏ‬
‫ܯ‬௣ = ߪ௬
4

ܰ
= 2 ‫ݕ‬଴ ℎ
ܰ௣

ܰ
‫ܯ‬
= 1 − ቆ ቇ ݁‫݋݉݅ݐ݈ݑ ݋݅݊݅݉݋݀ ݁݊݋݅ݖܽݑݍ‬
ଶ →
2‫ݕ‬଴
ܰ௣
‫ܯ‬௬
‫ܯ۔‬
ۖ‫ − 1 = ܯ‬൬ ℎ ൰
‫ ە‬௣

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ଶ

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1.2.2.2

Analisi in campo elastico
1) La stessa procedura per la definizione del dominio ultimo può essere condotta
considerando un legame elastico del materiale:

Figura 1.29

2) Le relazioni, come precedentemente:

ܾℎଶ
ߪ′
6
‫݅ݐ݊݁݃ܽ ݅݊݋݅ݖܽݐ݈݈݅ܿ݁݋ݏ‬
൞
2‫ݕ‬௢
ᇱ
ܰ = ܾ ℎ ߪ (1 +
− 1)
ℎ
‫=ܯ‬

ܾℎଶ
2‫ݕ‬௢
൬1 +
൰ ߪ′
6
ℎ
‫݋ݐ݊݁݉ܽݒݎ݁݊ݏ ݅݀ ݅݊݋݅ݖܽݐ݈݈݅ܿ݁݋ݏ‬
2‫ݕ‬௢
‫۔‬
‫ܰ ە‬௬ = ܾ ℎ ൬1 + ℎ ൰ ߪ′
‫ܯۓ‬௬ =

‫ܯ‬
1 1 ܰ
ܰ
‫ܯ‬
= 1 − ቆ ቇ →
= − ቆ ቇ ݁‫݋݉݅ݐ݈ݑ ݋݅݊݅݉݋݀ ݁݊݋݅ݖܽݑݍ‬
‫ܯ‬௣ ߚ ߚ ܰ௣
‫ܯ‬௬
ܰ௬
ଶ

3) Si possono confrontare i due domini, individuando la duttilità dell'elemento come
distanza tra i due lungo una retta passante per l'origine.

Figura 1.30

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1.3


Plasticità di sistema
1) Per definire la plasticità di sistema si necessita di alcune definizioni preliminari:
• Duttilità di struttura: rapporto tra lo spostamento ultimo di collasso e
quello di primo snervamento
• Collasso strutturale: trasformazione della struttura in un cinematismo
all'incremento del carico agente, data la formazione di cerniere plastiche.

1.3.1
1.3.1.1

Aspetti caratterizzanti
Meccanismi collasso locale/globale - Iperstaticità
1) Dato un sistema n volte iperstatico, la formazione del cinematismo avviene alla
formazione di n+1 cerniere plastiche all'aumentare del carico agente.
2) Ne deriva che si distingueranno collassi locali, che compromettono uno solo degli
elementi strutturali ma non rendono la struttura un cinematismo, dal collasso
globale che si ha alla formazione della cerniera successiva a quella che ha reso la
struttura isostatica.

Figura 1.31

1.3.1.2

Ridistribuzione energie immesse dopo la plasticizzazione
1) Si consideri una trave doppiamente incastrata (iperstaticità flessionale pari a 2),
sottoposta ad un carico uniformemente distribuito crescente. Il momento di
reazione degli incastri cresce all'aumentare del carico esterno fino al limite di
snervamento, arrivati al quali si ha la formazione contemporanea di due cerniere
plastiche all'estremità (il momento non può più aumentare) e lo schema statico
diventa quello di trave appoggiata.

Figura 1.32

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A.A. 2012/2013


2) Ne consegue che un ulteriore aumento dei carichi può essere equilibrato solo da
un aumento del momento in mezzeria fino a che anche in quella sezione si
raggiunge il limite plastico con la formazione della terza cerniera che rende la
struttura un cinematismo.

Figura 1.33

Figura 1.34

3) Per ridistribuzione delle energie immesse si intende,quindi, proprio la modifica
della risposta strutturale in termini di sollecitazioni equilibranti il carico esterno
dovuta al raggiungimento del limite plastico in alcuni punti discreti.

1.3.1.3

Distribuzione dei carichi
1) Rispetto all'esempio precedente, si considera la trave doppiamente incastrata
sollecitata da un carico concentrato in mezzeria crescente.

Figura 1.35

2) In questo caso non abbiamo ridistribuzione del momento flettente perchè
all'aumentare del carico si formano contemporaneamente le tre cerniere
plastiche.

Figura 1.36

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1.3.2
1.3.2.1

Resistenza elastoplastica del sistema strutturale
Metodo semi-analitico
1) Si tratta di un metodo che ci permette di trovare soluzioni in forma chiusa a tratti.
Ne segue un'applicazione ad un semplice schema statico formato da tre aste
incernierate che formano un sistema di iperstaticità pari a 1.

Figura 1.38

1.3.2.1.1

Analisi elastica
1) Utilizzando il metodo degli spostamenti, si scrive la congruenza e impongo
l’equilibrio. Ciò equivale ad assegnare lo spostamento δ per determinare lo sforzo
assiale nelle tre aste. Imponendo:
• X = sforzo assiale in asta 1
• Y = sforzo assiale in aste 2, 3
2) Si scrive l'equazione di congruenza per l'asta 1
ߜ = ݈ ∗ ߝ = ݈ ∗ = ݈ ∗ → ܺ =
ா
ா஺
ఙ

௑

ா஺ఋ
௟

Si passa alle aste 2, 3 (ipotesi di piccoli spostamenti ߜ ′ = ߜ ∗ cos ,)
గ
ସ

ߨ
ߜ cos 4
∆݈
ܻ
ܻ
‫ܣܧ‬
ߨ ‫ߜܣܧ‬
ߝ= =
→
=
→ ܻ =
∗ ߜ ∗ cosଶ =
݈
݈
‫ܣܧ‬
‫ܣܧ‬
݈
4
2݈
ߨ
cos 4

Si impone X=2Y e quindi l’equilibrio:
ቊ

ߨ
=ܲ
4
ܺ =2∗ܻ

ܺ + 2 ∗ ܻ ∗ cos

ܲ
ܲ
‫= ܻۓ‬
ߨ = 2 + √2
ۖ
2 ∗ ቂ1 + cos 4 ቃ
ܲ
2ܲ
‫=ܺ ۔‬
ߨ = 2 + √2
ۖ
ቂ1 + cos 4 ቃ
‫ە‬

Si determina il carico limite elastico e la corrispondente deformazione limite:
ܺ௘௟ =

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2 + √2
2ܲ

= ߪ௬ ∗ ‫ܲ → ܣ‬௘௟ =

2 + √2
݈ ∗ ܺ௘௟ ݈ ∗ ߪ௬
∗ ߪ௬ ∗ ‫ߜ → ܣ‬௘௟ =
=
2
‫ܣܧ‬
‫ܧ‬
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A.A. 2012/2013

1.3.2.1.2
1.3.2.1.2.1

Analisi elastoplastica
Fase di carico
1) Prescindendo dallo studio dell'asta 1, il cui sforzo assiale rimane costante, si scrive
l'equilibrio:
ܺ = ߪ௬ ∗ ‫ݐݏ݋ܿ = ܣ‬
ܲ − ߪ௬ ∗ ‫ܣ‬
ߨ
→ ܻ =
൝
2 ∗ ܻ ∗ cos = ܲ = ܿ‫ݐݏ݋‬
√2
4
2) Si determina il carico di plasticizzazione per le aste 2 e 3 e poi la sovraresistenza:
ܻ = ߪ௬ ∗ ‫= ܣ‬

ܲ௖௥ − ߪ௬ ∗ ‫ܣ‬
√2

→ ܲ௖௥ = ߪ௬ ∗ ‫ ∗ ܣ‬൫1 + √2൯

1 + √2
ܲ௖௥ ߪ௬ ∗ ‫ ∗ ܣ‬൫1 + √2൯ 1 + √2 1 + √2
=
=
=
= √2 ∗
= √2
ܲ௘௟
2 + √2
2 + √2
1 + √2
√2
1+ 2
2 ∗ ߪ௬ ∗ ‫ܣ‬
2

Il valore √2 comporta che grazie all’entrata in campo plastico si ottiene circa un
40% in più di resistenza.
3) Si valuta la duttilità:
ߨ
ߜ ∗ cos 4
ܻ
ܻ
∆݈
→
=
ߝ= =
݈
‫ܣܧ‬
‫ܣܧ‬
݈
ߨ
cos 4

4) Ponendo P=Pcr si ottiene lo spostamento critico, da cui la duttilità:
ߜ௖௥ =

ߪ௬ ∗ ‫ܣ‬
ߪ௬ ∗ ݈
2 ∗ ߪ௬ ∗ ݈
݈
∗
ଶ → ߜ௖௥ =
ߨ =
‫ܣܧ‬
‫ܧ‬
cosଶ ቀ ቁ
√2
4
‫∗ܧ‬ቆ 2 ቇ
ߤ=

‫ܧ‬
ߪ௖௥ 2 ∗ ߪ௬ ∗ ݈
=
∗
=2
ߪ௬ ∗ ݈
ߪ௘௟
‫ܧ‬

5) Sebbene, dunque, la duttilità di materiale sia stata supposta infinita, quella della
struttura è pari solamente a due, quindi la struttura collassa per formazione delle
cerniere plastiche.

