1. ´
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
´
FACULTAD DE MATEMATICAS.
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS.
MAT 220E ∗ C´lculo II
a
Pauta de correcci´n Interrogaci´n 2
o o
1. Calcule primitivas para:
dx −8x2 + 3x + 8
√ , dx.
x2 25x2 + 16 x3 + 4x2 + 4x
Soluci´n:
o
dx 4 4
a) √ : Haciendo 5x = 4 tan u (de donde x = tan u, dx = sec2 u du,
x2 25x2 + 16 √ 5 5
2 2 2 + 16 = 4 sec u) se tiene
25x + 16 = 16 sec u y 25x
4
dx 5
sec2 u du 5 sec u du 5 cos u du
√ = = = .
x2 25x2 + 16 4 2 16 2
tan u 16 sen2 u
5
tan2 u · 4 sec u
La ultima integral es f´cilmente calculable con la sustituci´n z = sen u, queda
´ a o
dx 5 dz 5 5
√ = 2
=− +C =− + C.
x2 25x2 + 16 16 z 16z 16 sen u
25x2 +16
Pero si tan u = 5 x entonces tan2 u =
4
25 2
16
x y por lo tanto sec2 u = 25 2
16
x +1 = 16
y cos2 u = 25x16 .
2 +16
16 25x2 5x
As´ sen2 u = 1 − cos2 u = 1 −
ı, 25x2 +16
= 25x2 +16
, de donde sen u = √
25x2 +16
,
1 √
2
= 25x +16 , y finalmente
5x
sen u
√ √
dx 5 25x2 + 16 25x2 + 16
√ =− · +C =− + C.
x2 25x2 + 16 16 5x 16x
Puntaje:
Por elegir alguna sustituci´n que permita resolver la integral (puede ser la
o
mostrada ac´, u otra, por ejemplo 5x = 4 senh u), 0.5 ptos.
a
Por transformar adecuadamente la integral, usando correctamente la sustitu-
cos u du
ci´n elegida (por ejemplo, llegar a
o ), 0.5 ptos.
sen2 u
Por calcular la integral a la que se llega en el punto anterior, 1 pto.
Por sustituir de vuelta y obtener el valor de la integral pedida, 1 pto.
1

2. −8x2 + 3x + 8 −8x2 + 3x + 8 −8x2 + 3x + 8
b) dx = dx = dx.
x3 + 4x2 + 4x x(x2 + 4x + 4) x(x + 2)2
Usando el m´todo de fracciones parciales, escribimos
e
−8x2 + 3x + 8 A B C
2
= + + ,
x(x + 2) x x + 2 (x + 2)2
sumando las fracciones del lado derecho obtenemos
−8x2 + 3x + 8 (A + B)x2 + (4A + 2B + C)x + 4A
= .
x(x + 2)2 x(x + 2)2
Igualando coeficientes, obtenemos el sistema
A + B = −8
4A + 2B + C = 3
4A = 8
Al resolver este sistema se llega a A = 2, B = −10, C = 15, de donde
−8x2 + 3x + 8 dx dx dx
dx = 2 − 10 + 15
x3 + 4x2 + 4x x x+2 (x + 2)2
15
= 2 ln |x| − 10 ln |x + 2| − + C.
x+2
Puntaje:
Por expresar el integrando en la forma dada por el m´todo de fracciones
e
parciales, 0.5 ptos.
Por igualar coeficientes y plantear el sistema, 0.5 ptos.
Por resolver el sistema, 0.5 ptos.
Por calcular las integrales resultantes de las fracciones parciales, 1.5 ptos. (0.5
por cada integral).
Por peque˜os errores, se les quitan 1 o 2 d´cimas de cada punto o medio punto.
n e
2

3. 2. a) Determine el valor de a para el cual el area encerrada por las curvas
√
y = ax2 − a; y = 1 − ax2 es 8.
Soluci´n: Para valores positivos de a tenemos que las par´bolas se intersectan en
o a
los puntos x = ± 1/a. Adem´s para valores de x en el intervalo (− 1/a, 1/a)
a
se tiene que 1−ax2 ≥ ax2 −1. Con lo cual el area en cuesti´n se obtiene de calcular:
o
√
1/a
√ 1 − ax2 − (ax2 − 1)dx.−→ (1,5pto)
− 1/a
8
La cual, realizando la integraci´n, es igual a √ . −→ (1pto)
o
3 a
√
Como se nos dice que esta area es igual a 8, se tendr´ que
a
8 √
√ = 8,
3 a
8
de donde a = .−→ (0,5pto)
9
b) Determine si la siguiente serie n´merica es convergente:
u
2n + 1
.
n≥1
n(n2 − 3)3/2
Soluci´n: Notemos que el t´rmino general de la serie en cuesti´n, se comporta
o e o
1 1
como 3 . Por otro lado sabemos que la serie de t´rmino general 3 es convergente,
e
n n
ya que es una p-serie con p = 3 > 1. Utilizaremos el criterio de comparaci´n en el
o
ımite para demostrar que la serie pedida es convergente. −→ (2pto)
l´
Para ello calcularemos el siguiente l´
ımite:
2n+1 1
n(n2 −3)3/2 2n3 + n2 2+ n
l´
ım 1 = l´
ım = l´
ım = 2.
n→∞ n→∞ (n2 − 3)3/2 n→∞ 1 − 3
n3 n2
Como el l´ımite obtenido es distinto de cero, se tiene que la serie dada y la se-
1
rie de t´rmino general 3 se comportan de la misma manera, es decir la serie
e
n
2n + 1
es convergente. −→ (1pto)
n≥1
n(n2 − 3)3/2
El puntaje entregado por el uso correcto del criterio se pueden entregar
para cualquier criterio que se utilice.
3

