medidas de centralizacion

1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
En ocasiones se necesitan calcular las diversas medidas de dispersión a partir de
datos que han sido agrupados en intervalos de clase y presentados como una
distribución de frecuencia. Si los datos consisten en una gran cantidad de valores, y
si los cálculos se tienen que hacer en forma manual o con una calculadora, se puede
ahorrar una gran cantidad de trabajo agrupando los datos antes de calcular las
medidas dispersión
Cuando se calculan medidas dispersión a partir de datos agrupados, se deben
hacer ciertas suposiciones respecto a los datos. Como una consecuencia de hacer
estas suposiciones, los valores de las medidas descriptivas calculados de esta
manera se deben considerar como aproximaciones a los valores verdaderos.

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
LA MEDIA.
Cuando se calcula la media a partir de datos En vista de que cada observación toma
agrupados, se hace la suposición de que cada el valor de la marca de clase del
observación que cae dentro de un intervalo de intervalo en el que cae, se calcula la
clase determinado es igual al valor del punto media multiplicando cada marca de
medio de ese intervalo. El punto medio de un clase por su frecuencia correspondiente.
intervalo de clase es llamado marca de clase. Luego se suman los productos
Se obtiene la marca de clase sumando los resultantes y se divide el total entre el
límites de clase respectivos y dividiéndolos número de observaciones. Se puede
entre 2. expresar el procedimiento para datos de
La experiencia ha demostrado que muestra por: k
la suposición por lo general es satisfactoria. xi f i
Como lo son las suposiciones hechas acerca de x i 1
las otras medidas descriptivas calculadas a n
partir de datos agrupados. k = El número de intervalos de clase.
xi = La marca de clase del i-ésimo intervalo de clase.
fi = la frecuencia del i-ésimo intervalo de clase.

3. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
LA MEDIANA.
La mediana para una distribución de frecuencia es el valor, o punto,
sobre el eje horizontal del histograma de la distribución en el que una línea
perpendicular divide el área del histograma en dos partes iguales.
Fm C
E
donde:
Lm = Límite inferior de la clase mediana. Fm-1
A D B
LM= Límite superior de la clase mediana
n = Número de datos.
Fm= Frecuencia acumulada de la clase mediana
Fm-1 = Frecuencia acumulada de la clase que antecede Lm Md LM
a la clase mediana
fm = Frecuencia de la clase mediana.
Ic = Longitud del intervalo de la clase mediana.

4. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
LA MODA.
Cuando se trata de datos agrupados para hallar la moda debemos
determinar antes que todo la clase modal en la cual se halla ésta. Dicha clase
corresponde a aquella que presente mayor frecuencia (absoluta). Una vez localizada la
clase modal, procedemos por interpolación para determinarla. Esta interpolación nos
conduce a la siguiente fórmula para la media: B C
D
fi+1
A
donde: Lm = Límite inferior de la clase modal (la fi-1
clase de mayor frecuencia).
d1 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y IC
la de la clase que la antecede.
d2 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y MO
Lm LM
la de la clase que le sigue.
Ic = Longitud del intervalo de la clase modal.

5. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
LA MEDIA GEOMÉTRICA.
Para calcular la media geométrica cuando se trata de datos
agrupados, se debe sacar la raíz n-ésima del producto de las respectivas marcas
de clase de cada grupo elevadas a la k-ésima frecuencia, matemáticamente se
puede expresar por:
k
n fi
G xi ó
i 1
donde: n = Número de datos.
k = El número de intervalos de clase.
xi = La marca de clase del i-ésimo intervalo de clase.
fi = la frecuencia del i-ésimo intervalo de clase.

6. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
LA MEDIA ARMÓNICA.
La media armónica para datos agrupados se encuentra aplicando la
siguiente fórmula:
n
H k
fi
i 1 xi
donde: n = Número de datos.
k = El número de intervalos de clase.
xi = La marca de clase del i-ésimo intervalo de clase.
fi = La frecuencia del i-ésimo intervalo de clase.

7. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
EJEMPLO
El peso en kilogramos de un grupos de estudiantes del sexo masculino en un curso
de educación física, son los siguientes:
Clases fi
52.5 – 57.5 8
57.5 – 62.5 9
62.5 – 67.5 6
67.5 – 72.5 4
72.5 – 77.5 2
77.5 – 82.5. 1
Total 30
Encuentre la media Aritmética , Geométrica , Armónica , la mediana y la Moda. Compare
los resultados utilizando la fórmula de la correspondencia entre la media aritmética, la
mediana y moda medidas de tendencia central.

8. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
SOLUCIÓN
Intervalos Fi Fa Xi Fi*Xi Fi*LogXi Fi/xi
52,5 57,5 8 8 55 440 13,9229 0,14545
57,5 62,5 9 17 60 540 16,0034 0,15
62,5 67,5 6 23 65 390 10,8775 0,09231
67,5 72,5 4 27 70 280 7,38039 0,05714
72,5 77,5 2 29 75 150 3,75012 0,02667
77,5 82,5 1 30 80 80 1,90309 0,0125
30 1880 53,8373 0,48407
Media Aritmética Media Geométrica
Media Armónica

9. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
CALCULO DE LA MEDIANA
Fm-1
fm
Intervalos Fi Fa Xi Fi*Xi Fi*LogXi Fi/xi
52,5 57,5 8 8 55 440 13,9229 0,14545
57,5 62,5 9 17 60 540 16,0034 0,15
62,5 67,5 6 23 65 390 10,8775 0,09231
67,5 72,5 4 27 70 280 7,38039 0,05714
Lm 72,5 77,5 2 29 75 150 3,75012 0,02667
77,5 82,5 1 30 80 80 1,90309 0,0125
30 1880 53,8373 0,48407
Ic=62.5 - 57.5 =5

10. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
CALCULO DE LA MODA d2
d1
Intervalos Fi Fa Xi Fi*Xi Fi*LogXi Fi/xi
Frecuencia
52,5 57,5 8 8 55 440 13,9229 0,14545
Modal
57,5 62,5 9 17 60 540 16,0034 0,15
62,5 67,5 6 23 65 390 10,8775 0,09231
67,5 72,5 4 27 70 280 7,38039 0,05714
Lm
72,5 77,5 2 29 75 150 3,75012 0,02667
77,5 82,5 1 30 80 80 1,90309 0,0125
30 1880 53,8373 0,48407
Ic=62.5 - 57.5 =5