Figura 1.39

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Pagina 20


A.A. 2012/2013

1.3.2.1.2.2

Fase di scarico
1) Si suppone di annullare la forza agente sul sistema, quindi le aste 2,3 tenderebbero
a tornare nella posizione iniziale contrastate, però, dalla deformazione residua
dell'asta 1 plasticizzata. Ne consegue, per la congruenza, che l'asta 1 risulta
compressa mentre la 2 e la 3 tese.
2) Supponendo un comportamento di scarico uguale a quello di carico si possono
valutare le entità degli sforzi assiali in fase elastica e gli sforzi residui:

‫= ܺۓ‬

ܺ
൜ ௥௘௦
ܻ௥௘௦

1.3.2.2

∆ܲ = −ܲ௘௟ = −ߪ௬ ∗ ‫ ∗ ܣ‬൫1 + √2൯
‫= ܺ∆ۓ‬

2 + √2
2 + √2
→
݂ܽ‫ܽܿ݅ݐݏ݈ܽ݁ ݁ݏ‬
ܲ
‫= ܻ۔‬
‫ܲ∆ = ܻ∆۔‬
‫ە‬
‫ە‬
2 + √2
2 + √2
2ܲ

2 ∗ ∆ܲ

‫ ∗ ܣ ∗ ߪ− = ܺۓ‬ቆ √2 ቇ
௬
ۖ ௥௘௦
= ܺ௖௥ − ∆ܺ
2 + √2 ‫݅ݑ݀݅ݏ݁ݎ ݅ݖݎ݋݂ݏ‬
→
= ܻ௖௥ − ∆ܻ
1
‫۔‬
൰
ۖ ܻ௥௘௦ = ߪ௬ ∗ ‫ ∗ ܣ‬൬
2 + √2
‫ە‬

Metodo incrementale (push-over)

1) L'analisi di pushover è un metodo di analisi statica non lineare che consiste nello
nell'applicare alcune distribuzioni di forze via via crescenti sulla struttura, in modo
da studiare la sua risposta in termini elastoplastici fino al collasso globale o locale
2) Si riporta un esempio di analisi di pushover su un portale incastrato caricato da
due forze concentrate orizzontali e verticali che sono incrementate
proporzionalmente attraverso un coefficiente λ
.

Figura 1.40

3) Al raggiungimento in una sezione del limite plastico, si ha una formazione di una
cerniera con variazione dello schema statico sui quali agiscono i successivi
incrementi di carico fino al collasso.
Roma, LUGLIO 2013

Pagina 21

A.A. 2012/2013


Figura 1.41

4) Il problema elastoplastico è risolto dunque come una successione di problemi
elastici caratterizzati ognuno da un carico maggiorato di λ. in riferimento
all'esempio riportato i valori di λ per ogni schema di carico:
• 1° schema: 0<λ<22.5
• 2° schema: 22.5<λ<28
• 3° schema: 28<λ<28.7
• 4° schema: 28.7<λ<31.5
da cui si evince che λy=22.5 e λcr=31.5
5) La configurazione deformata possibile è la seguente

Figura 1.42

E' possibile rappresentare l'andamento della deformazione in funzione di λ
ottenendo una spezzata (successione stati elastici)

Figura 1.43

Roma, LUGLIO 2013

Pagina 22

A.A. 2012/2013

1.3.2.3


Metodo dell'analisi limite
1) Il metodo dell'analisi limite è un metodo energetico per il calcolo del moltiplicatore
critico dei carichi che porta al collasso strutturale.

1.3.2.3.1

Superfici limite
1) Superficie limite nello spazio delle tensioni: i punti sulla superficie limite sono
critici, quelli all’interno sono ammissibili e quelli all’esterno sono non ammissibili.

Figura 1.44

2) Superficie limite nello spazio delle caratteristiche delle sollecitazioni: sono presenti
sia la superficie elastica sia quella plastica.

Figua 1.45

3) Superficie limite nello spazio delle azioni esterne: la distanza tra l’origine e un
punto al suo interno è il moltiplicatore di collasso λ, mentre la distanza tra tale
punto e la frontiera è il coefficiente di sicurezza K = n * λ Tale superficie limite è di
difficile determinazione perché può variare in relazione a numerosi fattori quali i
carichi applicati, le caratteristiche del materiale e la disposizione dei vincoli.

Figura 1.46

4) Le superfici sono assunte convesse per definizione e ne deriva che:
• data una combinazione di carico ammissibile, il moltiplicatore λcrit sarà il
massimo tra quelli che a partire da questa producono combinazioni ancora
ammissibili;
• data una combinazione di carico ammissibile, il moltiplicatore λcrit è unico;
5) Se le superfici fossero state concave, per un unico situazione si sarebbero potuti
avere stati di tensione critici e stati di tensione ammissibili.

Roma, LUGLIO 2013

Pagina 23


A.A. 2012/2013

ߣଵ = ሬሬሬሬሬറ
‫ܥܣ‬
ሬሬሬሬሬറ ܵ‫݅ܿ݅ݐ݅ݎܿ ݅ݐܽݐ‬
൞ߣଶ = ‫ܦܣ‬
ሬሬሬሬሬറ
ߣଷ = ‫ܤܣ‬

Figura 1.47

‫ܧܣ‬
ߣସ = ሬሬሬሬሬറ ܵ‫݈ܾ݁݅݅ݏݏ݅݉݉ܽ ݋ݐܽݐ‬

1.3.2.3.2

Teoremi dell'analisi limite
1) I teoremi validi dell'analisi limite sono:
• Teorema statico: λcrit è il massimo tra quelli staticamente ammissibili.
• Teorema cinematico: λcrit è il minimo tra quelli cinematicamente compatibili.
• Teorema di unicità: λcrit è l’unico che staticamente ammissibile e
cinematicamente compatibile.
2) Segue un esempio applicativo le cui ipotesi di base sono:
• Le sezioni ruotano rimanendo piane
• Gli spostamenti sono piccoli
• Il legame costitutivo è elasto-plastico perfetto
• La duttilità di elemento o di struttura viene assunta infinita.
• I carichi aumentano rimanendo costante il loro rapporto

1.3.2.3.2.1

Teorema statico
1) In riferimento allo schema seguente:

Figura 1.48

2) Per il sistema S’ cui sono applicate le forze esterne si ha:
ܴ′ଵ = ܴ′ଶ = ܲ

‫′ܯ‬஺ = ܲ ∗ ܽ = ܴ′ଵ ∗ ܽ

‫′ܯ‬஻ = ܴ′ଵ ∗ ሺܽ + ܾሻ − ܲ ∗ ܾ

Roma, LUGLIO 2013

Pagina 24


A.A. 2012/2013

3) Per il sistema S’’ associato all’incognita iperstatica si ha:
߯
݈
߯
ܴ′′ଶ = −
݈
߯
‫′′ܯ‬஺ = ܴ′′ଵ ∗ ܽ = ∗ ܽ
݈
ܴ′′ଵ =

‫′′ܯ‬஻ = ܴ′′ଵ ∗ ሺܽ + ܾሻ =

߯
∗ ሺܽ + ܾሻ
݈

‫′′ܯ‬஼ = ܴ′′ଵ ∗ ሺܽ + ܾ + ܽሻ =

߯
∗݈ =߯
݈

4) Sommando i diagrammi dei momenti di S’ e di S’’ si ha:

߯
‫ܯ‬஺ = ‫′ܯ‬஺ − ‫′′ܯ‬஺ = ቀܲ − ቁ ∗ ܽ
݈

‫ܯ‬஻ = ‫′ܯ‬஻ − ‫′′ܯ‬஻ = ܲ ∗ ܽ −
‫ܯ‬஼ = ‫′′ܯ‬஼ = ߯

߯
∗ ሺܽ + ܾሻ
݈

5) Negli stati staticamente ammissibili si ha equilibrio e non collasso, per cui vanno
imposte le condizioni di ammissibilità:
߯
‫ܯ‬஺ ≤ ‫ܯ‬௉ → ቀܲ − ቁ ∗ ܽ ≤ ‫ܯ‬௉
‫ۓ‬
݈
ۖ
߯
‫ܯ۔‬஻ ≤ ‫ܯ‬௉ → ܲ ∗ ܽ − ݈ ∗ ሺܽ + ܾሻ ≤ ‫ܯ‬௉
ۖ
‫ܯ‬஼ ≤ ‫ܯ‬௉ → ߯ ≤ ‫ܯ‬௉
‫ە‬

6) Il sistema è una volta iperstatico, quindi per arrivare alla formazione di un
meccanismo servono due cerniere plastiche, che si ricavano imponendo le
precedenti condizioni di ammissibilità due a due; le possibili combinazioni delle
condizioni critiche sono:
•

1+3

•

2+3

൝

߯
‫ܯ‬௉ ‫ܯ‬௉
ܽ+݈
ቀܲ௖௥ − ቁ ∗ ܽ = ‫ܯ‬௉
→ ܲ௖௥ =
+
→ ܲ௖௥ = ‫ܯ‬௉ ∗
݈
ܽ
݈
ܽ∗݈
߯ = ‫ܯ‬௉

߯
‫ܯ‬௉ ‫ܯ‬௉
ܾ
ܽ+ܾ+݈
ܲ௖௥ ∗ ܽ − ∗ ሺܽ + ܾሻ = ‫ܯ‬௉
൝
+
∗ ൬1 + ൰ → ܲ௖௥ = ‫ܯ‬௉ ∗
→ ܲ௖௥ =
݈
ܽ
ܽ∗݈
ܽ
݈
߯ = ‫ܯ‬௉

Nonostante il valore massimo sia quello dalla seconda combinazione, quello esatto
è quello dalla prima in quanto è l'unico cinematicamente compatibile in quanto
nella seconda combinazione si ha un momento in A maggiore di quello plastico
massimo ammissimibile.