4. ∞
2
3. a) Demuestre que xe−x dx converge, y calcule su valor.
0
Soluci´n: Calculamos la integral finita:
o
b
2 1 2 b
xe−x dx = − e−x −→ (1pto)
0 2 0
Luego calculamos
1 2 b 1 1 2
l´ − e−x
ım = ım e−b
− l´ −→ (0, 5ptos)
b→∞ 2 0 2 b→∞ 2
b b
−x2 2
Finalmente como xe dx = l´
ım xe−x dx −→ (0, 5ptos)
0 b→∞ 0
Concluimos
∞
2 1
xe−x dx = y como la integral existe es convergente por definici´n. −→ (1pto).
o
0 2
b) Estudie la convergencia de la siguiente integral:
∞
sen(x)
dx.
0 x5/2
Soluci´n:
o
Primero debemos separar el an´lisis en integrales impropias de tipo 1 y 2. Entonces
a
consideramos c > 0
∞ c ∞
sen(x) sen(x) sen(x)
dx = dx + dx −→ (0, 5)
0 x5/2 0 x5/2 c x5/2
c
sen(x)
La integral dx tiene problemas en el cero, pues
0 x5/2
sen(x) sen(x) 1
ım 5/2 = l´
l´ ım = ∞, luego la funci´n es no acotada.
o
x→0 x x→0 x x3/2
1
Esto nos da una idea de comparar con x3/2 tenemos que:
sen(x)
5/2 sen(x) x3/2
l´ x 1
ım = l´
ım =1 −→ (1pto)
x→0
x3/2
x→0 x x3/2
c
1
Entonces ambas funciones convergen o divergen y la integral dx diverge.
0 x3/2
Espec´
ıficamente resolviendo la integral
c
1 x−1/2 c−1/2
3/2
dx = l´
ım − =∞ −→ (0, 5pto)
0 x x→0 2 2
4

5. Nota: Tambi´n se puede argumentar que si p > 1 en la integral de la forma
e
c 1
0 xp
dx, entonces la integral diverge.
c
sen(x)
Concluimos que dx diverge −→ (0, 5pto).
0 x5/2
∞ c ∞
sen(x) sen(x) sen(x)
Por lo tanto la integral dx = dx + dx tiene una
0 x5/2 0 x 5/2
c x5/2
de las partes que diverge, luego diverge −→ (0, 5pto).
∞
sen(x)
Nota: El alumno tambi´n puedo haber concluido que la parte
e dx es
c x5/2
∞
sen(x) 1 1
convergente, pues | 5/2 | ≤ 5/2 , lo cual es convergente ( forma dx con
x x c xp
∞
sen(x)
p > 1). Esto significa que dx converge absolutamente, luego converge.
c x5/2
Aunque esto no sirva para concluir, se puede asignar (0,5 ptos).
5

6. 4. Sea an = 3n − (−1)n .
a) Determine el mayor intervalo (abierto o cerrado) en el cual
1 1
an x n = − .
n≥0
1 − 3x 1 + x
Soluci´n:
o 1PUNTO(base)
Si n es par, n + 1 es impar, (−1)n+1 = −1, an+1 = 3n+1 + 1, an = 3n − 1,
luego
1
an+1 3n+1 + 1 3+ n
= n = 3 −→
n→∞ 3.
an 3 −1 1
1− n
3
.5PUNTO
Si n es impar, n + 1 es par, (−1)n+1 = 1, an+1 = 3n+1 − 1, an = 3n + 1, lue-
go
1
an+1 3n+1 − 1 3− n
= n = 3 −→
n→∞ 3.
an 3 +1 1
1+ n
3
.5PUNTO
1
Luego, el radio de convergencia es R =
3
.5PUNTO
Para analizar el comportamiento en los extremos del intervalo:
n
1 1
para x = , los t´rminos para n par de la serie son (3n − 1)
e = 1−
3 3
1
−→n→∞ 1 = 0, luego la serie NO converge.
3n
.5PUNTO
n
1 1
para x = − , los t´rminos para n par de la serie son (3n − 1) −
e =
3 3
1 −−→
1 − n n− − 1 = 0, luego la serie NO converge.
→∞
3
.5PUNTO
1 1
La serie de potencias converge solamente en − ,
3 3
6

7. .5PUNTO
Para x en el intervalo se˜alado:
n
an x n = [3n − (−1)n ] xn = [(3x)n − (−x)n ] .
n≥0 n≥0 n≥0
.5PUNTO
Tenemos dos series geom´tricas de raz´n menor que uno en valor absoluto, luego
e o
ambas convergen, adem´s, como el primer t´rmino es 1, se sabe que
a e
1 1
an x n = −
n≥0
1 − 3x 1 + x
.5PUNTO
b) Determine el mayor intervalo abierto en el cual
an n+1 √
x = − ln((1 + x) 3 1 − 3x).
n≥0
n+1
Ayuda: Integre.
Soluci´n:
o
1 1
Si se integra entre 0 y t, t ∈ − , , por un lado,
3 3
t t t
n n xn+1 tn+1
an x dx = (an x dx) = an = an
0 n≥0 n≥0 0 n≥0
n+1 0 n≥0
n+1
1PUNTO
Por otro lado,
t t
1 1 1
− dx = − ln(1 − 3x) − ln(1 + x)
0 1 − 3x 1 + x 3 0
1 √
= − ln(1 − 3t) − ln(1 + t) = − ln 3 1 − 3t(1 + t)
3
1 1
Por a), ambas integrales son iguales y haciendo x = t ∈ − , , se tiene
3 3
an n+1 √
x = − ln((1 + x) 3 1 − 3x).
n≥0
n+1
1PUNTO
7