Roma, LUGLIO 2013

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A.A. 2012/2013

1.3.2.3.2.2
1.3.2.3.2.2.1

Teorema cinematico
Trave iperstatica
1) E' necessario individuare i cinematismi di collasso compatibili con i vincoli quindi lil
posizionamento delle cerniere plastiche nelle zone di vincolo o nei punti di
applicazione delle cerniere plastiche. In riferimento allo schema statico
precedente, si necessita la formazione di due cerniere:

Figura 1.49
ߜ′஻ = ߜ′஺ ∗
௔ା௕

ߠ′஺ = ߜ′஺ ∗ ቀ௔ + ௔ା௕ቁ

௔

ଵ

ଵ

‫ܮ‬௘௦௧ = ‫ܮ‬௜௡௧

ಲ
ߠ′஼ = ௔ା௕

ఋᇱ

ܲ௖௥ଵ ∗ ߜ′஺ + ܲ௖௥ଵ ∗ ߜ′஻ = ‫ܯ‬௉ ∗ ߠ′஺ + ‫ܯ‬௣ ∗ ߠ′஼

ܽ
1
1
ߜ′஺
= ‫ܯ‬௉ ∗ ߜ′஺ ∗ ൬ +
൰ + ‫ܯ‬௣ ∗
ܽ+ܾ
ܽ+ܾ
ܽ ܽ+ܾ
ܽ
1
2
ቁ = ‫ܯ‬௉ ∗ ൬ +
൰
ܲ௖௥ଵ ∗ ቀ1 +
ܽ+ܾ
ܽ ܽ+ܾ
݈
ܽ+݈
ܲ௖௥ଵ ∗ ൬
൰ = ‫ܯ‬௉ ∗ ൬
൰
ܽ+ܾ
ܽ ∗ ሺܽ + ܾሻ
ܽ+݈
ܲ௖௥ଵ = ‫ܯ‬௉ ∗ ൬
൰
ܽ∗݈
ܲ௖௥ଵ ∗ ߜ′஺ + ܲ௖௥ଵ ∗ ߜ′஺ ∗

Figura 1.50

ߜ′′஺ = ߜ′′஻ ∗ ௔ା௕
௔

ߠ′′஻ = ߜ′′஻ ∗ ቀ௔ + ௔ା௕ቁ
ଵ

ଵ

‫ܮ‬௘௦௧ = ‫ܮ‬௜௡௧

ߠ′′஼ =

ఋᇱᇱಳ
௔

ܲ௖௥ଶ ∗ ߜ′′஻ + ܲ௖௥ଶ ∗ ߜ′′஺ = ‫ܯ‬௉ ∗ ߠ′′஻ + ‫ܯ‬௣ ∗ ߠ′′஼
ܽ
1
1
ߜ′′஻
ܲ௖௥ଶ ∗ ߜ′′஺ + ܲ௖௥ଶ ∗ ߜ′′஺ ∗
= ‫ܯ‬௉ ∗ ߜ′′஻ ∗ ൬ +
൰ + ‫ܯ‬௣ ∗
ܽ
ܽ+ܾ
ܽ ܽ+ܾ
ܽ
2
1
ቁ = ‫ܯ‬௉ ∗ ൬ +
൰
ܲ௖௥ଶ ∗ ቀ1 +
ܽ+ܾ
ܽ ܽ+ܾ
݈
ܽ+ܾ+݈
ܲ௖௥ଶ ∗ ൬
൰ = ‫ܯ‬௉ ∗ ൬
൰
ܽ+ܾ
ܽ ∗ ሺܽ + ܾሻ
ܽ+ܾ+݈
ܲ௖௥ଶ = ‫ܯ‬௉ ∗
ܽ∗݈
2) Tra i due valori devo scegliere il minore che sarà quello esatto:
ܲ௖௥ଶ > ܲ௖௥ଵ

Tale valore coincide con quello trovato con il th. statico.
Roma, LUGLIO 2013

Pagina 26


A.A. 2012/2013

1.2.3.2.2.2.2

Telaio iperstatico
1) Si applica la stessa procedura precedente ad un telaio una volta iperstatico per il
quale si necessita la formazione di due cerniere plastiche con conseguenti 6
possibili cinematismi:

Figura 1.51

‫ ∗ ߠ ∗ ܪ‬ℎ = ‫ܯ‬௉஼ ∗ ߠ + ‫ܯ‬௉஽ ∗ ߠ

− ‫ ∗ ߠ ∗ ܪ‬ℎ = ‫ܯ‬௉஼ ∗ ߠ + ‫ܯ‬௉஽ ∗ ߠ
1
‫ ∗ ߠ ∗ ܪ‬ℎ + ∗ ܸ ∗ ݈ ∗ ߠ = ‫ܯ‬௉ா ∗ 2 ∗ ߠ + ‫ܯ‬௉஽ ∗ 2 ∗ ߠ
2
1
− ‫ ∗ ߠ ∗ ܪ‬ℎ + ∗ ܸ ∗ ݈ ∗ ߠ = ‫ܯ‬௉ா ∗ 2 ∗ ߠ + ‫ܯ‬௉஽ ∗ 2 ∗ ߠ
2
1
‫ ∗ ߠ ∗ ܪ‬ℎ + ∗ ܸ ∗ ݈ ∗ ߠ = ‫ܯ‬௉஼ ∗ 2 ∗ ߠ + ‫ܯ‬௉ா ∗ 2 ∗ ߠ
2
1
− ‫ ∗ ߠ ∗ ܪ‬ℎ + ∗ ܸ ∗ ݈ ∗ ߠ = ‫ܯ‬௉஼ ∗ 2 ∗ ߠ + ‫ܯ‬௉ா ∗ 2 ∗ ߠ
2

2)
Dai sei precedenti meccanismi di collasso si generano delle rette, la loro
intersezione crea la superficie limite di collasso di questa struttura, da cui è possibile
determinare il moltiplicatore di collasso ߣ =

ை௉ ∗
ை௉

Figura 1.52

Roma, LUGLIO 2013

Pagina 27

A.A. 2012/2013

1.4.
1.4.1


Aspetti particolari dell'analisi plastica
Comportamento ciclico della sezione inflessa
1) Si consideri una sezione semplicemente inflessa fino alla plasticizzazione delle fibre
più tese:

Figura 1.53

2) A partire da tale condizione, si considerino tre possibili situazioni:
• scarico

Figura 1.54

•

inversione del carico

•

inversione con sfruttamento delle risorse plastiche

Figura 1.55

Figura 1.56

3) E' evidente che nel comportamento ciclico la sezione tende a diminuire la propria
rigidezza in maniera crescente con l'aumentare dei cicli e il conseguente
sfruttamento sempre maggiore delle risorse plastiche.

Roma, LUGLIO 2013

Pagina 28

A.A. 2012/2013

1.4.2


Influenza del taglio sul comportamento elastoplastico a flessione
1) Essendo l'influenza del taglio un aspetto di difficile trattazione, si fa riferimento al
criterio di Von Mises:
‫߬ → 0 = ߪ ݁ݏ‬௬ = 0.517 ∗ ߪ௬
ߪ ଶ + 3 ∗ ߬ ଶ = ߪ௬ ଶ → ൜
‫ߪ = ߪ → 0 = ߬ ݁ݏ‬௬
2) Si ricorda che il taglio varia in maniera parabolica su una sezione elastica.
3) Si suppone che non ci sia taglio nella parte delle fibre plasticizzate, per cui nel
grafico complessivo dato dalla somma delle σ e delle τ si nota una parte dove c’è la
rottura per flessione e una parte dove c’è la rottura per taglio.

Figura 1.57

Figura 1.58

Figura 1.59

4) Il taglio riduce la resistenza a flessione; al diagramma della sezione tutta
plasticizzata sottraggo la riduzione di resistenza a flessione ΔM.

1.4.3

Interazione tra instabilità e plasticità
1) Si considera l'instabilità attraverso la formulazione continua

Figura 1.60

2) Con l’ipotesi dei piccoli spostamenti si scrive:
1
߯ = ≅ ‫ ݕ‬ᇱᇱ → ‫ܯ‬௜௡௧ = −‫′′ݕܫܧ‬
ܴ
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Pagina 29


A.A. 2012/2013

Scrivo l’equazione di equilibrio interno dei momenti:
ܲ
‫ ݕ‬ᇱᇱ + ∗ ‫0 = ݕ‬
‫ܫܧ‬
La soluzione è della forma:
ቄ

‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ∗ ܣ‬sin ߙ‫ ∗ ܤ + ݔ‬cos ߙ‫ ݔ‬

‫ ∗ ܣ‬sin ߙ‫ܮ‬଴ = 0
→
‫0=ܤ‬

ߙ‫ܮ‬଴ = ݊ ∗ ߨ →

ߙ=

௡∗గ
௅బ

‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ∗ ܣ‬sin ቀ ௅ ‫ݔ‬ቁ
௡∗గ

Figura 1.61

బ

3) Sostituendo la soluzione trovata nell'equazione di equilibrio si determina il carico
critico:
݊∗ߨ
݊ ∗ ߨ ଶ
݊∗ߨ
݊∗ߨ
‫ ݕ‬ᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫∗ ܣ‬
∗ cos ൬
∗ ‫ݔ‬൰ ‫ ݕ‬ᇱᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ = −‫ ∗ ܣ‬൬
൰ ∗ sin ൬
∗ ‫ݔ‬൰
‫ܮ‬଴
‫ܮ‬଴
‫ܮ‬଴
‫ܮ‬଴
−‫ ∗ ܣ‬൬

݊∗ߨ
ܲ
݊∗ߨ
݊∗ߨ ଶ
൰ ∗ sin ൬
∗ ‫ݔ‬൰ + ∗ ‫ ∗ ܣ‬sin ൬
∗ ‫ݔ‬൰ = 0
‫ܮ‬଴
‫ܫܧ‬
‫ܮ‬଴
‫ܮ‬଴
−൬

݊∗ߨ ଶ ܲ
݊∗ߨ ଶ
൰ +
= 0 → ܲ௖௥ = ‫ ∗ ܫܧ‬൬
൰
‫ܮ‬଴
‫ܫܧ‬
‫ܮ‬଴

4) Ora posso scrivere la formula di σcr in funzione della snellezza:
ܲ௖௥ =

ܲ௖௥ ‫ܫܧ‬
ߨ ଶ
=
∗൬ ൰
‫ܣ‬
‫ܣ‬
‫ܮ‬଴

5) Introducendo le definizioni di raggio di inerzia e snellezza:

‫ܫ‬
‫ߩ ۓ‬ଶ =
࣊૛
‫ܣ‬
→ ࣌ࢉ࢘ = ࡱ ∗ ૛
ࣅ
‫ܮ = ߣ ۔‬଴
‫ە‬
ߩ

6) A questo punto sono possibili due situazioni:
•

Legame elastoplastico perfetto:esiste una snellezza critica
‫ߨ ∗ ܧ‬ଶ
‫ܧ‬
= ߪ௬ → ߣ∗ = ߨ ∗ ඨ
∗ଶ
ߪ௬
ߣ

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Pagina 30

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Figura 1.62

•

Legame elasto plastico perfetto:esiste una snellezza legata alla tensione di
snervamento e una legata a quella ultima:
‫ܧ‬௧ ∗ ‫ ݕ ∗ ܫ‬ᇱᇱ + ܲ ∗ ‫′ܲ → 0 = ݕ‬௖௥ =

Figura 1.63

ߨ ଶ ∗ ‫ܧ‬௧ ∗ ‫ܫ‬
‫ܮ‬଴

7) Il modulo elastico tangente è una rappresentazione delle medie di tutte le E delle
fibre, per cui è compreso tra il modulo elastico e il modulo elasto - plastico; non
sono state introdotte le imperfezioni perché vengono inserite come una
deformazione iniziale.

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Pagina 31

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SEZIONE 2

STABILITA' DELL'EQUILIBRIO

2.1


Aspetti generali
1) Nell'ambito della progettazione di un'opera di ingegneria, oltre a tener conto della
resistenza che un dato elemento strutturale è in grado di offrire, è fondamentale
anche tenere conto della possibilità che esso presenti una instabilità
dell'equilibrio, intendendo quest'ultimo come un mutamento sostanziale dei
caratteri della sua deformazione.
2) Dato un elemento in una configurazione di equilibrio sottoposto a carichi via via
crescenti, può accadere che oltre un certo limite l'equilibrio da essere stabile
diventa instabile, e cioè diventa tale che ad una variazione infinitesima qualsiasi
della sua configurazione non corrisponde il ristabilimento della configurazione
originaria. In pratica, in una situazione di equilibrio instabile lo spostamento
infinitesimo prodotto da una ipotetica causa esterna fa sì che il corpo cambi
completamente la sua configurazione, tendendo a raggiungere un altro stato di
equilibrio (stavolta stabile) sotto quello stesso carico, che in alcuni casi è
effettivamente possibile.
3) Le ipotesi alla base della trattazione sono:
•
spostamenti piccoli o grandi
•
equilibrio nella configurazione deformata o indeformata
•
legame elastico
•
forze posizionali

2.2
2.2.1

Studio del comportamento critico e post-critico di un'asta rigida
Condizione di vincolo 1
1) Si consideri la seguente struttura:

Figura 2.1

La struttura è un sistema ad un grado di libertà (la rotazione θ) quindi basta un
solo parametro per descrivere il moto del sistema.
2) L'energia associata al sistema è:
1
1
‫ܧ‬௣௧ = ‫ܧ‬௘௦௧ + ‫ܧ‬௜௡௧ = −ܲ ∗ ‫ݒ‬஻ + ∗ ݇ ∗ ߴ ଶ = −ܲ ∗ ݈ ∗ ሺ1 − cos ߴሻ + ∗ ݇ ∗ ߴ ଶ
2
2

Roma, LUGLIO 2013

Pagina 32


A.A. 2012/2013

2.2.1.1
2.2.1.1.1

Cinematica ed equilibrio
Trattazione completa
1) Si scrive la cinematica in grandi spostamenti:

‫ݑ‬஻ = ݈ ∗ sin ߴ

൜
‫ݒ‬஻ = ݈ ∗ (1 − cos ߴ)

2) L'equilibrio nella configurazione deformata:

ߑ M୅ = 0 → −P ∗ ‫ݑ‬஻ + ݇ ∗ ߴ = 0 → −ܲ ∗ ݈ ∗ sin ߴ + ݇ ∗ ߴ = 0

2.2.1.1.2

ܲ=

Linearizzazione degli spostamenti

݇
ߴ
∗
݈ sin ߴ

1) Si linearizza la cinematica mediante lo sviluppo in serie di Taylor:

݂ ௡ ሺܽሻ
Tሺxሻ = ෍
∗ ሺ‫ܽ − ݔ‬ሻ௡
݊!
∞

‫ ߠ ݈ = ݑ‬

൜ ஻
‫ݒ‬஻ = 0

௡ୀ଴


ߑ M୅ = 0 → −P ∗ ‫ݑ‬஻ + ݇ ∗ ߴ = 0 → −ܲ ∗ ݈ ∗ ϑ +݇ ∗ ߴ = 0

2.2.1.1.3

ܲ=

݇
݈

Equilibrio nella configurazione indeformata
1) La cinematica è linearizzata:

‫ ߠ ݈ = ݑ‬

൜ ஻
‫ݒ‬஻ = 0

2) L'equilibrio nella configurazione indeformata:

ߑ M୅ = 0 → −P ∗ ‫ݑ‬஻ + ݇ ∗ ߴ = 0 → −P ∗ 0 + ݇ ∗ ϑ = 0
ϑ=0

2.2.1.1.4

Conclusioni
1) Si riportano i risultati e il riassunto delle ipotesi utilizzate:

Figura 2.2

Caso
I
II
III

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Ipotesi cinematica
Grandi spostamenti
Piccoli spostamenti
Piccoli spostamenti

Ipotesi di equilibrio
Configurazione deformata
Configurazione deformata
Configurazione indeformata

Teoria
Del primo ordine
Del secondo ordine

Pagina 33


A.A. 2012/2013

2.2.1.2
2.2.1.2.1

Approccio energetico

‫ݑ‬஻ = ݈ ∗ sin ߴ

൜
‫ݒ‬஻ = ݈ ∗ (1 − cos ߴ)

߲‫ܧ‬௣௧
= −ܲ ∗ ݈ ∗ sin ߴ + ݇ ∗ ߴ = 0
߲ߴ
ߴ
݇
ܲ= ∗
݈ sin ߴ

2) Dal nullo della derivata dell'energia potenziale:

2.2.1.2.2


ஶ

Tሺxሻ = ෍

݂ ௡ ሺܽሻ
∗ ሺ‫ܽ − ݔ‬ሻ௡
݊!

‫ ߠ ݈ = ݑ‬

൜ ஻
‫ݒ‬஻ = 0

௡ୀ଴

2) Dal nullo della derivata dell'energia potenziale:

1
1
1
1
‫ܧ‬௣௧ = −ܲ ∗ ݈ ∗ ൬1 − 1 + ߴ ଶ ൰ + ∗ ݇ ∗ ߴ ଶ = ∗ ܲ ∗ ݈ ∗ ߴ ଶ + ∗ ݇ ∗ ߴ ଶ
2
2
2
2

2.2.1.2.3

߲‫ܧ‬௣௧
= −ܲ ∗ ݈ ∗ ϑ +݇ ∗ ߴ = 0
߲ߴ
݇
ܲ=
݈

Equilibrio nella configurazione indeformata
1) La cinematica è linearizzata:

‫ ߠ ݈ = ݑ‬

൜ ஻
‫ݒ‬஻ = 0

2) L'equilibrio nella configurazione indeformata:

1
1
‫ܧ‬௣௧ = −ܲ ∗ ݈ ∗ ሺ1 − cos ߴሻ + ∗ ݇ ∗ ߴ ଶ = ∗ ݇ ∗ ߴ ଶ = 0
2
2
ϑ=0

2.2.1.2.4

Conclusioni
2) Si riporta il riassunto delle ipotesi utilizzate:
Caso Ordine serie Taylor
I
II

2

III

Roma, LUGLIO 2013

0

1

߲‫ܧ‬௣௧
= −ܲ ∗ ݈ ∗ sin ߴ + ݇ ∗ ߴ
߲ߴ
߲‫ܧ‬௣௧
= −ܲ ∗ ݈ ∗ ϑ +݇ ∗ ߴ
߲ߴ
1
‫ܧ‬௣௧ = ∗ ݇ ∗ ߴ ଶ
2
Equazione

Sviluppo in serie
cosϑ
cosϑ

1
1 − ∗ ߴଶ
2
1

Pagina 34


A.A. 2012/2013

2.2.2


Figura 2.3

2.2.2.1
2.2.2.1.1


‫ݑ‬஻ = ݈ ∗ sin ߴ

൜
‫ݒ‬஻ = ݈ ∗ (1 − cos ߴ)

ߑ M୅ = 0 → −P ∗ ‫ݑ‬஻ + ݇ ∗ ‫ݑ‬஻ ∗ ݈ ∗ cos ߴ = 0
ܲ ∗ ݈ ∗ sin ߴ +݇ ∗ ݈ ଶ ∗ sin ߴ ∗ cos ߴ = 0

ቄ

sin ߴ ∗ (−ܲ ∗ ݈ + ݇ ∗ ݈ ଶ ∗ cos ߴ) = 0

sin ߴ = 0
sin ߴ = 0
→ ቄ
ଶ
−ܲ ∗ ݈ + ݇ ∗ ݈ ∗ cos ߴ = 0
−ܲ + ݇ ∗ ݈ ∗ cos ߴ = 0
ߴ=0
→ ቊcos ߴ = ௉

௞∗௟

ߴ=0
→ ቊϑ = arc cos ቀ ௉

௞∗௟

ቁ

‫ ݈ ∗ ݇ + ݈ ∗ ܲ− → 0 = ߴ ݎ݁݌‬ଶ ∗ cos ߴ = 0
→ ܲ = ݇ ∗ ݈

‫ ݈ ∗ ݇ + ݈ ∗ ܲ− → 0 ≠ ߴ ݎ݁݌‬ଶ ∗ cos ߴ = 0 → ܲ = ݇ ∗ ݈ ∗ cos ߴ

Considerando un imperfezione iniziale θ0, si ottiene il seguente grafico:

Figura 2.4

Roma, LUGLIO 2013

Pagina 35


A.A. 2012/2013

2.2.2.1.2


݂ ௡ ሺܽሻ
Tሺxሻ = ෍
∗ ሺ‫ܽ − ݔ‬ሻ௡
݊!
∞

‫ ߠ ݈ = ݑ‬

൜ ஻
‫ݒ‬஻ = 0

௡ୀ଴

cos ߴ ≅ 1 − ଶ ∗ ߴ ଶ
ଵ

;

sin ߴ ≅ 0

ߑ M୅ = 0 → −P ∗ l ∗ ϑ + ݇ ∗ ݈ ଶ ∗ ߴ = 0 → ܲ = ݇ ∗ ݈ , ∀ߴ

Figura 2.5

2.2.3

3) Lo sviluppo di Taylor fino al 2° ordine viene fatto solo quando si analizza l’energia
potenziale, quando invece si considera l’equilibrio dei momenti gli spostamenti
sono linearizzati, per cui:
cos ߴ ≅ 0 , ‫ߴ ≅ ߴ݊ܽݐ , ߴ ≅ ߴ݊݅ݏ‬



Figura 2.6

2.2.3.1

1) L'espressione dell'energia potenziale:
‫ܧ‬௣௧ = ݇ ∗ ݈ ଶ ∗ ൛2 ∗ ൣ1 − √1 + sin ߴ൧ + sin ߴൟ − ܲ ∗ ݈ ∗ ሺ1 − cos ߴሻ

߲‫ܧ‬௣௧
= ݇ ∗ ݈ ଶ ∗ ሾሺ1 + sin ߴሻି଴.ହ ∗ cos ߴ + cos ߴሿ − ܲ ∗ ݈ ∗ sin ߴ = 0

߲ߴ
݇ ∗ ݈ ଶ ∗ cos ߴ ∗ ሾ1 + ሺ1 + sin ߴሻି଴.ହ ሿ = ܲ ∗ ݈ ∗ sin ߴ
ܲ =

Roma, LUGLIO 2013

݇ ∗ ݈
∗ ሾ1 + ሺ1 + sin ߴሻି଴.ହ ሿ
tan ߴ

Pagina 36


A.A. 2012/2013

Figura 2.7

2.3
2.3.1.
2.3.1.1.

Studio del comportamento critico e post-critico di un sistema di aste

Figura 2.8

E' un sistema nel quale sforzo normale per ogni asta vale:
∆݈
݈଴ − ݈
ܰ =‫∗ܣ∗ܧ= ߝ∗ܣ∗ܧ‬൬ ൰=‫∗ܣ∗ܧ‬൬
൰
݈଴
݈଴
2) Si ricavano le entità cinematiche:
‫ܪ‬
‫ ∗ ܤ = ܪ‬tan ߴ = ݈଴ ∗ cos ߙ ∗ tan ߴ
݈=
sin ߴ
l = ݈଴ ∗ ቀ

ୡ୭ୱ ఈ∗୲ୟ୬ ణ
ቁ
ୱ୧୬ ణ

∆l = ݈଴ ∗ ቀ1 −

3) Si scrive l'equilibrio verticale:

Figura 2.9

Roma, LUGLIO 2013

ቁ
ୱ୧୬ ణ

∆୪

ε=௟ =1−
బ

ୱ୧୬ ణ

ܲ − 2 ∗ ܰ ∗ sin ߴ = 0

ܲ = 2 ∗ ‫( ∗ ܣ ∗ ܧ‬sin ߴ − cos ߙ ∗ tan ߴ)
cos ߙ
ቁ
ܲ = 2 ∗ ‫ ∗ ܣ ∗ ܧ‬sin ߴ ∗ ቀ1 −
cos ߴ

Pagina 37


A.A. 2012/2013

2.4

Studio del comportamento critico e post-critico di un sistema a due g.d.l.
λ

λ

Figura 2.10

2.4.1.
2.4.1.1.

1) Si scrive l'espressione dell'energia potenziale
‫ܧ‬௣௢௧ = ‫ܧ‬௘௦௧ + ‫ܧ‬௜௡௧
1
1
ଶ
ଶ
‫ܧ‬௜௡௧ = ݇ ߠଵ + ݇ ߠଶ ‫ܧ‬௘௦௧ = −ߣ‫ߠݏ݋ܿ − 1(ܮ‬ଵ ) − ߣ‫ߠ(ݏ݋ܿ − 1(ܮ‬ଵ + ߠଶ )
2
2
1
ܿ‫ ߠ − 1 = ߠݏ݋‬ଶ
2
1
1
1 ଶ ߣ‫ܮ‬ሺ(ߠଵ + ߠଶ ሻଶ
ଶ
ଶ
‫ܧ‬௣௢௧ = ݇ ߠଵ + ݇ ߠଶ − ߣ‫ߠ ܮ‬ଵ −

2
2
2
2
2) Si deriva l'energia potenziale rispetto ai due g.d.l. e si eguaglia a 0:
߲‫ݐ݋݌ܧ‬
= ݇ ߠଵ − ߣ‫2 ܮ‬ሺ ߠଶ + ߠଵ ሻ = 0
߲ߠଵ
߲‫ݐ݋݌ܧ‬
= ݇ ߠଶ − ߣ‫2 ܮ‬ሺ ߠଶ + ߠଵ ሻ = 0
߲ߠଶ

ቄቂ

݇
0

ߠ
0
2ߣ‫ܮߣ ܮ‬
ቃ−ቂ
ቃቅ ∗ ൜ ଵ ൠ = 0
ߠଶ
݇
ߣ‫ܮߣ ܮ‬

Bisogna risolvere un problema di autovalori:
detሺ‫ ீܭ ߣ − ܭ‬ሻ = 0 → ߣଵ , ߣଶ
3) Noti gli autovalori, si inseriscono uno alla volta nel sistema ricavando i due
autovettori corrispondenti che rappresentano la forma della deformata. Il carico
critico sarà il minore dei due autovalori.
4) Si riportano di seguito le due deformate con i corrispondenti valori di carico critico:

Roma, LUGLIO 2013

Pagina 38

A.A. 2012/2013
•

1° deformata critica: Pcr=0.382 k/L

•


2° deformata critica: Pcr=2.618 k/L

Figura 2.11

Figura 2.12

Roma, LUGLIO 2013

Pagina 39

A.A. 2012/2013

SEZIONE 3

CRITERI DI PROGETTAZIONE

3.1


Approccio alla progettazione
1) La progettazione strutturale è un processo iterativo volto ad ottenere il miglior
risultato possibile in termini di rapporto funzionalità-costo.
2) L'approccio alla progettazione può essere di due nature:
• Innovativo: partendo da una piccola base di conoscenze, si estende la propria
conoscenza con ricerche e approfondimenti volte alla realizzazione di un'opera
non convenzionale;
• Evolutivo: basandosi su una solida base di conoscenze e di esperienza, la
progettazione è volta al miglioramento di soluzioni già consolidate;
3) In ogni caso alla base di entrambe le vie è necessaria un'opera preliminare di
reperimento delle informazioni e documentazione specifica dal quale il progettista
non può prescindere.
4) Di pari importanza è anche l'utilizzo di sofware di calcolo adeguati e strumenti di
rappresentazione chiari: i primi affinchè il modello elaborato in fase progettuale
sia una affidabile rappresentazione della realtà mentre i secondi affinchè il
prodotto finale sia fruibile e privo di qualsiasi possibilità di fraintendimento.
5) Si riporta di seguito il processo iterativo di progettazione:

Figua 3.1

Roma, LUGLIO 2013

Pagina 40

A.A. 2012/2013


6) Il risultato finale della progettazione deve garantire tutti i requisiti richiesti dalla
normativa di riferimento sia in termini di funzionalità (condizioni di esercizio) sia in
termini di resistenza (condizioni di collasso) in base alla tipologia strutturale in
esame e alle condizioni a contorno.
7) La progettazione strutturale, ovviamente, è sempre affiancata dall'analisi
economica, dalla quale non si può prescindere in qualsiasi attività ingegneristica,
volta al raggiungimento dei minimi costi compatibili con le esigenze funzionali.
8) Nella seguente trattazione è riportata l'analisi del processo progettuale scomposto
in due fasi macrofasi consequenziali:
• Conceptual design
• Processo di ottimizzazione

3.2

Conceptual Design
1) Il Conceptual Design si colloca nelle prime fasi del processo di progettazione. Le
decisioni prese in questa fase hanno una significativa influenza su fattori come
costi, prestazioni, affidabilità, sicurezza ed in generale sul successo commerciale di
un prodotto. Durante questa fase si operano la maggior parte delle scelte
strategiche, si prendono decisioni importanti che successivamente, solo con
difficoltà, possono essere cambiate. Sebbene una grande quantità di informazioni
siano manipolate in un tempo relativamente ristretto, il Conceptual Design è la
parte della progettazione meno supportata da strumenti dedicati.
2) Il punto di partenza è il riconoscimento delle azioni agenti sulla struttura e la scelta
del funzionamento che si vuole conferire alla stessa per resistere alle stesse in
base alla quale si progetta la disposizione degli elementi e la dimensione delle
sezioni.
3) Il Conceptual Design è dunque un approccio globale alla progettazione che
dipende dalla conoscenza e dalla sensibilità dell'ingegnere che non può essere
inquadrato in uno schema fisso.

3.2.1
3.2.1.1

Performance strutturali richieste
Rigidezza strutturale (SLE)
1) Il requisito fondamentale che ogni struttura deve soddisfare in condizioni di
esercizio è la bassa deformabilità quindi è necessario assegnare ad ogni elemento
strutturale un'adeguata rigidezza e disporli in modo da conferirne alla struttura nel
complesso.
2) Il controllo della rigidezza della struttura avviene mediante l'analisi di:
• frecce (travi e solai)
• drift (globali e locali)
3) Tali parametri tradizionali per il controllo deformativo sono di non facile
valutazione e non troppo affidabili se si pensa al comportamento globale della
struttura quindi il parametro migliore è la frequenza propria della struttura, che
deriva da un'analisi modale dinamica, e che permette di valutare in maniera
sintetica ma complessiva la rigidezza.

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3.2.1.2

Instabilità (SLE/SLU)
1) La valutazione del carico critico nelle aste compresse è un aspetto che riguarda sia
le condizioni di esercizio sia quelle di collasso in quanto mette in gioco sia la
rigidezza che la capacità ultima dell'elemento.
2) Tale aspetto è evidente già dalla considerazione del caso più semplice di calcolo
del carico critico ovvero l'espressione di Eulero:
ߨ ଶ ‫ܬ ܧ‬
‫ܮ‬ଶ
E' evidente che un aumento del modulo elastico corrisponde ad un aumento della
capacità dell'elemento quindi abbiamo un'interazione tra la rigidezza e la
resistenza dell'elemento.
ܲ௖௥ =

3.2.1.3

Resistenza (SLU)
1) La resistenza ultima della struttura è necessariamente uno degli aspetti
fondamentali da considerare nella progettazione strutturale. Si intende, infatti, la
capacità ultima che deve essere tale da garantire l'integrità sotto le azioni di
progetto in relazione al tempo di ritorno assegnato all'opera.
2) Si sottolinea che nelle costruzioni metalliche la resistenza ultima della struttura è
l'aspetto meno delicato e di più semplice valutazione in quanto l'acciaio è un
materiale di ottime qualità .

3.2.1.4

Duttilità (SLU)
1) Per duttilità della struttura si intende la capacità della stessa. di subire delle
deformazioni plastiche senza giungere al limite del collasso. E' dunque una misura
dell'escursione in campo plastico che la struttura è in grado di sopportare.
2) La valutazione della duttilità è centrale nella progettazione moderna in quanto
l'attuale capacità di valutare l'azione sismica di progetto ha fatto si che in fase di
progetto le azioni da considerare siano tale da rendere economicamente
insostenibile la realizzazione di una struttura che resista solamente in campo
elastico. Accettare l'ingresso in campo plastico della struttura rappresenta l'unica
via per resistere alle azioni esterne e questo pone il problema centrale del delicato
controllo del danneggiamento.
3) La duttilità, come l'instabilità, è un aspetto che rientra anche nelle condizioni di
esercizio in quanto si lavora sulla duttilità: in questo caso, però, un aumento della
rigidezza gioca a sfavore in quanto la struttura diventa più fragile e il
comportamento meno dissipativo.

3.2.2

Scelte progettuali
1) In funzione delle performance strutturali richieste, si procede alle scelte
progettuali volte ad individuare innanzitutto la geometria da assegnare alla alla
struttura.
2) La disposizione degli elementi deve essere studiata in funzione del
comportamento che si vuole loro assegnare in modo che lavorino bene con tutti gli
altri e garantiscano i requisiti in tutti gli aspetti.

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3) Oltre che al comportamento delle aste particolare attenzione va posta anche al
riconoscimento e allo studio delle zone diffusive e dei nodi che rappresentano per
le strutture metalliche un aspetto caratterizzante della progettazione .

3.2.2.1
3.2.2.1.1

Figua 3.2

3.2.2.1.2

Tipologie elementari
Concentric Braced Frames (CBF)
1) Tale tipologia strutturale è composta di elementi incernierati e sfrutta il principio
della triangolazione degli elementi per mantenere tutti gli sforzi puramente assiali.
2) Offre caratteristiche di ottima rigidezza e questo si traduce nel fatto che le
verifiche allo stato limite di esercizio sono facilmente soddisfatte.
3) Data la bassa duttilità,però, mostrano problemi allo stato limite ultimo, dovuti al
comportamento puramente assiale della struttura che non possiede risorse
plastiche prima di arrivare al collasso.
4) Anche l'instabilità delle aste compresse è un problema rilevante nell'analisi agli
SLU.

Moment Resisting Frames (MRF)
1) Tale tipologia strutturale è composta sostanzialmente da un telaio semplice con
comportamento flessionale
2) Data l'elevata duttilità e capacità portante, le verifiche allo stato limite ultimo sono
facilmente soddisfatte.
3) Considerata.però l'elevata deformabilità, mostrano problemi allo stato limite
d’esercizio,
4) Per questo tipo di struttura si può ottimizzare il comportamento flessionale
dividendola in sottostrutture oppure inserendo degli elementi strutturali come gli
Outrigger che riducono i drift della stessa.

Figua 3.3

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3.2.2.1.3


Eccentric Braced Frames (EBF)
1) Tale tipologia strutturale presenta un livello intermedio delle risposte rispetto agli
elementi CBF ed MRF perché prende le caratteristiche di rigidezza delle strutture
CBF e quelle di duttilità delle MRF.
2) Caratteristica particolare di questa tipologia strutturale è la presenza degli
elementi link che si occupano di concentrare su di loro le deformazioni plastiche
facendo in modo che la struttura presenti delle capacità dissipative.
3) Si affida quindi agli elementi link il comportamento flessionale duttile e al resto
della struttura il comportamento assiale rigido. Per questo loro comportamento gli
elementi link non rispettano le ipotesi di de Saint Venant e perciò entrano nella
categoria di zone diffusive.

Figua 3.4

3.2.2.2
3.2.2.2.1

Nodi
Distinzione funzionale
1) Si possono distinguere due tipologie di zone con diverso comportamento:
• B-regions: zone in cui vale la Teoria di De Saint Venant e la determinazione di σ e
௅
di ε è semplice. Tale comportamento è valido solo per elementi 25 ≥ ௛ ≥ 5.Gli
elementi che presentano questo comportamento sono colonne, travi e diagonali.
• D-regions: zone, dette diffusive, in cui serve una modellazione bidimensionale o
tridimensionale degli sforzi e la determinazione di σ e di ε è complessa. Il Le Dregions sono individuate da::
- Cambio di geometria, che può essere globale (cambio degli assi) o locali
(cambio delle sezioni),
- Cambio del materiale, per esempio tra calcestruzzo e acciaio, Presenza di
carichi, che possono essere concentrati o distribuiti,
- Presenza di vincoli, e tutti i casi dove non è valida la Teoria di De Saint
Venant.

Figua 3.5

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3.2.2.2.2


Rigidezze nodali
1) La progettazione del nodo è un punto fondamentale della progettazione di
costruzioni metalliche in quanto la tipologia di vincolo che si vuole riprodurre
influenza la risposta strutturale.

Figua 3.6

2) La riproduzione di un vincolo non è univoca ma dipende dal modo di assemblare
gli elementi di cui si dispone nella realtà, con la certezza che è impossibile
riprodurre concretamente un vincolo perfetto.

Figua 3.7

3) Nella realtà dei calcoli il modo giusto di approcciare al problema è quello di
considerare sempre una presenza oppure una perdita di rigidezza rispetto ai casi
ideali, questo per considerare situazioni intermedie da quelle ideali che nella
realtà non si presentano mai.

Figua 3.8

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4) Il processo logico che si può adottare è che in presenza di un vincolo si ipotizza che
gli spostamenti vincolati possiedano una rigidezza tendente al infinito invece per
gli spostamenti liberi che la rigidezza tenda a zero ( il che si traduce in una
resistenza residua).

Figua 3.9

5) A titolo di esempio,si considera una cerniera vincolata a terra nella quale arriva
una trave IPE.

Figua 3.10

6) La riproduzione di una cerniera per elementi metallici viene fatta grazie alle
bullonature, ma la disposizione dei bulloni può generare un braccio tra gli stessi
con la conseguenza che si possono generare dei momenti resistenti,
allontanandosi dalla cerniera ideale.
7) Si vuole evitare la formazione di questi momenti imponendo un braccio nullo tra i
bulloni, nonostante inevitabilmente saranno le deformazioni che si generano nei
bulloni a creare questi momenti residui che in ogni caso saranno molto più piccoli.
Ne deriva che le rigidezze nodali possono tendere a zero (infinito) però non
potranno essere uguali a zero (infinito).
8) Qundi in presenza di un nodo conviene sempre considerare le imperfezioni dei
vincoli introducendo delle molle, siano esse rotazionali o estensionali, in funzione
delle sollecitazioni cui è sottoposta la struttura. In tutti e due i casi il valore della
rigidezza (K) può variare da zero a infinito, questo per la sua dipendenza dalla
perfezione che si vuole ottenere nella realizzazione del vincolo.

Figua 3.11

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Figua 3.12
‫߮∗ܭ= ܯ‬

‫߂∗ߣ= ܨ‬

9) Si riporta un diagramma di classificazione dei nodi in base alle seguenti grandezze
adimensionali:
‫ܭ‬௜ ∗ ‫ܮ‬
ഥ
‫=ܭ ۓ‬
‫ܫ ∗ ܧ‬௕
ۖ
ۖ
‫ܯ‬௨
ഥ
‫=ܯ‬
‫ܯ‬௣௕
‫۔‬
ۖ
ۖ߮ = ߮ ∗ ‫ܫ ∗ ܧ‬௕
ത
‫ܯ‬௣௕ ∗ ‫ܮ‬
‫ە‬

Figua 3.13

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3.3

Ottimizzazione
1) Per ottimizzazione strutturale si intende il processo di determinazione della
geometria della struttura che garantisca la migliore resistenza e rigidezza nei
confronti delle azioni esterne con costi più contenuti possibili.
2) E' un processo iterativo che riguarda tutti gli aspetti funzionali della struttura il cui
numero di tentativi dipende dal livello di dettaglio e quindi dal grado di
affinamento che si vuole raggiungere.
3) Definita l'idea strutturale base, quindi, si parte da una geometria di primo
tentativo, molto spesso basata sull'esperienza di opere esistenti simili, e si procede
con l'ottimizzazione modificando geometria e sezioni fino al raggiungimento del
minimo nell'analisi dei costi.

Analisi dei costi

Figura 3.14

Costo zone
diffusive
Costo

Costo zone
Bernoulli
Costo totale

MIN Ctot

n

4) Il processo di ottimizzazione può essere scomposti in due fasi:
1. Analisi: si individuano i dati della struttura (geometria,materiali, condizioni
a contorno) e si elaborano per ottenere dei risultati da sottoporre a
verifica.
2. Progettazione: se la verifica non è soddisfatta si procede alla modifica dei
dati di partenza e si ripete la fase di calcolo e le verifiche.
5) Nella progettazione delle costruzioni metalliche, il processo di ottimizzazione è
fondamentale in quanto l'acciaio è un materiale costoso quindi una riduzione del
peso significa un risparmio economico immediato e non indifferente.
6) Distinguiamo due macroprocessi di ottimizzazione:
• Ottimizzazione per livelli: si interviene in maniera graduata nella variazione
dei singoli elementi fino ad introdurne di nuovi se necessario
• Ottimizzazione per risposta: si interviene sul singolo elemento in funzione del
tipo di sollecitazione cui è sottoposto in modo che il suo comportamento sia
ottimale.

3.3.1
3.3.1.1

Ottimizzazione per livelli
Sizing
1) Per sizing si intende il processo volto al dimensionamento della sezione
dell'elemento ottima quindi alla scelta della sezione commerciale più piccola che
soddisfi il limite tensionale imposto in fase di progetto.

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2) L'obiettivo del sizing è la situazione di fully stressed optimization cioè la condizione
in cui tutta la struttura al massimo delle proprie capacità sfruttando al massimo
tutta la propria resistenza.
3) E' evidente che risulta impossibile giungere ad un livello in cui tutti gli elementi
sono sottoposti allo stesso tasso di lavoro quindi la soluzione deve tendere alla
migliore ideale senza però dimenticare di affiancare l'analisi limite tensionale con
quella di deformabilità (una sezione più piccola lavora ad un tasso più elevato ma è
anche molto meno rigida).

Figura 3.15

3.3.1.2

Morfologica
1) Per ottimizzazione morfologica si intende un processo complesso volto alla ricerca
della forma ottimale da assegnare all'elemento strutturale in funzione dello stato
di tensione interno cui sarà sollecitato
2) Si tratta di un processo evolutivo in cui, partendo da una geometria semplice
caratterizzata da massa distribuita uniformemente, si giunge ad una ridistribuzione
ottimale delle masse stesse secondo la disposizione che meglio asseconda il
probabile flusso tensionale cui l'elemento sarà sottoposto durante la sua vita utile.
3) Data la complessità dell'approccio, tale processo di ottimizzazione può essere
realizzato solo mediante l'utilizzo di software specifici.

3.3.1.3

Topologica
1) Per ottimizzazione topologica si intende il processo di modifica della disposizione e
inserimento/eliminazione di elementi volto a generare un percorso di scarico delle
azioni esterne quanto più favorevole possibile.
2) Rispetto al sizing, dunque, è un processo più evoluto in quanto non c'è solo una
variazione delle sezioni ma necessita di individuare a priori il percorso di carico che
si vuole sviluppare all'interno della struttura ed assecondarlo con la disposizione
degli elementi.
3) L'ottimizzazione topologica risente, quindi, molto maggiormente della sensibilità
del progettista e dalla sua capacità di individuare il percorso di carico più breve che
è sempre l'ottimo progettuale.

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Figura 3.16

3.3.1.4

Introduzione di una sottostruttura
1) L'introduzione di una sottostruttura all'interno del modello strutturale rientra nel
processo di ottimizzazione per livelli come soluzione finale.
2) Si tratta di inserire un blocco funzionale in grado di modificare il comportamento
globale della struttura grazie alle proprie caratteristiche ed adeguarlo alle esigenze
funzionali richieste

3.3.1.4.1

Uso dell'Outrigger
1) L'Outrigger fu ideato dall'ingegnere indiano Khan Fazlur e consiste in una
controventatura in direzione orizzontale situata tutta sullo stesso livello.
2) Rispetto ai controventi verticali tradizionali, gli outriggers trasformano gli sforzi
taglianti, che nascono in seguito alle azioni orizzontali, in sforzi assiali in modo da
ridurre gli spostamenti di piano assoluti e relativi.

Figua 3.17

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3) Per la scelta del numero degli outrigger e del loro posizionamento all’interno di
una struttura è necessario effettuare uno studio nel quale si possano notare i vari
effetti delle combinazioni di posizione e di numero. Questo fattore si nota bene
nello studio dei drift: inserendo un outrigger si nota che i drift vengono ridotti fino
a un terzo rispetto alla configurazione che ne è priva.

Figura 3.18

4) Si possono inserire più livelli di outriggers ma in questo caso è necessaria un'analisi
più accurata in quanto è probabile che il costo di realizzazione sia maggiore del
conseguente beneficio funzionale.

Figura 3.19

3.3.2
3.3.2.1
3.3.2.1.1
3.3.2.1.1.1

Ottimizzazione per risposta
Assiale
Prinicipi cardine
Trazione
1) Il comportamento degli elementi destinati ad essere sollecitati a trazione deve
essere migliorato aumentandone la robustezza, ovvero la capacità di subire danni
locali senza giungere al collasso.

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2) Questo significa che da un punto di vista funzionale è più conveniente suddividere
l'area dell'elemento realizzandone più di uno, piuttosto che aumentarla. Tale
approccio rispetta il principio cardine valido in ogni applicazione ingegneristica di
"suddivisione della trazione".

Figura 3.20

3.3.2.1.1.2

Compressione
1) Il comportamento degli elementi destinati ad essere sollecitati a compressione
deve essere migliorato aumentandone la portanza critica, ovvero il carico che
porta all'instabilità.
2) Questo significa che da un punto di vista funzionale, al contrario di quanto accade
per gli elementi tesi, conviene adottare sezioni più larghe piuttosto che utilizzare
una serie di elementi più snelli.

Figura 3.21

ܲଵ௖௥ =

3.3.2.1.2
3.3.2.1.2.1

ߨ ଶ ‫ܽ72 ܧ‬ସ
3ߨ ଶ ‫ܽ ܧ‬ସ
∗
> ܲଶ௖௥ =
∗
12
‫ܮ‬௢ ଶ
‫ܮ‬଴ ଶ 12

Aspetti tecnologici
Buckling Restrained Braced Frame (BRBF)
1) Il BRBF è un elemento strutturale in grado di fornire resistenza laterale
impedendo l’instabilità, a sezione stratificata, composto al centro da una sezione
di acciaio coperta da una membrana che non genera attrito, a sua volta rivestita
prima da una sezione di calcestruzzo e poi da una sezione tubolare in acciaio.
2) Questo elemento permette di affidare la trazione alla sezione interna di acciaio e
di affidare la compressione alla sezione esterna di acciaio e calcestruzzo. La
membrana serve a dividere i due comportamenti in modo che non influenzino le
dissipazioni e le rigidezze della struttura.

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Figura 3.22

3.3.2.1.2.2

Trussed tube
1) Lo sfruttamento del comportamento assiale degli elementi diagonali può essere
utilizzato per ridurre la deformabilità della struttura quindi l'entità degli
spostamenti assoluti e relativi.
2) Tale obiettivo può essere raggiunto passando da una controventatura tradizionale
verticale ad una secondo lo schema Trussed Tube, ideato dall' ing. Khan Fazlur:

Figura 3.23

3) Lo schema tradizionale permette di creare una interconnessione cinematica più
diretta tra i diversi piani della struttura grazie ai legami che si creano nella
struttura a controventi. La lama di controvento resistente a flessione vede
aumentata la sua sezione perciò anche la sua rigidezza flessionale. Non esiste un
legame cinematico diretto tra i nodi dei diversi controventi.

Figura 3.24

4) Lo schema Truss Tube dei controventi instaura un legame cinematico tra tutti i
nodi dei controventi ottenendo cosi un abbattimento dei drift della struttura.
Questo legame prevede una relazione diretta tra lo spostamento relativo dei nodi
che si trovano sull’asse del controvento.

Figura 3.25

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3.3.2.2
3.3.2.2.1


Flessionale
Risposta strutturale
1) Tipici elementi a comportamento flessionale sono le travi e le piastre che esse
possiedono un comportamento flessibile allo stato limite di esercizio e un
comportamento duttile allo stato limite ultimo. Risulta quindi necessario
ottimizzare il comportamento degli elementi per ridurre le deformazioni
eccessive.
2) Per ottimizzare il comportamento flessionale si specializzano nella struttura delle
parti che devono trasmettere e resistere allo stato tensionale di flessione.
3) In riferimento una struttura sottoposta ad un carico orizzontale vediamone il
comportamento flesso-tagliante con la formazione di due campi di spostamento.

Figura 3.26

4) Il primo campo di spostamenti è quello proveniente dal comportamento
flessionale, il quale può essere studiato e approssimato con elementi alla
Bernoulli; mentre il secondo campo di spostamenti proviene del comportamento
tagliante, il quale può essere studiato e approssimato con elementi alla
Timoshenko.
5) Si affidano i diversi comportamenti deformativi della struttura a elementi diversi: il
comportamento flessionale a un elemento rigido flessionalmente come un vano
ascensore, e il comportamento tagliante al resto della struttura attraverso l’uso di
telai “shear type”.

Figura 3.27

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3.3.2.2.2
3.3.2.2.2.1


Aspetti tecnologici
Outrigger in sommità
1) Sotto l'azione dei carichi orizzontali, come visto, la deformata della struttura è
sostanzialmente quella di una mensola incastrata.
2) Essendo il sistema iperstatico, gli elementi verticali si caricano proporzionalmente
alla loro rigidezza quindi le colonne di spigolo, essendo usualmente più rigide,
risultano più sollecitate quindi più deformate delle altre con conseguente
deformazione di ogni livello non piana.
3) Tale fenomeno è detto Shaer-Lag, ovvero la sezione della struttura non ruota
rimanendo ortogonale all'asse durante la deformazione e ne consegue una
distribuzione delle tensioni maggiore agli spigoli.

Figura 3.28

4) Per ovviare a tale problema, si può inserire un outrigger in sommità che garantisca
la rigidezza di piano e la deformazione uniforme e piana.

Figura 3.29

3.3.2.2.2.2

Irrigidimenti strutturali
1) La limitazione della deformazione flessionale e degli spostamenti può essere
raggiunta mediante l'inserimento di irrigidimenti degli elementi verticali della
struttura lungo tutto il suo sviluppo. E' evidente che tali elementi generano una
ridistribuzione delle tensioni proporzionale alla nuova disposizione delle rigidezze.

Roma, LUGLIO 2013

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2) Gli ispessimenti possono essere di due tipologie:
• Esterne: si aumentano le sezioni degli elementi esterni in modo da ottenere il
vanataggio di centrifugare maggiormente le masse

Figura 3.30

•

Tubolari: si realizza uno schema con costolature interne che formano una
scacchiera su tutta la pianta dell'opera. Il funzionamento del fascio di tubi non
è omogeneo: quelli inteni sono progettati per resistere ai carichi verticali
mentre quelli esterni per i carichi orizzontali:

Figura 3.31

Roma, LUGLIO 2013

Pagina 56


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SEZIONE 4

PROGETTAZIONE IN ZONA SISMICA

4.1

Introduzione
1) La progettazione delle strutture in zona sismica può prevedere due diverse
tipologie costruttive, in funzione della filosofia progettuale che si sceglie di
adottare:

Figura 4.1

Filosofia
progettuale

Innovativa o
avanzata

Tradizionale

Dissipative
(sfruttamento
duttilità/plasticità)

Non dissipative
(campo elastico)

2) Nella pratica attuale si utilizza il Metodo Dissipativo Semplificato, che rientra nei
metodi tradizionali e permette una progettazione economicamente sostenibile
contando sulle risorse plastiche della struttura in maniera semplice.

4.2

Metodo dissipativo semplificato
1) Il Metodo dissipativo semplificato ha come obiettivo la realizzazione di una
struttura a comportamento dissipativo, ovvero in grado di dissipare molta energia
grazie alla plasticizzazione prima di giungere al collasso.
2) Le plasticizzazioni sono localizzate dal progettista mediante l'inserimento di
elementi appositi in grado di deformarsi molto e dissipare energia, preservando
l'integrità degli elementi a comportamento fragile che vengono progettati per
rimanere in campo elastico.

Figura 4.2

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